Ramsey Og Intergenerational Velfærdsøkonomi

Indholdsfortegnelse:

Ramsey Og Intergenerational Velfærdsøkonomi
Ramsey Og Intergenerational Velfærdsøkonomi

Video: Ramsey Og Intergenerational Velfærdsøkonomi

Video: Ramsey Og Intergenerational Velfærdsøkonomi
Video: 10. Velfærdsøkonomi 2024, Marts
Anonim

Indtastningsnavigation

  • Indtastningsindhold
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Venner PDF-forhåndsvisning
  • Forfatter og citatinfo
  • Tilbage til toppen

Ramsey og intergenerational velfærdsøkonomi

Først offentliggjort lør 1. juni 2019

Hvordan skal vi konceptualisere menneskeligt velvære over tid og på tværs af generationer? Hvordan skal der tages hensyn til menneskers interesser i den fjerne fremtid, når vi træffer vores egne beslutninger? Hvor meget af sin produktion skal en nation investere i fremtiden? I hvilke aktiver skal investeringen foretages? Hvad skal være balance mellem private, offentlige og kommunitære investeringer i den samlede investering, som en generation foretager for fremtiden? Hvor meget skal verden bruge til at modvirke globale klimaforandringer?

I en bemærkelsesværdig artikel udviklede Frank Ramsey en ramme, hvor hvert af disse spørgsmål kan studeres i en form, der er nøjagtig og håndterbar nok til at få frem svar (Ramsey, 1928). Hans tilgang var at anvende den klassisk-utilitaristiske beregning for at identificere det bedste match fra blandt opnåelige og ønskelige brugsstrømme over tid og på tværs af generationer. Selv om papiret var meget berømt i dag, havde papiret ingen indflydelse. Nogle økonomer har tilskrevet den manglende interesse for papirets tekniske karakter. Når han besvarede det spørgsmål, han stillede ("Hvor meget af en nation's produktion skal det spare?"), Måtte Ramsey bruge beregningen af variationer. Der er ikke noget spørgsmål, men at få økonomer så kendte de krævede tekniske forhold. Men det er vanskeligt at forestille sig, at der ikke var nogen økonomer, der var i stand til at lære den nødvendige matematik, hvis de havde ønsket det. Årsagen til, at der var ringe interesse for Ramsey's papir, lå andetsteds. I årene efter offentliggørelsen, en periode nu kendt som Den store depression, var det centrale økonomiske problem i de industrialiserede lande at finde måder at øge beskæftigelsen på. Fabrikker lå inaktiv, ligesom mennesker gjorde. Arbejdsløsheden i Europa og USA var i området 25%. Politikker, der var nødvendige, havde derefter at gøre med at skabe incitamenter for arbejdsgivere til at ansætte arbejdstagere. Selvom der var kontroverser blandt økonomer om, hvad disse politikker skulle være, var der ingen i tvivl om, at industrialiserede samfund stod over for et problem på kort sigt. I modsætning hertil tog Ramsey et spørgsmål, der involverede det lange løb; og for at have et uklart problem at analysere, tog han det ud fra, at der er fuld beskæftigelse på hver dato for både kapital og arbejdskraft.

Med fremkomsten af postkoloniale nationer efter Anden verdenskrig blev den langsigtede økonomiske udvikling fremtrædende i økonomiske studier. I begyndelsen af 1960'erne var det blevet klart, at Ramsey's papir er det naturlige udgangspunkt for at studere velfærdsøkonomien på lang sigt, ikke kun for at forfølge optimal udvikling i centralt planlagte økonomier (Chakravarty, 1969), men også til brug i sociale omkostninger- fordelanalyse af offentlige investeringer i blandede økonomier (Arrow og Kurz, 1970), valg af teknologi i arbejdsoverskudsøkonomier (Little og Mirrlees, 1968, 1974) og for nylig klimaforandrings velfærdsøkonomi (Cline, 1992; Nordhaus, 1994; Stern, 2007). Antallet af stier, som Ramsey lagt, var bemærkelsesværdigt. I akademisk økonomi er det et af de dusin eller så mest indflydelsesrige artikler i det 20. århundrede.

Klassisk Utilitarisme tager det gode at være den forventede værdi af summen af forsyningsselskaber over tid og gennem generationer (Sidgwick, 1907). Ramsey's formulering var bygget på den moralske ræsonnement. Han brugte endda udtrykket”nydelse” til at fortolke nytten. Artiklen indeholder den slags etiske overvejelser, Sen og Williams (1982) kaldet "Government House Utilitarism." Men Ramsey's artikel trives i dag, fordi regeringsbygningen har brug for etisk vejledning, der ikke er et tilbud for betalte embedsmænd til at handle på nepotistisk, ligeglad med rovdyr, men i stedet er uvildig over folks behov og følsomhed. Selvom Ramsey brugte det utilbørlige sprog, siger en generøs læsning af hans papir, at der ville opnås meget, hvis vi i stedet for "glæde" skulle arbejde med den bredere opfattelse af "velvære."”En sådan bevægelse giver en mulighed for at være mere opmærksom på de faktorer, hvad enten de er materielle eller på anden måde, der skaber blomstrende liv.

  • 1. Produktionsmuligheder i Ramseys formulering
  • 2. Den klassisk-utilitaristiske beregning

    2.1 Nul diskontering af fremtidige velvære

  • 3. Problemet med optimal besparelse

    • 3.1 Uudnyttet Utilitarisme
    • 3.2 Re-normalisering af uudnyttet utilitarisme
    • 3.3 Kriteriet om overtagelse
    • 3.4 Diskonteret Utilitarisme
  • 4. Ramsey-reglen og dens forgreninger

    • 4.1 Variationsargumentet
    • 4.2 Ufuldstændighed i Ramseys analyse
    • 4.3 Transversalitetstilstanden
    • 4.4 Numeriske estimater af den optimale besparelseshastighed
    • 4.5 Kommentar
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Andre internetressourcer
  • Relaterede poster

1. Produktionsmuligheder i Ramseys formulering

Ramseys mål var praktisk:”Hvor meget af en nation's produktion skal det spare til fremtiden?” Den demografiske profil over tid blev taget af ham til at blive givet, hvilket betyder, at fremtidige antal mennesker blev betragtet som eksogene og forudsigelige. Vi skulle derfor forestille os, at økonomiske politikker har en ubetydelig indflydelse på reproduktiv adfærd (men se Dasgupta, 1969, for en undersøgelse af den fælles befolkning / besparelsesproblem ved anvendelse af Klassisk Utilitarisme som ledende princip). Parfit (1984) døbt valg, der involverede den samme demografiske profil, "Same Numbers Choices."

