Generaliserede Kvantificatorer

Indholdsfortegnelse:

Generaliserede Kvantificatorer
Generaliserede Kvantificatorer

Video: Generaliserede Kvantificatorer

Video: Generaliserede Kvantificatorer
Video: Analytisk mekanik - generaliserede koordinater og lagrange ligninger 2024, Marts
Anonim

Indtastningsnavigation

  • Indtastningsindhold
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Venner PDF-forhåndsvisning
  • Forfatter og citatinfo
  • Tilbage til toppen

Generaliserede kvantificatorer

Først offentliggjort man 5. december 2005; substantiel revision fre 26. juli 2019

Generaliserede kvantificatorer er nu standardudstyr i værktøjskasser for både logikere og sprogfolk. Formålet med denne indgang er at beskrive disse værktøjer: hvor de kommer fra, hvordan de fungerer, og hvad de kan bruges til at gøre. Beskrivelsen er nødvendigvis tegnet, men der findes flere mere omfattende undersøgelser i litteraturen og vil blive henvist til, når det er relevant. For fuldt ud at værdsætte teksten nedenfor vil grundlæggende kendskab til elementær sætteoretisk terminologi og med sproget i første ordens logik være nyttige.

  • 1. Forberedelser
  • 2. Aristoteles
  • 3. Frege
  • 4. Generalisering af Universal og Existential Quantifier
  • 5. Generaliserede kvantificatorer af vilkårlige typer
  • 6. Emneutralitet
  • 7. Relativisering
  • 8. Udtryksfuld kraft
  • 9. Generaliserede kvantificatorer og beregning
  • 10. Generaliserede kvantificatorer og naturligt sprog
  • 11. Konservativitet
  • 12. Udvidelse
  • 13. Symmetri og monotonicitet
  • 14. Bestemmere, der ikke er ISOM
  • 15. Konstance
  • 16. Polyadic Natural Language Quantifiers
  • 17. GQ Teori og Sprogvidenskab
  • 18. Kvantificering og erkendelse
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Andre internetressourcer
  • Relaterede poster

1. Forberedelser

Udtrykket "generaliseret kvantificeringsmiddel" afspejler, at disse enheder blev introduceret i logik som generaliseringer af standardkvantificatorerne for moderne logik, (forall) og (eksisterer). [1] I eftertid kan man sige, at (forall) og (exist) har vist sig at være kun to tilfælde af et meget mere generelt kvantificeringsbegreb, hvilket gør udtrykket “generaliseret” overflødigt. I dag er det også almindeligt at bruge bare”kvantificeringsmiddel” til den generelle opfattelse, men”generaliseret kvantificeringsmiddel” er stadig hyppigt af historiske grunde. Denne artikel beskæftiger begge udtryk med en tendens til at indsætte "generaliseret" i logiske sammenhænge og slippe det i sproglige sammenhænge.

Vi adskiller kvantificeringsudtryk fra det, de betegner eller betegner, de (generaliserede) kvantificatorer selv. På logiske sprog er kvantificeringsudtryk variabelt-bindende operatører. Således er (exist) den kendte operator, således at i en formel (eksisterer x / f), [2] (eksisterer x) binder alle frie forekomster af x i (f). Det betyder kvantificatoren "der findes" - vi ser snart nøjagtigt, hvad dette objekt er. Ligeledes bruges symbolet (Q_0) ofte som en operatør med variabel binding, der angiver”der findes uendeligt mange”.

På naturlige sprog er en række udtryk blevet set som kvantificeringsudtryk, for eksempel hvert af følgende engelske udtryk:

alt, intet, tre bøger, de ti professorer, John, John og Mary, kun John, brandmænd, hver, mindst fem, mest, alle undtagen ti, mindre end halvdelen af, John's, nogle studerendes, nej … undtagen Mary, mere mandlige end kvindelige, normalt aldrig, hinanden. [3]

Hvad er der så generelle kvantificatorer? Inden du besvarer dette spørgsmål, er en kort historisk indledning nyttig.

2. Aristoteles

Aristoteles syllogistik kan ses som en formel undersøgelse af betydningen af de fire grundlæggende kvantificeringsudtryk alle, nej, nogle, ikke alle og deres egenskaber. F.eks. Gyldigheden ifølge Aristoteles af syllogismen

alle (A, B) alle (B, C) nogle (A, C)

viser, at han i modsætning til moderne logisk brug alle betragtede som eksistentiel import, så alle A er B indebærer, at A ikke er et tomt udtryk. Ligeledes gyldigheden af syllogismen

nogle (A, B) alle (B, C) alle (A, C)

udtrykker, at nogle øges monoton (som vi nu udtrykker) i det andet argument. Hver gyldig syllogisme formaliserer en del af betydningen af disse kvantificeringsudtryk, men Aristoteles undersøgelse af deres egenskaber gik ud over syllogistikken. Han bemærkede for eksempel, at nogle og ingen er konvertible eller, som vi måske siger, symmetriske, da de tilfredsstiller ordningen

Q (A, B) Q (B, A)

i modsætning til alt og ikke alle. Desuden studerede han, hvordan forskellige former for negation kombineret med kvantificeringsudtryk i (hvad der senere blev kaldt) oppositionspladsen. [4]Middelalderens logikere fortsatte i Aristoteles tradition, men udvidede også syllogistiske resonnementer til tilfælde, hvor A, B selv kunne kvantificeres udtryk, hvorved de handlede om premisser og konklusioner som Et æsel af enhver mand ikke løber (eksempel fra John Buridan, 1300-tallet). Selvom den aristoteliske logik ikke kommer til at udtrykke ekspressiviteten og præcisionen i den moderne logik, var syllogistikken bestemt et afgørende bidrag til studiet af kvantificering. Faktisk er syllogistiske systemer med forskellige udtrykskræfter for nylig blevet undersøgt i matematisk logik, netop på grund af deres tilknytning til naturlige resonnementer og deres enkle beregningsegenskaber; se afsnit 18 nedenfor.

Specielt interessant i den nuværende kontekst er det faktum, at disse kvantificeringsudtryk tager to argumenter eller udtryk, og således kan ses som binære relationer, både syntaktisk (som Aristoteles uden tvivl så dem) og semantisk: i betragtning af at udtryk betegner sæt af individer, udtryk nogle kan tages for at betegne forholdet mellem overlapning, dvs. at have ikke-tom skæringspunkt mellem to sæt, og alt betyder inkluderingsrelationen. Bemærk, at dette ikke er relationer mellem individer, men mellem sæt individer - andenordens relationer. Faktisk er de nøjagtigt de generaliserede kvantificatorer henholdsvis nogle og alle (på et givet univers).

Denne tråd - at kvantificeringsudtryk betegner forhold til anden orden - blev ikke hentet af nogen af Aristoteles middelalderens tilhængere (så vidt vi ved). I stedet hentede de det faktum, at de to udtryk har forskellig status: den første kombineres med kvantificeringsudtrykket for at danne en substantivfrase (som vi nu siger), som er genstand for sætningen, mens den anden er en verbfrase udgør predikatet. Dette fik dem til at fokusere på, hvad emnet - alle mænd, nogle hunde, ingen sejlere - betegner, hvilket konceptuelt synes at være et sværere spørgsmål. Man kan antage, at alle mænd betegner enhver mand (eller mændsættet), og at nogle hunde betegner en bestemt hund, men hvad med ingen sejlere? Faktisk kan man vise, at fremgangsmåder som disse er dømt til at mislykkes. [5] Den moderne”løsning” er, at navneordssætninger betegner sæt sæt individer, således at for eksempel nogle hunde betyder det sæt sæt, der indeholder mindst en hund - men det ser ud til at kræve en mere abstrakt og matematisk tilgang til semantik end ideen, hvilket i det mindste er implicit i Aristoteles, at kvantificeringsfraser angiver forhold mellem (betegnelserne på) udtryk.

3. Frege

Det andet store historiske bidrag til teorien om generaliserede kvantificatorer kom fra "opfinderen" af moderne logik, Gottlob Frege, i 1870'erne. Faktisk er Freges bidrag todelt. Som enhver filosofistudent ved, introducerede han sproget med predikatlogik med sentimentelle forbindelser, identitet og den variable bindende operator (forall) (skønt hans 2-dimensionelle logiske notation ikke længere bruges). Dette er de kvantificatorer, som logikere i 1950'erne begyndte at "generalisere". Men Frege formulerede også eksplicit den abstrakte opfattelse af en kvantificator som en andenordens relation, eller, som han kaldte det, et andet niveau-koncept ("Begriff zweiter Stufe"). Han var godt klar over, at de fire aristoteliske kvantificatorer var gode eksempler, men han ønskede at undgå fokus på emne-predikatform,som han (med meget retfærdiggørelse) så som en stor hindring for udviklingen af logik efter Aristoteles. Det var derfor en vigtig opdagelse, at disse kvantificatorer alle kunne defineres som (forall) og sentimental operatorer (erstatte alle ((A, B)) med (forall x (A (x) højre højre) B (x))), nogle ((A, B)) af (neg / forall x (A (x) højre højre / neg B (x))) osv.).

Faktisk er den eneste markante forskel mellem Freges opfattelse af et andet niveau-koncept og den moderne opfattelse af en generaliseret kvantificeringsmaskine, at Frege ikke havde ideen om en fortolkning eller model, som vi nu (siden fremkomsten af modelteori i 1950'erne) ser som et univers, at kvantificatorerne spænder over, plus en tildeling af passende semantiske objekter til de ikke-logiske symboler. Freges symboler havde alle faste betydninger, og det eneste univers, han betragtede, var totaliteten af alt. Men bortset fra dette kan man godt sige, at det var Frege, der opdagede generaliserede kvantificatorer. Dette aspekt af Freges logik forblev imidlertid i baggrunden i lang tid, og modelteoretikere i 50'erne og 60'erne synes ikke at have været klar over det.

