Forslagsfunktion

Indholdsfortegnelse:

Forslagsfunktion
Forslagsfunktion

Video: Forslagsfunktion

Video: Forslagsfunktion
Video: Biological Molecules - You Are What You Eat: Crash Course Biology #3 2024, Marts
Anonim

Indtastningsnavigation

  • Indtastningsindhold
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Venner PDF-forhåndsvisning
  • Forfatter og citatinfo
  • Tilbage til toppen

Forslagsfunktion

Først offentliggjort ons 20. juli 2011

Som navnet antyder er propositionsfunktioner funktioner, der har forslag som deres værdier. Propositionsfunktioner har spillet en vigtig rolle i moderne logik, fra deres begyndelse i Freges teori om koncepter og deres analyser i Russells værker, til deres udseende i meget generel dække i moderne type teori og kategorisk grammatik.

I denne artikel giver jeg et historisk overblik over brugen af propositionsfunktioner i logisk teori og af synspunkter om deres art og ontologiske status.

  • 1. Forhistorik
  • 2. Slægtninges logik
  • 3. Forslagsfunktioner og fødslen af matematisk logik
  • 4. Fregean funktioner og koncepter
  • 5. Fremkomsten af propositionelle funktioner
  • 6. Forslagsfunktioner i Simple Type Theory
  • 7. Forslagsfunktioner i forstærket type teori
  • 8. Hvad er en propositionsfunktion i Russell?
  • 9. Mulige verdener og propositionelle funktioner
  • 10. Montague Semantics
  • 11. Kategorisk grammatik
  • 12. Konklusion
  • Bibliografi

    • Vigtige værker, hvor propositionelle funktioner spiller en nøglerolle
    • Lægebøger, hvor propositionelle funktioner er fremtrædende
    • Andre primære kilder:
    • Andre citerede værker
  • Akademiske værktøjer
  • Andre internetressourcer
  • Relaterede poster

1. Forhistorik

Før vi begynder med vores diskussion af propositionsfunktioner, vil det være nyttigt at bemærke, hvad der kom før deres introduktion. I traditionel logik er propositionsfunktionernes rolle tilnærmelsesvis indeholdt af udtryk. I traditionel logik behandles udsagn som 'hunde er pattedyr' som postulering af en forbindelse mellem udtrykkene 'hunde' og 'pattedyr'.

Et udtryk behandles enten ekstensivt som en klasse af objekter eller intensivt som et sæt egenskaber. "Hensigt" med udtrykket "hund" inkluderer alle de egenskaber, der er inkluderet i "pattedyrs" intention. Den intensive behandling af 'hunde er pattedyr' fortolker denne sætning som sand, fordi den semantiske fortolkning af emnet er et supersæt for fortolkningen af predikatet. Ved ekstensiv behandling af sætningen er sætningen dog sand, fordi fortolkningen af emnet (klassen af hunde) er en undergruppe af fortolkningen af predikatet (sæt af pattedyr).

Disse to behandlinger af predikatet er typiske for de to traditioner i traditionel logik - den intensionelle og den ekstensions traditionelle. Logikere, der kan tælles blandt de intensive logikere er Gottfried Leibniz, Johann Lambert, William Hamilton, Stanley Jevons og Hugh MacColl. Blandt ekstensionslogikere er George Boole, Augustus De Morgan, Charles Peirce og John Venn.

Behandlingen af udtryk i den intensive logiske traditionegenskab af visse sætninger kan virke underlig for moderne læsere. Den intension et prædikat, i 20 th Century filosofi, omfatter kun de egenskaber, som enhver kompetent taler et sprog ville forbinde med det prædikat. Disse egenskaber er ikke nok til at afgive ægte almindelige udsagn som "hver hund i mit hus sover". Men vi kan forstå det intensiverede syn på begreber ved at overveje dets oprindelse. En af grundlæggerne af den intensiv logiske tradition er Leibniz, der mener, at alle sandheder er baseret på individers natur. Det komplette individuelle koncept indeholder alt, hvad der er sandt for det. Med udgangspunkt i dette kan vi se, at det komplette begreb om et udtryk vil omfatte nok til også at basere enhver sandhed om det.

I både de intensions- og ekstensionslogiske traditioner ser vi teorier om komplekse termer. I ekstensional tradition fortolkes disjunktive og konjunktive udtryk ved at tage fagforeningen og krydset. Det konjunktive udtryk AB fortolkes som skæringspunktet mellem klasse A og klasse B, og forlængelsen af det disjunktive udtryk A + B forstås som foreningen mellem udvidelserne af A og B.

I den intensive tradition gælder det omvendte. Udtrykket AB fortolkes som sammenslutningen af egenskaberne i A-intentionen, og B og A + B's intention tolkes som skæringspunktet mellem egenskaberne i A og B. Denne vending giver mening, da flere ting passer til et mindre antal egenskaber og færre ting passer til et større antal egenskaber.

Selvom nogle af de logikere, der arbejder inden for begrebet logik, har meget komplicerede behandlinger af negation, kan vi også se oprindelsen af den moderne koncept i ekstensional tradition. I Boole og de fleste af hans tilhængere forstås negationen af et udtryk som den sætteoretiske komplement til klassen repræsenteret af det udtryk. Af denne grund kaldes negationen af klassisk propositionslogik ofte 'Boolsk negation'.

2. Slægtninges logik

I Charles Peirces 'Logic of Relatives' (1883) ser vi et skridt hen imod en forståelse af udtryk som funktioner. Et problem med traditionel begrebslogik er, at den mangler evnen til at håndtere relationer. Peirces logik med slægtninge er beregnet til at afhjælpe det. Han tilføjer termer til den boolske algebra, der repræsenterer forhold, og giver en ekstensiv fortolkning af dem. De er ikke propositionsfunktioner i fuld forstand. Peirces slægtninge er 'almindelige navne', der repræsenterer klasser af par af genstande (1883, 328). Således repræsenterer familiens logik en generalisering af traditionel logik snarere end en afvigelse fra den.