Ingredienserne i Ramseys teori er individeres livsvelstand. Regeringshus i hans verden maksimerer den forventede sum af livets velfærd for alle, der er i dag, og alle, der nogensinde vil blive født, underlagt ressourcebegrænsninger. Den optimale fordeling af levetid på velvære gennem generationer hidrører fra denne maksimeringsøvelse. Tidens gang er naturligvis ikke den samme som generationernes fremskridt. En persons livs velbefindende er et aggregat af strømmen af velbefindende, hun oplever, mens intergenerationelt velvære er et aggregat af livets velfærd for alle, der vises på scenen. Det er tvivlsomt, at de to aggregater skal have den samme funktionelle form. På den anden side er der ikke meget, der tyder på, at vi ville være langt væk fra mærket ved at antage, at de har samme form. Som et spørgsmål om praktisk etik hjælper det enormt med at tilnærme sig ved ikke at skelne den funktionelle form for nogens velvære over tid fra velvære gennem generationer. Ramsey vedtog denne genvej. Mennesker blev også anset for at være identiske, så vi kan lige så godt antage, at der er et enkelt individ på hver dato. Flytningen fjerner enhver sondring mellem tid og generationer. En alternativ fortolkning ville få os til at forestille os, at økonomien består af et enkelt dynasti, hvor forældre i hver generation efterlader testamenter til deres børn (Meade, 1966, vedtog denne fortolkning). Ramsey antog også, sandsynligvis fordi matematikken er enklere, at tiden er en kontinuerlig variabel, ikke diskret.det hjælper enormt med at tilnærme sig ved ikke at skelne den funktionelle form for noens velbefindende over tid fra velbefindende gennem generationer. Ramsey vedtog denne genvej. Mennesker blev også anset for at være identiske, så vi kan lige så godt antage, at der er et enkelt individ på hver dato. Flytningen fjerner enhver sondring mellem tid og generationer. En alternativ fortolkning ville få os til at forestille os, at økonomien består af et enkelt dynasti, hvor forældre i hver generation efterlader testamenter til deres børn (Meade, 1966, vedtog denne fortolkning). Ramsey antog også, sandsynligvis fordi matematikken er enklere, at tiden er en kontinuerlig variabel, ikke diskret.det hjælper enormt med at tilnærme sig ved ikke at skelne den funktionelle form for noens velbefindende over tid fra velbefindende gennem generationer. Ramsey vedtog denne genvej. Mennesker blev også anset for at være identiske, så vi kan lige så godt antage, at der er et enkelt individ på hver dato. Flytningen fjerner enhver sondring mellem tid og generationer. En alternativ fortolkning ville få os til at forestille os, at økonomien består af et enkelt dynasti, hvor forældre i hver generation efterlader testamenter til deres børn (Meade, 1966, vedtog denne fortolkning). Ramsey antog også, sandsynligvis fordi matematikken er enklere, at tiden er en kontinuerlig variabel, ikke diskret.så vi kan lige så godt antage, at der er et enkelt individ på hver dato. Flytningen fjerner enhver sondring mellem tid og generationer. En alternativ fortolkning ville få os til at forestille os, at økonomien består af et enkelt dynasti, hvor forældre i hver generation efterlader testamenter til deres børn (Meade, 1966, vedtog denne fortolkning). Ramsey antog også, sandsynligvis fordi matematikken er enklere, at tiden er en kontinuerlig variabel, ikke diskret.så vi kan lige så godt antage, at der er et enkelt individ på hver dato. Flytningen fjerner enhver sondring mellem tid og generationer. En alternativ fortolkning ville få os til at forestille os, at økonomien består af et enkelt dynasti, hvor forældre i hver generation efterlader testamenter til deres børn (Meade, 1966, vedtog denne fortolkning). Ramsey antog også, sandsynligvis fordi matematikken er enklere, at tiden er en kontinuerlig variabel, ikke diskret.ikke diskret.ikke diskret.

Lad (t / ge 0) angive tid. I Ramseys model er der ingen usikkerhed (men se Levhari og Srinivasan, 1969, for en af de første af mange udvidelser af Ramsey-modellen, der indeholder usikkerhed om fremtidige muligheder). Økonomien er udstyret med en enkelt, ikke-værdifuld vare, der kan arbejdes af arbejdskraft til at producere produktion på hver dato (Gale, 1967, og Brock, 1973, var blandt de første af mange udvidelser af Ramsey-modellen, der indeholder en heterogen samling af kapitalgoder). Det antages, at økonomien er lukket for international handel (at åbne økonomien for handel indebærer kun en mindre udvidelse af Ramseys model). Det betyder, at noget af produktionen kan investeres for at tilføje råvarens lager, mens resten kan forbruges med det samme. Vi kalder lageret for den vare, der tjener til at producere output,”kapital.”Problemet er så at finde den optimale fordeling af output på hver dato mellem forbrug og investering.

Ramsey antog, at arbejde er ubehageligt. Men fordi det at inkludere arbejdsløshed i vores beretning om hans arbejde her ikke tilføjer noget substans, antager vi, at arbejdsudbuddet er en eksogent givet konstant (f.eks. Er den uafhængig af lønningerne, som arbejdskraft kan kræve). Det gør det muligt for os at undertrykke udbuddet af arbejdskraft i både produktion og de faktorer, der påvirker trivsel.

Hvis (K) er kapitalbeholdningen i økonomiens eneste råvare, tages output til at være (F (K)), hvor (F (0) = 0) (dvs. output er nul hvis der ikke er nogen kapital), (dF (K) / dK / gt 0) (dvs. det marginale produkt af kapital er positivt), og (d ^ 2 F (K) / dK ^ 2 / le 0) (dvs. marginproduktet af (K) stiger ikke med (K)). (F (K)) er en strøm (produktion på et tidspunkt) i modsætning til (K), som er en bestand (kapitalmængde, periode). Bemærk også, at produktionen kun afhænger af kapitalbeholdningen. Der nævnes ikke mulige forbedringer i kvaliteten af kapital eller arbejdskraft. Der er således ikke udsigt til teknologisk fremgang eller akkumulering af menneskelig kapital i Ramseys model (men se Mirrlees, 1967,for en af de første af mange udvidelser af Ramsey-modellen, der inkluderer teknologiske fremskridt inden for produktion og dannelse af menneskelig kapital); Der er heller ingen naturressourcer i modellen (men se Dasgupta og Heal, 1974, for en af de første af mange udvidelser af Ramsey-modellen, der inkluderer naturlig kapital i produktionen).

Lad (C (t)) være forbrug ved (t). Det er en strøm (forbrugsenheder pr. Øjeblik). Tilsvarende skriver vi (K (t)) for kapitalbeholdningen på (t). Da (dK (t) / dt) er ændringshastigheden i kapitalbeholdningen på (t), er det "nettoinvestering ved (t)", som også er en strøm. Og fordi kapitalbestanden antages ikke at afskrives, svarer bruttoinvesteringerne til nettoinvestering.

I Ramseys model er det forventede output på hvert øjeblik lig med summen af den tilsigtede investering og det tilsigtede forbrug. Intentioner realiseres altid. For at sige det på et teknisk sprog er økonomien i balance i hvert øjeblik, hvilket er en anden måde at sige, at det på hvert øjeblik, at den påtænkte besparelse er lig med den forventede investering. (Antagelsen behøver ingen forklaring i en model med en enkelt agent, men har en reel bid i en verden, hvor sparere ikke er de samme agenter som investorer.) Kapital antages altid at være fuldt ud implementeret og arbejdskraft (som er skjult i produktionen funktion (F (K))) anses for at være fuldt ansat. Output ved (t) er (F (K (t))). Det følger heraf, at økonomien er drevet af den dynamiske ligning

) tag {1} frac {dK (t)} {dt} = F (K (t)) - C (t))

Ligning (1) siger, at hvis forbruget er (C (t)), er investering, hvad der er tilbage af produktionen. Så Ramsey's problem kan støbes lige som, "Hvor meget af en lands produktion skal den forbruge?" Hvis forbruget er mindre end output ved (t) (dvs. (C (t) lt F (K (t)))), er investeringen positiv (dvs. (dK (t) / dt / gt 0)) og kapitalbeholdningen stiger, men hvis forbruget overstiger produktionen ved (t), er investering negativ, hvilket betyder, at kapital spises ind, og bestanden falder (dvs. (dK (t) / dt / lt 0).) Vi forestiller os nu, at Regeringsbygningen rådes af en "socialt bekymret borger", den person, der er en, der prøver på at bestemme den rette balance mellem økonomiens forbrug og investering på hver dato. Vi kalder denne person beslutningen maker, eller DM. Ramsey forestillede sig, at DM er en klassisk-utilitaristisk.

2. Den klassisk-utilitaristiske beregning

Klassisk Utilitarisme identificerer det gode som den forventede sum af trivsel over tid og gennem generationer. Her er Sidgwick (1907: 414) om sagen:

Det ser ud til … klart, at det tidspunkt, hvor et menneske eksisterer, ikke kan påvirke værdien af hans lykke ud fra det universelle synspunkt; og at eftertidenes interesser skal vedrøre en utilitarist så meget som hans samtidige, undtagen i det omfang virkningen af hans handlinger på eftertiden - og endda menneskers eksistens, der skal berøres - nødvendigvis skal være mere usikker. (Kursiv tilføjet)

For at formalisere dette overvejer vi en vilkårlig dato (t), hvor DM overvejer. Lad (tau) angive datoer ikke tidligere end (t) (dvs. (tau / ge t)). Ramsey betragtes som en deterministisk, uendelig levet verden (men se Yaari, 1965, for den første af mange udvidelser af Ramsey-modellen, der indbefatter risikoen for individuel eller samfundsmæssig udryddelse). Trivsel antages at være en numerisk mængde. Lad (U (t)) være trivsel ved (t), og lad (V (t)) være et samlet mål for strømmen af velvære på tværs af tid og generationer, som evalueret på tidspunktet (t). Ramsey fulgte Sidgwick ved at antage det

) tag {2} V (t) = / int ^ { infty} _t [U (tau)] d / tau)

(V (t)) er intergenerationel velvære hos (t). Da Ramseys verden er deterministisk, er (V (t)) også den forventede værdi af (V (t)). Så Sidgwicks kriterium er (V (t)) i ligning (2).

