Beskrivende Beslutningsteori

Indholdsfortegnelse:

Beskrivende Beslutningsteori
Beskrivende Beslutningsteori
Anonim

Indtastningsnavigation

  • Indtastningsindhold
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Venner PDF-forhåndsvisning
  • Forfatter og citatinfo
  • Tilbage til toppen

Beskrivende beslutningsteori

Først offentliggjort tirsdag 26. september 2017

Beskrivende beslutningsteori beskæftiger sig med at karakterisere og forklare regelmæssigheder i de valg, som mennesker er disponeret over. Den adskilles standardt fra en parallel virksomheds, normativ beslutningsteori, der søger at give en redegørelse for de valg, som folk burde bortskaffes. Meget af arbejdet på dette område er blevet brugt til opbygning og afprøvning af formelle modeller, der sigter mod at forbedre den beskrivende tilstrækkelighed af en ramme, der kaldes”Subjektivt forventet værktøj” (SEU). Denne tilstrækkelighed blev først rejst i tvivl i midten af det forrige århundrede og yderligere udfordret af et væld af eksperimentelt arbejde inden for psykologi og økonomi fra midten af 1960'erne og fremover.

Denne post skitserer først de grundlæggende forpligtelser fra SEU, før den går videre til nogle af dens mest kendte empiriske mangler og et lille udvalg af de modeller, der er blevet foreslået at erstatte det. Forholdet mellem beskrivende beslutningsteori og dens normative modstykke drøftes derefter, idet der skabes nogle forbindelser med en række relaterede emner i den filosofiske litteratur. [1]

  • 1. Standardmodellen: Subjektivt forventet værktøj

    • 1.1 Savages repræsentationsteorem
    • 1.2 Savages bevis
    • 1.3 Sandsynlighedstrekanten
  • 2. Spørgsmålet om uafhængighed

    • 2.1 Allais 'paradokser
    • 2.2 Teoretiske svar

      • 2.2.1 Probabilistisk sofistikering
      • 2.2.2 Modeller med Betweenness
      • 2.2.3 Modeller uden vægt
  • 3. Spørgsmålet om sandsynlig tro

    • 3.1 Ellsbergs trefarve-paradoks
    • 3.2 Teoretiske svar

      • 3.2.1 Ikke-additive "sandsynligheder"
      • 3.2.2 Flere forudgående
  • 4. Udstedelsen af en svag orden

    • 4.1 Transitivitet
    • 4.2 Fuldstændighed
  • 5. Beskrivende kontra normativ beslutningsteori
  • 6. Yderligere læsning
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Andre internetressourcer
  • Relaterede poster

1. Standardmodellen: Subjektivt forventet værktøj

Den kanoniske valgteori - Subjektivt forventet værktøj (SEU) - tilegner sig starten til Savage (1954), bygger på tidligere bidrag fra De Finetti (1937), Ramsey (1931) og von Neumann og Morgenstern (1947). Det tilbyder en homogen behandling af begge beslutninger under”risiko” -situationer, hvor beslutningstageren har kendskab til eller har fast overbevisning om de objektive sandsynligheder for alle begivenheder, der er relevante for succes med hans eller hendes handlinger, og beslutninger under”usikkerhed””- som han eller hun ikke gør. I sin ikke-normative inkarnation foreslår den i det mindste, at midler kan beskrives som om:

  1. forbinder de mulige konsekvenser af de handlinger, der er til rådighed for dem, to numeriske mængder:

    1. en”nytteværdi” svarende til den grad, i hvilken de ønsker at resultatet skulle ske og
    2. en "subjektiv sandsynlighed" svarende til deres grad af tillid til forekomsten af resultatet ud fra handlingen, en grad af tillid, der måske eller måske ikke gives ved en tilsvarende vurdering af objektive sandsynligheder;
  2. at være sådan, at deres præferencer mellem handlinger og dermed deres disposition til at vælge bestemte handlinger frem for andre, bestemmes af disse mængder på en sådan måde, at handlinger er rangordnet efter deres subjektive forventede nytteværdi, dvs. den subjektive sandsynlighedsvægtede sum af værktøjerne deres mulige resultater.

Ontologisk dristige inkarnationer af synet har det, at agenter er så beskrivelige, fordi de virkelig har grader af tro og ønsker, introspektivt velkendte psykologiske tilstande, der bestemmer deres præferencer og valg på en sådan måde.

En række vigtige formelle resultater, kendt som”repræsentationsteoremer”, viser, at denne påstand om beskrivbarhed kan udledes af et sæt prima facie plausible generelle principper, også kaldet "postulater" eller "axiomer", der vedrører agenternes præferencer frem for handlinger. Derudover er ikke kun disse aksiomer samlet tilstrækkelige til at udlede SEU's påstand, men en betydelig korrekt delmængde af dem viser sig også at være individuelt nødvendig. Ikke overraskende har meget af arbejdet med at vurdere den empiriske tilstrækkelighed af SEU fokuseret på afprøvning af de førnævnte aksiomer. Sådanne test kan i bedste fald undergrave en nøgleårsag til at godkende kravet og i værste fald give grund til at afvise den. Derfor er en kort skitse af Savages eget tidlige resultat i orden.

1.1 Savages repræsentationsteorem

I Savages rammer modelleres handlinger som funktioner, der kortlægger mulige verdensstater til resultater, konsekvenserne, hvis du ønsker, af at udføre den relevante handling i den relevante naturtilstand. Sættet med handlinger vil blive betegnet med (mathcal {A} = {f_1, f_2, / ldots g_1, g_2 / ldots }), statussættet med (mathcal {S} = {s_1, s_2, / ldots }) og sættet af resultater med (mathcal {X} = {x_1, x_2, / ldots, x_n }). Til nuværende formål kan det antages, at de betragtede handlinger er enkle, dvs. at deres rækkevidde er begrænset. En handling kaldes "konstant", hvis og kun hvis den kortlægger alle tilstande til samme resultat. Sæt af tilstande, også kendt som begivenheder, vil blive betegnet med store bogstaver (A_1, A_2, / ldots, B_1, B_2, / ldots) osv. Sættet af sådanne begivenheder vil blive betegnet med (mathcal { E}).(E_i ^ f) angiver det sæt tilstande, som handlingen (f) kortlægger resultatet (x_i), dvs. ({s / in / mathcal {S}: f (s) = x_i }). Det vil også være nyttigt at angive med (fAg) den handling, der kortlægger staterne i (A) til de samme resultater, som (f) gør, og staterne uden for (A) til de samme resultater. det (g) gør.

Agentens valgdispositioner på et givet tidspunkt tages til bestemmelse af hans eller hendes præferencer på en sådan måde, at agenten fra ethvert sæt af særlige handlinger er ansvarlig for at vælge alle og kun de handlinger, som ingen anden handling handler om er strengt foretrukket. (f / succeq g) betegner det faktum, at en agent finder handling (f) ikke mindre ønskværdig end handling (g). (succ) (streng præference) og (sim) (ligegyldighed) står for de asymmetriske og symmetriske dele af (succeq), så (f / succ g) iff (f / succeq g) men ikke (g / succeq f) og (f / sim g) iff både (f / succeq g) og (g / succeq f). Det er praktisk at udvide denne præferencesammenhæng til sættet af resultater ved at indstille, for alle udfald (x_1) og (x_2),(x_1 / succeq x_2) iff den konstante handling, der giver (x_1) i alle tilstande, er svagt at foretrække frem for den, der giver (x_2) i alle tilstande.

Savage beviser, at der findes et bestemt specifikt sæt begrænsninger for præferencebestillinger frem for handlinger, der vil blive opfyldt, hvis og kun hvis denne ordre kan repræsenteres af en reelt værdsat funktion (U) med domæne (mathcal {A}) (så (f / succeq g) iff (U (f) succeq U (g))), sådan at

) tag {1} U (f) = / sum / limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i))

hvor (u: / mathcal {X} mapsto / mathbb {R}) er en konsekvensfunktionsfunktion unik op til positiv lineær transformation og (P: / mathcal {S} mapsto [0,1]) er en unik subjektiv sandsynlighedsfunktion, der tilfredsstiller (P (varnothing) = 0), (P (mathcal {S}) = 1), og den endelige additivitet egenskab (P (A / cup B) = P (A) + P (B)) for alle sammenhængende begivenheder (A, B). Med andre ord returnerer (U) summen af hjælpeprogrammerne af de mulige resultater, hver gang ganget med den subjektive sandsynlighed for det sæt af stater, der er kortlagt til dette resultat.

For det tilfælde, hvor (mathcal {X}) er begrænset, er Savages sæt af aksiomer nummer seks. Kun tre af disse viser sig imidlertid i den efterfølgende diskussion. Den første kræver ingen kommentarer:

Svag rækkefølge (succeq) er en svag rækkefølge, det vil sige: den er både transitive (for alle handlinger (f, g, h): hvis (f / succeq g) og (g / succeq h), derefter (f / succeq h)) og fuldfør (for alle handlinger (f, g): enten (f / succeq g) eller (g / succeq f)).

Den anden fortæller os, at man ved sammenligning af to handlinger ignorerer deres opførsel i det sæt af stater, hvor de har identiske konsekvenser:

Sure-Thing For alle handlinger (f, g, h, h ') og enhver begivenhed (A): (fAh / succeq gAh) iff (fAh' / succeq gAh ').

Den tredje er givet som følger:

Svag sammenlignende sandsynlighed for alle resultater (x_1, x_2, x_3, x_4) og begivenheder (A, B): hvis (x_1 / succ x_2) og (x_3 / succ x_4), derefter (x_1Ax_2 / succeq x_1Bx_2) iff (x_3Ax_4 / succeq x_3Bx_4).

Begrundelsen for sit forslag ligger i ideen om, at hvis (x_1 / succ x_2), så (x_1Ax_2 / succeq x_1Bx_2) afspejler en forpligtelse til påstanden om, at (A) er mindst lige så sandsynlig som (B), og derfor skal det også (x_3Ax_4 / succeq x_3Bx_4), når (x_3 / succ x_4).

Disse tre betingelser, det skal bemærkes, er individuelt nødvendige for SEU-repræsentabilitet, så enhver SEU-maksimator skal tilfredsstille dem. Derudover foreslår Savage to yderligere ikke-nødvendige, også kaldet "strukturelle" forhold, kendt som "Ikke-degeneration" og "Small Event Continuity", samt en yderligere, nødvendig betingelse af "Eventvis Monotonicity", der fortæller os at resultatet under visse milde omstændigheder vil resultatet af at erstatte en eller flere forekomster af et givet resultat med et andet give en foretrukken handling, hvis og kun hvis det nye resultat foretrækkes frem for originalen.

1.2 Savages bevis

Med alt dette i hånden kan Savages resultat etableres som følger. For det første introducerer man en relation mellem "subjektiv komparativ sandsynlighed" (unrhd), således at (A / unrhd B) iff for alle resultater (x_1) og (x_2) sådan at (x_1 / succ x_2), (x_1Ax_2 / succeq x_2Ax_1) iff (x_1Bx_2 / succeq x_2Bx_1). Savages aksiomer kan derefter vises for at sikre, at (unrhd) tilfredsstiller et antal passende egenskaber, idet Small Event Continuity sikrer, at (unrhd) kan repræsenteres af en subjektiv sandsynlighedsfunktion (P), der er unik. Det er værd at bemærke, at det i nærvær af svag sammenligningssandsynlighed hovedsageligt er Sure-Thing-princippet, der tillader afledningen af additivitetsegenskaben til (P).