Peirce udvider algebraen af termer til at håndtere særlige træk ved forhold. Som andre udtryk kan vi have konjunktive, disjunktive og negative udtryk. Hvor f og g er slægtninge, repræsenterer fg klassen af par (I, J) sådan, at jeg bærer både f og g til J. Tilsvarende er den disjunktive slægtning, f + g, sådan, at den repræsenterer (I, J), hvis jeg bærer enten f eller g til J, og f '-negationen af udtrykket f-repræsenterer klassen af par (I, J) sådan at f ikke holder mellem dem. Peirce har også en sammensætningsoperatør;, sådan at f; g-navne (I, J), hvis der er en enhed K, således at f-navne (I, K) og g-navne (K, J).

I 'The Critic of Arguments' (1892) vedtager Peirce en opfattelse, der er endnu tættere på den propositive funktion. Der udvikler han begrebet 'rhema'. Han siger, at rhemaet er som et relativt udtryk, men det er ikke et udtryk. Det indeholder en copula, det vil sige, når det kobles til det rigtige antal argumenter, producerer det en påstand. For eksempel er '_ købt af _ fra _ for _' en fire-plads rhema. Påføring af det på fire genstande a, b, c og d giver påstanden om, at a købes af b fra c til d (ibid. 420).

Et særligt interessant punkt ved Peirces rhema er, at han bruger den samme kemiske analogi, som Frege gør, når de diskuterer forholdet mellem relationer og deres argumenter. De sammenligner begge forhold (og egenskaber) til 'atomer eller radikaler med umættede bindinger'. Hvad der nøjagtigt siger denne analogi om forhold eller egenskaber, enten i Frege eller Peirce, er noget uklart.

Se posten i Peirces logik for en mere fuldstændig redegørelse for hans arbejde.

3. Forslagsfunktioner og fødslen af matematisk logik

I Giuseppe Peanos arbejde (1858–1932) finder vi et andet vigtigt skridt hen imod den moderne forestilling om en propositionel funktion. Selvom hans arbejde ikke er så sofistikeret som Freges (se nedenfor), er det vigtigt, fordi det især har indflydelse på Bertrand Russell.

I sine 'Principles of Arithmetic Presented by a New Method' (1889) introducerer Peano propositionskonnektiver i moderne forstand (en implikation, negation, sammenhæng, disjunktion og en biconditional) og propositionskonstanter (et verum og en falsum).

Mere vigtigt for os er hans behandling af kvantificering. Peano tillader, at propositioner indeholder variabler, dvs. at han bruger åbne formler. Han giver ikke en fortolkning af åbne formler. Han fortæller os ikke, hvad de repræsenterer. Men de bruges i hans teori om kvantificering. Peano har kun en universel kvantificator. Han definerer ikke en eksistentiel kvantificer i 'Principperne'. Kvantificeringsenheden er altid knyttet til en betinget eller tobetinget. Kvantificerede forslag er altid af formen

A ⊃ x, y,… B

eller

A = x, y, … B

Peano læser 'A ⊃ x, y, … B' som at sige 'uanset hvad x, y, … måtte være, fra forslaget A, der trækker B', og '=' er Peanos bikonditionelle, at han på den sædvanlige måde definerer fra den betingede og sammenhæng. Men han giver os ikke mere fortolkning end det. Han refererer til variabler som 'ubestemte objekter', men diskuterer ikke, hvad dette eller hvad et forslag (eller propositionsfunktion), der indeholder propositionsobjekter, kan være.

4. Fregean funktioner og koncepter

I Frege har vi en ret generel fortolkning af sætninger som udtryk for funktioner, der gælder for argumenter. Det synspunkt, som jeg udforsker her, er et synspunkt, som han udvikler i 1890'erne.

Overvej sætningen

Min hund sover på gulvet.

Denne sætning har som alle sproglige udtryk både en mening og en referent. Dets sans er et abstrakt objekt - en tanke. Dets referent er dens sandhedsværdi (som i øjeblikket er sandt). Vi vil snart diskutere Freges analyse af tanken, men lad os lige nu se på referencerne til de udtryk, der udgør denne sætning.

Udtrykket 'min hund' er ifølge Frege et enestående udtryk. Den udvælger en genstand (min hund, Zermela). Udtrykket "sover på gulvet" henviser til et koncept. Koncepter er funktioner. I dette tilfælde er konceptet en funktion fra objekter til sandhedsværdier (som også er objekter). Så vi kan behandle ovennævnte sætning som at repræsentere begrebet _ sover i gulvet som på det objekt, min hund.

Freges koncepter er meget næsten propositionelle funktioner i moderne forstand. Frege genkender dem eksplicit som funktioner. Ligesom Peirces rhema er et koncept umættet. De er på en eller anden måde ufuldstændige. Selvom Frege aldrig overskrider det metaforiske i sin beskrivelse af ufuldstændigheden af begreber og andre funktioner, er en ting klar: Skillet mellem objekter og funktioner er hovedinddelingen i hans metafysik. Der er noget specielt ved funktioner, der gør dem meget forskellige fra objekter.

Lad os overveje 'min hund sover på gulvet' igen. Frege mener, at denne sætning kan analyseres på forskellige måder. I stedet for at behandle det som at udtrykke anvendelsen af _ sover i gulvet til min hund, kan vi tænke på det som at udtrykke anvendelsen af konceptet

min hund sover på _

til objektet

gulvet

(se Frege 1919). Frege genkender hvad der nu er almindeligt i den logiske analyse af naturligt sprog. Vi kan tilskrive mere end en logisk form til en enkelt sætning. Lad os kalde dette princip for flere analyser. Frege hævder ikke, at princippet altid gælder, men som vi vil se, hævder moderne type teori dette.