Trivsel på en given dato antages at være en funktion udelukkende af forbrug på denne dato. Vi skriver derfor (U (t) = U (C (t))). Ramsey antog, at marginalt velvære er positivt (dvs. (dU (C) / dC / gt 0)), men formindskes med stigende forbrugsniveauer (dvs. (d ^ 2 U (C) / dC ^ 2 / lt 0)). Den sidstnævnte egenskab indebærer, at (U (C)) er en strengt konkave funktion. (Edgeworth, 1885, havde rutineret tanken om, at marginal trivsel falder med stigende forbrug.) Ligning (2) kan således skrives som

) tag {3} V (t) = / int ^ { infty} _t [U (C (tau))] d / tau)

Klassisk utilitarisme, som det afspejles i ligning (3), kræver, at hvis (U) er et numerisk mål for velvære, så er det (alpha U + / beta), hvor (alpha) er en positivt tal og (beta) er et antal af begge tegn. Formelt siger vi, at (U) er unik op til "positive affinetransformationer." Vi bekræfter i øjeblikket, at teoriens anbefalinger er ufravigelige under sådanne transformationer.

2.1 Nul diskontering af fremtidige velvære

I ligning (3) diskonteres ikke fremtidige værdier af (U), når de ses fra nuet, (t). Dette særlige skridt har provokeret mere debat blandt økonomer og filosofer end noget andet træk i Ramseys teori om optimal besparelse. Debatten har lejlighedsvis været skræmmere end end vi økonomer er vant til (se især Nordhaus, 2007). På risikoen for at generalisere vildt har økonomer favoriseret brugen af positive rater for at neddrive fremtidige velfærd (f.eks. Arrow og Kurz, 1970), mens filosofer har insisteret på, at fremtidens velbefindende bør tildeles samme vægt som det af nuværende mennesker (f.eks. Parfit, 1984).

Hvordan ville Klassisk Utilitarisme med positiv diskontering af fremtidige velvæne se ud? Lad (delta / gt 0) være den kurs, hvormed det anses for ønskeligt at neddiskontere fremtidige velvære (for enkelhedens skyld tager vi diskonteringsrenten som konstant). Derefter, i stedet for ligninger (2) - (3), intergenerationel velvære ved (t), ville læse som

) tag {4} start {align} V (t) & = / int ^ { infty} _t [U (tau) e ^ {- / delta (tau -t)}] d / tau & = / int ^ { infty} _t [U (C (tau)) e ^ {- / delta (tau -t)}] d / tau, t / ge 0 \\ / end {align}]

I ligning (4), (delta) "tidsdiskonteringsrente" og (e ^ {- / delta}) den resulterende "tidsdiskonteringsfaktor."

(delta / gt 0) indikerer (e ^ {- / delta} lt 1). Det betyder (e ^ {- / delta (tau -t)}) en tendens til nul eksponentielt, da (tau) har tendens til uendelig. I den sidste del af sit papir anvendte Ramsey (1928: 553–555) ligning (4) til at undersøge problemet med optimal besparelse, men han godkendte ikke formuleringen. I stedet skrev han (s. 543), at at nedsætte senere (U) i sammenligning med tidligere, er "… etisk uforsvarlig og opstår kun fra fantasiens svaghed." I en bog, der indviede den formelle undersøgelse af økonomisk udvikling, fulgte Harrod (1948: 40) efter ved at kalde praksis et "… høfligt udtryk for røvhed og erobring af fornuft af lidenskab."

Stærke ord, men for nogle økonomer læser Ramsey-Harrod-stramningen i en deterministisk verden som en søndagsudtale. Solow (1974a: 9) udtrykte denne følelse nøjagtigt, da han skrev: "I højtidelig konkave samlet, så at sige, burde vi handle som om [diskonteringsrenten for fremtidige velvæsener] var nul."

Men sagen kan ikke afvikles uden en undersøgelse af produktions- og forbrugsmuligheder, der er åbne for en økonomi. Overvej følgende spænding mellem to sæt overvejelser:

  1. De lave forbrugsniveauer fra generationer, der er tilstrækkeligt langt ind i fremtiden, ville ikke blive betragtet som en dårlig ting af den nuværende DM, hvis fremtidige velvære blev diskonteret til en positiv sats. Så dagens DM vil anbefale høje forbrugsrater for nu og i den nærmeste fremtid, selvom det betød, at generationer i den fjerne fremtid ville leve i straf. Men hvis en sådan politik blev fulgt, ville kravene om et yderligere moralsk krav til Klassisk Utilitarisme, som DM måtte have, nemlig "intergenerational equity" ikke blive opfyldt. Derfor bør vi følge Ramsey og ikke neddrive fremtidige velvæsener.
  2. Skriv (dF (K) / dK) som (F_K). Fra ligning (1) er det let at udlede, at (F_K) er afkastet på investeringen. I Ramseys økonomi (F_K / gt 0), hvilket betyder, at hver outputenhed, der gemmes, giver mere end en enhed for fremtidig forbrug, andre ting lige. For eksempel, hvis DM skulle reducere forbruget ved (t) med en enhed, det yderligere forbrug, der ville være tilgængelig i de korteste perioder senere - vi skriver det som (Delta t) - uden at påvirke forbruget overhovedet fremtidig dato ville være (1+ [dF (K (t)) / dK (t)] Delta t). Produktiviteten af kapital er således bundet til pilens tid, hvilket skaber en bias til fordel for fremtidige generationer. Denne bias giver bittet til ordsprogene,”Vi kan gøre noget for eftertiden,men hvad kan eftertiden nogensinde gøre for os?” Tanken opstår uundgåeligt, at det måske bør modvirkes skævheden i DM's beregning, hvis hende skulle være opmærksom på hånden mellem generationerne i realiseret velvære som et supplement til Klassisk Utilitarisme. Det antyder på sin side, at DM bør opgive Ramsey og tilbagediskontere fremtidige velfærd til en positiv sats.

Kraften ved hver betragtning er demonstreret i økonomilitteraturen. Det er vist i sammenhæng med en simpel model, at hvis produktion kræver produceret kapital og udtømmelige ressourcer, falder det optimale forbrug til nul på lang sigt, hvis fremtidige velvære diskonteres til en positiv sats (Dasgupta og Heal, 1974), men øges på ubestemt tid, hvis vi følger Ramsey med ikke at tilbagediskontere fremtidige velfærd (Solow, 1974b). Øvelserne fortæller os, at de langsigtede egenskaber ved optimal besparelsespolitik afhænger af de relative størrelser af den hastighed, hvorpå fremtidige velvære diskonteres, og kapitalproduktions langsigtede produktivitet.

Der er et mere generelt punkt her, som blev udforsket af Koopmans (1960, 1965, 1967, 1972) i et bemærkelsesværdigt sæt publikationer om ideen om økonomisk udvikling. I så komplekse øvelser som dem, der involverer forbrug og investering over en lang tidshorisont, er det tåbeligt at betragte ethvert etisk princip (f.eks. Klassisk Utilitarisme) som sacrosanct. Man kan aldrig vide på forhånd, hvad det kan løbe op. En mere fornuftig taktik end Ramseys ville være at afspille et sæt etiske antagelser mod en anden i ikke-usandsynlige verdener, se, hvad deres implikationer har for fordelingen af velvære på tværs af generationer og derefter appellere til vores intuitive sanser, før de argumenterer. politik. At afregne forud for, om man vil bruge en positiv rente til at tilbagebetale fremtidige velfærd, kan være et selvvindende træk. [1]

3. Problemet med optimal besparelse

Ramsey betragtes som en verden med en ubestemt fremtid. Dette kan synes at være et underligt træk, men det har en stærk begrundelse. Antag, at DM skulle vælge en horisont på (T) år. Da hun ikke ved, hvornår vores verden slutter, vil hun gerne specificere de ressourcer, der skal efterlades ved (T), i tilfælde af at verden ikke ophører. Men for at finde en begrundelse for det beløb, der skal efterlades hos (T), har DM brug for en vurdering af verden ud over (T). Dette ville dog svare til at inkludere verden ud over (T). Og så videre.

Betegn en forbrugsstrøm fra nuværende ((t = 0)) til uendelig som ({C (t) }.) (K (0) gt 0) omskår økonomien; det er den mængde kapital, som samfundet har arvet fra fortiden. Matematikere kalder (K (0)) for en "startbetingelse." Problemet, som Ramsey satte sig i, var at bestemme forbrugsstrømmen ({C (t) }) fra 0 til uendelig, som DM ville vælge, hvis hun var en klassisk Utilitarist.