4. Generalisering af Universal og Existential Quantifier

Moderne predikatlogik fikserer betydningen af (forall) og (eksisterer) med de respektive klausuler i sandhedsdefinitionen, som specificerer induktivt betingelserne under hvilke en formel (f (x_1, / ldots, x_n)) (med højst (x_1, / ldots, x_n) fri) er tilfreds med tilsvarende elementer (a_1, / ldots, a_n) i en model (M = (M, I)) (hvor M er universet, og jeg fortolkningsfunktionen, der tildeler passende udvidelser til ikke-logiske symboler): (M / modeller / f (a_1, / ldots, a_n)). Bestemmelserne er (hvor "iff" som sædvanlig står for "hvis og kun hvis")

  • (1) (M / modeller / forall x / p (x, a_1, / ldots, a_n)) iff for hver (a / i M), (M / modeller / p (a, a_1, / ldots, a_n))
  • (2) (M / modeller / findes x / p (x, a_1, / ldots, a_n)) hvis der er nogle (a / i M) st (M / modeller / p (a, a_1, / ldots, a_n))

For at introducere andre kvantificatorer skal man sætte pris på, hvilken slags udtryk (forall) og (exist) er. Syntetisk er det operatører, der binder en variabel i en formel. For at se, hvordan de fungerer semantisk, er det nyttigt at omskrive (1) og (2) lidt. For det første betegner hver formel (p (x)) med en gratis variabel i en model (M) en undergruppe af M; sæt individer i M tilfredsstillende (p (x)). Mere generelt, hvis (p (x, x_1, / ldots, x_n) = / p (x, / xbar)) højst har de viste variabler, og (abar = a_1, / ldots, a_n) er elementer af M, lad

) p (x, / abar) ^ { M, x} = {a / i M: / M / modeller / p (a, / abar) })

være udvidelsen af (p (x, / xbar)) i (M) i forhold til (a_1, / ldots, a_n). Derefter kan vi omformulere (1) og (2) som følger:

  • (3) (M / modeller / forall x / p (x, / abar)) iff (p (x, / abar) ^ { M, x} = M)
  • (4) (M / modeller / findes x / p (x, / abar)) iff (p (x, / abar) ^ { M, x} neq / emp)

Betingelserne på højre side dukker således op som egenskaber for sætene (p (x, / abar)). Faktisk kan vi tænke på (forall) og (exist) som betegner disse egenskaber, dvs. egenskaben ved at være identisk med universet og at være henholdsvis ikke-tom. Og nu er det let at tænke på andre egenskaber ved sæt, der også kan behandles som kvantificatorer, for eksempel egenskaben ved at indeholde mindst 5, eller nøjagtigt 3 elementer eller at være uendelige. [6]

Bemærk, at disse egenskaber kun afhænger af universet M, ikke af resten af modellen. Ekstensivt er de blot sæt af undergrupper af M. Dette fører til følgende definition. i det væsentlige fra Mostowski (1957):

Definition 1

En generaliseret kvantificator Q af typen ({ langle} 1 { rangle}) er

  • (5) a. syntaktisk er en variabel-bindende operator sådan, at når (f) er en formel, så er (Qx / f), og (Qx) binder alle frie forekomster af x i (f);
  • b. semantisk, en kortlægning fra vilkårlige universer (ikke-tomme sæt) M til et sæt (Q_M) af undersæt af M, som fortolker formler til formularen (Qx / f) i henhold til klausulen) tag {i } M / modeller Q x / p (x, / abar) tekst {iff} p (x, / abar) ^ { M, x} i Q_M)

Her bruger vi det samme symbol til kvantificeringsudtrykket og den kortlægning, det angiver eller betegner. Således er (forall) nu taget til at betegne den universelle kvantificator, også skrevet (forall), som er kortlægningen givet af

) forall_M = {M })

for alle M. Tilsvarende betegner (exist) den kortlægning, der er defineret af

) exist_M = {A / subseteq M: A / neq / emp })

Og her er nogle andre generaliserede kvantificatorer:

) tag {6} label {ex-qlist1} begin {alignat} {2} (findes _ { geq 5}) _ M & = {A / subseteq M: | A | / geq 5 } & (| X | / textrm {er størrelsen eller} && / textrm {cardinality of} X) (eksisterer _ {= 3}) _ M & = {A / subseteq M: | A | = 3 } (Q_0) _M & = {A / subseteq M: A / text {er uendelig} } (Q ^ R) _M & = {A / subseteq M: | A | > | MA | } & / textrm {("Rescher} && / textrm {kvantificeringsenheden")} (Q _ { tekst {lige}}) _ M & = {A / subseteq M: | A | / text {er lige} } end {alignat})

Vi har nu en nøjagtig opfattelse af en generaliseret kvantificer, hvoraf (forall) og (exist) er tilfælde, sammen med uendeligt mange andre. Desuden ser vi, hvordan man udvider første ordens logik FO til en logik (FO (Q)) ved at tilføje klausulen (5a) til formationsreglerne og klausulen (5b-i) til sandhedsdefinitionen. Tilsvarende hvis vi tilføjer mere end en generaliseret kvantificator: (FO (Q_1, / ldots, Q_n)).

I en sådan logik kan man være i stand til at sige ting, der ikke kan udtrykkes i FO. For eksempel er det velkendt, at begrebet finitet i FO ikke kan udtrykkes. Der er således ingen måde at sige om en ordrerelation (<), at hvert element kun har endeligt mange forgængere, f.eks. Men dette er bare den slags ting, man kan udtrykke i (FO (Q_0)):

) tag {7} forall x / neg Q_0 y (y <x))

Ligeledes kan man ikke sige i FO, at et (begrænset) sæt A indeholder nøjagtigt halvdelen af elementerne i universet M, men det kan udtrykkes i (FO (Q ^ R)):

) tag {8} neg Q ^ RxA (x) kile / neg Q ^ Rx / neg A (x))

(Den første konjunkt siger, at (| A | / leq | MA |), og den anden, at (| MA | / leq | A |).)

5. Generaliserede kvantificatorer af vilkårlige typer

Yderligere generalisering er mulig. Først kan vi lade Q binde en variabel i to eller flere formler. For det andet kan vi lade det samtidigt binde to eller flere variabler i (nogle af) disse formler. Indtastningen af Q indikerer dette: Q er af typen ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}) (hvor hver (n_i) er et naturligt tal (geq 1)) hvis det gælder k-formler og binder (n_i) variabler i den i formel. Dette forklarer, hvorfor kvantificatorerne i det foregående afsnit blev sagt at være af typen ({ langle} 1 { rangle}).

Generelt vælger man normalt forskellige variabler (x_ {i1},) …, (x_ {in_i} = / xbar_i) for (1 / leq i / leq k), så en formel begynder med Q har formen

[Q / xbar_1, / ldots, / xbar_k (f_1, / ldots, / f_k))

hvor alle frie forekomster af (x_ {i1}, / ldots, x_ {in_i}) i (f_i) bliver bundet. Nu knytter Q sig til hvert universets M ak -ary relation (Q_M) mellem relationer over M, hvor det første argument er en (n_i) - arisk relation mellem individer. Den tilsvarende klausul i sandhedsdefinitionen bliver

) tag {9} M / modeller Q / xbar_1, / ldots, / xbar_k (p_1 (xbar_1, / abar), / ldots, / p_k (xbar_k, / abar)) textrm {iff} / Q_M (p_1 (xbar_1, / abar) ^ { M, / xbar_1}, / ldots, / p_k (xbar_k, / abar) ^ { M, / xbar_k}))

Her (p_i (xbar_i, / ybar)) er en formel med højst de viste gratis variabler, (abar) er en sekvens af elementer af M svarende til (ybar) og (p_i (xbar_i, / abar) ^ { M, / xbar_i}) er udvidelsen af (p_i (xbar_i, / ybar)) i (M) i forhold til (abar), dvs. sættet af (n_i) - tuples (bbar_i) sådan at (M / models / p_i (bbar_i, / abar)).

Dette er det officielle koncept med en generaliseret kvantificator i denne artikel. Det blev introduceret af Lindström (1966), og disse kvantificatorer kaldes undertiden”Lindström-kvantificatorer”. [7] Hvis vi fikserer M til universet, der indeholder “alt”, har vi i det væsentlige Freges opfattelse af et koncept på andet niveau. [8]

Q er monadisk, hvis det på hvert univers M er en relation mellem undergrupper af M, dvs. hvis dens type er ({ langle} 1, / ldots, 1 { rangle}); ellers er det polyadisk. F.eks. Er de nævnte aristoteliske kvantificatorer af typen ({ langle} 1,1 { rangle}): [9]

) tag {10} label {ex-qlist2} start {align} textit {all} _M (A, B) & / iff A / subseteq B \\ / textit {some} _M (A, B) & / iff A / cap B / neq / emp \\ / textit {no} _M (A, B) & / iff A / cap B = / emp \\ / textit {ikke alle} _M (A, B) & / iff A / not / subseteq B / end {align})

Her er nogle flere type ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantificatorer: [10]

) tag {11} label {ex-qlist3} begin {alignat} {2} (textit {mindst five}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | / geq 5 (textit {nøjagtigt tre}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | = 3 \(textit {uendelig mange}) _ M (A, B) & / iff A / cap B / tekst {er uendelig} / \ textit {mest} _M (A, B) & / iff | A / cap B |> | AB | \(textit {et lige antal}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | / text {er lige} / \ textit {MO} _M (A, B) & / iff | A | > B | \\ / textit {I} _M (A, B) & / iff | A | = | B | & / textrm {(“Härtig} && / textrm {quantifier”)} end {alignat})

Med monadiske kvantificatorer er det praktisk at bruge kun en variabel og lade Q binde den samme variabel i hver af formlerne. For at sige, at de fleste A'er ikke er B, kan man således skrive

) textit {most}: x (A (x), / neg B (x)))

på det tilsvarende logiske sprog i stedet for (textit {most}: x, y (A (x), / neg B (y))).

Her er et par polyadiske kvantificatorer:

) tag {12} label {ex-qlist4} begin {alignat} {2} W_M (R) & / iff R / text {er en velordnet ordning af} M & / textrm {type} { langle } 2 { rangle} (Q_0 ^ n) _M (R) & / iff / tekst {der er en uendelig} & / hphantom { iff } A / subseteq M / ST A ^ n / subseteq R & / textrm {type} { langle} n { rangle} / Res ^ k (textit {most}) _ M (R, S) & / iff | R / cap S | > | RS | & / textrm {type} { langle} k, k { rangle} / \ textit {RECIP} _M (A, R) & / iff / textrm {for alle forskellige} a, b / i A \& / hphantom { iff } textrm {der er} n / geq 1 \& / hphantom { iff } textrm {og} c_0, / ldots, c_n / ST c_0 = a \& / hphantom { iff } {} amp c_n = b / amp c_iRc_ {i + 1} textrm {for} i <n / quad & / textrm {type} { langle} 1,2 { rangle} end {alignat}]

W og (Q_0 ^ n) kommer fra logik og sætteori. (Res ^ k (textit {most})) er genoptagelse af de fleste til k-stykker. Genoptagelse kan anvendes til en hvilken som helst kvantificer (i syntaks betyder det, at hver individuel variabel erstattes af en tilsvarende k-type variabler); det har logiske anvendelser, men også som RECIP anvendelser til fortolkning af visse sætninger på naturlige sprog; se afsnit 16 nedenfor.