Med hensyn til sansesansen er de også resultatet af at anvende funktioner på genstande. Følelsen af 'min hund' er et abstrakt objekt. Følelsen af "sover på gulvet" er en funktion fra individuelle sanser, som den "min hund", til tanker (se Frege 1891). Følelsen af "sover på gulvet" er en konceptuel fornemmelse. Det ser ud til, at princippet om flere analyser holder lige så meget for sanser som for referenter. Frege taler dog undertiden, som om sanserne for de indgående udtryk for en sætning faktisk er indeholdt på en eller anden måde i tanken. Det er vanskeligt at forstå, hvordan alle sådanne sanser kunne være i tanken, hvis der er forskellige måder, hvorpå sætningen kan analyseres til bestanddagsudtryk.

Ud over begreber og konceptuelle sanser mener Frege, at der er udvidelser af koncepter. Frege kalder en udvidelse af et koncept for et 'kurs af værdier'. Et værdiforløb bestemmes af den værdi, konceptet har for hver af sine argumenter. Således er værdiforløbet for begrebet _ en hund registrerer, at dets værdi for argumentet Zermela er sandt, og for Socrates er det falsk, og så videre. Hvis to begreber har de samme værdier for hvert argument, er deres værdiforløb de samme. Således er kurser af værdier ekstensive.

For mere om Freges teori om koncepter og dens forhold til hans logik, se posten om Freges teorem og fundamenter for aritmetik.

5. Fremkomsten af propositionelle funktioner

Udtrykket 'propositionsfunktion' vises for første gang på tryk i Bertrand Russells Principles of Mathematics (1903). Russell introducerer begrebet gennem en diskussion af slags forslag. Overvej forslag af den type, der siger om noget, at det er en hund. Dette er den slags 'x er en hund'. Denne art er en propositionsfunktion, der tager ethvert objekt o til antagelsen om, at o er en hund.

I denne periode hævder Russell, at forslag er enheder, der har enkeltpersoner og egenskaber og relationer som bestanddele. Antagelsen om, at Socrates er en mand, har Socrates og egenskaben af at være en mand som bestanddele. I komplekse forslag er forholdet mellem propositionens funktion og propositionen mindre klar. Ligesom Frege tillader Russell abstraktion af en propositionel funktion fra enhver undladelse af en enhed fra et forslag. Således kan vi se forslaget

hvis Socrates drikker hemlock, vil han dø

som repræsenterer anvendelsen af funktionen

x drikker hemlock ⊃ x dør

til Socrates eller funktionen

Socrates vil drikke x ⊃ Socrates vil dø

at hæmlåse osv. Med andre ord accepterer Russell princippet om flere analyser.

I principperne analyseres kvantificatoren 'alle' som en del af henvisende sætninger, der udvælger klasser (1903, 72). Dette, kan vi se, er en hold-over fra den 19 th Century ekstensionelle logicians (se afsnit 1). Men i lidt senere værker, såsom 'On Denoting' (1905), siges propositionelle funktioner at være bestanddele af universelle forslag. I henhold til denne analyse består forslaget, der udtrykkes med sætninger som 'Alle hunde bjælker', af propositionsfunktionen x er en hund ⊃ x bjælker og en funktion (af propositionsfunktioner), der er repræsenteret af kvantificeringssætningen 'alle'. Kvantificerede forslag er interessante for os, fordi de indeholder propositionsfunktioner som bestanddele.

Det er uklart, om Russell hævder, at propositionsfunktioner også forekommer som bestanddele i entale propositioner, som hvis Socrates drikker hamlock, han vil dø. Disse propositioner indeholder egenskaber som dies og forhold, som drikkevarer, men det er kontroversielt om Russell mener, at dette er propositionelle funktioner (se Linsky 1999 og Landini 1998).

6. Forslagsfunktioner i Simple Type Theory

Mens han skrev Principperne for matematik, opdagede Russell det paradoks, der nu bærer hans navn. Inden vi kommer til Russells paradoks, lad os diskutere nogle af metoderne til diagonalisering, hvormed dette og mange andre paradokser genereres.

Strømforsyningen til et sæt S, ℘ S indeholder alle delmængderne til S. Georg Cantor (1845–1918) brugte metoden til diagonalisering for at vise, at for ethvert sæt S, ℘ S er større end S.

Her er Cantors bevis. Antag, at ℘ S og S har samme størrelse. Ved den sætteoretiske definition af "samme størrelse" (mere korrekt "samme kardinalitet") er der en en-til-en- overvågning mellem S og ℘S. Dette betyder, at der er en funktion, der matcher hvert medlem af S med et unikt medlem af so S, så der ikke er nogen medlemmer af left S tilbage. Lad os kalde denne funktion, f. Hvis x derefter er et medlem af S, er f (x) i ℘S. Da ℘ S er kraftsættet til S, kan det være, at x er i f (x), eller det er måske ikke i f (x). Lad os nu definere et sæt C:

C = {x ∈ S: x ∉ f (x)}

Det er klart, at C er en undergruppe af S, så det er i ℘S. Ved hypotese er f hvert medlem y af y S, der er en x ∈ S, således at f (x) = y. Således skal der være nogle C ∈ S sådan

f (c) = C

Nu heller

c ∈ C

eller

c ∉ C.

Antag, at c er i C. Efter definitionen af C er c ikke i f (c). Det vil sige c ∉ C. Men hvis c ikke er i C, så er c ∉ f (c). Så ved definitionen af C er c i C. Dermed,

c er i C hvis og kun hvis c ikke er i C.