3.1 Uudnyttet Utilitarisme

Ring til en forbrugsstrøm ({C (t) }), hvis den opfylder ligning (1) med den oprindelige tilstand (K (0)). I Ramsey's deterministiske verden er den klassiske utilitaristiske formulering af problemet med optimal national besparelse på dato (t = 0) således:

“Fra sættet af alle mulige forbrugsstrømme skal du finde det ({C (t) }), der maksimerer

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t))] dt.”)

Vi kalder dette optimeringsproblem, Ramsey Mark I.

Der er en alvorlig vanskelighed med Ramsey Mark I: det er ikke sammenhængende. Uendelige summer konvergerer ikke nødvendigvis. For ethvert ({C (t) }), som det uendelige integral ikke konvergerer til, findes (V (0)) ikke. Hvis integralet ikke er konvergerende for alle mulige forbrugsstrømme ({C (t) }), er maksimeringsproblemet meningsløst: Man kan ikke maksimere noget, der ser ud til at være en reelt værdsat funktion (V (0)) når funktionen faktisk ikke findes.

Denne observations kraft kan ses i

Eksempel 1 (tilskrevet David Gale)

Antag som et ekstremt specielt tilfælde af Ramsey-økonomien, (F (K) = 0) for alle (K / ge 0). Derefter reduceres ligning (1) til

) tag {5} frac {dK (t)} {dt} = - C (t))

Økonomien beskrevet i ligning (5) består af et ikke-forringende stykke kage, af størrelse (K (0) gt 0) på den oprindelige dato. Det er indlysende, at enhver forbrugsstrøm ({C (t) }), der opfylder ligningen (5), har tendens til at være nul i det lange løb. Formelt er (C (t) højre højre 0) som (t / højre pil / infty).

Fordi (U) - funktionen er unik op til positive affinetransformationer, kan vi uden tab af generalitet normalisere den, så (U (0) ne 0). Det er derefter åbenlyst, at for alle mulige ({C (t) }), (V (0)) i Ramsey Mark I afviger til minus uendelig, hvis (U (0) lt 0), men afviger til plus uendelig hvis (U (0) gt 0). At der ikke findes en optimal politik i kagespisemodellen, kan vi se, hvis vi nu husker, at (U (C)) blev antaget at være strengt konkave. Antagelsen indebærer, at enhver ikke-egalitær fordeling af forbruget mellem generationer kan forbedres ved en passende omfordeling. Den ideelle distribution ville være ens forbrug for alle generationer. Den eneste forbrugsstrøm med sidstnævnte egenskab er (C (t) = 0) for alle (t). Men det er den værst mulige fordeling. QED

3.2 Re-normalisering af uudnyttet utilitarisme

Spørgsmålet opstår, om der er forhold, hvor der er den bedste forbrugsstrøm, selvom (V (0)) ikke konvergerer for alle forbrugsstrømme. Ramsey formulerede spørgsmålet ved at ændre, hvordan spareproblemet stilles.

Forestil dig, at trivsel er afgrænset ovenfor, uanset hvor stort forbrug der sker. Lad (U) være det numeriske mål for trivsel, som DM vælger at arbejde med. (Alle positive affinetransformationer af (U) ville være lige legitime velbefindende mål.) Lad (B) være den nederste øvre grænse af (U). Ramsey døbt det "Bliss". Da afkastet på investeringen ((F_K)) i hans model er positivt, ville forbruget vokse på ubestemt tid og have en tendens til uendelig i det lange løb, hvis sparepriserne blev passende valgt. Det betyder, at der er mulige stier for økonomisk udvikling, hvor (U (C (t))) har tendens til (B) i det lange løb. Men det indebærer, at der er mulige stier for økonomisk udvikling, hvor det korte fald af (U (C (t))) fra (B) har tendens til at være nul i det lange løb. Hvis det korte fald har tendens til at være nul hurtigt nok,det udiskonterede integral af forskellen mellem (U (C (t))) og (B) ville eksistere, og DM kunne søge at maksimere det modificerede integral. Så vi har Ramsey Mark II, der lyder som

“Fra sættet af alle mulige forbrugsstrømme skal du finde det ({C (t) }), der maksimerer

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t)) - B] dt.”)

Bemærk, at Mark II er en transformation af Mark I. Transformationen udgør en genormalisering af optimalitetskriteriet. Ikke kun var overgangen fra Mark I til Mark II på Ramsey's side genial, det viste også hans moralske integritet. Det ville have været let nok for ham at bede DM i stedet for at nedsætte det fremtidige forbrug og udvide rækkevidden af omstændigheder, hvor Utilitarisme giver et svar på problemet, DM forsøger at løse. Han valgte ikke at gøre det.

Ramseys intuition med at flytte fra Mark I til Mark II var magtfuld, men i en artikel, der indledte den moderne litteratur om Ramsey-problemet, bemærkede Chakravarty (1962), at for kun at stole på den betingelse, Ramsey havde identificeret som nødvendig for en forbrugsstrøm til være det optimale (se nedenfor) kan føre til absurde resultater (se nedenfor, afsnit 4). Faktisk observerede Chakravarty, at uendelige integraler, selv når de støbes i den genormaliserede form i Ramsey Mark II, ikke nødvendigvis konvergerer til begrænsede værdier.

3.3 Kriteriet om overtagelse

Det, der var nødvendigt, var at afbinde spørgsmålet, om uendelige velværeintegraler konvergerer fra spørgsmålet, om der findes optimale forbrugsstrømme. Denne indsigt blev leveret af Koopmans (1965) og von Weizsacker (1965). Sidstnævnte forfatters redegørelse om problemet med optimal besparelse var som følger:

Vi siger, at den gennemførlige forbrugsstrøm ({C ^ * (t) }) er bedre end en mulig forbrugsstrøm ({C (t) }), hvis der findes (T / gt 0) sådan, at for alle (t / ge T),) tag {6} int ^ t_0 [U (C ^ * (r))] ds / ge / int ^ t_0 [U (C (s))] ds)

Vi kalder ({C ^ * (t) }) optimalt, hvis det er bedre end alle andre mulige forbrugsstrømme.

Den tilstand, der er repræsenteret i ulighed (6), er kendt som Overtaking Criterion (OC), for det er, hvad det er. OC undgår at spørge, om integralerne på hver side af uligheden (6) konvergerer som (t / højre højre / infty). Hvis de gør det, reducerer OC til Klassisk Utilitarisme. Men OC er i stand til at reagere på Ramseys spareproblem i en bredere klasse af situationer. I sit arbejde identificerede Koopmans (1965) en kanonisk økonomisk model, hvor (U) - funktionen er afgrænset ovenfor, og hvor Ramsey Mark II svarer til et optimeringsproblem, der stilles i form af OC.

Hvad skal vi gøre for etikken ved at neddæmpe velvæsenet for kommende generationer? Ramsey (1928) begyndte med at afskedige den, men studerede den derefter ved halens ende af hans papir. DM kunne selvfølgelig retfærdiggøre diskontering af fremtidig velvære, hvis der er mulighed for fremtidig udryddelse. Sidgwick (1907) bemærkede selv, at det i den citerede passage tidligere. Hvis Klassisk Utilitarisme tages for at rose den forventede sum af velfærd, er "faresatsen" på dato (t) (dvs. sandsynligheden for udryddelse på dato (t) betinget af, at samfundet overlever indtil (t)) vises i udtrykket for forventet velvære som en diskonteringsrate for trivsel ved (t). Spørgsmålet er stadig, om Klassisk Utilitarisme vil insistere på nul-diskontering af fremtidige forsyningsselskaber i en deterministisk verden.

I et bemærkelsesværdigt par værker afslørede Koopmans (1960, 1972) interne modsigelser i etisk ræsonnement i en deterministisk verden i både Ramsey Mark I og Ramsey Mark II. Han (og efterfølgende Diamond, 1965) viste, at hvis der stilles relativt svage normative krav til begrebet intergenerationel velvære i en deterministisk verden, skal ligebehandling af (U) - funktionen på tværs af generationer opgives. Vi henvender os til det nu.

3.4 Diskonteret Utilitarisme

Det viser, at matematikken er meget enklere, hvis man i stedet for at antage, at tiden er kontinuerlig, tager tid til at være diskret. Således antager vi nu, at (t = 0,1,2, / ldots). Antag også, at intergenerationel velvære ved (t = 0) kan måles i form af en numerisk funktion (V). Ideen er at kræve funktionen, der er defineret på uendelige trivselsstrømme, for at tilfredsstille egenskaber, der afspejler etiske direktiver.