For det andet kan det ved anvendelse af disse aksiomer igen konstateres, at en agent er ligegyldig mellem to handlinger, der for hvert resultat tildeler lige sandsynligheder til de respektive sæt tilstande, som de hver kortlægger til dette resultat. Med andre ord:

Tilstands neutralitet Hvis (P_f = P_g), derefter (f / sim g), hvor (P_f (x_i) = P (E ^ f_i)).

Da det også kan vises, at der for hvert lotteri (P) i (matematisk {P}), der findes en handling (f) sådan at (P_f = P), det vigtige resultat af dette resultat er, at man effektivt kan forenkle repræsentationen af agentens præferencer frem for handlinger og omarbejde dem som præferencer i forhold til det mindre sæt (mathcal {P}) af såkaldte subjektive lotterier, dvs. subjektiv sandsynlighedsfordeling over resultater. For at forenkle notationen vil præferencesammenhængen over (mathcal {P}) blive betegnet med det samme symbol, (succeq), så konteksten kan disambiguere.

En yderligere anvendelse af aksiomene giver os mulighed for at konstatere, at disse præferencer frem for lotterier tilfredsstiller tre vigtige egenskaber: (i) en "blandet svag rækkefølge" -betingelse, der kræver, at præferencerne frem for lotterier er transitive og komplette, (ii) en "blandingskontinuitet" -betingelse, hvis detaljer her ikke er vigtige og endelig (iii) en”uafhængighed” -tilstand, som sammen med den ordnede betingelse vil være i fokus for en betydelig diskussion i det følgende.

For at præsentere denne sidste betingelse kræves en yderligere definition sammen med et notationsstykke: For alle to lotterier (P_f) og (P_g) og (lambda / i [0,1]) kan man definer et tredje simpelt lotteri (lambda P_f + (1- / lambda) P_g) i (mathcal {P}), (lambda) - blandingen af (P_f) og (P_g) ved at indstille ((lambda P_f + (1- / lambda) P_g) (x)), sandsynligheden, der er tildelt resultatet (x) af blandingslotteriet, lig med (lambda P_f (x) + (1- / lambda) P_g (x)). Det er heuristisk nyttigt at tænke på (lambda P_f + (1- / lambda) P_g) som et højereordens lotteri, der giver en sandsynlighed for (lambda) at spille lotteri (P_f) og et komplementært sandsynlighed for at spille (P_g). Betingelsen lyder så:

Uafhængighed For alle handlinger (f, g) og (h) og alle (lambda / i (0,1]): (P_f / succeq P_g) iff (lambda P_f + (1 - / lambda) P_h / succeq / lambda P_g + (1- / lambda) P_h).

Beviset afsluttes derefter ved at appellere til et resultat af von Neumann og Morgenstern (1947), som viser, at den førnævnte trio af egenskaber er nødvendig og tilstrækkelig til repræsentabiliteten af (succeq) ved en funktion (U) sådan at

[U (P_f) = / sum / limits_ {i = 1} ^ {n} P_f (x_i) u- (x_i),)

hvor (u: / mathcal {X} mapsto / mathbb {R}) er en konsekvensfunktionsfunktion unik op til positiv lineær transformation.

1.3 Sandsynlighedstrekanten

Sandsynlighedstrekanten (alias “Marschak-Machina trekant”) giver en nyttig visuel repræsentation af præferencer i forhold til lotterierummet over ({x_1, x_2, x_3 }) med (x_3 / succ x_2 / succ x_1). Da for enhver (P / i / matematisk {P}), (P (x_2) = 1- P (x_1) -P (x_3)), kan man repræsentere situationen todimensionelt med lotterier der vises som punkter i en enhedstrekant, hvor den vandrette akse giver os (P (x_1)) og den lodrette en giver os (P (x_3)). De nordvestlige, sydvestlige og sydøstlige hjørner svarer til de lotterier, der giver (x_3, x_2) og (x_1) med sikkerhed.

Som det let kan demonstreres, er SEU forpligtet til

Stokastisk dominans For alle handlinger (f) og (g): hvis, for et hvilket som helst resultat (x), er sandsynligheden ifølge (P_f) for at opnå et resultat, der svagt foretrækkes frem for (x)) er mindst lige så stor som den tilsvarende sandsynlighed ifølge (P_g) (med andre ord: (sum _ { {y / in / matematisk {X}: y / succeq x }} P_f (y)) (geq) (sum _ { {y / in / mathcal {X}: y / succeq x }} P_g (y))), derefter (P_f / succeq P_g).

Faktisk følger ovenstående princip fra uafhængighed og svarer faktisk til Savages Eventvis Monotonicity-betingelse, i betragtning af de andre betingelser, der er på plads (Grant 1995). Derfor foretrækkes lotterier i stigende grad både når man bevæger sig nordover og når man bevæger sig vestover, da man ved at gøre en af disse flytter sandsynligheden fra et mindre til et mere foretrukket resultat (fra (x_2) til (x_3) når man bevæger sig nord og fra (x_1) til (x_2), når du flytter vestpå. Likegyldighedskurverne er derfor skråt opad. Stejlere skråninger svarer til større risikoaversion i følgende forstand: nordøstlige bevægelser øger spredningen af fordelingen, dvs. graden af risiko involveret, skiftende sandsynligheder fra det midterste resultat ((x_2)) til de ekstreme ((x_1) og (x_3)). Jo stejlere ligegyldighedskurven,jo større en stigning i sandsynligheden for det bedste resultat kræves for at kompensere for denne øgede risiko. SEU kræver helt klart også, at ligegyldighedskurver er både lineære og parallelle.[2] For at illustrere:

højre trekant med 90 graders vinkel nederst til venstre og mærket '0'. De to andre vinkler er hver mærket '1'. Den lodrette side er mærket 'P (x 3)' og den vandrette side mærket 'P (x 1)'. Fem parallelle diagonale linier i trekanten fra nederste venstre til øverste højre
højre trekant med 90 graders vinkel nederst til venstre og mærket '0'. De to andre vinkler er hver mærket '1'. Den lodrette side er mærket 'P (x 3)' og den vandrette side mærket 'P (x 1)'. Fem parallelle diagonale linier i trekanten fra nederste venstre til øverste højre

figur 1

Selvom SEU fortsat nyder bred støtte som en normativ model for valgadfærd (skønt se afsnit 5 nedenfor), anses det ikke længere for at være beskrivende passende. Et antal væsentlige afvigelser fra dens forudsigelser blev bemærket så tidligt som i 1950'erne og begyndelsen af 1960'erne af ligesom Allais (1953a, b) og Ellsberg (1961) og undersøgt yderligere i 1970'erne. Disse observationer førte til udviklingen af alternative modeller, hvis egne forudsigelige konsekvenser er blevet i fokus for omfattende test i de seneste tre årtier. [3]

2. Spørgsmålet om uafhængighed

2.1 Allais 'paradokser

Allais (1953a: 527) betragtede hypotetiske præferencer afsløret ved valg taget fra to respektive menuer med lotterier, der gav forskellige trin i formue med forskellige objektive sandsynligheder, den ene indeholder (P_1) og (P_2) nedenfor, den anden (P_3) og (P_4):

cirkel med P1 med en linje mærket '1' til højre, der peger på '$ 1M'
cirkel med P1 med en linje mærket '1' til højre, der peger på '$ 1M'

(en)

cirkel med P2 med en linje mærket '.1' til '$ 5M' og en linje mærket '.89' til '$ 1M' og en linje mærket '.01' til '$ 0' '
cirkel med P2 med en linje mærket '.1' til '$ 5M' og en linje mærket '.89' til '$ 1M' og en linje mærket '.01' til '$ 0' '

(B)

cirkel med P3 med en linje mærket '.11' til '$ 1M' og en linje mærket '.89' til '$ 0' '
cirkel med P3 med en linje mærket '.11' til '$ 1M' og en linje mærket '.89' til '$ 0' '

(C)

cirkel med P4 med en linje mærket '.1' til '$ 5M' og en linje mærket '.9' til '$ 0' '
cirkel med P4 med en linje mærket '.1' til '$ 5M' og en linje mærket '.9' til '$ 0' '

(D)

Figur 2

Han hævdede, at man for en væsentlig del af agenterne ville finde, at (P_ {1} succ P_ {2}) og (P_ {4} succ P_ {3}) (kalde disse”Allais” præferencer”). Imidlertid, ud fra antagelserne om, at (i) forsøgspersoners grad af overbevisning stemmer overens med de givne objektive sandsynligheder, og (ii) resultaterne kan karakteriseres tilstrækkeligt fuldstændigt med hensyn til de tilknyttede ændringer i velstanden, løber en sådan kombination af præferencer i modsætning til uafhængighed. Mere specifikt er det i modstrid med princippets særlige tilfælde, hvorefter substitution af en fælles "konsekvens", dvs. lotteri, i et par blandinger lader præferences rækkefølgen uændret:

Fælles konsekvens for alle handlinger (f, g, h, h ') og (lambda / in (0,1]):

) start {split} lambda P_f + (1- / lambda) P_h / succeq / lambda P_g + (1- / lambda) P_h \\ / textrm {iff} lambda P_f + (1- / lambda) P_ { h '} succeq / lambda P_g + (1- / lambda) P_ {h'}. / end {split})

For at se hvorfor, lad (lambda = 0.11), (Q_1) ("konsekvensen" fælles for (P_1) og (P_2)) være et lotteri, der giver $ (1) M for sikker på, (Q_2) være et lotteri, der giver $ (5) M med sandsynlighed (10/11) og ($ 0) ellers, og endelig (Q_3) ("konsekvensen" fælles for (P_3) og (P_4)) et lotteri, der giver ($ 0) helt sikkert. (P_1) viser sig at være en (lambda) - blanding af (Q_1) og (Q_1), (P_2) en af (Q_2) og (Q_1), (P_3) en af (Q_1) og (Q_3) og (P_4) en af (Q_2) og (Q_3). Dette ses sandsynligvis bedst ved at overveje beslutningstræerne, der repræsenterer de tilsvarende sammensatte lotterier:

cirkel med P1 med en linje mærket '.11' til en cirkel med Q1, der har en linje mærket '1' til '$ 1M'. En anden linje fra P1 mærket '1' går til en cirkel også med Q1, der har en linje mærket '1' til '$ 1M'
cirkel med P1 med en linje mærket '.11' til en cirkel med Q1, der har en linje mærket '1' til '$ 1M'. En anden linje fra P1 mærket '1' går til en cirkel også med Q1, der har en linje mærket '1' til '$ 1M'