6. Emneutralitet

Både Mostowski og Lindström havde en yderligere betingelse i deres definitioner af generaliserede kvantificatorer: De skulle ikke skelne mellem isomorfe modeller. Uformelt er de "emne-neutrale": sandheden i en erklæring om formen (f = Qx, yz (A (x), R (y, z))), siger, i en model (M) er ikke afhængig af de bestemte personer, M består af. Hvis individerne fra M er kortlagt på en enkelt måde på individerne i et andet univers (M '), og hvis A og R kortlægges i overensstemmelse hermed, opnår man en isomorf model (M'). Isomorphism Closure siger derefter, at (M / models / f) iff (M '\ models / f).

Mere formelt, hvis (M = (M, I)) og (M '= (M', I ')) er modeller for det samme ordforråd V af ikke-logiske symboler, er f en isomorfisme fra (M) til (M '), iff

  • f er en kombination (en en-til-funktion) fra M til (M ');
  • når P er et ikke-prædikatsymbol i V og (a_1, / ldots, a_n / i M), [(a_1, / ldots, a_n) i I (P) textrm {iff} (f (a_1), / ldots, f (a_n)) i I '(P);)
  • når c er en individuel konstant i V, (I '(c) = f (I (c))).

(M) og (M ') er isomorfe i symboler,) M / cong / M ')

hvis der er en isomorfisme fra den ene til den anden. Hvis Q nu er en generaliseret kvantificator af typen ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}), er (P_i) et (n_i) - ary predikatsymbol for (1 / leq i / leq k), (M = (M, I)) er en model for ordforrådet ({P_1, / ldots, P_k }) og (R_i = I (P_i)), skriver vi også

) M = (M, R_1, / ldots, R_k))

Derefter tilfredsstiller Q Isomorphism Closure, eller bare Isom, hvis følgende gælder:

) tag {13} label {ex-isom} textrm {If} (M, R_1, / ldots, R_k) cong (M ', R'_1, / ldots, R'_k), / textrm { derefter} / Q_M (R_1, / ldots, R_k) Leftrightarrow Q_ {M '} (R'_1, / ldots, R'_k).)

Man kontrollerer let, at alle de generaliserede kvantificatorer, der hidtil er eksemplificeret, faktisk er Isom. Vi inkluderede imidlertid ikke dette krav i definitionen af generaliserede kvantificeringsmidler, da der er naturlige sprogkvantificeringsmaskiner, der ikke opfylder det; se nedenunder. Men logik antages at være emne-neutral, så Isom pålægges næsten altid. Derefter følger to vigtige ting. For det første skelner sætninger på logiske sprog, som angivet ovenfor, ikke isomorfe modeller. Mere præcist har vi følgende

Fakta 2

Hvis (L = / FO (Q_1, / ldots, Q_n)), er hver (Q_i) Isom, (f) er en L-sætning, og (M / cong / M '), derefter (M / modeller / f / Leftrightarrow / M '\ modeller / f).

For det andet tager Isom en særlig interessant form for monadiske kvantificatorer. Hvis (M = (M, A_1, / ldots, A_k)), hvor (A_i / subseteq M) for hvert i, så (A_1, / ldots, A_k) partition M til (2 ^ k) parvis adskilte delmængder (hvoraf nogle kan være tomme); lad os kalde dem dele af (M). Vi illustrerer med (k = 2) og (M = (M, A, B)):

to krydsende cirkler inde i en kasse (boksen mærket 'M') med 'A krydsende B' mærkning af cirkelkrydset og 'A minus B' og 'B minus A' mærkning af de ikke-krydsende dele af cirklerne. Området inde i kassen, men ikke i cirklerne, er mærket 'M minus (A union B)'
to krydsende cirkler inde i en kasse (boksen mærket 'M') med 'A krydsende B' mærkning af cirkelkrydset og 'A minus B' og 'B minus A' mærkning af de ikke-krydsende dele af cirklerne. Området inde i kassen, men ikke i cirklerne, er mærket 'M minus (A union B)'

figur 1

Nu er det ikke svært at se, at kun størrelserne på delene bestemmer, om to modeller af denne art er isomorfe eller ikke:

Fakta 3

((M, A_1, / ldots, A_k) cong (M ', A'_1, / ldots, A'_k)) hvis kardinaliteterne i de tilsvarende dele er ens.

Dette viser, at monadiske og Isom-generaliserede kvantificatorer faktisk kun omhandler mængder, dvs. med størrelser af sæt snarere end selve sætene. Listen / eqref {ex-qlist3} af typen ({ langle} 1,1 { rangle}) generaliserede kvantificatorer illustrerer dette tydeligt, men også de Aristoteliske kvantificatorer kan formuleres med hensyn til kardinaliteter,) begynde {align} textit {alle} _M (A, B) & / iff | AB | = 0 \\ / textit {some} _M (A, B) & / iff | A / cap B |> 0 / end {align})

osv., og lignende til typen ({ langle} 1 { rangle}), vi gav.

Mere generelt, under Isom, kan monadiske kvantificatorer ses som forhold mellem (kardinal) tal. For eksempel, hvis Q er af typen ({ langle} 1 { rangle}), skal du definere (ved hjælp af det samme symbol Q for forholdet mellem tal)

[Q (kappa, / lambda) iff / text {der er} (M, A) ST | M \! - \! A | = / kappa / amp | A | = / lambda / amp Q_M (A))

Isom garanterer, at dette er veldefineret, og det har vi

[Q_M (A) iff Q (| M \! - \! A |, | A |))

7. Relativisering

Hver udsagn, der involverer en generaliseret kvantificer Q, finder sted inden for et univers M. Nogle gange er det nyttigt at kunne spejle denne relativisering til et univers inde i M. Dette betyder at definere en ny kvantificer med et ekstra sæt argument, der siger, at Q opfører sig på universet, begrænset til det argument nøjagtigt som det opfører sig på M. Så hvis Q er af typen ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}), definerer vi (Q {^ { text {rel}}}) af typen ({ langle } 1, n_1, / ldots, n_k { rangle}) som følger:

) tag {14} (Q {^ { text {rel}}}) _ M (A, R_1, / ldots, R_ {n_k}) mathbin { Longleftrightarrow _ { text {def}}} Q_A (R_1 \! / restriktion \! A, / ldots, R_ {n_k} ! / restriction \! A))

hvor (R_i / subseteq M ^ {n_i}) og (R_i \! / restriktion \! A) er begrænsningen af (R_i) til A, dvs. sættet af (n_i) - tuples i (R_i / cap A ^ {n_i}).

Vi har faktisk allerede set flere eksempler på relativisering: da man let verificerer (se listerne / eqref {ex-qlist1} og / eqref {ex-qlist3}) at

) tag {15} start {align} textit {all} & = / forall {^ { text {rel}}} / \ textit {some} & = / findes {^ { text {rel} }} / \ textit {mindst fem} & = (findes _ { geq 5}) {^ { text {rel}}} / \ textit {nøjagtigt tre} & = (findes _ {= 3}) {^ { text {rel}}} / \ textit {uendelig mange} & = (Q_o) {^ { text {rel}}} / \ textit {most} & = (Q ^ R) {^ { text {rel}}} / \ textit {et lige antal} & = (Q _ { text {even}}) {^ { text {rel}}} end {align})

8. Udtryksfuld kraft

Vi beskrev, hvordan generaliserede kvantificatorer kan føjes til FO, hvilket resulterer i mere udtryksfulde logik. En logik i denne forstand består groft af et sæt sætninger, en klasse af modeller og en sandhedsrelation (eller en tilfredshedsrelation) mellem sætninger og modeller. Sådanne logikker kaldes ofte modelteoretisk logik, da de defineres semantisk med hensyn til modeller og sandhed snarere end bevisteoretisk i form af et deduktiv system til at udlede teoremer. [11] Her begrænser vi opmærksomheden til logik af formen (FO (Q_1, Q_2, / ldots)), dannet ved at tilføje generaliserede kvantificatorer til FO, hvor hver kvantificeringsmaskine kommer med en formationsregel og en semantisk klausul for sandheden definition som beskrevet i afsnit 5 ovenfor.

Der er en åbenlyst måde at sammenligne udtrykskraften i modelteoretisk logik. (L_2) er mindst lige så udtryksfuld som (L_1) i symboler, [L_1 / leq L_2)

hvis hver (L_1) - sætning (f) er logisk ækvivalent med nogle (L_2) - sætning (p), dvs. (f) og (p) er sandt i de samme modeller. Desuden har (L_1) og (L_2) den samme udtrykskraft, (L_1 / ækv. L_2), hvis (L_1 / leq L_2) og (L_2 / leq L_1), og (L_2) er stærkere end (L_1), (L_1 <L_2), hvis (L_1 / leq L_2) men (L_2 / not / leq L_1). Altså (L_1 <L_2), hvis alt, hvad der kan siges i (L_1), også kan siges i (L_2), men der er nogle (L_2) - sætning, der ikke svarer til nogen sætning i (L_1).

Hvordan fastlægger man fakta om udtryksmagt? Det ser ud som om for at vise (L_1 / leq L_2) må man gennem alle de uendeligt mange sætninger i (L_1) og for hver finde en ækvivalent i (L_2). Men i praksis er det tilstrækkeligt at vise, at de generaliserede kvantificatorer i (L_1) er definerbare i (L_2). Hvis Q er af typen ({ langle} 1,2 { rangle}), siger, er Q definerbar i (L_2), hvis der er en (L_2) - sætning (p), hvis ikke-logisk ordforråd består nøjagtigt af et unary og et binært predikatsymbol, således at det for alle modeller (M = (M, A, R)), [Q_M (A, R) iff (M, A, R) modeller / p)

Tilsvarende for andre typer. For eksempel er kvantificatoren alle definerbar i FO, da følgende gælder:

) textit {alle} _M (A, B) iff (M, A, B) modeller / forall x (A (x) højre højre B (x)))

Ligeledes er (Q ^ R) definerbar i (FO (textit {most})), da

[(Q ^ R) _M (A) iff (M, A, B) modeller / textit {most}: x (x = x, A (x)))

(bemærk at alle vores logikker indeholder FOs logiske apparatur, så de er alle udvidelser af FO). Sidstnævnte er et eksempel på følgende observation:

(16) For enhver generaliseret kvantificer Q er Q definerbar i (FO (Q {^ { tekst {rel}}}))

Sådanne kendsgerninger om definabilitet kan være lette eller svære at fastlægge, [12] men de er tilstrækkelige til at etablere positive fakta om udtryksevne, da vi har:

Fakta 4

(FO (Q_1, / ldots, Q_n) leq L) hvis og kun hvis hver (Q_i) er definerbar i L.