Lad ({U (t) }) være en uendelig trivselsstrøm, det vil sige ({U (t) } = (U (0), U (1), / ldots, U (t), / ldots)). Vi siger (V ({U (t) })) er kontinuerlig, hvis i en passende matematisk forstand værdierne til (V) for trivselsstrømme ({U (t) }) der ikke adskiller sig meget i afstanden til ({U (t) }) s er tæt på hinanden. En yderligere betingelse for (V) - funktionen, der er etisk attraktiv, er "monotonicity". For at definere begrebet, lad os sige, at en trivselsstrøm er "overlegen" for en anden, hvis ingen generation har mindre velvære langs førstnævnte end langs sidstnævnte, og hvis der mindst er en generation, der nyder større velvære i den førstnævnte end det gør i sidstnævnte. Vi siger, at (V) er monotonisk, hvis (V) er større for en trivselsstrøm, end det er for en anden, hvis førstnævnte er bedre end sidstnævnte.

Begge ejendomme er attraktive. Ikke desto mindre er der ikke overbevisende argumenter imod kontinuitet. Naturligvis placerede Rawls (1972) prioriterede regler og de leksikografiske ordener på objekter af interesse i hans opfattelse af retfærdighed, der følger med dem i centrum af hans teori, men det har vist sig at have været et af hans mest omstridte træk. Rigdom og dybde i hans analyse ville ikke blive mindsket, hvis der blev indrømmet små afvejninger mellem retfærdighedsobjekter. Og det er svært at finde grunde mod monotonicitet. Selv Rawls, hvis arbejde var så rettet mod fordelende retfærdighed, insisterede på monotonicitet.

Men det kan vises, at enhver (V) - funktion, der tilfredsstiller kontinuitet og monotonicitet, skal have genereret diskontering indbygget i den. Det ser ud til, at de reelle tal ikke er rige nok til at imødekomme uendelige trivselsstrømme på en måde, der respekterer kontinuitet og monotonicitet, samtidig med at vi tildeler velbefindende i alle generationer lige vægt. Beviset for forslaget er i Diamond (1965) og blev tilskrevet af forfatteren til Menahem Yaari. Så vi introducerer positiv velvære-diskontering i funktionen (V) - og formulerer Ramsey Mark III.

Vend tilbage igen til formuleringen, hvor tiden er kontinuerlig. Som tidligere siger vi, at en forbrugsstrøm ({C (t) }) er mulig, hvis den tilfredsstiller ligning (1) med en startkapitalbeholdning på (K (0)). Ramsey Mark III (Ramsey, 1928, 553–555) er derefter:

“Fra sættet af alle mulige forbrugsstrømme skal du finde det ({C (t) }), der maksimerer

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t)) e ^ {- / delta t}] dt, / delta / gt 0.”)

I Mark III er diskonteringsrenten (delta) en positiv konstant. Det betyder, at den tilsvarende diskonteringsfaktor (e ^ {- / delta}) er mindre end 1. Det sidstnævnte kan igen vises til at betyde, at det i en lang række økonomiske modeller (e ^ {- / delta t}) har en tendens til at være så hurtigt, at Mark III har et svar.

Lad ({C ^ * (t) }) være løsningen på Ramsey Mark III. Heuristisk er det nyttigt at forestille sig, at der er en DM på hver dato. Målet for intergenerationel velvære for DM på dato (t) er (V (t)) for ligning (4). Bemærk, at de etiske synspunkter på de successive DM'er stemmer overens med hinanden. Der er således ikke behov for, at DM'erne udarbejder en "mellemgenerationskontrakt". DM på enhver dato vil vælge det forbrugsniveau, den anser for at være optimalt, opmærksom på, at efterfølgende DM'er vælger i overensstemmelse med det, hun havde planlagt for dem. I moderne spilteoretisk parlance er Ramsey's optimale forbrugsstrøm ({C ^ * (t) }) en "ikke-kooperativ" (Nash) ligevægt blandt DM'erne.

4. Ramsey-reglen og dens forgreninger

Vi konstruerer nu en uformel version af det variationelle argument, Ramsey, der blev brugt til bestemmelse af ({C ^ * (t) }) i Mark III. Løst sagt kræver DM'erne den marginale hastighed af etisk ligegyldig substitution mellem forbrug i et hvilket som helst to korte tidsrum for at svare til den marginale hastighed, hvormed forbruget kan omdannes mellem det samme par korte perioder. Deres lighed (dvs. den rigtige balance mellem "ønskelige" og "mulighederne") er en nødvendig egenskab for en optimal forbrugsstrøm.

Ramsey konstruerede et matematisk udtryk for ejendommen, men så ikke efter forhold, der samlet er både nødvendige og tilstrækkelige. Vi vil bruge et simpelt eksempel, som også er i hans papir, for at vise, hvordan en tilstrækkelig betingelse kan opnås.

4.1 Variationsargumentet

Skriv (dU / dC = U_C) og (d ^ 2 U / dC ^ 2 = U_ {CC}.) Lad ({C (t) }) være en mulig forbrugsstrøm. Vi udleder først et formelt udtryk for den marginale hastighed af etisk ligegyldig substitution mellem forbrug på et hvilket som helst to korte tidsrum. Antag, at meningen er at reducere forbruget på et fremtidig tidspunkt (t) med en lille mængde (Delta C (t)) og hæve forbruget på en nærliggende dato (t + / Delta t), mens forbruget overhovedet holdes andre datoer er de samme som i ({C (t) }). Tabet i velvære, der vil følge af flytningen, er (e ^ {- / delta t} U_ {C (t)} Delta C (t)). Vi forsøger nu at bestemme den procentvise stigning i forbrug, der ville være påkrævet ved (t + / Delta t), hvis (V (0)) skal forblive uændret; fordi det er marginalraten for etisk ligegyldig substitution mellem forbrug ved (t) og forbrug ved (t + / Delta t). Angiv denne sats med (varrho (t)). Derefter skal (varrho (t)) være den procentvise sats, hvormed diskonteret marginalt velvære falder ved (t). Det følger også, at (varrho (t)) er den hastighed, DM ved (t = 0) ville bruge til at neddæmme en forbrugsenhed på (t) for at bringe den til nutiden (fordi det er, hvad der menes med den procentvise rente, hvor nedsatte marginale velvære falder ved (t) - for en formel demonstration, se Dasgupta, 2008). Nogle økonomer kalder (varrho (t)) forbrugsrenten (Little and Mirrlees, 1974), andre kalder det den sociale diskonteringsrate (Arrow og Kurz, 1970). (varrho (t)) er et grundlæggende objekt i social omkostnings-fordel-analyse. Det følger også, at (varrho (t)) er den hastighed, DM ved (t = 0) ville bruge til at neddæmme en forbrugsenhed på (t) for at bringe den til nutiden (fordi det er, hvad der menes med den procentvise rente, hvor nedsatte marginale velvære falder ved (t) - for en formel demonstration, se Dasgupta, 2008). Nogle økonomer kalder (varrho (t)) forbrugssatsen for renter (Little og Mirrlees, 1974), andre kalder det den sociale diskonteringsrate (Arrow og Kurz, 1970). (varrho (t)) er et grundlæggende objekt i social omkostnings-fordel-analyse. Det følger også, at (varrho (t)) er den hastighed, DM ved (t = 0) ville bruge til at neddæmme en forbrugsenhed på (t) for at bringe den til nutiden (fordi det er, hvad der menes med den procentvise rente, hvor nedsatte marginale velvære falder ved (t) - for en formel demonstration, se Dasgupta, 2008). Nogle økonomer kalder (varrho (t)) forbrugsrenten (Little and Mirrlees, 1974), andre kalder det den sociale diskonteringsrate (Arrow og Kurz, 1970). (varrho (t)) er et grundlæggende objekt i social omkostnings-fordel-analyse. Nogle økonomer kalder (varrho (t)) forbrugssatsen for renter (Little og Mirrlees, 1974), andre kalder det den sociale diskonteringsrate (Arrow og Kurz, 1970). (varrho (t)) er et grundlæggende objekt i social omkostnings-fordel-analyse. Nogle økonomer kalder (varrho (t)) forbrugsrenten (Little og Mirrlees, 1974), andre kalder det den sociale diskonteringsrate (Arrow og Kurz, 1970). (varrho (t)) er et grundlæggende objekt i social omkostnings-fordel-analyse.