Derfor antager antagelsen, at et sæt er af samme størrelse som dets kraftsæt, et paradoks, og denne antagelse skal derfor være falsk.

Kantors sætning har vigtige konsekvenser for teorien om propositionelle funktioner. Overvej en model til et (første-ordens) logisk sprog, der har et domæne D. Variablerne i sproget spænder over medlemmer af D. Lad os nu tilføje predikatvariabler til sproget. Disse står for propositionsfunktioner. Hvordan skal vi fortolke dem i modellen? Den almindelige måde at gøre det på - som er arvet fra den ekstensionslogiske tradition - er at have predikatvariabler i området over undergrupper af domænet. En model, hvor predikatvariabler spænder over alle delmængder af domænet kaldes en 'standardmodel' til andenordens logik. Cantors sætning fortæller os, at domænet for predikatvariabler i standardmodellen er større end domænet for individuelle variabler. Hvis vi har predikater med predikater,så er domænet for tredje ordens predikater endnu større. Og så videre.

Russells paradoks er meget tæt knyttet til Cantors teorem. Der er to versioner af paradokset: (1) klasseversionen; (2) den propositionsfunktionsversion. Jeg diskuterer kun den foreslåede funktionsversion af paradokset.

I sine tidlige skrifter ønsker Russell, at logik skal være en universel videnskab. Det skal give os mulighed for at tale om egenskaber ved alting. Med dette mener han, at variablerne i logik skal tages til at spænde over alle enheder. Men propositionsfunktioner, i det mindste i principperne, er enheder. Så variabler bør spænde over dem. Overvej nu predikatet R sådan, at

(∀ x) (Rx = ¬ xx)

(Russells predikat R svarer meget til Cantors sæt C.) Hvis vi indstiller og erstatter R for x, får vi

RR ≡ ¬ RR

Det ser således ud til, at behandlingen af variabler som helt generelle sammen med friheden til at definere propositionelle funktioner ved hjælp af enhver velformet formel gør det muligt for os at udlede en modsigelse.

Russell blokerer modsigelsen i principperne ved introduktionen af en teori om typer. Dette er en simpel teori om typer, der kun skelner mellem typerne af forskellige propositionsfunktioner (eller, i sin klasseform, af klasser). Lad os fravige Russells egen redegørelse for teorien om typer for at give en mere streng og mere moderne version af teorien. Dette vil gøre mine præsentationer af den forstærkede teori om typer og mere moderne versioner af typeteori lettere.

Vi bruger en basistype, i (typen af individer) og definerer typerne som følger:

  1. jeg er en type;
  2. Hvis t 1, …, t n er typer, så er << 1, …, t n >, hvor n ≥ 0.
  3. Intet andet er en type undtagen ved gentagne applikationer af (1) og (2).

Typen <t 1, …, t n > er typen af en relation mellem enheder af typerne t 1, …, t n. Men for enkelheds skyld vil vi fortolke dette som typen af en funktion, der bringer disse enheder til et forslag. (Bemærk, at når n = 0, så er den tomme type, typen for forslag.) Denne definition inkorporerer ideen om en velbegrundet struktur. Der er ingen cykler her. Vi kan ikke have en funktion, der tager som en funktion af samme eller højere type. Således forbyder simpel type teori den slags selvanvendelse, der giver anledning til Russells paradoks.

Typehierarkiet svarer pænt til hierarkiet af domæner, som vi så i vores diskussion af Cantors teorem. Et unikt predikat har typen <i>; dens domæne er D -sættet af individer. Et unikt predikat af predikater har typen << i >>, og dette svarer til domænet for undergrupper af D. Og så videre.

For mere kan du se posten om Russells paradoks.

7. Forslagsfunktioner i forstærket type teori

Efter principperne tror Russell imidlertid, at den enkle teori om typer er utilstrækkelig. Årsagen til det har at gøre med det løgnerparadoks. Antag, at 'L' er et navn på forslaget:

L er falsk.

Denne erklæring er falsk, hvis og kun hvis den er sand. Problemet her har noget at gøre med selvreference, men det kan ikke undgås af den enkle type teori. For enkle typer giver os kun et hierarki af typer af propositionsfunktioner. I simpeltypeteori har alle forslag samme type.

Ideen bag forstærket type teori er også at introducere et hierarki af forslag. På dette synspunkt har forslag og propositionsfunktioner en rækkefølge. Hvis en propositionsfunktion anvendes til et forslag til en bestemt orden, giver den et forslag af en højere orden. Og hver funktion skal have en højere orden end dens argumenter. Således undgår vi det løgne paradoks ved at forbyde et forslag, der forekommer i sig selv. Hvis et forslag p forekommer inden for et andet forslag, da argumentet for en funktion som x er falsk, er den resulterende proposition af en højere orden end p.

Desværre giver Russell aldrig en præcis formulering af forstærket type teori. Den bedste formulering skyldes måske Alonzo Church (1976). [1]

Næsten på samme tid som han vedtager den forstærkede teori om typer, opgiver Russell forslag. Fra omkring 1908 til 1918, selvom Russell bevarer ideen om, at der er ægte forslag, benægter han, at der er falske. Når vi tænker på noget, der er falsk, skal du sige, Zermela er en kat, vi tænker ikke på et falskt forslag, men snarere objekterne i vores tanke er bare Zermela og egenskaben ved at være en kat. Det kan virke underligt at have et hierarki specielt designet til at stratificere forslagene og derefter hævde, at der ikke er nogen forslag. Nogle tolke har dog hævdet, at Russells benægtelse af eksistensen af forslag ikke bør tages alvorligt, og at der er meget gode grunde til at læse Principia som i vid udstrækning en teori om forslag (se Church 1984).