På den anden side er det sværere at bevise uudtrykkelighed, dvs. at en eller anden sætning ikke svarer til nogen L-sans. En måde, der undertiden fungerer, er at fastslå, at (L_1) har nogle egenskaber, som (L_2) mangler; så kan man muligvis konkludere, at (L_1 / not / leq L_2). Nogle egenskaber, der er typiske for FO, men mislykkes for de fleste stærkere logikker, er:

  • Löwenheim-egenskaben: Hvis en sætning er sand i en uendelig model, er den også sand i nogle tællbare modeller.
  • Tarski-egenskaben: Hvis en sætning er sand i en antagelig uendelig model, er den også sand i en utallig model.
  • Kompakte egenskaben: Hvis ingen model sætter hvert element i sætssættet (Phi) sandt, er der et endeligt undersæt (Psi) af (Phi) sådan, at ingen model gør hver sætning i (Psi) sandt.
  • Fuldstændighedsegenskaben: Sættet med gyldige sætninger er rekursivt tællende (dvs. kan genereres af et eller andet formelt system).

For eksempel har (FO (Q_0)) ikke egenskaben kompakthed. [13] Dette kan ses ved at se på sæt sætninger

) Phi \: = \: { neg Q_0x (x = x) cup { theta_n: n = 1,2, / ldots })

hvor (theta_n) er en FO-sans, der siger, at der i det mindste er n elementer i universet. Hvis du tager en endelig undergruppe (Phi ') af (Phi), og M er et univers, hvis kardinalitet er den største n, så (theta_n) hører til (Phi'), så er alle sætninger i (Phi ') sand i M. Men intet univers kan gøre alle sætninger i (Phi) sandt. Og dette viser, at (Q_0) ikke kan defineres i FO, dvs. at (FO (Q_0) not / leq / FO), da vi ellers kunne erstatte (Phi) med et ækvivalent sæt af FO-sanser, men FO har kompakte egenskaber, så det umuligt.

Imidlertid fungerer denne måde at bevise uudtrykkelighed kun for logik med egenskaber som dem ovenfor. Desuden fungerer de kun, hvis uendelige universer er tilladt, men interessante fakta om uudtrykkelighed gælder også for begrænsede modeller, for eksempel det faktum, at (Q ^ R) og (Q _ { tekst {endelig}}) ikke er definerbare i FO, eller at de fleste = ((Q ^ R) {^ { tekst {rel}}}) ikke er definerbar i (FO (Q ^ R)). Logikere har udviklet meget mere direkte og effektive metoder til at vise udefinerbare resultater, der også fungerer til begrænsede modeller. [14]

Ovenstående egenskaber karakteriserer faktisk FO i den forstand, at ingen ordentlig udvidelse af FO kan have (visse kombinationer af) dem. Dette er indholdet af en berømt teorem om modelteoretisk logik, Lindströms sætning, hvis version er givet nedenfor. For et tilgængeligt bevis se f.eks. Ebbinghaus, Flum og Thomas (1994). Vi siger, at en logik (L = / FO (Q_1, / ldots, Q_n)) relativiseres, hvis "konversationen" af (16) gælder for hver (Q_i), dvs. hvis hver ((Q_i) { ^ { text {rel}}}) kan defineres i L.

Sætning 5 (Lindström) Hvis L er kompakt og har egenskaben Löwenheim, så (L / equiv / FO). Forudsat at L relativiserer, hvis L er komplet og har egenskaben Löwenheim, eller hvis L har både Löwenheim- og Tarski-egenskaberne, så (L / equiv / FO).

9. Generaliserede kvantificatorer og beregning

Ud over sandhedsforholdene, der er forbundet med generaliserede kvantificatorer, kan man undersøge de beregninger, der kræves for at fastlægge sandheden i en kvantificeret udsagn i en model. Faktisk dukker generaliserede kvantificatorer op forskellige steder i den del af datalogi, der studerer beregningskompleksitet. I denne sammenhæng begrænser vi opmærksomheden til endelige universer og antager Isom overalt. Så en kvantificator er hovedsagelig et sæt af begrænsede modeller; af Isom kan vi antage, at modeller af kardinalitet m alle har det samme domæne (M = {1, / ldots, m }). Sådanne modeller kan kodes som ord, dvs. endelige symbolstrenge. For eksempel kan en model ((M, A)) af typen ({ langle} 1 { rangle}) ses som et binært ord (a_1 / ldots a_m), hvor (a_i) er 1 hvis (i / i A) og 0 ellers. Således er (| A |) antallet af 1'er og (| M \! - \! A |) antallet af 0'er; af Isom,rækkefølgen i strengen betyder ikke noget. Så Q bliver et sæt (W_Q) af ord, det vil sige et formelt sprog: en undergruppe af sættet af alle endelige strenge af kodningssymboler.[15]

Vi kan nu spørge, hvad det kræver at genkende, at et ord hører til (W_Q). Den abstrakte forestilling om en automat giver et svar; automat er maskiner, der accepterer eller afviser ord, og de klassificeres i henhold til kompleksiteten af de handlinger, de udfører. Det sprog, der genkendes af en automat, er det sæt ord, det accepterer. [16]

En endelig automat har et begrænset antal tilstande, inklusive en starttilstand og mindst en accepterende tilstand. Det begynder at scanne et ord på det venstre symbol i starttilstanden, og ved hvert trin flytter det et symbol til højre og går ind i en (muligvis) ny tilstand i henhold til en given overgangsfunktion. Hvis det kan bevæge sig langs hele ordet, der ender i en acceptabel tilstand, accepteres ordet. Anvendelsen af automatteori på generaliserede kvantificatorer blev initieret i van Benthem (1986) (kap. 7, "Semantic automata"). Det er nemt at konstruere en endelig automat, der genkender (forall) (eller (forall {^ { text {rel}}} =) alle), dvs. at kontrollere, at w kun består af 1'er: Bliv bare i starttilstanden = accepterer tilstand, så længe der findes 1'er, men gå til en afvisende tilstand, så snart en 0 er scannet, og forbliv der, hvad der er fundet bagefter. En lidt mere kompleks automat genkender (Q _ { tekst {lige}}): igen er der to tilstande, en starttilstand = den accepterende tilstand og en afvisende tilstand, og denne gang forbliver i den samme tilstand, når 0'er scannes, men gå til den anden tilstand, når en 1 scannes. For at ende i den accepterende tilstand er det så nødvendigt og tilstrækkeligt, at der er et jævnt antal 1'er. Denne maskine bruger i det væsentlige cyklusser med længde 2, hvorimod det første eksempel kun havde 1-cyklusser. Ring til en automat af sidstnævnte art acyklisk. Van Benthem viste, at de FO-definerbare kvantificatorer er nøjagtigt dem, der er accepteret af endelige automater, der er acykliske og permutationen lukket.og denne gang forbliver i den samme tilstand, når 0'er scannes, men gå til den anden tilstand, når en 1 scannes. For at ende i den accepterende tilstand er det så nødvendigt og tilstrækkeligt, at der er et jævnt antal 1'er. Denne maskine bruger i det væsentlige cyklusser med længde 2, hvorimod det første eksempel kun havde 1-cyklusser. Ring til en automat af sidstnævnte art acyklisk. Van Benthem viste, at de FO-definerbare kvantificatorer er nøjagtigt dem, der er accepteret af endelige automater, der er acykliske og permutationen lukket.og denne gang forbliver i den samme tilstand, når 0'er scannes, men gå til den anden tilstand, når en 1 scannes. For at ende i den accepterende tilstand er det så nødvendigt og tilstrækkeligt, at der er et jævnt antal 1'er. Denne maskine bruger i det væsentlige cyklusser med længde 2, hvorimod det første eksempel kun havde 1-cyklusser. Ring til en automat af sidstnævnte art acyklisk. Van Benthem viste, at de FO-definerbare kvantificatorer er nøjagtigt dem, der er accepteret af endelige automater, der er acykliske og permutationen lukket. Van Benthem viste, at de FO-definerbare kvantificatorer er nøjagtigt dem, der er accepteret af endelige automater, der er acykliske og permutationen lukket. Van Benthem viste, at de FO-definerbare kvantificatorer er nøjagtigt dem, der er accepteret af endelige automater, der er acykliske og permutationen lukket.[17]

En lidt mere kompleks automat, pushdown-automaten, har rudimentære hukommelsesressourcer i form af en stak af symboler, der kan skubbes eller poppes fra toppen, hvilket gør det muligt for den at holde styr i en vis grad af, hvad der foregik på tidligere trin. Et andet resultat af van Benthem er, at typen ({ langle} 1 { rangle}) kvantificatorer, der accepteres af pushdown-automater, er nøjagtigt dem, for hvilke det tilsvarende binære forhold mellem tal er definerbart (med første ordens midler) i additiv aritmetik, dvs. i modellen ((N, +)), hvor (N = {0,1,2, / ldots }). Et eksempel er (Q ^ R) (eller dets relativisering mest): vi har (Q ^ R (m, n) Leftrightarrow m <n), og den højre side er definerbar i ((N, +)) af (eksisterer x (x / neq 0 / kile m + x = n)). [18]

Algoritmisk karakterisering matches således med en logisk. Dette er en fremtrædende retning i studiet af algoritmisk kompleksitet. Overvej nu den mest generelle abstrakte automatik eller computerenheder, dvs. Turing-maskiner. En (af mange) interessante kompleksitetsklasser er PTIME: et problem, der identificeres med dets tilsvarende sæt ord, er PTIME, hvis der er et polynomial (p (x)) og en Turing-maskine, der accepterer W sådan, at når (w / i W) har længde n, tager den accepterende beregning højst (p (n)) trin. PTIME-problemer betragtes normalt som "kan bruges", mens mere komplekse problemer er "ufravigelige", såsom EXPTIME-problemer, hvor antallet af krævede trin kan vokse eksponentielt. Et tidligt resultat af Immerman og Vardi er, at PTIME-sæt af (ordkodende) begrænsede modeller netop er dem, der kan beskrives med enkelt sætninger i (FO (LFP)), som er FO-logik med en tilføjet mekanisme til at danne mindst faste -points.[19] Her er vi nødt til at repræsentere ikke kun monadiske modeller, men vilkårlige. For eksempel kan en binær relation til universet ({1, / ldots, m }) repræsenteres med et ord (w_ {11} cdots w_ {1m} # / ldots / #w_ {m1 } cdots w_ {mm}), hvor forholdet har ((i, j)) iff (w_ {ij} = 1). Men denne gang ser det ud til, at rækkefølgen betyder noget, og faktisk nævnt Immerman og Vardi-resultat, der kun er nævnt, gælder kun for modeller med en given lineær rækkefølge og et binært predikatsymbol, der står for den rækkefølge.