(en)

cirkel med P2 med en linje mærket '.11' til en cirkel med Q2, der har en linje mærket '10 / 11 'til' $ 5M 'og en linje mærket' 1/11 'til' $ 0 '. En anden linje fra P1 mærket '.89' går til en cirkel med Q1, der har en linje mærket '1' til '$ 1M' ''
cirkel med P2 med en linje mærket '.11' til en cirkel med Q2, der har en linje mærket '10 / 11 'til' $ 5M 'og en linje mærket' 1/11 'til' $ 0 '. En anden linje fra P1 mærket '.89' går til en cirkel med Q1, der har en linje mærket '1' til '$ 1M' ''

(B)

cirkel med P3 med en linje mærket '.11' til en cirkel med Q1, der har en linje mærket '1' til '$ 1M'. En anden linje fra P1 mærket '1' går til en cirkel med Q3, der har en linje mærket '1' til '$ 0'
cirkel med P3 med en linje mærket '.11' til en cirkel med Q1, der har en linje mærket '1' til '$ 1M'. En anden linje fra P1 mærket '1' går til en cirkel med Q3, der har en linje mærket '1' til '$ 0'

(C)

cirkel med P4 med en linje mærket '.11' til en cirkel med Q2, der har en linje mærket '10 / 11 'til' $ 5M 'og en linje mærket' 1/11 'til' $ 0 '. En anden linje fra P1 mærket '.89' går til en cirkel med Q3, der har en linje mærket '1' til '$ 0' ''
cirkel med P4 med en linje mærket '.11' til en cirkel med Q2, der har en linje mærket '10 / 11 'til' $ 5M 'og en linje mærket' 1/11 'til' $ 0 '. En anden linje fra P1 mærket '.89' går til en cirkel med Q3, der har en linje mærket '1' til '$ 0' ''

(D)

Figur 3

Resultatet af dette ved fælles konsekvens er derefter det (P_1 / succeq P_2) iff (P_3 / succeq P_4). [4]

Sandsynlighedstrekanten giver en nyttig illustration af uforeneligheden med Allais præferencer med SEU. Faktisk er segmenterne, der forbinder (P_1) og (P_2) på den ene side og (P_3) og (P_4) på den anden side parallelle, således at en EU-maksimaliserer, hvis ligegyldighedskurver er parallelt, ville være ude af stand til at udstille de modale præferencer, da intet par af ligegyldighedskurver kunne være, som krævet, sådan at man krydser segmentet ([P_1, P_2]) nedenunder, mens det andet krydser ([P_3, P_4]) ovenfra:

Ligner figur 1 med undtagelse af ingen diagonale linier og den lodrette side er mærket 'P (x 1)' og den vandrette 'P (x 3)'. Derudover starter et kort lodret segment i højre vinkel og er mærket 'P 1' i bunden og 'P 2' øverst. Et andet kort lodret segment, der ser ud til at være af samme længde, er til højre, der forbinder trekantens vandrette linje med dens hypotenuse; det er mærket 'P 3' i bunden og 'P 4' øverst
Ligner figur 1 med undtagelse af ingen diagonale linier og den lodrette side er mærket 'P (x 1)' og den vandrette 'P (x 3)'. Derudover starter et kort lodret segment i højre vinkel og er mærket 'P 1' i bunden og 'P 2' øverst. Et andet kort lodret segment, der ser ud til at være af samme længde, er til højre, der forbinder trekantens vandrette linje med dens hypotenuse; det er mærket 'P 3' i bunden og 'P 4' øverst

Figur 4

Ud over ovenstående, som er blevet kendt som problemet med fælles konsekvenser, blev et yderligere spørgsmål, det fælles forholdsproblem, foreslået af Allais (1953a: 529-530). Vanskeligheden denne gang vedrørte en yderligere konsekvens af uafhængighed, som fortæller os, at rækkefølgen af præference mellem to identisk vægtede blandinger, der deler et fælles komponentlotteri, ikke påvirkes af en ændring i blandingsvægten:

Fælles forhold For alle handlinger (f, g, h) og (lambda, / gamma / in (0,1]):

) begin {split} lambda P_f + (1- / lambda) P_h / succeq / lambda P_g + (1- / lambda) P_h \\ / textrm {iff} gamma P_f + (1- / gamma) P_h / succeq / gamma P_g + (1- / gamma) P_h. / End {split})

En præsentation af de relevante par optioner vil ikke blive givet her. Bemærk blot, at også her, de problematiske valg viser sig at involvere to par indstillinger, hvis respektive tilsvarende segmenter i sandsynlighedstrekanten løber parallelt. [5]

En række eksperimentelle undersøgelser i 1960'erne og 1970'erne bekræftede efterfølgende robustheten af de effekter, som Allais afslørede. Slovic & Tversky (1974) rapporterer for eksempel, at 17 ud af 29 (59%) af forsøgspersoner i deres undersøgelse udviser Allais-præferencer i deres undersøgelse af problemet med almindelig konsekvens. Se MacCrimmon & Larson (1979) for en nyttig oversigt over dette og andet tidligt arbejde og yderligere egne data.

Siden slutningen af 1970'erne er der udtænkt et betydeligt antal generaliseringer af SEU for at imødekomme de problematiske præferencesmønstre. En kort oversigt over disse findes i det følgende underafsnit.

2.2 Teoretiske svar

2.2.1 Probabilistisk sofistikering

En væsentlig del af svarene på Allais-fænomener har involveret generaliseringer af SEU, der forbliver konservative nok til at bevare kravet om, hvad Machina & Schmeidler (1992) kalder "sandsynlighedsfinansiering": at præferencer frem for handlinger reducerer til præferencer frem for lotterier, og at disse på sin side adlyde blandet svag orden, blandingskontinuitet og stokastisk dominans, hvis ikke uafhængighed. [6]Machina & Schmeidler tilbyder en aksiomatisk karakterisering af sandsynligvis sofistikerede præferencer, der opgiver Savages Sure-Thing-tilstand, som spiller en kritisk rolle i afledningen af uafhængighed og bevarer resten af hans betingelser. Da Sure-Thing-princippet imidlertid også spiller en vigtig rolle i at sikre eksistensen af en passende sandsynlighedsfordeling over arrangementet, styrker de betingelsen af den svage sammenlignende sandsynlighed til følgende:

Stærk sammenlignende sandsynlighed For alle udfald (x_1, x_2, x_3, x_4), handlinger (f, g) og adskillige begivenheder (A, B): hvis (x_1 / succ x_2) og (x_3 / succ x_4), derefter (x_1Ax_2Bf / succeq x_2Ax_1Bf) iff (x_3Ax_4Bg / succeq x_4Ax_3Bg).

hvor (x_1Ax_2Bf) angiver handlingen, der giver (x_1) for alle (s / i A), udgang (x_2) for alle (s / i B) og (f (s)) for alle andre (r). De tilbyder derefter en tilsvarende ændret redegørelse for den foreslåede korrespondance mellem den subjektive kvalitative sandsynligheds- og præferencesammenhæng og foreslår, at hvis (x_1 / succ x_2), derefter (A / unrhd B) iff (x_1Ax_2Bf / succeq x_2Ax_1Bf).

2.2.2 Modeller med Betweenness

Blandt modellerne af sandsynligt sofistikerede præferencer, der ikke tilfredsstiller uafhængighed og mere specifikt ikke pålægger egenskaberne ved parallelitet af ligegyldighedskurver, tilfredsstiller et antal stadig et svagere princip, der pålægger linearitet, nemlig:

Betweenness For alle handlinger (f) og (g) og (lambda / i [0,1]): hvis (P_f / sim P_g), derefter (P_f / sim / lambda P_f + (1- / lambda) P_g).

Dette er især tilfældet med Weighted Utility (WU) (Chew & MacCrimmon 1979; Chew 1983), der foreslår, at summandserne i den forventede hjælpeformel multipliceres med en tilsvarende vægt, så præferencer mellem lotterier kan repræsenteres med det mere generelle funktionel

) tag {2} U (f) = / sum / limit_ {i = 1} ^ {n} P_f (x_i) u (x_i) Bigg (w (x_i) / / sum / limit_ {i = 1} ^ {n} w (x_i) P_f (x_i) Bigg))

hvor (w) er en positiv reelt værdsat funktion på (mathcal {X}). Hvis (w) er konstant, gendanner man EU-funktionen. Inkorporering af vægte imødekommer Allais præferencer ved at tillade ligegyldighedskurver at "blæse ud" fra et enkelt skæringspunkt placeret i kvadranten sydvest for sandsynlighedstrekanten. Disse kurver bliver stejlere og repræsenterer derfor en større grad af risikoaversion, når man bevæger sig nordvest i retning af stadig mere foretrukne lotterier. Et passende placeret kryds gør det muligt for ligegyldighedskurver at krydse både ([P_1, P_2]) nedenfra og ([P_3, P_4]) ovenfra, efter behov. [7]

2.2.3 Modeller uden vægt

Der er dog væsentlige beviser for, at ligegyldigheden af ligegyldighedskurver ikke er mere empirisk tilstrækkelig til, at deres parallelitet (se Camerer & Ho 1994 for en undersøgelse) og en række modeller med sandsynligvis sofistikerede præferencer også giver op på Betweenness. Den bedst kendte af disse er utvivlsomt Rank Dependent Utility (RDU), hvis version først blev foreslået af Quiggin (1982). [8] For at præsentere forslaget i funktionel form antages det, at de underskrifter, der er knyttet til hvert resultat i (mathcal {X}), viser stigende præferencerækkefølge, så (x_1 / preceq x_2 / preceq / ldots / preceq x_n) og dermed (bigcup / limit_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j}) er den begivenhed, der er givet som (f) giver et resultat mindst som fortrinsvis som (x_i). RDU foreslår:

) tag {3} U (f) = u (x_1) + / sum / limit_ {i = 2} ^ {n} Big (u (x_i) -u (x_ {i-1}) Big) w / Bigg (P / bigg (bigcup / limit_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j} bigg) Bigg))

hvor (w: [0,1] mapsto [0,1]) er en strengt stigende sandsynlighedsvægtningsfunktion, således at (w (0) = 0) og (w (1) = 1). Med andre ord: brugen af et lotteri er lig med summen af de marginale anvendelsesbidrag for resultaterne, hver gang multipliceret med den vægtede sandsynlighed for at opnå et resultat, der er mindst lige så foretrukket (det marginale bidrag fra (x_1) er (u (x_1)) og den tilhørende multiplikator er (w / big (P ({ mathcal {S} }) big) = w (1) = 1)). Hvis (w) er identitetsfunktionen, så (w / circ P = P), viser det sig, at man gendanner den forventede funktionsfunktion. Hvis ikke, giver et passende valg af (w) en mulighed for at gendanne Allais-præferencer. For at se hvordan, antager du for enkelhed at (u (0) = 0). Den ene har derefter (P_1 / succ P_2) iff

[U (1) w (1)> u (1) w (0,99) + / store (u (5) -u (1) store) w (0,1))

og (P_4 / succ P_3) iff (u (5) w (0,1)> u (1) w (0,11)). Dette indebærer, at præferencerne gendannes ved at have (w) være sådan, at (w (1) -w (0,99)> w (0,11) -w (0,1)), så en forskel i sandsynlighed for (0,01) har en større indflydelse i den højere ende af sandsynlighedsskalaen end det gør mod dens relativt lavere ende. [9]

Det skal bemærkes, at RDU i sig selv er et specielt tilfælde af, hvad der måske er det bedst kendte alternativ til SEU, Kahneman & Tversky's Cumulative Prospect Theory (Tversky & Kahneman 1992), som tildelte Kahneman en Nobelpris i økonomi i 2002. Denne model generaliserer RDU ved at introducere et referencepunkt, et resultat, der opdeler sætet af resultater i positive og negative undergrupper, afhængigt af om disse er strengt foretrukne eller strengt disputeret til det. To sandsynlighedstransformationfunktioner, (w ^ +) og (w ^ -), er derefter involveret i præferencefunktionen: (w ^ +) til bestemmelse af nyttebidragene til de negative resultater og (w ^ -) spiller en analog rolle i forhold til den positive. RDU gendannes, når (w ^ +) er dobbeltværdien af (w ^ +).