Lad (Delta) være forsvindende lille. Derefter pr. Definition

) tag {7} varrho (t) = - [d (e ^ {- / delta t} U_ {C (t)}) / dt] / e ^ {- / delta t} U_ {C (t)})

For at forenkle notationen lader (g (C (t))) angive den procentuelle vækstrate i (C (t)) (dvs. (g (C (t)) = [dC (t) / dt] / C (t)), som kan være negativ), og lad (sigma (C)) betegne elasticiteten af marginalt velvære (dvs. (sigma (C) = -CU_ { CC} / U_C / gt 0)). Ligning (7) forenkles derefter til

) tag {8} varrho (t) = / delta + / sigma (C (t)) g (C (t)))

Fordi ({C ^ * (t) }) er ved antagelsen det optimale, kan ingen gennemførlig afvigelse fra ({C ^ * (t) }) øge (V (0)). Det betyder, at forbrugssatsen for renter ((varrho (t))) skal svare til den sociale rente på investeringen ((F_ {K (t)})) for hver (t). For at se hvorfor, antag i et forsvindende lille tidsinterval (F_ {K (t)} gt / varrho (t)). Derefter kunne (V (0)) øges ved at forbruge en enhed mindre ved (t) og nyde returneringen af ((1 + F_ {K (t)})) kort efter. Alternativt, hvis (F_ {K (t)} lt / varrho (t), V (0)) kunne øges ved at forbruge en enhed mere ved (t) og reducere forbruget kort efter med et beløb svarende til returen ((1 + F_ {K (t)})). Men det betyder, at forbrugssatsen for renter (varrho (t)) er lig med den sociale afkastrate (F_ {K (t)}) langs ({C ^ * (t) }) ved hver dato. Ved hjælp af ligning (8) har vi,) tag {9} delta + / sigma (C (t)) g (C (t)) = F_ {K (t)})

Ligning (9) er Ramsey-reglen. Det er en nødvendig betingelse for optimalitet i Ramsey Mark III og er uden tvivl den mest berømte ligning i intertemporal velfærdsøkonomi. Reglen er en formel erklæring om kravet til ({C ^ * (t) }), at den marginale substitutionsgrad mellem forbrug på to nærliggende datoer (venstre side af ækv. 9) er lig med den marginale omdrejningstal mellem forbrug på de samme par nærliggende datoer (højre side af ækv. (9). Det er simpelt at bekræfte, at ligning (9) er ufravikelig under positive affinetransformationer af (U)-fungere.

4.2 Ufuldstændighed i Ramseys analyse

For tiden vil vi specificere en (U) - funktion, som (sigma) er uafhængig af (C). For øjeblikket antager vi blot, at (sigma) er konstant. I dette tilfælde læser Ramsey-reglen som

) tag {10} delta + / sigma g (C (t)) = F_ {K (t)})

I Ramsey Mark III gives (K (0)) som en arv fra fortiden. Det betyder, at (F_ {K (0)}) gives som en startbetingelse, det er ikke et valg for DM ved (t = 0). Derudover er (delta) og (sigma) parametre, der begge afspejler etiske værdier. DM kan derfor bestemme (g (C (0))) fra ligning (10). Men det er den optimale procentvise vækst i forbrug på den oprindelige dato. Ramsey Rule giver DM en ligning til bestemmelse af den indledende vækstrate for forbruget, men det siger ikke, hvad det oprindelige forbrugsniveau burde være. Nedenfor viser vi som et eksempel, at der er en uendelig mange mulige forbrugsstier, der tilfredsstiller Ramsey-reglen. Det følger, at DM ved (t = 0) har brug for en yderligere betingelse for at bestemme (C ^ * (0)).

Eksempel 2 (den lineære økonomi)

Antage

) begynde {align} tag {11a} F (K) & = / mu K, / mu / gt 0 \\ / tag {11b} U (C) & = - C ^ {- (sigma -1)}, / sigma / gt 1 / end {align})

Fra ligning (11a) følger det, at (F_K = / mu), hvilket betyder, at afkastet på investeringen er konstant. Fra ligning (11b) følger det, at (sigma) er elasticiteten af marginal velvære. Bemærk også, at (U (C) højre pil - / infty) som (C / højre pil 0) og at, under den valgte normalisering af (U) - funktionen, (U (C) højre pil) 0) som (C / højre pil / infty). Brug af ligning (11a) i ligning (1) giver udbytte,) tag {12} frac {dK (t)} {dt} = / mu K (t) - C (t))

Skriv (m = (mu - / delta) / / sigma). Anvendelse af ligninger (11a – b) på ligning (10) reducerer Ramsey-reglen til

) tag {13} frac {dC (t)} {dt} = [(mu - / delta) / / sigma] C (t) = mC (t))

Ligning (13) siger, at hvis (mu / lt / delta, C (t)) falder til 0 med en eksponentiel hastighed. Empirisk er den pausible sag at overveje (mu / gt / delta), hvilket er, hvad vi skal gøre her. Det betyder, at afkastet på investeringen ((mu)) overstiger den kurs, hvorpå diskonteret tidspunkt ((delta)). Og det betyder igen (m / gt 0). Integrering af ligning (13) giver udbytte

) tag {14} C (t) = C (0) e ^ {mt})

Ligning (14) siger (C (t)) vokser eksponentielt med hastigheden (m). Vi bekræfter et punkt, der blev fremsat tidligere, at selv om ligning (14) afslører væksthastighedsoptimalt forbrug på den første dato (dvs. (t = 0)), afslører det ikke det oprindelige forbrugsniveau (dvs., (C (0))). Det er ubestemmelsen i Ramsey-reglen.

Den enkleste måde at bestemme det optimale startforbrug, (C ^ * (0)), er at observere fra ligning (14), at hvis (C ^ * (t)) vokser på ubestemt tid med hastigheden (m), så skal (K (t)) kræves for at vokse i samme hastighed. Årsagen er, at hvis vækstraten på (K (t)) skulle være mindre end (m), ville kapital blive spist ind, hvilket betyder, at bestanden vil blive opbrugt i en begrænset tid. Økonomien ville derefter ophøre med at eksistere ((V (0)) ville være minus uendelig, hvis den fremtidige bane for økonomien skulle være således.) Hvis på den anden side vækstraten på (K (t)) skulle overstige (m), ville der være en for stor akkumulering af kapital i den forstand, at forbruget ville være lavere på hver dato, end det har været nødvendigt. Situationen ligner en situation, hvor DM kaster en del af den oprindelige kapitalbeholdning (K (0)) og derefter sætter sig ind på en opsparing, der tilfredsstiller Ramsey-reglen.

Eksponentiel vækst i vores lineære økonomi (ligning 11a) fortæller os, at besparelsesraten skal være konstant. Lad os definere sparekursen, (s), som den andel af produktionen (BNP), der investeres på hvert øjeblik. Derefter kan ligning (1) skrives om som

) tag {15} frac {dK (t)} {dt} = s / mu K (t))

Ligning (15) siger, at den påtænkte besparelse svarer til den forventede investering. Integrering af ligning (15) giver udbytte

) tag {16} K (t) = K (0) e ^ {s / mu t})

Men vi insisterer på, at både (K (t)) og (C (t)) skal vokse i samme takt. Ligninger (14) og (16) indebærer derfor

) tag {17} m = / frac { mu - / delta} { sigma} = s / mu)

Sparingsgraden i ligning (17) er den optimale. Så vi skriver det som (s ^ *). Dermed

) tag {18} s ^ * = / frac {m} { mu} = / frac { mu - / delta} { sigma / mu} lt 1)

Ligninger (16) - (18) fortæller os, at den optimale væksthastighed i forbruget, (g ^ *), er

) tag {19} g ^ * = / frac { mu - / delta} { sigma} gt 0)

Bemærk også, at hvis (delta = 0), ligning (18) reduceres til

) tag {20} s ^ * = / frac {1} { sigma})

Ligning (20) giver et så elegant og forenklet svar, som det kunne være det spørgsmål, som Ramsey startede sit papir med.