Én grund til at tage den forstærkede teori om typer alvorligt (selv uden at acceptere forslag) er, at den med fordel kan integreres i en substitutionel teori om kvantificering. Ved substitutionel fortolkning af kvantificatorerne er en universelt kvantificeret formel som (∀ x) Fx sand, hvis og kun hvis alle dens forekomster Fa 1, Fa 2, Fa 3, … er sandt. Tilsvarende er (∀ x) Fa sandt, hvis og kun hvis mindst et af dets tilfælde er sandt.

Overvej en substitutionel fortolkning af kvantificatorer med variabler, der spænder over predikater, som i formlen, (∀ P) Pa. Denne formel er sand, hvis og kun hvis alle dens forekomster er rigtige. På en simpel teori om typer er typen af variablen P <i>, da dens argumenter alle er individer (eller entalbetegnelser). Men den enkle type funktion, (∀ P) Px er også. Så et eksempel på (∀ P) Pa er (∀ P) Pa i sig selv. En substitutionel fortolkning af kvantificatorerne kræver, at forekomster er enklere end de formler, som de er tilfælde. I dette tilfælde er alt, hvad vi finder ud af, at en bestemt formel kun er sand, hvis den er sand. Dette er uinformativt, og det virker ondsindet cirkulært.

For at blokere for denne form for cirkularitet kan vi henvende os til den forstærkede teori om typer. På den forstærkede teori er propositionsfunktionen (∀ P) Px af rækkefølge 2 på grund af tilstedeværelsen af kvantificatoren, der binder en variabel af rækkefølge 1. På denne måde tvinger den forstærkede teori formler til at være enklere (i det mindste med hensyn til orden) end de formler, som de er tilfælde af (se Hazen og Davoren 2000).

8. Hvad er en propositionsfunktion i Russell?

Efter 1905 ser vi i Russell en lidenskabelig tilbøjelighed. Han ønsker at fjerne enheder fra sin ontologi. Nogen tid mellem 1908 og 1910 begynder han at benægte eksistensen af propositioner, og denne benægtelse fortsætter, indtil han udvikler en teori om propositioner som strukturer for billeder eller ord i (1918). Hvad er så skæbnen for propositionsfunktioner? Det kan se ud som om det er vanskeligt at forstå, hvad en proposition er uden forudsætninger, men Russells opfattelse er ikke så kompliceret. Russell afviser kun falske forslag. Han bevarer fakta i sin ontologi. Forslagsfunktioner i Principia er det, vi nu kalder "delvise funktioner". Det vil sige, de har ikke altid værdier. For eksempel er den propositionsfunktion _ en hund, der ikke har en værdi for Sydney Opera House taget som et argument,men det har en værdi, når min hund tages som sin argumentation. Så afvisning af falske forslag medfører ikke et alvorligt problem for teorien om propositionelle funktioner i Russell.

Efter at have behandlet dette problem, lad os fortsætte med at se, hvad Whitehead og Russell mener, at propositionsfunktionernes karakter er. I Principia siger de:

Med en "propositionsfunktion" mener vi noget, der indeholder en variabel x, og udtrykker en proposition, så snart en værdi er tildelt x. Det vil sige, at det adskiller sig fra et forslag udelukkende af det faktum, at det er tvetydigt: det indeholder en variabel, hvis værdi ikke tildeles. (1910, 38).

I dette afsnit ser det ud til, at de siger, at en proposition er en tvetydig proposition. I lyset af afvisningen af forslag er dette synspunkt især svært at forstå. Urquhart (2003) siger, at en propositionsfunktion for Whitehead og Russell er noget snarere som en formel. Dette synes rigtigt, da propositionsfunktioner indeholder variabler.

Men hvad er egentlig propositionsfunktioner i Principia? Dette er et spørgsmål om ophedet debat blandt Russell-lærde. Den mest indflydelsesrige fortolkning er måske den konstruktive fortolkning på grund af Kurt Gödel (1944). På denne fortolkning er propositionsfunktioner menneskelige konstruktioner af en eller anden slags. De afhænger af vores evne til at tænke på dem eller henvise til dem. En version af den konstruktive fortolkning kan også findes i Linsky (1999). Der er også en mere nominalistisk fortolkning i Landini (1998). På den realistiske side er fortolkningerne givet af Alonzo Church (1984) og Warren Goldfarb (1989). Goldfarb mener, at den logiske teori om Principia er motiveret af Russells forsøg på at finde den virkelige natur af propositionelle funktioner, og at denne natur er uafhængig af vores tanker om det. Goldfarb har et godt punkt,da Russells logik antages at være en perspektiv repræsentation af, hvordan tingene er. Men Russell ser ofte ud til at benægte, at propositionsfunktioner er reelle enheder.

9. Mulige verdener og propositionelle funktioner

At springe nogle årtier fremad og tilføje mulige verdener sammen med sætteori til logikernes værktøjskasse har givet dem en meget kraftig og fleksibel ramme til at udføre semantik.

Lad os først huske den moderne forestilling om en funktion. En funktion er et sæt bestilte par. Hvis <a, b> er i en funktion f, betyder det, at værdien af f for argumentet a er b eller, mere kortfattet, f (a) = b. Ved den matematiske definition af en funktion er der for hvert argument for en funktion én og kun en værdi. Så hvis det bestilte par <a, b> er i en funktion f og så er <a, c>, så er b det samme som c.

Konstruktionen af propositionsfunktioner begynder med mulige verdener og antagelsen om, at der er sæt. Lad os kalde det sæt mulige verdener W. Et forslag er et sæt mulige verdener. Antagelsen om, at Zermela bjælker, for eksempel, er alle verdens sæt, hvor Zermela bjælker. Vi er også nødt til at antage, at der er et sæt I af mulige individer (dvs. de individer, der findes i mindst en mulig verden). Vi har nu alle materialer til at konstruere et simpelt typeteoretisk hierarki af funktioner.