Mens RDU ikke tilfredsstiller uafhængighed, tilfredsstiller det imidlertid en svækkelse af dette princip, der er kendt som”Ordinal uafhængighed” (Green & Jullien 1988). Dette princip præsenteres som en begrænsning for de kumulative distributionsfunktioner (cdf), der svarer til forskellige lotterier, der for hver (x_i) returnerer sandsynligheden for at opnå et resultat, der ikke er bedre end (x_i) (dvs. et resultat (x_j), med (j / leq i)). Den cdf, der svarer til (P_f), betegnes med (F). Vi har så

Ordinal uafhængighed For alle handlinger (f, f ', g) og (g') og undergrupper (A) af (mathcal {X}): Hvis (P_f / succeq P_g), og

  1. for alle (x / i A), (F (x) = G (x)) og (F '(x) = G' (x))
  2. for alle (x / notin A), (F (x) = F '(x)) og (G' (x) = G '(x))

derefter (P_ {f '} succeq P_ {g'}). [10]

Begrænsningen kan mere nyttigt sættes som følger: Ved sammenligning af to handlinger ignorerer man værdierne for deres respektive cdf'er i det sæt af resultater, som de er enige om. Det kan let verificeres, at Allais-præferencer er i overensstemmelse med dette princip. I betragtning af probabilistisk sofistikering kan Ordinal Uafhængighed i sig selv være afledt af en begrænsning af præferencer frem for handlinger, der er kendt som”Comonotonic Independence”, vist i afsnit 3.2.1 nedenfor. Wakker (2010) tilbyder en lærebog introduktion til RDU og Cumulative Prospect Theory, såvel som relaterede behandlinger af de emner, der diskuteres i det næste afsnit.

3. Spørgsmålet om sandsynlig tro

3.1 Ellsbergs trefarve-paradoks

I en anden klassisk udfordring til SEU bad Ellsberg (1961) forsøgspersoner om at overveje et setup, hvor en urne indeholder 30 røde kugler og 60 sorte eller gule kugler i ukendte relative proportioner og rapporterer deres præferencer mellem forskellige indsatser på farven på en kugle trukket ved tilfældig fra urne. De valgte præferencer var dem, der blev holdt mellem (f_1) og (g_1) nedenfor på den ene side og (f_2) og (g_2) på den anden side:

(overbrace { phantom {30 balls}} ^ { textrm {30 balls}}) (overbrace { phantom {45630 balls}} ^ { textrm {60 balls}})
r b y
(F_1) $ 100 $ 0 $ 0
(G_1) $ 0 $ 100 $ 0
(F_2) $ 100 $ 0 $ 100
(G_2) $ 0 $ 100 $ 100

Ellsberg rapporterede, at et flertal af emnerne udviste præferencerne (f_1 / succ g_1), men (g_2 / succ f_2), et eksempel på et fænomen, der er blevet kendt som tvetydighedsaversion: en relativ præference for at satse på begivenheder med kendt snarere end ukendt (“tvetydig”) sandsynlighed.

Hvis man indrømmer, at resultaterne er tilstrækkeligt karakteriseret udelukkende med tilknyttede ændringer i velstanden, står disse”Ellsberg-præferencer” i direkte modsætning til Savages Sure-Thing-princip. Disse præferencer er i strid med Machina & Schmeidlers princip om stærk sammenligningssandsynlighed under den naturlige antagelse, at forsøgspersoner strengt foretrækker resultatet ($ 100) frem for resultatet ($ 0). Og det er faktisk let at se, at Ellsberg-præferencerne er i strid med sandsynlige raffinement. Mere specifikt er de uforenelige med at det er tilfældet, at begge (i) beslutningstagerens præferencer frem for handlinger kan reduceres til præferencer frem for tilsvarende lotterier frem for resultater,genereret ved en tildeling af subjektive sandsynligheder til sæt af begivenheder og (ii) han eller hun delvis bestiller disse lotterier ved første orden stokastisk dominans. For at se hvorfor, antager du, at disse betingelser gælder. Bemærk først, at (P_ {g_1}) stokastisk vil dominere (P_ {f_1}) hvis og kun hvis (P ({b }) geq P ({r })) og at (P_ {f_2}) ville stokastisk dominere (P_ {g_2}) hvis og kun hvis (P ({r }) geq P ({b })). (f_1 / succ g_1) ville medføre, at (P_ {g_1}) ikke stokastisk dominerer (P_ {f_1}), og dermed at (P ({r })> P ({ b })). Men (g_2 / succ f_2) ville medføre, at (P_ {f_2}) ikke stokastisk dominerer (P_ {g_2}), og dermed at (P ({b })> P ({r })). Modsigelse. Bemærk først, at (P_ {g_1}) stokastisk vil dominere (P_ {f_1}) hvis og kun hvis (P ({b }) geq P ({r })) og at (P_ {f_2}) ville stokastisk dominere (P_ {g_2}) hvis og kun hvis (P ({r }) geq P ({b })). (f_1 / succ g_1) ville medføre, at (P_ {g_1}) ikke stokastisk dominerer (P_ {f_1}), og dermed at (P ({r })> P ({ b })). Men (g_2 / succ f_2) ville medføre, at (P_ {f_2}) ikke stokastisk dominerer (P_ {g_2}), og dermed at (P ({b })> P ({r })). Modsigelse. Bemærk først, at (P_ {g_1}) stokastisk vil dominere (P_ {f_1}) hvis og kun hvis (P ({b }) geq P ({r })) og at (P_ {f_2}) ville stokastisk dominere (P_ {g_2}) hvis og kun hvis (P ({r }) geq P ({b })). (f_1 / succ g_1) ville medføre, at (P_ {g_1}) ikke stokastisk dominerer (P_ {f_1}), og dermed at (P ({r })> P ({ b })). Men (g_2 / succ f_2) ville medføre, at (P_ {f_2}) ikke stokastisk dominerer (P_ {g_2}), og dermed at (P ({b })> P ({r })). Modsigelse. Men (g_2 / succ f_2) ville medføre, at (P_ {f_2}) ikke stokastisk dominerer (P_ {g_2}), og dermed at (P ({b })> P ({r })). Modsigelse. Men (g_2 / succ f_2) ville medføre, at (P_ {f_2}) ikke stokastisk dominerer (P_ {g_2}), og dermed at (P ({b })> P ({r })). Modsigelse.

Betydelig empirisk bevis har bekræftet Ellsbergs uformelle observationer og beslægtede fænomener (begyndende med Becker & Brownson 1964 og inkluderer klassiske studier som Slovic & Tversky 1974 og MacCrimmon & Larsson 1979; se den klassiske Camerer & Weber 1992, såvel som den mere opdaterede -dato Trautmann & van de Kuilen 2015, for yderligere detaljer) og litteraturen indeholder nu et betydeligt antal generaliseringer af SEU, der kan rumme disse.

3.2 Teoretiske svar

3.2.1 Ikke-additive "sandsynligheder"

En markant svækkelse af SEU, der er i stand til at imødekomme Ellsberg-sagerne, er Choquet Expected Utility (CEU), oprindeligt foreslået af Schmeidler (1989). Det centrale begreb i dens repræsentation af præferencer er kapaciteten: en funktion (v: / mathcal {E} mapsto [0,1]), således at (v (varnothing) = 0), (v (mathcal {S}) = 1) og, for alle (A, B / i / mathcal {E}), implicerer (A / subseteq B) (v (A) leq v (B)). Man kan tænke på dette som en slags ikke-additiv "sandsynligheds" -funktion, da additivitetsegenskapen, i henhold til hvilken (v (A / cup B) = v (A) + v (B)) til sammenhængende begivenheder (A) og (B), holder ikke. Som med præsentationen af RDU er konventionen her, at indekserne, der er knyttet til resultaterne, indikerer stigende præference, så at, igen(bigcup / limit_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j}) er den begivenhed, der er givet som (f) giver et resultat mindst lige så foretrukket som (x_i). CEU foreslår:

) tag {4} U (f) = u (x_1) + / sum / limit_ {i = 2} ^ {n} Big (u (x_i) -u (x_ {i-1}) Big) v / Bigg (bigcup / limit_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j} Bigg))

På dette forslag værdsættes en handling med summen af de marginale anvendelsesbidrag af resultaterne, hver gang multipliceret med kapaciteten på den givne begivenhed, som denne handling vil give et resultat, der er mindst lige så foretrukket. Der er åbenlyse formelle ligheder her med RDU, og faktisk kan sidstnævnte betragtes som det specielle tilfælde af CEU, hvor beslutningstagerens kapaciteter er afledt af hans eller hendes sandsynlige grader af tro ved en sandsynlighedsvægtningsfunktion ((v = w / circ P)). [11]

Når vi vender tilbage til Ellsberg-præferencerne i det tre farveproblem, er det let at se, at (f_1 / succ g_1) iff (v ({r })> v ({b })) og (g_2 / succ f_2) iff (v ({b, y })> v ({r, y })). Disse uligheder kan åbenbart ikke tilfredsstilles samtidig i særlige tilfælde, hvor (c) er additiv, og i sådanne tilfælde reducerer CEU faktisk til SEU. I det mere generelle tilfælde er der ikke noget problem: lad (v) f.eks være sådan, at:

) begynde {linje} v ({r }) & = v ({r, y }) = v ({b, y }) = / nicefrac {1} {3} / v ({b }) & = v ({y }) = 0 \\ v ({b, y }) & = / nicefrac {2} {3}. / End {afstemt})

Gilboa (1987) og Wakker (1989) har begge leveret aksiomatiseringer af forslaget i en Savage-ramme. Det vigtigste kendetegn ved disse er den effektive begrænsning af Savages Sure-Thing-princip til bestemte slags sæt handlinger:

Comonotonic Sure-Thing For alle handlinger (f, g, h, h ') og enhver begivenhed (A): if (fAh), (gAh), (fAh') og (fAh ') er komonotoniske, derefter (fAh / succeq gAh) iff (fAh' / succeq gAh ').

hvor to handlinger (f) og (g) er komonotoniske iff, er der ingen to tilstande (s_1) og (s_2), således at (f (s_1) succ f (s_2)) men (g (s_2) succ g (s_1)), eller igen iff (f) og (g) giver ordrer af tilstande ved ønske om tilknyttet konsekvens, der er sammenhængende (Chew & Wakker 1996). Ellsberg-præferencerne er helt klart kompatible med denne svækkelse af Sure-Thing-princippet, da de involverede handlinger ikke er komonotoniske. F.eks. (F_1 (r) succ f_1 (b)) men (f_2 (b) succ f_2 (r)). [12]

3.2.2 Flere forudgående

Den kapacitet, der blev anvendt ovenfor til at illustrere sammenhængen mellem CEU og præferencer i Ellsberg-stil, har en bemærkelsesværdig egenskab: den er konveks, hvilket betyder, at den er sådan, at for alle (A, B / i / mathcal {E}), [v (A / cup B) + v (A / cap B) geq v (A) + v (B).)