4.3 Transversalitetstilstanden

Den lineære teknologi (ækv. 11a) og den iso-elastiske (U) - funktion (ligning 11b) gjorde det muligt for os straks at erkende, at hvis en forbrugsstrøm, der tilfredsstiller Ramsey-reglen, skal være den optimale, bør både kapital og forbrug vokse med den samme eksponentielle hastighed, (m). Det er meget vanskeligere at identificere en tilstrækkelig betingelse for optimalitet i mere generelle modeller. Det, vi har brug for, er en betingelse på de langsigtede funktioner i en forbrugsstrøm, der tilfredsstiller Ramsey-reglen, der kan sikre, at den er optimal. von Weizsacker (1965) viste, at den krævede betingelse vedrører den langsigtede opførsel af den sociale værdi af kapital, der er forbundet med denne forbrugsstrøm. Vi formaliserer nu betingelsen.

Lad (U) være kontoenheden. Overvej en forbrugsstrøm ({C (t) }). Det følger, at (U_ {C (t)}) er den sociale værdi af en marginal forbrugsenhed. Skriv (P (t)) for (U_ {C (t)}. P (t)) kaldes (spot) regnskabsprisen for forbrug. Fordi (e ^ {- / delta t} P (t)) er den diskonterede værdi af (P (t)), kaldes det den aktuelle regnskabspris for forbrug. Hvis ({C (t) }) tilfredsstiller Ramsey-reglen i Mark III, er (e ^ {- / delta t} P (t)) også den aktuelle regnskabspris for en kapitalenhed lager. von Weizsacker (1965) viste, at en tilstrækkelig betingelse for optimaliteten af ({C (t) }) er (e ^ {- / delta t} P (t) K (t) højre højre A) som t (højre højre / infty), hvor (A) er et (endeligt) ikke-negativt tal. I ord,en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at ({C (t) }) er det optimale, er (i) at det tilfredsstiller Ramsey-reglen, og (ii) at nutidsværdien af økonomiens kapitalbeholdning er begrænset. Betingelse (ii), der i vid udstrækning er kendt som "transversalitetstilstand", eliminerer de gennemførlige forbrugsstrømme, der tilfredsstiller Ramsey-reglen, men som der er for stor besparelse på. En simpel beregning bekræfter, at transversalitetsbetingelsen i eksempel 2 er opfyldt, hvis besparelsesraten er (s ^ *) (ligning 18). En simpel beregning bekræfter, at transversalitetsbetingelsen i eksempel 2 er opfyldt, hvis besparelsesraten er (s ^ *) (ækv. 18). En simpel beregning bekræfter, at transversalitetsbetingelsen i eksempel 2 er opfyldt, hvis besparelsesraten er (s ^ *) (ligning 18).

4.4 Numeriske estimater af den optimale besparelseshastighed

Ligning (18) siger, at (s ^ *) er en stigende funktion af afkastet på investeringen ((mu)), en faldende funktion af diskonteringsrenten ((delta)), og en faldende funktion af elasticiteten af marginalt velvære ((sigma)). Hver af disse egenskaber er intuitivt indlysende:

(1) Jo højere er afkastet på investeringen ((mu)), jo større er gevinsten for fremtidige generationer ved en marginal stigning i besparelsen hos de første generationer. Det siger, at den optimale besparelsesgrad skal være en stigende funktion af (mu), andre ting lige.

(2) Jo større er værdien af den tidsdiskonteringsrente ((delta)), der er valgt af DM, jo lavere er den vægt, hun tildeler fremtidige generationers velvære. Det indebærer højere optimale forbrugsniveauer for de tidlige generationer (afsnit 2.1), hvilket igen betyder, at den optimale besparelsesgrad er lavere, andre ting lige.

(3) Da afkastet på investeringen er positivt ((mu / gt 0)), viser tidspilen en bias til fordel for fremtidige generationer (Afsnit 2.1). Men jo større er den valgte værdi af (sigma), jo mere DM viser bekymring over egenkapital i forbrug gennem generationer. Derfor, jo større denne bekymring er, jo højere er den optimale forbrugshastighed, som de første generationer skal nyde. Så vi kan forvente, at den optimale besparelsesrate er en faldende funktion af (sigma), andre ting lige.

Det er lærerigt at overveje stiliserede figurer for parametrene på højre side af ligningerne (henholdsvis 18) og (19). Selvom de er stiliserede, er de tal for paret af etiske parametre (sigma) og (delta), som økonomer, der har skrevet om økonomien i klimaforandringer, har antaget i deres arbejde. For at være sikker har klimaforandrings velfærdsøkonomi krævet mere komplicerede modeller end modellen, der er repræsenteret i ligningerne (1) og (11a), men som vi bekræfter nedenfor, har den ikke tilbudt yderligere teoretisk indsigt. I det følgende tager vi et år at være tidsenheden og antager, at (mu = 0,05) (dvs. 5% om året). Langs det optimale er forbrugssatsen for renter lig med afkastet på investeringen (Ramsey-reglen), hvilket betyder, at den optimale forbrugsrente svarer til konstante 5% om året.

Et tal på 5% om året for (mu) indebærer et kapital-output-forhold ((1 / / mu)) på 20 år, hvilket er langt højere end estimaterne af kapital-output-forhold fra branchen undersøgelser, som økonomer i forskellige dele af verden er ankommet til (Behrman, 2001); et repræsentativt tal for 1 / (mu) i denne litteratur er 3 år. Men deres estimater er baseret på en definition af "kapital", der er begrænset til "produceret" kapital, såsom fabrikker, veje, havne og bygninger. Menneskelig kapital (uddannelse, sundhed, viden) mangler dem, ligesom det er naturlig kapital (økosystemer, jordbundens ressourcer). Ramsey's model, som indkapslet i ligning (11a), omfatter alle former for kapitalgoder. Uden tvivl kræver hans formulering en heroisk (læst, umulig!) Sammenlægning, men når alle kapitalvarer, der kommer i produktion, tages i betragtning,vi kan forvente, at et samlet kapital-output-forhold (som vi skal kalde (inklusive) formue-output-forhold), er meget højere end 3 år; måske endda højere end 20 år (Arrow et al., 2012, 2013). Store kategorier af kapitalgoder er fraværende i de nationale økonomiske regnskaber, der informerer vores økonomers forståelse af produktions- og forbrugsmuligheder (Dasgupta, 2019). Det ser ud til, at der stadig er en lang vej at gå, før vi kan nå en god tilnærmelse af, hvad vi skal nedlægge til vores efterkommere. Store kategorier af kapitalgoder er fraværende i de nationale økonomiske regnskaber, der informerer vores økonomers forståelse af produktions- og forbrugsmuligheder (Dasgupta, 2019). Det ser ud til, at der stadig er en lang vej at gå, før vi kan nå en god tilnærmelse af, hvad vi skal nedlægge til vores efterkommere. Store kategorier af kapitalgoder er fraværende i de nationale økonomiske regnskaber, der informerer vores økonomers forståelse af produktions- og forbrugsmuligheder (Dasgupta, 2019). Det ser ud til, at der stadig er en lang vej at gå, før vi kan nå en god tilnærmelse af, hvad vi skal nedlægge til vores efterkommere.

Eksempel 3 (taget fra økonomien i klimaforandringer)

Vi henvender os nu til værdierne for de to etiske parametre i ligning (11b), der blev valgt af tre økonomer i deres undersøgelse af økonomien i klimaforandringer.

) begynde {align} tag * {Cline (1992)} sigma = 1,5 / quad & / text {og} quad / delta = 0 \\ / tag * {Nordhaus (1994)} sigma = 1 / quad & / text {og} quad / delta = 0,03 / text {(3% om året)} / \ tag * {Stern (2007)} sigma = 1 / quad & / text {og} quad / delta = 0,001 / tekst {(0,1% om året)} slutning {align})

(NB: (sigma = 1) svarer til den logaritmiske trivselsfunktion, det vil sige (U (C) =) log (C)) og kan fås som en grænse for den funktionelle form af (U (C)) i ligning (11b) som (sigma / højre pil 1.))

Vi pålægger disse parameterværdier for at finde ud af, at den optimale besparelsesrate (s ^ *) (ækv. 18) og den optimale væksthastighed for forbruget (ækv. 19) er på sin side:

) begynde {align} tag {21a} s ^ * = 67 \% / quad & / text {og} quad g ^ * = 3.3 \% / text {et år (Cline)} / \ tag { 21b} s ^ * = 40 \% / quad & / text {og} quad g ^ * = 2.0 \% / text {et år (Nordhaus)} / \ tag {21c} s ^ * = 98 \% / quad & / text {og} quad g ^ * = 4.9 \% / text {et år (Stern)} end {align})

4.5 Kommentar

En national besparelsesrate på 40% (ligning 21b) er uden tvivl høj med standarderne i nutidige vestlige økonomier, men der er lande, der i de senere år har opnået besparelsesrater på 40-45% (Kina er et fremtrædende eksempel). Et tal på 67% for (s ^ *) (ligning 21a) er højere end besparelsesraten i et hvilket som helst land, men er ikke over tro. De virkelig outlandish tal er 98% (ligning 21c). Det er outlandish, især fordi tallet er den optimale besparelsesrate, uanset hvor lille (K (0)) tilfældigvis er. Ganske vist er modellen her (lign. 11a – b) fænomenalt stiliseret, men den viser tydeligt observationen af Koopmans (1965), at det er tåbeligt at antage (delta = 0) (eller tæt på 0) uden først at kontrollere dens mulige konsekvenser for fordelingen af velvære gennem generationer.