Logik som (FO (LFP)) kan omarbejdes som logik for formen (FO (Q_1, Q_2, / ldots)). Her kan det kræves uendeligt mange kvantificatorer, men i nogle tilfælde er en enkelt tilstrækkelig. Med hensyn til (FO (LFP)) er det tilstrækkeligt at tilføje alle genoptagelser (se slutningen af afsnit 5 ovenfor) af en enkelt kvantificer. Mere generelt, lad (FO ^ * (Q_1, Q_2, / ldots)) være som (FO (Q_1, Q_2, / ldots)) men med mekanismer til at foretage relativiseringer (afsnit 7) og til at genoptage hver (Q_i) til k-titler for hver k. Så er der en enkelt kvantificer Q sådan, at (FO (LFP) = / FO ^ * (Q)).

Så generaliserede kvantificatorer forbliver en enkel og alsidig måde at tilføje udtryksfuld kraft til FO. Et naturligt spørgsmål var, om den logiske karakterisering af PTIME, der er nævnt ovenfor, kunne forbedres ved hjælp af generaliserede kvantificeringsmidler, især hvis man kunne fjerne begrænsningen til ordnede strukturer på denne måde. Svaret viste sig imidlertid at være negativt, da Hella (1989) beviste, at de PTIME-beregnelige egenskaber ved vilkårlige endelige strukturer ikke kan karakteriseres ved at tilføje et begrænset antal generaliserede kvantificatorer til FO eller endda til (FO (LFP)). Spørgsmålet om, hvorvidt PTIME kan karakteriseres ved en logik med formen (FO ^ * (Q)) forbliver åben, men det er faktisk et stort gennembrud i kompleksitetsteorien at løse det.

10. Generaliserede kvantificatorer og naturligt sprog

I slutningen af 1960'erne viste Richard Montague, hvordan semantikken i væsentlige dele af naturlige sprog kunne håndteres med logiske værktøjer. [20] En af hans vigtigste indsigter var, at substantivfraser (NP'er) kan fortolkes som sæt af undergrupper af domænet, dvs. som (hvad vi nu kalder) type ({ langle} 1 { rangle}) kvantificatorer. Montague arbejdede inden for typeteori, men omkring 1980 begyndte et antal sprogfolk og logikere at anvende model-teoretiske rammer for logik med generaliserede kvantificatorer på naturligt sprog semantik. [21] Overvej strukturen i en enkel engelsk sætning, hvis emne er et kvantificeret NP: [22]

  • (17)

    Lingvistikstræ [S [NP [Det [mest] [N [studerende] [VP [røg]
    Lingvistikstræ [S [NP [Det [mest] [N [studerende] [VP [røg]

(Emnet) NP består af en determiner og et substantiv (N). Både substantiv og verbfrase (VP) har sæt som udvidelser, og det tages derfor naturligt for bestemmeren at betegne et binært forhold mellem sæt, dvs. en type ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantificer. En ytring fra (17) har et (diskurs) univers i baggrunden (f.eks. Sæt af mennesker på et bestemt universitet), men betydningen af de fleste, hver, mindst fem og lignende udtryk er ikke bundet til bestemte universer. For eksempel betydningen af alle i

  • (18) a. Alle katte kan lide mælk.
  • b. Alle elektroner har negativ ladning.
  • c. Alle naturlige numre har en efterfølger.
  • d. Alle tvillinger kan godt lide hinanden.
  • e. Alle kompakte undergrupper af Hausdorff-rum er lukket.

har intet at gøre med katte eller elektroner eller tal eller tvillinger eller Hausdorff-rum, heller ikke med diskursuniverserne, der kan være forbundet med ovenstående eksempler. Det står simpelthen for inkluderingsrelationen, uanset hvad vi tilfældigvis taler om. Derfor er den generaliserede kvantificator alle, som med hvert univers M forbinder inklusionsrelationen over M, fremtrædende egnet til at fortolke alle, og på lignende måde for andre determinanter.

Det er imidlertid karakteristisk for sætninger med formen (17), at substantivargumentet og VP-argumentet ikke er på lige fod. Substantivet kombineres med bestemmelsesstedet for at danne NP, en separat bestanddel, og denne bestanddel kan også tages for at betegne en generaliseret kvantificator, denne gang af typen ({ langle} 1 { rangle}). Således betegner mindst fem studerende det sæt undersæt i universet, der indeholder mindst fem studerende. Denne kvantificator er resultatet af frysning af det første argument af typen ({ langle} 1,1 { rangle}) tre til sæt af studerende; vi skriver denne tre (^ { textit {student}}). Generelt, hvis A er et fast sæt og Q en type ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantificeringsmiddel, kan man definere typen ({ langle} 1 { rangle}) kvantificator (Q ^ A) af

) tag {19} label {QA} (Q ^ A) _M (B); / Longleftrightarrow _ { text {def}}; Q_ {M / cup A} (A, B))

for enhver M og enhver (B / subseteq M). I en sammensat semantik er det naturligt at tage hver bestanddel af en sætning for at have en separat betegnelse eller betydning, og standardbetydningerne af substantivfraser er type ({ langle} 1 { rangle}) kvantificatorer.

Dette gælder også for nogle NP'er, der mangler bestemmere, såsom rigtige navne. Mens det leksikale emne John er tildelt noget individuelt j ved en fortolkning, kan NP John tages for at betegne kvantificatoren (I_j), defineret for enhver M, ved

[(I_j) _M = {B / subseteq M / !: j / in B })

Dette er faktisk godt motiveret, ikke kun fordi fortolkningen af NP'er bliver mere ensartet, men også fordi John kan kombinere med kvantificerede NP'er:

(20) John og tre professorer kom til mødet

Her er det praktisk, hvis John og tre professorer har den samme semantiske kategori. Bemærk, at generaliserede kvantificatorer - i modsætning til individer! - har en klar boolsk struktur; definere (her i typen ({ langle} 1 { rangle}) sag, men på lignende måde for enhver anden type)

) begynde {align} (Q_1 / kilen Q_2) _M (A) & / iff (Q_1) _M (A) textrm {og} (Q_2) _M (A) (neg Q) _M (A) & / iff / textrm {ikke} Q_M (A) end {align})

Derefter kan vi tage den komplekse determinator i (20) for at betegne (I_j / wedge / textit {three} ^ { textit {professor}}). Tilsvarende det komplekse NP i

(21) John og Mary kom til mødet

betyder (I_j / kile I_m).

Det første argument (der kommer fra substantivet) af en type ({ langle} 1,1 { rangle}) -detoter, kaldes ofte dens begrænsning, og det andet dens omfang. Forskellen i syntaktisk status mellem disse to argumenter viser sig at have en klar semantisk modstykke.

11. Konservativitet

Det blev observeret tidligt på den type ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantificatorer, der er betegnet med bestemmere på naturlige sprog, har følgende egenskab:

  • (22) Konservativitet (Conserv):

    For alle M og alle (A, B / subseteq M), [Q_M (A, B) iff Q_M (A, A / cap B).)

Dette kan ses fra sætningspar som det følgende, hvor det er klart, at den anden sætning kun er en akavet måde at udtrykke den første:

  • (23) a. De fleste studerende ryger.
  • b. De fleste studerende er studerende, der ryger.
  • (24) a. Mindst fem professorer var fraværende.
  • b. Mindst fem professorer var fraværende professorer.
  • (25) a. Mere end en tredjedel af kandidatstuderende er udlændinge.
  • b. Mere end en tredjedel af kandidatstuderende er udenlandske kandidatstuderende.

Conserv siger, at kun den del af B, der er fælles for A, betyder for sandheden om (Q_M (A, B)). Det vil sige, at delen (BA) i figur 1 ikke betyder noget. Dette ser ud til at gælde for alle bestemmelsesbetegnelser, men det mislykkes for helt naturlige logiske kvantificatorer, såsom MO og I fra listen / eqref {ex-qlist3} ovenfor. Årsagen er, at det er karakteristisk for determiner-betegnelser, at begrænsningsargumentet begrænser kvantificeringsområdet til dette argument.

12. Udvidelse

Ideen om domænebegrænsning har faktisk en yderligere ingrediens. At begrænse kvantificeringsområdet til en undergruppe A af M betyder ikke kun, at (BA) ikke er relevant, men hele den del af M, der ligger uden for A, og dermed også delen (M- (A / cup B)) i figur 1. Dette er igen et eksempel på en mere generel egenskab, der gælder for vilkårlige generaliserede kvantificeringsmidler:

  • (26) Extension (Ext):

    Hvis Q er af typen ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}), (R_i / subseteq M ^ {n_i}) for (1 / leq i / leq k) og (M / subseteq M '), derefter [Q_M (R_1, / ldots, R_k) iff Q_ {M'} (R_1, / ldots, R_k).)

Det vil sige, der sker intet, når universet udvides eller krympes, så længe argumenterne ikke ændres. Husk nu på, at vi for type ({ langle} 1 { rangle}) kvantificatorer allerede har tilvejebragt en logisk mekanisme til at begrænse kvantificeringsdomænet til en underuniverse med hensyn til relativisering (afsnit 7). Vi kan nu se (i (b) nedenfor), at kombinationen af Conserv og Ext udgør nøjagtig den samme ting:

Fakta 6

  1. For enhver kvantificer Q, (Q {^ { text {rel}}}) opfylder Ext.
  2. En type ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantificator er Conserv and Ext, hvis og kun hvis det er relativisering af en type ({ langle} 1 { rangle}) kvantificer. [23]

Igen ser alle bestemmelsesbetegnelser ud til at tilfredsstille Ext. Ved første øjekast synes intet i princippet at forhindre et sprog i at indeholde en determiner, siger evso, hvilket betød alle på universer med mindre end 10 elementer og nogle på større universer. Men ikke kun er der faktisk ikke en sådan determiner i noget sprog, der kan ikke være, hvis navneargumentet for en determiner er at begrænse kvantificeringsområdet til denotation af det substantiv.

En kvantificeringsmaskine som evso er intuitivt ikke konstant i den forstand, at den ikke betyder det samme eller ikke fortolkes af den samme regel på ethvert univers. Ext kan ses som et stærkt krav om konstance: reglen, der fortolker Q, nævner ikke engang universet. Faktisk er mange kvantificatorer fra sprog og logik Ext. Som vi så, er alle relativiserede kvantificatorer Ext, og alle de andre kvantificatorer på listerne / eqref {ex-qlist2} - / eqref {ex-qlist4} også, undtagen W. [24] Det ser ud til, at alle kvantificatorer, der tager mere end et argument, der vises i naturlige sproglige sammenhænge, er Ext. Og mange type ({ langle} 1 { rangle}) kvantificatorer er også Ext, f.eks. (Findes), (I_j), (Q ^ A) (når Q er Ext; se / eqref {QA} ovenfor), og alt på listen / eqref {ex-qlist1} undtagen (Q ^ R).