Det er vist af Schmeidler (1986), at hvis konveksitet af kapaciteter pålægges, bliver CEU et specielt tilfælde af en fremgangsmåde kendt som Maxmin Expected Utility (MEU) (Gilboa & Schmeidler 1989), der repræsenterer beslutningstageren som maksimalt forventet minimum værktøj på tværs af et ikke-tomt sæt af sandsynlighedsfunktioner (Gamma) på (mathcal {X}), så at:

) tag {5} U (f) = / inf / limit_ {P / in / Gamma} Big (sum / limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Big) label {eq: MEU})

Den specifikke forbindelse er følgende: en CEU-maksimaliserer med hensyn til en konveks kapacitet (v) er en EU-maksminer over den såkaldte kerne af (v), defineret som det sæt sandsynlighedsfunktioner, der tildeler, for hver begivenhed, en sandsynlighed, der er mindst lige så stor som den kapacitet, der er tildelt den begivenhed af (v): ({P / in / matematisk {P}: P (A) geq v (A), / forall A / i / mathcal {E} }).

En almindelig, men ikke obligatorisk, fortolkning af (Gamma) er nu, at det svarer til det sæt af objektive sandsynlighedsopgaver, som beslutningstageren tager for at være i overensstemmelse med hans eller hendes bevis. I betragtning af resultatet, der lige er markeret, inviterer dette igen til en fortolkning af kapaciteter som lavere estimater af objektive sandsynligheder. Mere specifikt kan en CEU-maksimalisator, hvis kapacitet er konveks, fortolkes som overvejer mulige alle og kun de tildelinger af objektive sandsynligheder, der er i overensstemmelse med de lavere estimater, der er givet af denne kapacitet. Denne fortolkning af kapaciteten i det konkrete eksempel på hånden er åbenbart særligt fristende, da (nicefrac {1} {3}) og (nicefrac {2} {3}) udgør plausible lavere grænser for beslutningstageren estimater af sandsynligheden for ({r }) og ({b, y }),henholdsvis.

Hvis man fortolker (Gamma) på denne måde, bliver afslappende CEU med konvekse kapaciteter til MEU en attraktiv mulighed, da det tillader en ikke kun at modellere Ellsberg-præferencer, men også rumme præferencerne for beslutningstagere, hvis syn på objektive sandsynligheder ikke simpelt kan være optaget i form af lavere skøn (for eksempel dem, der involverer forpligtelser til visse fakta om forhold mellem sandsynligheder). På grund af pladsovervejelser udelades detaljerne i den aksiomatiske behandling af MEU her. [13]

Stadig forbliver MEU temmelig restriktiv, da det håndhæver en ret radikal form for tvetydighedsaversion. En populær generalisering af modellen, (alpha-) MEU (Ghirardato et al. 2004) foreslår, at de præferencer, der pålægges af MEU, kun ligger i den ene ende af et spektrum af mulig tvetydighedsaversion, fanget af følgende svækkelse af ((ref {eq: MEU})):

) tag {6} U (f) = / alpha / inf / limit_ {P / in / Gamma} Big (sum / limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Big) + (1- / alpha) sup / limit_ {P / in / Gamma} Big (sum / limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Big))

hvor (alfa / i [0,1]). Med (alpha = 1) gendanner man den meget uklarhed-modvillige MEU. Med (alpha = 0) har vi stærke tvetydighedselskende præferencer. Parameteren (alpha) kan således på en måde fortolkes som et mål for tvetydighedsaversion. [14], [15]

Ligesom med MEU imidlertid (alpha) - begrænser MEU sin opmærksomhed til ekstreme forventede værktøjer (i dette tilfælde bedst såvel som i værste tilfælde). En populær kategori af forslag giver mulighed for, at hele spektret af forventede værktøjer over (Gamma) kan indarbejdes ved at supplere den flere forudgående model med en højere ordens sandsynlighedsfordeling (mu). En velkendt funktionel form, der især er funktionen i”Smooth Model” af Klibanoff et al. (2005) involverer at tage forventningen i forhold til (mu) af de vægtede forventede værktøjer i forhold til medlemmerne af (Gamma):

) tag {7} U (f) = / sum / limit_ {P / in / Gamma} mu (P) Phi / Big (sum / limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Big))

En konkave (Phi) vil overveje de forventede værktøjer med lav forventning, hvilket resulterer i relativt tvetydighedsaverse præferencer.

4. Udstedelsen af en svag orden

4.1 Transitivitet

Mens alle modeller, der er nævnt ovenfor, pålægger præferencer transitivitet, er der en lang historie med at undersøge mulige krænkelser af princippet, både med hensyn til valg under sikkerhed og valg under risiko. Med hensyn til sidstnævnte antydede Tversky (1969) i en klassisk tidlig undersøgelse betydelige systematiske krænkelser af transitiviteten af streng præference, hvilket er forbundet med den af svage præferencer i forhold til en række lotterier (P_1) - (P_5), der hver tilbyder en chance (p_i) til at modtage en præmie (x_i) og en supplerende chance for ikke at modtage noget:

(P_i) (X_i)
(P_1) (Nicefrac {7} {24}) $ (5)
(P_2) (Nicefrac {8} {24}) $ (4,75)
(P_3) (Nicefrac {9} {24}) $ (4.5)
(P_4) (Nicefrac {10} {24}) $ (4,25)
(P_5) (Nicefrac {11} {24}) $ (4)

Tversky tog sine data for at antyde, at et betydeligt antal forsøgspersoner var tilbøjelige til at udtrykke strenge præferencer for hvert lotteri frem for dets umiddelbare efterfølger, men en streng præference for det sidste lotteri frem for det første. Han foreslog, at disse forsøgspersoner rangerede tilstødende lotterier udelukkende med gevinst, da forskellene i sandsynligheden for at vinde næppe var synlige, men tog sandsynligheden for at vinde i betragtning i sammenligningen mellem (P_1) og (P_5), da forskellen i værdier der var store. Selvom Tversky's resultater senere blev replikeret, skal det bemærkes, at der fortsat er kontrovers omkring niveauet af empirisk støtte til intransitiv præference (se Regenwetter et al. 2011 for en nyere litteraturanmeldelse).

Intransitiviteter af en noget anden art er også forudsagt af Loomes & Sugdens (1982, 1987) Regret Theory. [16] Den vejledende idé bag dette forslag er, at værdsættelsen af et givet resultat i en given tilstand er en i det væsentlige komparativ sag. Det bestemmes af beklagelsen (eller glæden) forbundet med tanken om, at de alternativt tilgængelige handlinger ville have ført til i et bestemt sæt alternative resultater. I det specielle tilfælde af binære alternativer oversættes denne intuition til følgende menuafhængige præferencer:

) tag {8} label {eqn: RT} U _ { {f, g }} (f) = / sum / limit_ {s / in / mathcal {S}} P / big ({s } stor) M / stor (f (r), g (r) stor))

hvor (M: / mathcal {X} times / mathcal {X} mapsto / mathbb {R}) er en komparativ hjælpefunktion, der øges i dets første argument og ikke falder i det andet. I deres diskussion af rammerne præsenterer Loomes & Sugden tingene lige som følgende:

) tag {9} label {eqn: RT '} f / succeq g / text {iff} sum / limit_ {s / in / mathcal {S}} P / big ({s } big) Psi / big (f (s), g (s) big) geq 0)

hvor (Psi / big (f (s), g (s) big)) er defineret som (M / big (f (s), g (s) big) -M / big (g (s), f (s) big)). Denne mængde svarer således til nettobalancen for beklagelse / glæde forbundet med at vælge (f) over (g) i stater (s). Afhængig af egenskaberne til (Psi) kan beslutningstagerne karakteriseres som værende 'beklagelsesneutrale', 'beklager-modvillige' eller endda 'fortryder-søger'. Beklager neutralitet svarer til det tilfælde, hvor for alle (x_1, x_2, x_3 / i / mathcal {X}),) Psi (x_1, x_3) = / Psi (x_1, x_2) + / Psi (x_2, x_3).)

Under disse forhold er valgadfærd i overensstemmelse med SEU. Beklagelig modvilje svarer til den situation, hvor (Psi) opfylder følgende konveksitetskrav: for (x_1 / succ x_2 / succ x_3),) Psi (x_1, x_3)> / Psi (x_1, x_2) + / Psi (x_2, x_3).)

Loomes & Sugden (1982) har vist, at i det mindste under antagelsen af sandsynlige uafhængighed af de involverede lotterier, kan denne type disposition forudsige både den fælles konsekvens og den fælles ratio-virkning: Beklageligsteori indebærer ikke uafhængighed. [17]

For at få en fornemmelse af de krænkelser af transitivitet, der er forudsagt af Regret Theory, er her et eksempel på grund af Loomes & Sugden 1987. Antag konveksitet af (Psi) og overvej følgende beslutningsproblem, hvor (x_1 / prec x_2 / prec x_3) og (P (A_i) = / nicefrac {1} {3}):

(A_1) (A_2) (A_3)
(F) (X_1) (X_2) (X_3)
(G) (X_3) (X_1) (X_2)
(H) (X_2) (X_3) (X_1)

I henhold til Regret Theory, (f / succ g) iff

) Psi (x_1, x_3) + / Psi (x_2, x_1) + / Psi (x_3, x_2)> 0.)

Konveksitet af (Psi) vil sikre, at denne ulighed gælder. Ved lignende ræsonnement kan det derefter konstateres, at (g / succ h) og (h / succ f). [18]

Ovenstående eksempel viser også klart, at Beklageligsteori tillader krænkelser af statsneutralitet, da de forskellige handlinger giver den samme sandsynlighedsfordeling over resultater. Loomes & Sugden (1987) viser endvidere, at krænkelser af Stochastic Dominance er licenseret efter deres model. På trods af disse afvigelser fra ortodoksi skal det bemærkes, at Beklageligsteori bevarer en række andre stærke konsekvenser af SEU, herunder Sure-Thing-princippet, samt Betweenness for sandsynligvis uafhængige distributioner. En instruktiv aksiomatisering af en generalisering af ((ref {eqn: RT})) til endelige menuer tilbydes i Sugden 1993. Se Bleichrodt & Wakker 2015 for en klar oversigt over rammen og dens forhold til de eksperimentelle data.

4.2 Fuldstændighed

Selvom spørgsmålet kommer sidst i dette katalog over empiriske udfordringer for SEU, blev de tidlige tvivl om den empiriske tilstrækkelighed af fuldstændighedens antagelse sendt af de meget arkitekter af rammen, herunder von Neumann & Morgenstern (1947: 630) og Savage (1954: 21). For eksempel skriver von Neumann & Morgenstern:

Det er meget tvivlsomt, om idealiseringen af virkeligheden, der behandler dette postulat som et gyldigt, er passende eller endda praktisk.