Ligning (19) har vist, at den optimale væksthastighed for forbrug er afgrænset af (mu), hvilket forklarer, hvorfor (g ^ *) er mindre end 5% om året for hver af de tre parametriske specifikationer, vi har taget i betragtning. Specifikationerne kommer fra tre undersøgelser i velfærdsøkonomien ved globale klimaforandringer, hvor forfatterne arbejdede med modeller, der er meget mere komplekse end Ramsey's. Og alligevel er deres fund nøjagtigt, hvad hans formulering ville pege på (Dasgupta, 2008), nemlig at andre ting er lige, jo lavere er den valgte værdi af (delta) og / eller jo større er skaden på fremtidig vel- da det forventes at være forårsaget af globale klimaforandringer, jo større er investeringsniveauet, som DM bør anbefale for at afværge klimaændringer eller blødgøre virkningen af denne ændring på menneskers velvære. Den ofte skæve debat (f.eks. Nordhaus,2007) om, i hvilket omfang globale investeringer skulle rettes mod at reducere de skadelige virkninger af klimaforandringer blev ansporet af forskelle i modellespecifikation blandt økonomer i klimaændringer.

Den lineære teknologi (ækv. 11a) og den iso-elastiske (U) - funktion (ligning 11b) har samlet set tilbudt dyb indsigt, selvom vi her har begrænset diskussionen til pen-og-papir beregninger. De funktionelle former er ikke troværdige; Ikke desto mindre gjorde Ramsey brug af dem. Hans papir viste, at utroligt forenklede modeller, forudsat at deres konstruktion understøttes af stærk intuition, kan belyse spørgsmål, der tilsyneladende er umulige at indramme, så ikke desto mindre at svare kvantitativt. Det har været Ramsey's vedvarende gave til teoretisk økonomi.

Bibliografi

  • Arrow, KJ, P. Dasgupta, LH Goulder, KJ Mumford og K. Oleson (2012), “Bæredygtighed og måling af rigdom,” Miljø- og udviklingsøkonomi, 17 (3), 317–355.
  • ––– (2013), “Bæredygtighed og måling af rigdom: Yderligere reflektioner,” Miljø- og udviklingsøkonomi, 18 (4), 504–516.
  • Arrow, KJ og M. Kurz (1970), Offentlige investeringer, afkastprocenten og optimal finanspolitik (Baltimore: Johns Hopkins University Press).
  • Behrman, JR (2001), "Economics of Development", International Encyclopedia of Social and Behavioural Sciences (Amsterdam: Elsivier Science Direct), s. 3566–3574.
  • Brock, WA (1973), “Nogle resultater om stabilitet i unikke egenskaber i multisektormodeller med optimal vækst, når fremtidige redskaber nedsættes,” International Economic Review, 14 (3), 535–559.
  • Chakravarty, S. (1962), “Eksistensen af optimale besparelsesprogrammer,” Econometrica, 32 (1), 178–187.
  • ––– (1969), Kapital- og udviklingsplanlægning (Cambridge, MA: MIT Press).
  • Cline, WR (1992), The Economics of Global Warming (Washington, DC: Institute for International Economics).
  • Dasgupta, P. (1969), "Om konceptet med optimal befolkning," Gennemgang af økonomiske studier, 36 (3), 295–318.
  • ––– (2008), “Diskontering af klimaændringer,” Journal of Risk and Uncerurity, 37 (2-3), 141–169.
  • ––– (2019), Time and the Generations: befolkningsetik for en aftagende planet (New York: Columbia University Press).
  • Dasgupta, P. og GM Heal (1974), “Den optimale udtømning af udtømmelige ressourcer,” Gennemgang af økonomiske studier, 41 (Symposium Number), 3–28.
  • Diamond, PA (1965), "Evalueringen af uendelige værktøjsstrømme", Econometrica, 33 (1), 170–177.
  • Edgeworth, FY (1881), Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences (London: Kegan Paul).
  • Gale, D. (1967), “Om optimal udvikling i en multisektorøkonomi,” Gennemgang af økonomiske studier, 34 (1), 1–18.
  • Harrod, RF (1948), Mod en dynamisk økonomi (London: McMillan).
  • Koopmans, TC (1960), “Stationær ordinær værktøj og utålmodighed,” Econometrica, 28 (2), 287–309.
  • ––– (1965), "Om konceptet med optimal økonomisk vækst," Pontificiae Academiae Scientiarum Scripta Varia, 28. Genoptrykt i TC Koopmans (1966), The Econometric Approach to Development Planning (Amsterdam: North Holland).
  • ––– (1967), “Mål, begrænsninger og resultater i optimale vækstmodeller,” Econometrica, 35 (1), 1–15.
  • ––– (1972), “Repræsentation af præferencebestillinger over tid”, i CB McGuire og R. Radner, red., Beslutning og organisation (Amsterdam: Nordholland).
  • Levhari, D. og TN Srinivasan (1969), “Optimal besparelse under usikkerhed”, gennemgang af økonomiske studier, 36 (2), 153–163.
  • Little, IMD og JA Mirrlees (1968), Manual for industriel projektanalyse i udviklingslande: Analyse af sociale omkostningsfordele (Paris: OECD).
  • ––– (1974), projektvurdering og planlægning for udviklingslande (London: Heinemann).
  • Meade, JE (1966), “Livscyklusbesparelser, i arv og økonomisk vækst,” Gennemgang af økonomiske studier, 33 (1), 61–78.
  • Mirrlees, JA (1967), “Optimal vækst, når teknologi ændrer sig,” Gennemgang af økonomiske studier, 34 (1), 95–124.
  • Nordhaus, WD (1994), Managing the Global Commons: The Economics of Climate Change (Cambridge, MA: MIT Press).
  • ––– (2007), “En gennemgang af den tunge gennemgang om økonomien i klimaændringer,” Journal of Economic Literature, 45 (3), 686–702.
  • Parfit, D. (1984), Reasons and Persons (Oxford: Oxford University Press).
  • Ramsey, FP (1928), “A Mathematical Theory of Saving,” Economic Journal, 38 (4), 543–559.
  • ––– (1931), “Epilog” i RB Braithwaite, red., Grundlaget for matematik og andre logiske essays (London: Routledge og Kegan Paul).
  • Rawls, J. (1972), A Theory of Justice (Oxford: Oxford University Press).
  • Sen, A. og B. Williams (1982), "Introduktion", i, Utilitarianism and Beyond (Cambridge: Cambridge University Press).
  • Sidgwick, H. (1907), The Methods of Ethics (London: MacMillan), 7. udgave.
  • Solow, RM (1974a), “The Economics of Resources and the Resources of Economics,” American Economic Review, 64 (Papers & Proceedings), 1–21.
  • ––– (1974b), “Intergenerational Equity and Exhaustible Resources”, Review of Economic Studies, 41 (Symposium Issue), 29–45.
  • Stern, NH (2006), The Stern Review of the Economics of Climate Change (Cambridge: Cambridge University Press).
  • von Weizsacker, CC (1965), "Eksistens af optimale akkumuleringsprogrammer for en uendelig tidshorisont," Gennemgang af økonomiske studier, 32 (2), 85-104.
  • Yaari, M. (1965), “Usikker levetid, livsforsikring og teorien om forbruger,” gennemgang af økonomiske studier, 32 (2), 137–158.

Akademiske værktøjer

sep mand ikon
sep mand ikon
Sådan citeres denne post.
sep mand ikon
sep mand ikon
Forhåndsvis PDF-versionen af denne post hos Friends of the SEP Society.
inpho ikon
inpho ikon
Slå dette emne op på Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papirer ikon
phil papirer ikon
Forbedret bibliografi til denne post på PhilPapers med links til dens database.

Andre internetressourcer

[Kontakt forfatteren med forslag.]