Men (forall) og (Q ^ R) er ikke Ekst. Alligevel er man tilbøjelig til at sige for dem også, at de betyder det samme på ethvert univers. Tilfældet af (forall) er især interessant, da man måske hævder, at det fortolker NP'er som alt eller enhver ting. Cruxen her er ting. Hvis dette udtryk ses som en logisk konstant, der altid betegner universet, betegner disse NP'er (forall): for alle M og alle (B / subseteq M),) begynde {align} (textit {every} ^ { textit {ting}}) _ M (B) & / iff / textit {every} _M (M, B) & / iff M / subseteq B & / iff M = B \& / iff / forall_M (B) end {align})

Når Ext holder, kan vi normalt slippe abonnementet M og skrive f.eks.

[Q (A, B))

snarere end (Q_M (A, B)). Det vil sige, et passende univers kan forudsættes, men efterlades i baggrunden.

13. Symmetri og monotonicitet

Andre egenskaber deles ikke af alle naturlige sprogkvantificeringsmidler, men udelukker vigtige underklasser. Vi nævnte to allerede i afsnit 2 ovenfor: symmetri og monotonicitet. Typiske symmetriske kvantificatorer er nogle, ingen, mindst fem, nøjagtigt tre, et lige antal, uendeligt mange, hvorimod alle, mest, højst en tredjedel af dem er ikke-symmetriske. En anden måde at udtrykke symmetri på er at sige, at sandhedsværdien af (Q (A, B)) kun afhænger af sættet (A / cap B). Mere præcist, kalde Q krydsende hvis for alle M og alle (A, A ', B, B' / subseteq M):

(27) Hvis (A / cap B = A '\ cap B') så (Q_M (A, B) Leftrightarrow Q_M (A ', B'))

Man verificerer let:

Fakta 7

For konservativ type ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantificatorer er symmetri og intersektivitet ækvivalente. [25]

Vi bemærkede, at nogle af syllogismerne udtrykker monotonicitetsegenskaber. I mere kortfattet notation er en type ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantificer Q

højre stigende (højre faldende) iff for alle M og alle (A, B / subseteq B '\ subseteq M) (alle (A, B' / subseteq B / subseteq M)), (Q_M (A, B)) antyder (Q_M (A, B ')).

Tilsvarende for venstre stigende eller faldende, og faktisk for monotonicitet i ethvert givet argument sted for en generaliseret kvantificer. Især er det klart, hvad det betyder for en type ({ langle} 1 { rangle}) kvantificator at være monoton. Monotonicity er allestedsnærværende blandt naturlige sprogkvantificatorer. Det ser ud til, at syntaktisk enkle engelske NP'er alle betegner monotone (stigende eller formindskende) type ({ langle} 1 { rangle}) kvantificatorer, og næsten alle syntaktisk enkle engelske determinanter betegner de rigtige monotone kvantificatorer. [26] Vi har også:

  • (28) a. Kvantificatorerne (I_j) (egentlige navne) øges
  • b. (Q ^ A) stiger (falder) hvis Q er rigtigt stigende (faldende).

De Aristoteliske alle, nogle, nej er monotone i begge argumenter (f.eks. Alt er højre stigende og venstre faldende), ligesom mindst fem, ikke mere end ti, uendeligt mange, mens de fleste, mindst to tredjedele af de højre stiger men hverken stigning eller fald i det venstre argument. Præcist tre, mellem to og syv er ikke-monotone, skønt begge disse er konjunktioner af en (højre og venstre) stigning og et faldende kvantificeringsmiddel (f.eks. Mindst tre og højst tre) i modsætning til et jævnt antal af, hvilket er ikke en (endelig) boolsk kombination af monotone kvantificatorer.

Både symmetri og monotonicitet har vigtige forklarende roller for visse sproglige fænomener. Symmetri er et træk ved (de fleste af) de kvantificatorer, der er tilladt i såkaldte eksistentielle der-sætninger (f.eks. Der er mindst fem mænd i haven er fint, men der er flest mænd i haven er det ikke). Monotonicity er afgørende for at forklare fordelingen af polaritetsemner (ingen vil nogensinde lykkes er fint, men nogen vil nogensinde lykkes er ikke: negative polaritetselementer som nogensinde kræver et faldende miljø). [27] Desuden er monotonicitet af afgørende betydning involveret i naturlige former for ræsonnement; se afsnit 18.

14. Bestemmere, der ikke er ISOM

Overveje

  • (29) Johns bøger blev stjålet.
  • (30) Nogle studerendes bøger er ikke returneret.
  • (31) Ingen professor undtagen Mary kom til mødet.
  • (32) Alle strandgængere undtagen et par entusiastiske svømmere var fuldt klædt.
  • (33) Flere mandlige end kvindelige studerende ryger.

Udtrykkene Johns, nogle studerendes, ingen _ undtagen Mary, alle _ undtagen et par entusiastiske svømmere, mere mandlige end kvindelige, ses ganske naturligt som bestemmende: når de kombineres med substantiver, danner de sætninger, der opfører sig som almindelige NP'er. Typen ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantificatorer, de angiver, er også Conserv og Ext. For eksempel er sætningerne i det følgende par trivielt ækvivalente:

  • (34) a. Johns bøger blev stjålet.
  • b. Johns bøger er bøger, der blev stjålet.

Men i modsætning til de foregående eksempler, er de ikke Isom, da de involverer en bestemt fast person eller ejendom: hvis Johns bøger blev stjålet, og antallet af stjålne bøger er det samme som antallet af røde blyanter (i et eller andet diskursunivers) og antallet af bøger, der ikke blev stjålet, er det samme som antallet af blyanter, der ikke er røde, det følger ikke, at Johns blyanter er røde, som Isom ville have det.

På samme måde som den ikke-Isom-kvantificator tre (^ { textit {student}}) resulterer ved at fryse begrænsningsargumentet for Ext-kvantificatoren tre, resulterer ikke-Isom-kvantificatorerne ovenfor ved at fryse argumenter i mere abstrakte forhold, som er Isom. Vi illustrerer dette med den besiddende determiner John's. [28]

I betragtning af at John betegner et individuelt j, kan bestemmelsesmandens John defineres, for alle M og alle (A, B / subseteq M), med [29]

) texttt {John's} _M (A, B) iff / emp / neq A / cap R_j / subseteq B)

hvor (R_j = {b / i M / !: R (j, b) }) og R er et”besidders” -forhold; det er velkendt, at dette forhold varierer meget med omstændighederne - man kunne tale om de bøger, som John ejer, eller har skrevet, eller lånt, eller købt som en gave til Mary osv. Antag, at R er ejerskab. Derefter (29) siger, at John ejer mindst en bog, og at alle de bøger, han ejer, blev stjålet. Overvej nu den mere generelle "kvantificer", der er defineret for (a / i M), (R / subseteq M ^ 2) og (A, B / subseteq M), af

) mathbf {P} _M (a, R, A, B) iff / emp / neq A / cap R_a / subseteq B)

Vi kan sige, at dette er en generaliseret kvantificator af typen ({ langle} 0,2,1,1 { rangle}), der lader 0 stå for individer. (mathbf {P}) er Isom (udvidelse af definitionen / eqref {ex-isom} på den åbenlyse måde til kvantificatorer af denne type), og Johns resultater ved at fryse de to første argumenter til passende værdier.

Lignende konstruktioner fungerer til andre tilfælde af kvantificeringsudtryk på naturlige sprog, der betegner ikke-isom-kvantificatorer. F.eks. Angiver bestemmelsesstedet ingen _ undtagen Mary (i betragtning af at Mary refererer til m)

[(texttt {ingen _ undtagen Mary}) _ M (A, B) iff A / cap B = {m })

Det vil sige (31) siger, at Mary er en professor, at hun kom til mødet, og at ingen anden professor gjorde det. Igen defineres en tilsvarende Isom-kvantificer af typen ({ langle} 0,1,1 { rangle}). Så på denne måde kan Isom hentes for kvantificatorer for naturligt sprog. På den anden side er tilknytning af type ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantificatorer til determinere bedre enig med syntaks og tillader, at mange generaliseringer vedrørende determiner-betegnelser også kan rumme i ikke-Isom-sagen.

15. Konstance

Isom, dvs. emneutralitet, ses normalt som mindst en nødvendig betingelse for at være en logisk konstant. [30]Det er muligt at skelne logikalitet fra konstanthed i den tidligere nævnte betydning af det samme over forskellige universer. For det første er logikalitet en egenskab, der burde være lukket under definerbarhed, mens det overhovedet ikke er klart, at konstance skal lukke på lignende måde. Bemærk f.eks., At klassen af Ext-kvantificatorer ikke er lukket under førsteordens definition. Mere præcist er det lukket under de sædvanlige boolske operationer, men ikke under indre negation og dermed ikke under indtagelse af dualer, hvor den indre negation af en type ({ langle} 1 { rangle}) kvantificer Q er defineret af ((Q / neg) _M (A) Leftrightarrow Q_M (M \! - \! A)), og den dobbelte af (Q ^ d = / neg (Q / neg)). For eksempel (eksisterer ^ d = / forall).

En intuition kan være, at Ext er tilstrækkeligt med konstance. Men en anden intuition er, at en kvantificator, der betyder det samme på alle universer, især skal tilfredsstille Isom, som tvinger Q til at være den “samme” på alle universer med samme kardinalitet. Disse to ideer er uforenelige, da de samlet set indebærer, at Ext indebærer Isom, som er åbenlyst falsk. Det er klart, at den vage forestilling om at betyde det samme på tværs af forskellige universer indrømmer forskellige præciseringer. Ved nærmere undersøgelse forekommer det usandsynligt, at der er en nøjagtig version, der kan rumme alle intuitioner om ensartethed.