Den sædvanlige behandling af betydningen af predikater adskiller sig lidt fra den måde, jeg har beskrevet her. Normalt betragtes intensiteten af et predikat til at være en funktion fra mulige verdener til sæt individer (eller sæt af bestilte par af individer til binære relationer, bestilte tripler til tre-sted-forbindelser osv.). Strengt taget er disse funktioner ikke propositionsfunktioner, fordi de ikke tager forslag som værdier. Men for hver sådan funktion kan vi konstruere en 'ækvivalente' propositionsfunktioner ved at bruge en proces kaldet 'Currying' efter logikeren Haskell Curry. Lad os starte med en funktion f fra verdener til sæt individer. Derefter kan vi konstruere den tilsvarende propositionsfunktion g som følger. For hver verden og individ i konstruerer vi g, så

w er i g (i) hvis og kun hvis jeg er i f (w).

Så den mere standardbehandling af betydningerne af predikater svarer virkelig til brugen af propositionsfunktioner.

10. Montague Semantics

Nu hvor vi har et helt hierarki med propositionsfunktioner, bør vi finde noget arbejde, de kan udføre. En teori, hvor propositionelle funktioner fungerer godt, er Montague semantik, udviklet i slutningen af 1960'erne af Richard Montague.

For at forstå Montages metode er vi nødt til at forstå lambda-abstraktion. For formlen A (x) læser vi udtrykket λ x [A (x)] som et predikatudtryk. Udvidelsen (i en given mulig verden) er det sæt af ting, der tilfredsstiller formlen A (x). Lambda-abstraktorer styres af to regler, kendt som α-konvertering og β-reduktion:

(a-con) A (a) (en formel med en fri for x) kan erstattes af λ x [A (x)] a.

(ß-rød) λ x [A (x)] a kan erstattes af A (a) (hvor x er fri for a i A (x)).

På grund af ækvivalensen mellem en formel A (x) og λ x [A (x)] a, må man undre sig over, hvorfor tilføje lambda-abstraktorer til vores sprog. I Montague semantik har svaret at gøre med den meget direkte måde, hvorpå han oversætter udtryk for naturlige sprog til sit logiske sprog. Vi diskuterer det snart, men lad os først lære lidt om Montages intensiv logik.

Montague tilføjer to andre stykker notation til sit sprog: og . Udtrykket λ x [Fx] repræsenterer en funktion fra verdener til sæt individer. Givet en mulig verden w repræsenterer λ x [Fx] en funktion, der tager w til udvidelsen af λ x [Fx]. Operatøren tager udtryk fra formen λ x [Fx] 'ned' til deres udvidelser i den verden, hvor udtrykket evalueres. For eksempel er udvidelsen af λ x [Fx] ved w lige den samme som udvidelsen af λ x [Fx] ved w.

Det, der er så specielt ved Montague semantik, er, at det kan bruges på en meget direkte måde som semantik for store fragmenter af naturlige sprog. Overvej følgende sætning:

Zermela bjælker.

Betydningen af denne sætning forstås i Montague semantik som en struktur af betydningen af dens bestanddelende udtryk. Montague repræsenterer betydningen af udtryk ved hjælp af oversættelsesregler. Her bruger vi følgende oversættelsesregler:

Zermela oversætter til λP [( P) z]

bjælker oversættes til B

Nu kan vi konstruere en formel, der giver betydningen af 'Zermela bjælker':

PP [(∨P) z] B

Bemærk, at vi i konstruktionen af sætningen placerer udtrykkene i den samme rækkefølge, som de forekommer på engelsk. Brug af lambda-abstrakter giver os mulighed for at vende rækkefølgen af to udtryk fra den måde, de vises på i almindelige udsagn om et formelt logisk sprog (der har ikke lambdas). Nu kan vi bruge β-reduktion til at opnå:

(∨∧ B) z

Og nu anvender vi Montages regel for at fjerne ∨∧:

Bz

I denne proces starter vi med et udtryk, der har den samme rækkefølge af udtryk som den originale engelske sætning og derefter reducerer den til en meget standardformel for logik. Dette fortæller os, at sandhedstilstanden i sætningen 'Zermela bjælker' er det sæt verdener, der er det udtryk, som Bz udtrykker. Selvfølgelig vidste vi det uafhængigt af Montages arbejde, men pointen er, at Montague-reduktionen viser os, hvordan vi kan forbinde overfladegrammatikken i engelske sætninger med formlen for vores logiske sprog. Formlen for standardlogik viser desuden dens sandhedsbetingelser på en meget perspektiv måde. Så Montague-reduktionen viser os forbindelsen mellem sætninger af naturlige sprog til deres sandhedsbetingelser.

11. Kategorisk grammatik

Kategoriske grammatik blev først konstrueret i 1930'erne af Kazamir Ajdukiewicz (1890–1963) og udviklet af Yehoshua Bar Hillel (1915–1975) og Joachim Lambek (1922–19) i 1950'erne og 1960'erne. Kategoriske grammatik er logiske værktøjer til at repræsentere syntaks for sprog.

I kategorisk grammatik er syntaks af sprog repræsenteret ved hjælp af en anden form for generalisering af den funktionelle notation end i Montague semantik. I Montague Semantics bruges lambda-abstraktoren til at flytte betydningen af et udtryk til det sted, som udtrykket optager i en sætning. I kategorisk grammatik betragtes predikater og mange andre slags udtryk for at være slags funktioner. Men der er en sondring i kategorisk grammatik mellem to former for anvendelse af en funktion på dens argumenter.