Svigt med fuldstændighed er påstået at stamme både fra enten (i) ufuldstændighed i vurderinger af komparativ sandsynlighed eller (ii) ufuldstændighed i præferencer mellem resultater. Begge kilder til ufuldstændighed kan håndteres i modeller med "forudgående forventet multi utility", som tilbyder, hvad man kan kalde en "tilsynsudvikler" -præsentation af præferencer frem for handlinger, som følger:

[f / succeq g / text {iff, for alle} langle P, u / rangle / in / Phi, / sum / limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) geq / sum / limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ g) u (x_i))

hvor (Phi) er et sæt par sandsynligheds- og nyttefunktioner. På grund af pladshensyn er der axiomatiske detaljer udeladt her. Den interesserede læser henvises til den nylige generelle behandling, der er givet af Galaabaatar & Karni (2013), der relaterer deres resultater til vigtigt tidligere arbejde af lignende som Bewley (1986), Seidenfeld et al. (1995), Ok et al. (2012) og Nau (2006), blandt andre.

5. Beskrivende kontra normativ beslutningsteori

Mens det forholdsvis øjeblikkeligt blev erkendt, at Allais havde demonstreret en empirisk mangel ved SEU, er det vigtigt at bemærke, at hans ambitioner overgået denne præstation noget. Han foreslog endvidere, at hans fund også giver grund til at tvivle på den teoretiske normative tilstrækkelighed. Efter hans opfattelse kan to typer overvejelser bringes til bordet i vurderingen af en teori om rationelt valg. Den første er en demonstration, som teorien deduktiv følger af eller ligger i logisk konflikt med forskellige generelle principper for sikker epistemisk status. Den anden er en række eksperimentelle beviser vedrørende

opførsel af personer, som man på anden måde har grund til ((”det er på kriterier, der er fri for al henvisning til enhver overvejelse af tilfældigt valg.”)] til at tro, handle rationelt. (Allais 1953b: 34) [19]

Han fandt imidlertid ingen tilstrækkelige beviser for den første slags, der kunne styres til støtte for noget så stærkt som SEU. Han afviste for eksempel Marschaks (1951) 'langvarige succes' argument for forventet nyttemaksimering i risikosituationer (Allais 1953b: 70-73). Han indrømmede eksistensen af et krav om "konsistens", ifølge hvilket

en mand anses for at handle rationelt (a) hvis han forfølger mål, der er gensidigt konsistente (dvs. ikke modstridende), (b) hvis han anvender midler, der er passende til disse formål. (Allais 1953b: 78)

Men dette krav, hævdede han, medførte simpelthen, at præferencer frem for lotterier var svagt beordrede og tilfredsstiller Stokastisk dominans. Dette efterlod data om valgadfærd til at bedømme SEUs yderligere forpligtelser. Disse data støttede efter hans opfattelse klart den rationelle tilladelse til at krænke uafhængighed.

Savage diskuterede ikke eksplicit den beviskraft, som hans kollegers kollektive præferencer havde i relation til Allais 'sager. Han kommenterede imidlertid bæringen af sine egne personlige præferencer, som Allais berømt havde fremkaldt fra ham på et Paris-symposium i 1952, og som befandt sig i strid med SEU's henstillinger. Indrømmer, at det ville have været irrationelt for ham at opretholde både disse præferencer og en forpligtelse til den normative tilstrækkelighed af hans aksiomer, rapporterede han, at yderligere "refleksion" tilbøjede ham til at revidere den førstnævnte, idet han vurderede, at disse havde været i fejl, på lige fod med en logisk inkonsekvens i tro. Denne kendsgerning hævdede han, der havde ret til at bevare sine normative forpligtelser (se Savage 1952: 101–103). [20]Da det er let at antage, at Savage tog sine egne tilbøjeligheder til at være repræsentativ for befolkningen generelt, er hans kommentarer bredt blevet antaget for implicit at antyde en alternativ eksperimentel rute til afprøvning af teorier om rationelt valg. (Se Slovic & Tversky 1974 og Jallais & Pradier 2005. Dette er også synspunktet om Ellsberg, der i kap. 1 i sin doktorafhandling fra 1961, udskrives som Ellsberg 2001, en værdifuld diskussion af spørgsmål af nuværende interesse med Zappia 2016 giver en nyere filosofisk orienteret diskussion.). Denne procedure involverer afgørelse, ikke om bestemte beslutningstagere udviser præferencesmønstre, der er beskrevet af teorien, men om de stadig udviser sådanne mønstre efter reflektion over deres konflikt med teoriens grundlæggende aksiomer.

Et antal undersøgelser har til formål at teste SEU's normative tilstrækkelighed i de foreslåede linjer. MacCrimmon (1968) rapporterede overtrædelser i en stikprøve af erfarne erhvervsledere af en lang række konsekvenser af SEU, hvoraf en række var vedvarende, efter at emner især blev forsynet med overvejelser, der både understøtter og undergraver disse principper. Disse principper, med hensyn til hvilke krænkende præferencer senere blev korrigeret, omfattede især Transitivitet og Stokastisk Dominans. Allais- eller Ellsberg-stilpræferencer var væsentligt mere modstandsdygtige, men det blev bekræftet i en senere undersøgelse af Slovic & Tversky (1974). En anden type modstandsdygtighed over for præferencer, som Savage ikke betragter, blev for nylig undersøgt af van de Kuilen & Wakker (2006). De studerede virkningerne af at give feedback om beslutningsresultater om forekomsten af almindelige konsekvenseffekter i sekvenser af valg, men fandt imidlertid en signifikant reduktion i SEU-krænkelser.

På trods af en lang tradition for at bringe teorier om rationelt valg af forskellige filosofiske problemer [21], synes spørgsmålet om den beskrivende beslutningsteoris potentielle relevans for dens normative modstykke ikke at have vakt stor interesse for det filosofiske samfund. Allais 'udfordring til Savage er stort set blevet ignoreret i den filosofiske litteratur. [22]

Når det er sagt, er en hel del filosofisk opmærksomhed viet det relaterede spørgsmål om forbindelsen mellem ræsonnementnormer og observerede inferensmønstre. Der findes en indflydelsesrig tankegang, som synes relevant for Allais 'påstande, i Goodmans diskussion om berettigelsen af induktiv ræsonnement. Efter hans opfattelse

[t] opgaven med at formulere regler, der definerer forskellen mellem gyldige og ugyldige induktive konklusioner, ligner meget opgaven med at definere ethvert udtryk med en etableret brug. (Goodman 1965: 66)

Ligesom semantiske analyser kan godkendes på grundlag af at tilvejebringe gode systematiseringer af et sæt intuitioner vedrørende anvendeligheden af særlige termer i bestemte situationer, hævder Goodman, kan normative teorier om resonnering ligeledes retfærdiggøres af deres god pasform med de særlige … indledninger. vi foretager og sanktionerer faktisk”(Goodman 1965: 63): ingen yderligere overvejelser kræves for at kunne støtte et bestemt princip som rationelt bindende.

Goodmans diskussion er en kort diskussion og efterlader i det mindste en række spørgsmål åbne. Bør vi som relevant indrømme overvejelser ud over observerede inferensmønstre, såsom egenskaber ved langsigtet konvergens til sandheden og så videre? Hvem henviser”vi” til, når Goodman taler om”de særlige … indledninger, vi faktisk foretager og sanktionerer”? Eksperter? Den menneskelige befolkning som helhed? Bør vi omskrive klassen af relevante konklusioner til de domme, som man måske vil kalde "overvejet"? Dette er vigtige sager at løse. Ja,en bestemt kombination af svar på disse, der medfører, at berettigelsen af normative teorier om resonnement fuldstændigt hænger sammen med deres evne til at systematisere”øjeblikkelige og uvurderede” inferentielle dispositioner, der blev observeret i den generelle befolkning, berygtet, førte Cohen (1981) til at tilslutte sig den overraskende påstand om, da normative og beskrivende modeller bæres af det samme datasæt, er adfærdsbevis i princippet ude af stand til at fastlægge menneskelig irrationalitet. For yderligere diskussion af dette generelle emne se for eksempel Stich (1990: kap. 4), Stein (1996: kap. 5), Stanovich (1999: kap. 1) og Thagard (1982).se for eksempel Stich (1990: kap. 4), Stein (1996: kap. 5), Stanovich (1999: kap. 1) og Thagard (1982).se for eksempel Stich (1990: kap. 4), Stein (1996: kap. 5), Stanovich (1999: kap. 1) og Thagard (1982).[23]

Selv om hverken Allais eller Goodman drager forbindelsen, kan man muligvis søge en potentiel begrundelse for den bevismæssige relevans af eksperimentelle data i normativ teoriopbygning i litteraturen om Condorcet Jury Theorem og relaterede resultater. [24]Denne sætning fortæller os, at under visse betingelser er sandsynligheden for, at et flertalsafgørelse, for så vidt angår en bestemt sag, i en gruppe af (n) minimalt pålidelige mennesker, der afgiver ja / nej-stemmer på et bestemt spørgsmål, konververet til 1 som (n) har en tendens til uendelighed og konvergerer hurtigere jo større de individuelle pålideligheder er. Endvidere når majoritetens pålidelighed betydelige niveauer, selv i betragtning af meget begrænset individuel pålidelighed, for ret beskedne gruppestørrelser. Naturligvis stemmer spørgsmålet om interesse ikke helt med den specifikke model: Selvom udtrykket af Allais præferencer uden tvivl kan tolkes som en "afstemning" imod uafhængighedens normative tilstrækkelighed, kan udtrykket af præferencer, der er konsonant med dette princip, næppe fortolkes som en afstemning for det.

Endelig, selvom dette afsnit har fokuseret på spørgsmålet om bærende af beskrivende beslutningsteori på dens normative modstykke, skal det bemærkes, at der har været en vis diskussion af den omvendte indflydelsesretning. Både Guala (2000) og Starmer (2005) har hævdet, at udviklingen af beskrivende teorier, der vælges, har været styret af en bias i retning af at bevare en kerne af principper, der antages at være normativt passende. I tilfælde af beslutningstagning under risiko er disse i det væsentlige transitivitetskomponenten i svag orden og stokastisk dominans, som tilfredsstilles i henhold til langt de fleste ikke-SEU-teorier, der er udviklet til dato. [25]Starmer hævder at finde et argument, der berettiger denne praksis i et velkendt artikel af Friedman og Savage (1952). Denne tankegang, som Starmer tager udgangspunkt i, går ud fra antagelsen om, at bona fide principper for rationalitet ville være åbenlyse som sådan for de fleste emner, og at beslutningstagere i overensstemmelse hermed vil opføre sig i tråd med dem.