I denne situation ville et forslag være blot at bestemme, at konstance udgør Ext + Isom. Dette ville være en karnapisk forklaring af konstance. Kvantificatorer med denne kombination af egenskaber synes at betyde det samme på alle universer. På den anden side ville Ext men ikke-Isom-kvantificatorer som tre (^ { textit {student}}) eller nogle professorer ikke have den samme betydning på tværs af forskellige domæner, som vi så var i overensstemmelse med en intuition. Desuden er de få naturlige ikke-Ext-kvantificatorer, vi har stødt på, alle definerbare fra Ext + Isom-kvantificatorer. [31]

16. Polyadic Natural Language Quantifiers

Overvej en typisk engelsk sætning, hvor både emne og objekt kvantificeres:

(35) De fleste film blev gennemgået af to kritikere

Sandhedsbetingelserne for (36) kan gives i form af en polyadisk kvantificer, af typen ({ langle} 1,1,2 { rangle}) (udeladelse af M):

[Q (A, B, R) iff / textit {most} (A, {a / !: / textit {two} (B, R_a) }))

(Dette er "small scope" -læsningen; "wide scope" -læsningen vil i stedet være (textit {two} (B, {b / !: / textit {most} (A, (R ^ {- 1}) _b))).) Men denne polyadiske kvantificator er resultatet af to type ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantificatorer ved en allestedsnærværende konstruktion, som vi kalder iteration. Hvis (Q, Q ') er af typen ({ langle} 1 { rangle}), defineres typen ({ langle} 2 { rangle}) kvantificator (Q / cdot Q') ved

) tag {36} Q / cdot Q '(R) iff Q ({a / !: Q' (R_a) }))

Derefter får vi iterationen af to type ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantificatorer (Q_1, Q_2) som ovenfor med (Q_1 ^ A / cdot Q_2 ^ B). Egenskaber ved iterationer studeres i van Benthem (1989), Keenan (1992), Westerståhl (1994) og Steinert-Threlkeld og Icard (2013).

Keenan tænker på iteration som Frege-grænsen. Som han og andre påpegede, ser det ud til at være mange naturlige sprogkvantificeringsmidler ud over denne grænse, dvs. ikke defineres som iterationer. Vi giver et par eksempler her; mange flere kan findes i de netop givne referencer. Den næste sætning kan se ud som at udtrykke en iteration, men faktisk ikke.

(37) Forskellige studerende besvarede forskellige spørgsmål under eksamen

Eksempel (37) har formodentlig forskellige fortolkninger, for eksempel en, der bruger følgende type ({ langle} 1,1,2 { rangle}) kvantificator:

[Q (A, B, R) iff / forall a, b / in A (a / neq b / Rightarrow B / cap R_a / neq B / cap R_b))

Denne kvantificator er stadig førsteordens definerbar, men ikke en iteration. [32] Overvej derefter

  • (38) a. Folk er som regel taknemmelige over for brandmænd, der redder dem.
  • b. Mænd foretager sjældent pass på piger, der bærer briller. (Dorothy Parker)

Adverb som normalt, sjældent, altid, kan aldrig tages for at betegne generaliserede kvantificatorer (en observation oprindeligt foretaget i Lewis (1975)). For eksempel er hunde, der aldrig meow, groft synonymt med Ingen hunde. Men for (38) kan det argumenteres for, at der er en læsning, hvor kvantificatoren gælder for par: blandt parene, der består af en person og en brandmand, der redder denne person, er et flertal sådan, at personen er taknemmelig. Dette er kun genoptagelsen af de fleste til par, som vi definerede i / eqref {ex-qlist4}:

[Res ^ 2 (textit {most}) (R, S) iff | R / cap S | > | RS |)

Så i (38b), (R (a, b)) iff (a / in / textit {person}) og (b / in / textit {brandmand}) og (a \: / textit {reddet} b) og (S (a, b)) iff a er taknemmelig for b. Det kan vises, at for mange kvantificatorer, især de fleste, er (Res ^ n (Q)) ikke definerbar i (FO (Q)). Faktisk er (Res ^ 2 (textit {most})) ikke definerbar ud fra et endeligt antal monadiske kvantificatorer, så det er et eksempel på en irreducerbelig polyadisk kvantificer. [33]

Næste:

  • (39) a. Fem Boston-kander sad ved siden af hinanden.
  • b. De fleste af parlamentsmedlemmerne refererer indirekte til hinanden.

Her (39a) kan have sandhedsbetingelserne

) findes X / subseteq / textit {Boston pitcher} [| X | = 5 / amp / textit {RECIP} (X, / textit {sad ved siden af})])

hvor RECIP er typen ({ langle} 1,2 { rangle}) kvantificator defineret i / eqref {ex-qlist4}. Det vil sige, der er et sæt med fem kastere fra Boston, så hvis du tager to af dem, sidder de enten ved siden af hinanden, eller der er en kande, eller to eller højst tre (alle i det valgte sæt), mellem dem. Tilsvarende for (39b). Dette er kun en af flere konstruktioner af polyadiske kvantificatorer, der forekommer i gensidige sætninger. [34]

Overvej til sidst sætningen

(40) De fleste drenge i din klasse og de fleste piger i min klasse har alle dateret hinanden

(40) er blevet fremsat som et eksempel på forgreningskvantificering, som kan skrives i et to-dimensionelt logisk format som

  • (41)

    'mest x A (x)' og 'mest y B (y)' hver med linjer til 'R (x, y)'
    'mest x A (x)' og 'mest y B (y)' hver med linjer til 'R (x, y)'

hvor den tilsigtede aflæsning er, at der er en undergruppe X af A, der indeholder de fleste af elementerne i A, og en lignende stor undergruppe Y af B, således at hvert par ((a, b)) hvor (a / i X) og (b / i Y) hører til forholdet R. Mere generelt har vi en polyadisk kvantificer af typen ({ langle} 1,1,2 { rangle}) defineret for enhver (Q_1, Q_2) af typen ({ langle} 1,1 { rangle}) af

) tag {42} label {ex-br} Br (Q_1, Q_2) (A, B, R) iff \\ / findes X / subseteq A \: / exist Y / subseteq B \, [Q_1 (A, X) amp Q_2 (B, Y) amp X / gange Y / subseteq R])

Helt plausibelt giver dette en læsning af (40). Bemærk, at x og y her er uafhængige af hinanden. Hvis man i stedet ville bruge en af de lineære sætninger

) textit {most}: x (A (x), / textit {most}: y (B (y), R (x, y))) / \ textit {most}: y (B (y), / textit {mest}: x (A (x), R (x, y))))

så afhænger enten y af x eller omvendt. Den todimensionale syntaks i (41) afspejler denne semantiske uafhængighed. [35]

Det kan vises, at (Br (textit {most}, / textit {most})) ikke kan udtrykkes i (FO (textit {most})) alene; faktisk ikke med et endeligt antal monadiske kvantificatorer (for et bevis, se Hella, Väänänen og Westerståhl (1997)). På den anden side opnås forgreningskvantificatorer med en "løft" -operation, der anvendes til monadiske kvantificatorer, og på lignende måde til genoptagelse. Selv om det naturlige sprog udviser talrige polyadiske kvantificatorer langt ud over Frege-grænsen, kan man stadig gøre en sag for påstanden om, at disse alle er opnået fra monadiske kvantificatorer på systematiske måder.

17. GQ Teori og Sprogvidenskab

Fremkomsten af generaliserede kvantificatorer havde en enorm indflydelse på sproglig semantik via Montages arbejde i slutningen af 60'erne, forstærket af anvendelsen af modelteoretiske metoder i de tidlige 80'ere af Barwise og Cooper, Keenan og Stavi og andre (se note 21). I næsten alle eksempler i disse værker var det naturlige sprog engelsk. Lingvistikere har siden anvendt og testet værktøjer og metoder til “GQ-teori” på andre sprog. Samlingen Bach et al. (1995) har blandt andet syv casestudier af kvantificering på andre sprog. Det understreger også sondringen mellem D-kvantificering og A-kvantificering. I D-kvantificering, som de fleste af vores eksempler hidtil udviser, er kvantificeringsudtrykket (normalt) en determiner, der gælder for et substantiv. A-kvantificering udføres på andre måder-A står for adverb, hjælpestoffer,anbringelser og justeringer af argumentstruktur. Mange sprog foretrækker A-kvantificering, nogle udelukkende. Engelsk har begge typer; husk kvantificeringsadverbene i (38).[36]

For nylig har bindene Keenan og Paperno (2012) og Paperno og Keenan (2017) et separat kapitel, der besvarer et fast sæt spørgsmål om at udtrykke kvantificering for hvert af 34 forskellige sprog (forskellige også fra de nævnt ovenfor) for at fremstille en omfattende opgørelse over deres ekspressive ressourcer. [37]Fremgangsmåden er semantisk: spørgsmålene er af formen "Kan man udtrykke X på dit sprog, og i bekræftende fald på hvilke måder?", Som tillader præcise spørgsmål om konservativitet, monotonicitet, polaritetsemner, monadisk kontra polyadisk kvantificering osv. sættes til hvert sprog. Resuméet i det sidste kapitel viser, at mange af de generaliseringer, der gælder for engelsk, vedrørende eksistensen af udtryk, der angiver bestemte kvantificeringsmidler og egenskaber ved disse, også indeholder på alle eller de fleste af de andre studerede sprog (Keenan og Paperno-liste 25 sådan generaliseringer).

På den anden side, begyndt i 1990'erne, har nogle sprogforskere hævdet, at GQ-teorien ikke er i stand til at redegøre for en række vigtige semantiske fænomener - på engelsk og andre sprogrelaterede til kvantificering. Szabolcsi (2010) giver en detaljeret redegørelse for denne udvikling. Et spørgsmål er, at GQ-teorien ser ud til ikke at have noget at sige om den sammensatte betydning af komplekse determinere. Hvordan er for eksempel betydningen af mere end fem afledt af betydningen af dens dele? Eller betragt det mest, som ofte behandles som en simpel bestemmelse, selvom dens betydning på en eller anden måde skal komme fra at være et superlativ af mere.

Et andet problematisk fænomen er omfang. Mens GQ-teori i princippet ser ud til at tillade alle teoretisk mulige scopings af indlejrede kvantificeringsudtryk, har naturlige sprog begrænsninger, der regulerer, hvilke af disse der faktisk er tilladt. Faktisk er omfang et stort emne inden for sproglig syntaks og semantik og et komplekst emne. Problemet er også metodologisk: hvordan kan man bestemme, om en given sætning S faktisk kan betyde Y (hvor Y svarer til en bestemt omfang)? Først skal man filtrere tilfælde, hvor Y-utilgængeligheden afhænger af fakta om verden, ikke om sprog. For det andet, hvis intuitioner skal tælle: sprogkundskabet eller dem, der er tale om indfødte talere i en testsituation, eller måske statistiske beviser burde spille en rolle? Stadig,mens det er sandt, at mange aflæsninger, der synes umulige ved første øjekast faktisk er tilgængelige i tilstrækkeligt specifikke sammenhænge, er det antagelig, at sprog har omfangsbegrænsninger uden for rækkevidden af GQ-teorien.[38]

"GQ-teoretikeren" kunne svare, at hendes værktøjer aldrig var beregnet til fuldt ud at forklare rækkevidde eller muliggøre sammensætningsanalyser af ethvert komplekst udtryk. Den model-teoretiske ramme er først og fremmest beskrivende: den tilvejebringer matematiske objekter, der kan tjene som (modeller af) mening, og formulere egenskaber og forhold mellem disse objekter. Nogle gange afslører fakta om de matematiske objekter indsigt om de ting, de modellerer, som i tilfælde af monotonicitet og polaritetsemner, eller tilfældet med betydningen af sammenhængende substantivfraser. Men der er ingen grund til at forvente, at dette sker i alle tilfælde.