Lad os se, hvordan dette fungerer. Lad os starte med de primitive typer CN (almindeligt substantiv) og NP (navneordssætning). Den ubestemte artikel 'a' tager et fælles substantiv (til højre) og returnerer et NP. Så det har typen NP / CN. Det fælles substantiv 'hund' har naturligvis typen CN. Vi skriver 'A har typen T' som 'A ⊢ T'. Så vi har,

a ⊢ NP / CN

og

hund ⊢ CN

For at sammensætte disse to sekvenser kan vi bruge en form for regelmodus-pononer, der siger, at vi fra en sekvens X ⊢ A / B og en sekvens Y ⊢ B kan udlede sekvensen X. Y ⊢ A. Vi kan bruge denne regel til at udlede:

a. hund ⊢ NP

Derudover har et intransitivt verb typen NP / S, hvor S er typen af sætninger. Tilbageslag i NP / S betyder, at udtrykket tager et argument af typen NP i venstre side og returnerer et udtryk af type S. Ordet 'bjælker' er intransitivt, dvs.

gøer ⊢ NP / S

Den version af modus ponens, som vi bruger med tilbageslag, er lidt anderledes. Det fortæller os, at vi fra X ⊢ A / B og Y ⊢ A kan udlede Y. X ⊢ B. Så vi kan nu opnå,

(a. hund). barks ⊢ S

Dette siger, at 'en hund bjælker' er en sætning.

Logik, der bruges til at beskrive grammatik på denne måde, er substrukturelogik.

Det, der er interessant for os her, er, at i kategoriske grammatikker betragtes bestemmere som 'a' og verb som funktioner, men de kan afvige fra hinanden med hensyn til, om de tager argumenter til højre eller til venstre. I det sætteoretiske begreb om funktion som et sæt bestilte par, tænkes funktioner på blot med hensyn til deres korrelerende argumenter med værdier. En funktion, som den forstås i kategorisk grammatik, har mere struktur end denne. Dette er en interessant generalisering af forestillingen om en funktion, som den bruges i logik. Vi kan se, at det også har vigtige links til begrebet en propositionsfunktion, især som det bruges i Montague semantik.

I kategorisk grammatik kan vi tilskrive mere end en type til et enkelt udtryk på et sprog. Lad os kalde dette princip for flere typer. Her er et eksempel på grund af Mark Steadman. Overvej sætningen

Jeg kan ikke lide, og Mary nyder musicals.

De transitive verb 'kan ikke lide' og 'nyder' har typen (NP / S) / NP, det vil sige, de tager en substantivfrase til højre og returnerer en verbfrase. Men i tilfælde af 'Jeg kan ikke lide, og Mary nyder musikalsk', adskilles verberne fra deres objekt og forbindes til deres objekter. Steadman beskæftiger sig med dette ved at hæve typen af emnerne 'Jeg' og 'Mary'. Normalt behandler vi disse ord som at have typen NP, men her har de typen S / (NP / S). Dette er typen af et udtryk, der tager en verbfrase til højre og returnerer en sætning. Steadman bruger derefter en regel, der gør tilbagegangene transitive og udleder, at 'I.dislike' har typen S / NP, der tager en substantivfrase (såsom 'musicals') til højre og returnerer en sætning.

Vi kan se, at princippet om flere typer også gælder, hvis man analyserer sætninger andre typer teorier, såsom den enkle teori om typer. For at overveje sætningen

Mary spiser en hamburger.

Ved fortolkning af denne sætning kan vi tage 'Mary' til at være af type i, men vi kan også tage den til at være af typen <>, det vil sige typen af en propositionsfunktion på individuelle propositionsfunktioner. Vi kan også hæve typen 'spiser en hamburger' til << >>, en propositionsfunktion på propositionsfunktioner på propositionsfunktioner hos enkeltpersoner. Og så videre. Princippet om flere typer og princippet om flere analyser tilsammen viser, at et enkelt udtryk eller sætning kan fortolkes som at have et meget stort antal logiske former.

12. Konklusion

Denne korte historie med propositionsfunktioner viser, at de er nyttige enheder, og at de har spillet en central rolle i logikken, som den bruges i filosofi og lingvistik. Jeg har udeladt den mere matematiske anvendelse af propositionsfunktioner, for eksempel i Russells og Ramseys konstruktioner af klasser og i behandlinger af generelle modeller til højere ordenslogik. Men emnet med propositionsfunktioner er stort, og vi kan ikke dække det hele i en enkelt encyklopædiartikel.

Bibliografi

Vigtige værker, hvor propositionelle funktioner spiller en nøglerolle

  • Church, Alonzo, forestående, Alonzo Church's Logic of Sense and Denotation, Cambridge: Cambridge University Press. (Dette har Kirkens papirer, hvori han udvikler en intensiv logik. I denne logik spiller hierarkiet af propositionsfunktioner en vigtig rolle i håndteringen af paradokser vedrørende propositive holdningsrapporter - dvs. udsagn om, hvad folk tror, mener, benægter osv.)
  • Cresswell, MJ, 1973, Logics and Sprog, London: Methuen. (Dette præsenterer en enklere fætter til Montague semantik. Visningen bruges som en semantik til propositionsindstillingsrapporter i M. Cresswell, Structured Meanings, Cambridge, MA: MIT Press, 1985.)
  • Frege, Gottlob, 1892, 'On Concept and Object', i Collected Papers, Oxford: Blackwell, 1991, 182–194. (Dette er den klassiske præsentation af Freges opfattelse af et koncept.)
  • Goldblatt, Robert, 2011, Quantifers, Propositions and Identity, Cambridge: Cambridge University Press. (Dette præsenterer en ny semantik for modal predikatlogik, der bruger både propositioner og verdener. Kapitel 4 udforsker nogle formelle grunde til også at tilføje propositionsfunktioner til semantikken.)
  • Montague, Richard, 1973, Formel filosofi, New Haven: Yale University Press. (Den sidste halvdel af bogen handler om Montages intensionslogik og hans semantik for naturligt sprog.)
  • Ramsey, Frank, 1925, 'Foundations of Mathematics', i Ramsey, Foundations: Essays in Philosophy, Logic, Mathematics and Economics, Atlantic Highlands, NJ: Humanities Press, 1978, 152–212. (Dette præsenterer en teori om propositionelle funktioner som et nøgleelement i Ramseys matematikfilosofi.)
  • Russell, Bertrand, 1903, Principles of Mathematics, New York: Norton og Norton. (Dette er Russells første vedvarende diskussion af propositionelle funktioner.)
  • Whitehead, Alfred North og Bertrand Russell, 1910–1913 [1925], Principia Mathematica, Cambridge: Cambridge University Press. (Dette er en vedvarende, men ekstremt vanskelig præsentation af forstærket type teori.)