6. Yderligere læsning

Mens den filosofiske litteratur om emnet forbliver temmelig sparsom, er der ingen mangel på førsteklasses resume i økonomi- og psykologilitteraturerne. Se Fishburn (1970: Ch. 14) eller de lidt mindre detaljerede Kreps (1988: Ch. 9) for detaljerede præsentationer af de tekniske resultater, der er nævnt i afsnit 1. Ch. 3 af Joyce (1999) er også nyttige her. Hvad angår litteraturen om uafhængighed specifikt, der er diskuteret i Afsnit 2, se Machina (1987), Starmer (2000) og Weber & Camerer (1987). Hvad angår spørgsmålet om sandsynlighedstro specifikt, diskuteret i Afsnit 3, se Camerer & Weber (1992), Etner et al. (2012), Gilboa & Marinacci (2013), Machina & Siniscalchi (2014) og Trautmann & van de Kuilen (2015). Et antal bredere undersøgelser dækker både ovenstående spørgsmål og nogle. Disse inkluderer især Camerer (1995) og den fremragende Sugden (2004). Endelig, for en klar og detaljeret historisk beskrivelse af udviklingen af den eksperimentelle litteratur om beslutningstagning, se Heukelom (2014).

Bibliografi

  • Allais, Maurice, 1953a, “Le Comportement de l'Homme Rationnel devant le Risque: Critique des Postulats et Axiomes de l'Ecole Américaine”, Econometrica, 21 (4): 503-546. doi: 10,2307 / 1.907.921
  • –––, 1953b, “Fondements d'une Théorie Positive des Choix Comportant un Risque et Critique des Postulats et Axiomes de L'Ecole Américaine”, Econométrie, Colloques Internationaux du CNRS, XL: 257–332; sidehenvisning er til oversættelsen med titlen “The Foundations of a Positive Theory of Choice Involving Risk and a Criticism of the Postulates and Axioms of the American School” i Allais & Hagen 1979: 27–145. doi: 10,1007 / 978-94-015-7629-1_2
  • Allais, Maurice og Ole Hagen (red.), 1979, Expected Utility Hypoteses and Allais Paradox, (Theory and Decision Library, 21), Dordrecht: Reidel. doi: 10,1007 / 978-94-015-7629-1
  • Anscombe, FJ og RJ Aumann, 1963, “En definition af subjektiv sandsynlighed”, Annals of Mathematics and Statistics, 34 (1): 199–205. doi: 10,1214 / aoms / 1177704255
  • Anand, Paul, 2009, “Rationalitet og intransitiv præference: Fundamenter for den moderne opfattelse”, i Anand, Pattanaik og Puppe 2009: 156–172. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199290420.003.0007
  • Anand, Paul, Prastanta K. Pattanaik og Clemens Puppe (red.), 2009, The Handbook of Rational and Social Choice, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199290420.001.0001
  • Becker, Selwyn W. og Fred O. Brownson, 1964, “Hvilken pris tvetydighed? Eller rolle for tvetydighed i beslutningsprocessen”, Journal of Political Economy, 72 (1): 62–73. doi: 10,1086 / 258.854
  • Becker, Joao L. og Rakesh K. Sarin, 1987, “Lottery Dependent Utility”, Management Science, 33 (11): 1367–1382. doi: 10,1287 / mnsc.33.11.1367
  • Bewley, Truman F., 1986, "Knightian Decision Theory: Part I", diskussionspapir nr. 807. Genoptrykt med mindre ændringer, 2002, Beslutninger i økonomi og finans, 25 (2): 79–110. doi: 10,1007 / s102030200006
  • Bleichrodt, Han og Peter P. Wakker, 2015, “Beklagelig teori: Et fedt alternativ til alternativerne”, Economic Journal, 125 (583): 493–532. doi: 10.1111 / ecoj.12200
  • Broome, John, 1991, Vejer varer: ligestilling, usikkerhed og tid, Oxford: Basil Blackwell.
  • Buchak, Lara, 2013, Risiko og rationalitet, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199672165.001.0001
  • Camerer, Colin F., 1989, "En eksperimentel test af adskillige generaliserede værktøjsteorier", Tidsskrift for risiko og usikkerhed, 2 (1): 61–104. doi: 10,1007 / BF00055711
  • –––, 1995, “Individual Decision Making”, i John H. Kagel og Alvin E. Roth (red.), Handbook of Experimental Economics, Princeton, NJ: Princeton University Press, s. 587–703.
  • Camerer, Colin F. og Teck-Hua Ho, 1994, “Krænkelser af Betweenness Axiom og ikke-linearitet i sandsynlighed”, Journal of Risiko og Usikkerhed, 8 (2): 167–96. doi: 10,1007 / BF01065371
  • Camerer, Colin og Martin Weber, 1992, "Nyere udviklinger i modelleringspræferencer: Usikkerhed og tvetydighed", Journal of Risk and Uncerurity, 5 (4): 325–370. doi: 10,1007 / BF00122575
  • Tygge Soo Hong, 1983,”En generalisering af det kvasilære gennemsnit med anvendelser til måling af indkomstulighed og beslutningsteori om løsning af Allais paradoks”, Econometrica, 51 (4): 1065–1092. doi: 10,2307 / 1.912.052
  • –––, 1989, “Axiomatic Utility Theories with the Betweenness Property”, Annals of Operations Research, 19 (1): 273–298. doi: 10,1007 / BF02283525
  • Chew Soo Hong, LG Epstein og U. Segal, 1991, “Blandingssymmetri og kvadratisk værktøj”, Econometrica, 59 (1): 139–163. doi: 10,2307 / 2.938.244
  • Chew Soo Hong og K. MacCrimmon, 1979, "Alpha-Nu Choice Theory: A Generalization of Expected Utility Theory", Arbejdsdokument 669, University of British Columbia.
  • Chew Soo Hong og Peter Wakker, 1996,”The Comonotonic Sure-Thing Principle”, tidsskrift for risiko og usikkerhed, 12 (1): 5–27. doi: 10,1007 / BF00353328
  • Cohen, L. Jonathan, 1981, “Kan menneskelig irrationalitet demonstreres eksperimentelt?”, Adfærds- og hjernevidenskab, 4 (3): 317–370. doi: 10,1017 / S0140525X00009092
  • de Finetti, Bruno, 1937, “La Prévision: Ses Lois Logiques, ses Sources Subjectives”, Annales de l'Institut Henri Poincaré, 7: 1–68.
  • Ellsberg, Daniel, 1961, "Risiko, tvetydighed og vildtaksiomerne", Quarterly Journal of Economics, 75 (4): 643–669. doi: 10,2307 / 1.884.324
  • –––, 2001, Risiko, tvetydighed og beslutning, New York & London: Garland.
  • Etner, Johanna, Megleria Jeleva og Jean-Marc Tallon, 2012, “Decision Theory under Ambiguity”, Journal of Economic Surveys, 26 (2): 234–270. doi: 10.1111 / j.1467-6419.2010.00641.x
  • Fishburn, Peter C., 1970, Utility Theory for Decision Making (Publications in Operations Research, No. 18), New York: John Wiley and Sons.
  • –––, 1989, “Ikke-transitive målbare værktøjer til beslutning under usikkerhed”, Journal of Mathematical Economics, 18 (2): 187–207. doi: 10,1016 / 0304-4068 (89) 90021-9
  • Friedman, Milton og LJ Savage, 1952, "Den forventede-nyttehypotese og måling af værdien", Journal of Political Economy, 60 (6): 463–474. doi: 10,1086 / 257.308
  • Galaabaatar, Tsogbadral og Edi Karni, 2013, “Subjektivt forventet værktøj med ufuldstændige præferencer”, Econometrica, 81 (1): 255–284. doi: 10,3982 / ECTA9621
  • Ghirardato, Paolo, Fabio Maccheroni, Massimo Marinacci og Marciano Siniscalchi, 2003, "Et subjektivt spin på roulettehjul", Econometrica, 71 (6): 1897-1908. doi: 10.1111 / 1468-0.262,00472
  • Gilboa, Itzhak, 1987, “Forventet værktøj med rent subjektive ikke-additive sandsynligheder”, Journal of Mathematical Economics, 16 (1): 65–88. doi: 10,1016 / 0304-4068 (87) 90022-X
  • Gilboa, Itzhak og Massimo Marinacci, 2013, “Ambiguity and the Bayesian Paradigm”, i D. Acemoglu, M. Arellano, og E. Dekel (red.), Fremskridt inden for økonomi og økonometrik: Teori og applikationer, (Tiende verdenskongres for The Econometric Society), New York: Cambridge University Press.
  • Gilboa, Itzhak og David Schmeidler, 1989, “Maxmin forventet værktøj med en ikke-unik forrang”, Journal of Mathematical Economics, 18 (2): 141–153. doi: 10,1016 / 0304-4068 (89) 90018-9
  • Goodman, Nelson, 1965, Fact, Fiction and Forecast, anden udgave, Indianapolis, IN: Bobbs-Merrill.
  • Grant, Simon, 1995, "Subjektiv sandsynlighed uden monotonicitet: Eller hvordan Machinas mor også kan sandsynligvis sofistikeres", Econometrica, 63 (1): 159 189. doi: 10.2307 / 2951701
  • Green, Jerry R. og Bruno Jullien, 1988, "Ordinal uafhængighed i ikke-lineær brugsteori", Tidsskrift for risiko og usikkerhed, 1 (4): 355–387. doi: 10,1007 / BF00117641
  • Guala, Francesco, 2000, “The Logic of Normative Falsification: Rationalitet og eksperimenter i Decision Theory”, Journal of Economic Methodology, 7 (1): 59–93. doi: 10,1080 / 135017800362248
  • Gul, Faruk, 1991, “A Theory of Disappointment Aversion”, Econometrica, 59 (3): 667–686. doi: 10,2307 / 2.938.223
  • Hales, Steven D., 2006, Relativism and the Foundations of Philosophy, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Handa, Jagdish, 1977, "Risiko, sandsynligheder og en ny teori om kardinal værktøj", Journal of Political Economy, 85 (1): 97–122. doi: 10,1086 / 260.547
  • Harless, David W. og Colin F. Camerer, 1994, “Den forudsigelige nytteværdi af generaliserede forventede værktøjsteorier”, Econometrica, 62 (6): 1251–1289. doi: 10,2307 / 2.951.749
  • Heukelom, Floris, 2014, Behavioral Economics: A History, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9781139600224
  • Hey, John Denis, 2014, “Choice under usikkerhed: Empiriske metoder og eksperimentelle resultater”, i Machina & Viscusi 2014: 809–850.
  • Hurwicz, Leonid, 1951, “Nogle specifikke problemer og anvendelser til økonometriske modeller”, Econometrica, 19 (3): 343–344.
  • Jallais, Sophie og Pierre-Charles Pradier, 2005, "The Allais Paradox and its Immediate Consequences for Expected Utility Theory", i Philippe Fontaine og Robert Leonard (red.) Experiment in the History of Economics, London: Routledge, s. 25 -49.
  • Jallais, Sophie, Pierre-Charles Pradier og David Teira, 2008, “Fakta, normer og forventede hjælpefunktioner”, Humanistiske videnskabs historie, 21 (2): 45–62. doi: 10,1177 / 0952695108091414
  • Joyce, James M., 1999, The Foundations of Causal Decision Theory, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9780511498497
  • ––– 2005,”Hvordan sandsynligheder reflekterer bevis”, Filosofiske perspektiver, 19 (1): 153–178. doi: 10.1111 / j.1520-8583.2005.00058.x
  • Kahneman, Daniel og Amos Tversky, 1979, “Prospektteori: En analyse af beslutning under risiko”, Econometrica, 47 (2): 263–291. doi: 10,2307 / 1.914.185
  • Keynes, John Maynard, 1921, En afhandling om sandsynlighed, London: Macmillan.
  • Klibanoff, Peter, Massimo Marinacci og Sujoy Mukerji, 2005, “En glat model for beslutningstagning under tvetydighed”, Econometrica, 73 (6): 1849–1892. doi: 10.1111 / j.1468-0262.2005.00640.x
  • Kreps, David M., 1988, Notes on Theory of Choice, Boulder, CO: Westview Press.
  • List, Christian og Philip Pettit, 2011, Group Agency: Muligheden for, design og status for virksomhedsagenter, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199591565.001.0001
  • Loomes, Graham og Robert Sugden, 1982, “Beklager teori: En alternativ teori om rationelt valg under usikkerhed”, Economic Journal, 92 (386): 805–824. doi: 10,2307 / 2.232.669
  • –––, 1987, “Nogle konsekvenser af en mere generel form for beklagelig teori”, Journal of Economic Theory, 41 (2): 270–287. doi: 10,1016 / 0022-0531 (87) 90020-2
  • Luce, R. Duncan og Howard Raiffa, 1957, Spil og beslutninger: Introduktion og kritisk undersøgelse, New York: Wiley.
  • Machina, Mark J., 1987, “Valg under usikkerhed: Problemer løst og uløste”, Journal of Economic Perspectives, 1 (1): 121–154. doi: 10,1257 / jep.1.1.121
  • Machina, Mark J. og David Schmeidler, 1992, "En mere robust definition af subjektiv sandsynlighed", Econometrica, 60 (4): 745–780. doi: 10,2307 / 2.951.565
  • Machina, Mark J. og Marciano Siniscalchi, 2014, “Ambiguity and Ambiguity Aversion”, i Machina & Viscus 2014i 2014: 729–807.
  • Machina, Mark J. og Kip Viscusi (red.), 2014, Håndbog om økonomi for risiko og usikkerhed, bind 1, Amsterdam: Elsevier.
  • MacCrimmon, Kenneth R., 1968, “Beskrivende og normative implikationer af beslutnings-teori-postulater”, i K. Borch og J. Mossin (red.), Risiko og usikkerhed, New York: St. Martins Press, s. 3– 32.
  • MacCrimmon, Kenneth R. og Stig Larsson, 1979, "Utility Theory: Axioms versus 'Paradoxes'", i Allais & Hagen 1979: 333–409. doi: 10,1007 / 978-94-015-7629-1_15
  • Maher, Patrick, 1993, Betting on Theories, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Marschak, Jacob, 1951, "Hvorfor 'skulle' statistikere og forretningsfolk maksimere 'moralsk forventning'", Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Berkeley: University of California Press, s. 493–506.
  • May, Kenneth O., 1954, “Intransitivity, Utility and the Aggregation of Preference Patterns”, Econometrica, 22 (1): 1–13. doi: 10,2307 / 1.909.827
  • McClennen, Edward F., 2009, “Den uafhængighedsprincippets normative status”, i Anand, Pattanaik & Puppe 2009: 140–155. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199290420.003.0006
  • Mongin, Philippe, 2009, “Duhemian Themes in Expected Utility Theory”, Anastasios Brenner & Jean Gayon (red.), French Studies In The Philosophy Of Science, (Boston Studies In The Philosophy Of Science, 276), Springer, s. 303– 357. doi: 10,1007 / 978-1-4020-9368-5_13
  • –––, 2014, “Le Paradoxe d'Allais. Kommentar Lui Rendre sa Signification Perdue?”, Revue Économique, 65 (5): 743–779.
  • Morgenstern, Oskar, 1979, "Nogle refleksioner over værktøjet", i Allais & Hagen 1979: 175–184. doi: 10,1007 / 978-94-015-7629-1_6
  • Nau, Robert, 2006, “Formen af ufuldstændige præferencer”, Annals of Statistics, 34: 2430–2448. doi: 10,1214 / 009053606000000740
  • Ok, Efe A., Pietro Ortoleva og Gil Riella, 2012, “Ufuldstændige præferencer under usikkerhed: Ubesluttsomhed i opfattelser versus smag”, Econometrica, 80 (4): 1791–1808. doi: 10,3982 / ECTA8040
  • Quiggin, John, 1982, “A Theory of Anticipated Utility”, Journal of Economic Behaviour and Organization, 3 (4): 323–343. doi: 10,1016 / 0167-2681 (82) 90008-7
  • –––, 1992, Generalised Expected Utility Theory: The Rank Dependent Model, Dordrecht: Kluwer.
  • Ramsey, Frank P., 1931, "Sandhed og sandsynlighed" i RB Braithwaite (red.) Grundlæggende for matematik og andre logiske essays, New York: Harcourt og Brace, s. 156–198.
  • Regenwetter, Michel, Jason Dana og Clinton P. Davis-Stober, 2011, “Transitivity of Preferences”, Psychological Review, 118 (1): 42–56. doi: 10,1037 / a0021150
  • Savage, Leonard J., 1954, The Foundations of Statistics, New York: Wiley, Anden udgave.
  • Schmeidler, David, 1986, “Integral representation without Additivity”, Proceedings of the American Mathematical Society, 97 (2): 255–261.
  • –––, 1989,”Subjektiv sandsynlighed og forventet værktøj uden additivitet”, Econometrica, 57 (3): 571–587. doi: 10,2307 / 1.911.053
  • Seidenfeld, Teddy, Mark J. Schervish og Joseph B. Kadane, 1995, "En repræsentation af delvis ordnede præferencer", Annals of Statistics, 23 (6): 2168–2217. doi: 10,1214 / aos / 1034713653
  • Slovic, Paul og Amos Tversky, 1974, "Hvem accepterer Savages Axiom?", Systemforskning og adfærdsvidenskab, 19 (6): 368–373. doi: 10,1002 / bs.3830190603
  • Stanovich, Keith E., 1999, Who Is Rational? Undersøgelser af individuelle forskelle i ræsonnement, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
  • Starmer, Chris, 2000, “Udviklingen i ikke-forventet brugsteori: Jakten på en beskrivende teori om valg under risiko”, Journal of Economic Literature, 38 (2): 332–382. doi: 10,1257 / jel.38.2.332
  • –––, 2005, “Normative notions in Descriptive Dialogues”, Journal of Economic Methodology, 12 (2): 277–289. doi: 10,1080 / 13501780500086206
  • Stein, Edward, 1996, Uden god grund: Rationalitetsdebatten i filosofi og kognitiv videnskab, Oxford: Clarendon Press.
  • Stich, Stephen P., 1990, The Fragmentation of Reason, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Sugden, Robert, 1993, "Et Axiomatic Foundation For Regret Theory", Journal of Economic Theory, 60 (1): 159-180. doi: 10,1006 / jeth.1993.1039
  • –––, 2004, “Alternatives to Expected Utility: Foundations”, i Salvador Barberà, Peter J. Hammond og Christian Seidl (red.), Handbook of Utility Theory: Volume 2 Extensions, Boston, MA: Springer, s. 685 -755.
  • Sytsma, Justin og Jonathan Livengood, 2014, Theory and Practice of Experimental Philosophy, Peterborough, ON: Broadview Press.
  • Talbot, Brian, 2014, “Hvorfor så negativ? Evidensaggregation og lænestolsfilosofi”, Synthèse, 191 (16): 3865–3896. doi: 10,1007 / s11229-014-0509-z
  • Thagard, Paul, 1982, “Fra det beskrivende til det normative i psykologi og logik”, Philosophy of Science, 49 (1): 24–42. doi: 10,1086 / 289.032
  • Trautmann, Stefan T. og Gijs van de Kuilen, 2015, “Ambiguity Attitudes”, i Gideon Keren & George Wu (red.), Wiley Blackwell-håndbogen om dom og beslutningstagning, Oxford: Blackwell, 89–116.
  • Tversky, Amos, 1969, “Intransitivity of Preferences”, Psychological Review, 76 (1): 31–48. doi: 10,1037 / h0026750
  • Tversky, Amos og Daniel Kahneman, 1986, “Rational Choice and the Framing of Decisions”, The Journal of Business, 59 (4): 251–278.
  • –––, 1992, “Fremskridt inden for prospektsteori: kumulativ repræsentation af usikkerhed”, Journal of Risk and Uncerurity, 5 (4): 297–323. doi: 10,1007 / BF00122574
  • van de Kuilen, Gijs og Peter P. Wakker, 2006, “Læring i Allais-paradokset”, Journal of Risk and Uncerurity, 33 (3): 155–164. doi: 10,1007 / s11166-006-0390-3
  • van Fraassen, Bas C., 1989, Laws and Symmetry, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / 0198248601.001.0001
  • von Neumann, John og Oskar Morgenstern, 1947, Theory of Games and Economic Behaviour, anden udgave, Princeton: Princeton University Press.
  • Wald, Abraham, 1950, statistiske beslutningsfunktioner. New York: John Wiley og sønner.
  • Wakker, Peter P., 1989, “Kontinuerligt subjektivt forventet værktøj med ikke-additive sandsynligheder”, Journal of Mathematical Economics, 18 (1): 1–27. doi: 10,1016 / 0304-4068 (89) 90002-5
  • –––, 2010, Prospect Theory: For Risk and Ambiguity, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Wakker, Peter P. og Amos Tversky, 1993, “En aksiomatisering af kumulativ prospektsteori”, Journal of Risk and Uncerurity, 7 (2): 147–175. doi: 10,1007 / BF01065812
  • Weber, Michael, 1998, “Resilience of the Allais Paradox”, Etik, 109 (1): 94–118. doi: 10,1086 / 233.875
  • Weber, Michael og Colin F. Camerer, 1987, "Seneste udvikling inden for modellering af præferencer under risiko", OR Spektrum, 9 (3): 129–151. doi: 10,1007 / BF01721094
  • Weirich, Paul, 1986, “Expected Utility and Risk”, British Journal for the Philosophy of Science, 37 (4): 419–442. doi: 10,1093 / bjps / 37.4.419
  • Zappia, Carlo, 2016, “Daniel Ellsberg og valideringen af normative forslag”, Oeconomia, 6 (1): 57–79. doi: 10,4000 / oeconomia.2276

Akademiske værktøjer

sep mand ikon
sep mand ikon
Sådan citeres denne post.
sep mand ikon
sep mand ikon
Forhåndsvis PDF-versionen af denne post hos Friends of the SEP Society.
inpho ikon
inpho ikon
Slå dette emne op på Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papirer ikon
phil papirer ikon
Forbedret bibliografi til denne post på PhilPapers med links til dens database.

Andre internetressourcer

  • Bibliografi, kommenteret i Word, af Peter Wakker; en nyttige ressourcer, der starter med en liste med nøgleord og forkortelser, men består for det meste af en annoteret liste med referencer med links til papiret, når det er tilgængeligt.
  • Beslutningsteoriforum om Google-grupper; inkluderer regelmæssige indlæg fra førende beslutningsteoretikere, herunder konferencemeddelelser og lignende.