Lægebøger, hvor propositionelle funktioner er fremtrædende

  • Dowty, David R., Robert E. Wall og Stanley Peters, 1981, Introduction to Montague Semantics, Dordrecht: Reidel, 1981. (Dette er en meget klar lærebog om Montague semantik.)
  • Gamut, LTF, 1991, Logic, Language and Meaning, Chicago: University of Chicago Press. (En meget god og klart skrevet lærebog, der dækker modal logik, kategorisk grammatik og Montague semantik, blandt andre emner.)
  • Hylton, Peter, 1990, Russell, idealisme og fremkomsten af analytisk filosofi, Oxford: Oxford University Press, 1990.
  • Hylton, Peter, 2005, Forslag, funktioner og analyse: Udvalgte essays om Russells filosofi, Oxford: Oxford University Press. (Dette værk og Hylton 1990 er vigtige tekster om fortolkningen af Russells logik. Hylton hævder, at Russells opfattelse af en propositionsfunktion ikke passer med resten af hans metafysik.)
  • Moortgat, Michael, 1988, kategoriske undersøgelser: Logiske og sproglige aspekter af Lambek Calculus, Dordrecht: Foris Publications. (Dette er en dateret, men fremragende bog om kategorisk grammatik.)

Andre primære kilder:

  • Boole, George, 1854, En undersøgelse af tankeloven, som er grundlagt på de matematiske teorier om logik og sandsynligheder, New York: Dover, 1958.
  • Frege, Gottlob, 1891, brev til Edmund Husserl, dateret den 24. maj 1891, i Frege, filosofisk og matematisk korrespondance, Chicago: University of Chicago Press, 1980, 61–64.
  • Frege, Gottlob, 1919, 'Noter til Ludwig Darmstaedter', i Frege, Posthumous Writings, Chicago: University of Chicago Press, 1979, 253–257.
  • Frege, Gottlob, Samlede papirer om matematik, logik og filosofi, Oxford: Blackwell, 1991.
  • Jevons, WS, 1890, Pure Logic og andre mindre værker, Whitefish, MT: Kessinger Publishing, 2009.
  • Peano, Giuseppe, 1889, 'Principperne for aritmetik præsenteret ved en ny metode', i J. van Heijenoort (red.), Fra Frege til Gödel: En kildebog i matematisk logik, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1981, 83–97.
  • Peirce, CS, 1883, 'The Relications Logic', i indsamlede artikler fra Charles Sanders Peirce (bind III: Exact Logic), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1933, 195–209.
  • Peirce, CS, 1892, 'Kritikeren af argumenter', i indsamlede papirer af Charles Sanders Peirce (bind III: Exact Logic), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1933, 250-264.

Andre citerede værker

  • Church, Alonzo, 1976, 'Sammenligning af Russells opløsning af de semantiske antinomier med Tarski' Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760.
  • Church, Alonzo, 1984, 'Russells teori om identitet af forslag' Philosophia Naturalis, 21: 513–22.
  • Gödel, Kurt, 1944, 'Russells matematiske logik', i PA Schilpp (red.), The Philosophy of Bertrand Russell, New York: Tudor Publishing Co., 123–144.
  • Goldfarb, Warren, 1989, 'Russells grunde til forstærkning', i CW Savage og CA Anderson (red.), Genlæse Russell: Essays on Bertrand Russells metafysik og epistemologi, Minneapolis: University of Minnesota Press, 24–40.
  • Hazen, AP og JM Davoren, 2000, 'Russells 1925 Logic' Australasian Journal of Philosophy, 78: 534–556.
  • Kneale, William og Martha Kneale, 1984, The Development of Logic, Oxford: Oxford University Press.
  • Landini, Gregory, 1998, Russells Hidden Substitutional Theory, Oxford: Oxford University Press.
  • Lewis, CI, 1918, A Survey of Symbolic Logic, Berkeley: University of California Press.
  • Linsky, Bernard, 1999, Russells Metaphysical Logic, Stanford: CSLI.
  • Steadman, Mark, 1991, 'Type Raising and Directionality in Combinatory Grammar' University of Pennsylvania Department of Computer and Information Science Technical Report MS-CIS-91-11.
  • Urquhart, Alasdair, 2003, 'The Theory of Types', i N. Griffin (red.), Cambridge Companion til Russell, Cambridge Cambridge University Press, 286–309.

Akademiske værktøjer

sep mand ikon
sep mand ikon
Sådan citeres denne post.
sep mand ikon
sep mand ikon
Forhåndsvis PDF-versionen af denne post hos Friends of the SEP Society.
inpho ikon
inpho ikon
Slå dette emne op på Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papirer ikon
phil papirer ikon
Forbedret bibliografi til denne post på PhilPapers med links til dens database.

Andre internetressourcer

[Kontakt forfatteren med forslag.]