Dette er positioner i en løbende debat om formelle metoders rolle og især modelteoretiske værktøjer i semantik; en debat, der på ingen måde er afgjort. Det, der synes klart, er, at fænomenerne i forbindelse med kvantificering på naturlige sprog fortsat leverer fremragende materiale til denne diskussion.

18. Kvantificering og erkendelse

I de senere år har der været en eksplosion af arbejde, der forbinder semantik, resonnement og erkendelse, meget af det relaterede til, hvordan talere forstår og lærer og resonnerer med kvantificerede udtryk. En vigtig del af forskningen vedrører monotonicitet (afsnit 13). Allerede Barwise og Cooper (1981) bemærkede forekomsten af monotone kvantificatorer på naturlige sprog og foreslog en måde at vise, at monotone kvantificatorer er lettere at behandle end ikke-monotone kvantificatorer, og at stigende kvantificatorer er lettere end at mindske dem. De foreslog også, at psykologiske eksperimenter kunne bruges til at teste deres hypotese. Deres tekniske forslag blev videreudviklet i van Benthem (1986), der introducerede en forestilling om tællingskompleksitet og viste, at under nogle antagelserkvantificatorerne med minimal tællingskompleksitet er netop dem med en bestemt stærk monotonicitetsejendom.[39]

Monotonicity er også involveret i, hvad van Benthem har kaldt "et-trins" -ræsonnement, som ser ud til at være let tilgængelig for højttalere. Grundlæggende determinators monotonicity-opførsel viser allerede, hvordan en sådan begrundelse er licenseret. Markering af højre stigende (faldende) type ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantificatorer med en + (a (-)) til højre, og på lignende måde for venstre monotonicitet, har vi for eksempel:

(- / textit {alle} +) (+ / textit {nogle} +) (- / textit {no} -) (cdot \, / textit {most} +) (cdot \, / textit {nøjagtigt tre}, / cdot)

hvor (cdot) markerer, at positionen hverken falder eller øges. Et godt eksempel er følgende inferens (fra Icard og Moss (2014), der tilpasser et eksempel i Geurts og Slik (2005)):

(43) De fleste amerikanere, der kender et fremmedsprog, taler det derhjemme De fleste amerikanere, der kender et fremmedsprog, taler det derhjemme eller på arbejdet

Forudsætningen er en "æsel sætning" med de fleste, og det er notorisk svært at fastlægge de nøjagtige sandhedsbetingelser for disse. Faktisk er flere aflæsninger mulige. [40] På trods af dette synes højttalere ikke at have noget problem med at gøre denne slutning, tilsyneladende da de fleste er rigtigt stigende (VP-argumentet taler det derhjemme udvides til at tale det derhjemme eller på arbejdet), uanset hvad emnet substantiv sætning (det samme i begge sætninger) betyder nøjagtigt.

Mange andre udtryk og sætninger udover bestemmere viser faste monotonicitetsmønstre. Begyndende med van Benthem (1986) har dette ført til algoritmer for, hvordan polaritetsmarkører tildeles knudepunkterne til analysetræer af sætninger (i forhold til en given grammatik), eller hvordan man indarbejder sådanne markører direkte i typenotationen; se Icard og Moss (2014) for en oversigt og yderligere referencer. Udover deres rolle i inferens kan sådan markering også forklare, og nogle gange endda forudsige, fordelingen af negative polaritetspunkter på sprog (slutningen af sektion 13). Desuden er der i mange tilfælde ingen syntaktisk analyse nødvendig: der kan foretages konklusioner direkte på overfladeform, og ville i denne forstand være tilgængelige "on the fly" for højttalere; sammenligne (43). Det netop nævnte papir præsenterer også en komplet aksiomatisering af en formel monotonicity-beregning,hvor mange variationer af ræsonnement med monotonicitet kan udtrykkes.[41]

En noget parallel udvikling har været den formelle undersøgelse af forskellige syllogistiske fragmenter; vi bemærkede i afsnit 2, at mange syllogismer udtrykker monotonicitetsegenskaber. Disse fragmenter, hvoraf de fleste blev undersøgt af Ian Pratt-Hartmann og frem for alt Larry Moss, spænder fra dem, der kun indeholder enkle sætninger som allXY eller someXY til dem, der tillader komplimenter, relative klausuler, transitive verb, ikke-førsteordens kvantificeringsmidler som de fleste, og andre funktioner. Her er et eksempel (Moss pc) på en slutning i et sådant fragment:

Alle kan lide alle, der kan lide Pat Pat kan lide enhver klarinetist Alle kan godt lide alle, der kan lide alle, der kan lide hver klarinetist

Dette illustrerer, hvordan ret involveret ræsonnement kan udtrykkes i et simpelt syllogistisk-lignende sprog. Inferensen er gyldig, men man skal tænke lidt for at se det. [42] Et hovedtræk ved de fleste af disse fragmenter er, at ud over at have eksplicitte komplette aksiomatiseringer kan gyldigheden i dem afgøres i modsætning til første ordens logik. Dette gælder også for nogle fragmenter med kvantificatorer, som ikke er FO-definerbare. Ligesom monotonicitetskalkulaturen er undersøgelsen af syllogistiske fragmenter en del af virksomheden, der er noget løst kaldet naturlig logik, hvilket resulterer i velopførte delsystemer med mere kendte logikker, i den forstand at være både tættere på det naturlige sprog og beregningsmæssigt mere gennemførligt; se Moss (2015) for en undersøgelse. [43]

På den kognitive side er spørgsmål om forståelse og læring relateret til kvantificering og monotonicitet studeret både inden for psykologi og neurovidenskab. Geurts og Slik (2005) spurgte forsøgspersoner, om visse konklusioner, der involverede monotonicitet, var gyldige eller ej; resultaterne bekræftede stort set Barwise og Coopers tidligere hypoteser. Betydningen af individuelle bestemmere er også undersøgt empirisk; Pietroski et al. (2009) undersøgte mest, hvor metoden var at vise forsøgspersoner et billede med gule og blå prikker i meget kort tid (for at fjerne tællingen) og spørge, sige, om det er sandt eller falsk, at de fleste af prikkerne er gule. Variationer af denne form for eksperiment er almindelige i litteraturen; en nylig forekomst er Odic et al. (2018), der studerer forskellen i masse / tælle i kognition og semantik. Begge undersøgelser involverer den menneskelige talesans og dens forhold til forståelse af kvantificeringssprog. Man kan underholde en”Whorfian” -hypotese om, at sidstnævnte er en forudsætning for førstnævnte. Dette blev testet med neurobiologiske metoder (hjerneskanningsmetoder kombineret med psykologiske test med patienter, der lider af forskellige hjerneforstyrrelser) i Clark og Grossman (2007). De fandt ingen empirisk støtte til denne hypotese; se også Clark (2011a) for en beskrivelse af eksperimentet og mere om forskning i kvantificering og talesans. Dette blev testet med neurobiologiske metoder (hjerneskanningsmetoder kombineret med psykologiske test med patienter, der lider af forskellige hjerneforstyrrelser) i Clark og Grossman (2007). De fandt ingen empirisk støtte til denne hypotese; se også Clark (2011a) for en beskrivelse af eksperimentet og mere om forskning i kvantificering og talesans. Dette blev testet med neurobiologiske metoder (hjerneskanningsmetoder kombineret med psykologiske test med patienter, der lider af forskellige hjerneforstyrrelser) i Clark og Grossman (2007). De fandt ingen empirisk støtte til denne hypotese; se også Clark (2011a) for en beskrivelse af eksperimentet og mere om forskning i kvantificering og talesans.

Der findes i øjeblikket et vist antal empiriske undersøgelser af, hvordan forskellige klasser af kvantificatorer, der identificeres ved logiske eller beregningsmæssige midler, afspejles med hensyn til læring, forståelse, kognitiv belastning osv. Omvendt antyder sproglige og kognitive fakta nye teoretiske spørgsmål. For eksempel, hvad angår beregningskompleksitet, viste Sevenster (2006), at forgreningen af de fleste som i (40) i afsnit 9 er ufravigelig. [44]Derefter observerede Szymanik, at hvis operationerne med genoptagelse og iteration (som i henholdsvis (38) og (36)) anvendes til PTIME-kvantificatorer, er resultatet igen i PTIME, i modsætning til forgrening. Tilsvarende bevarer nogle former for gensidige konstruktioner PTIME-regnbarhed, mens andre ikke: "løfte" nøjagtigt fem med RECIP, som i (39a) gør, men på samme måde løftes de fleste som i (39b) ikke.

I van Benthems semantiske automatindstilling (afsnit 9) beviste Steinert-Threlkeld og Icard (2013), at Frege-grænsen (sektion 16) er robust i den forstand, at hvis to Conserv- og Ext-type ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantificatorer kan genkendes med en endelig (eller push-down) automat, så er også deres iteration. Derudover viste Steinert-Threlkeld (2016), at for store klasser af type ({ langle} 1,1,2 { rangle}) kvantificatorer, kan det afgøres, om de er iterationer af type ({ langle} 1, 1 { rangle}) kvantificatorer eller ej. En nylig præsentation af både teoretiske og empiriske resultater omkring de kognitive aspekter af kvantificeringsgenkendelse er Szymanik (2016).

Der er givet beregningsmodeller til at lære betydningen af kvantificatorer; for eksempel af Clark (2011a) i den semantiske automatindstilling. I en nylig udvikling undersøger Steinert-Threlkeld og Szymanik (kommende) lærbarhed med teknologien i neurale netværk og tester, om visse kvantificatorer, der tilfredsstiller tre almindeligt foreslåede universaler - at enkle bestemmelsesbetegnelser er monotone, henholdsvis Isom og Conserv - er lettere at lære end kvantificatorer, der ikke har disse egenskaber. For hver universel sammenlignes den tid, det tager netværket at lære en kvantificeringsmaskine, der tilfredsstiller den, med den tid det tager at lære en kvantificator, der ikke gør det. Det viser sig, at monoton og Isom er lettere end ikke-monotone og ikke-Isom, mens der ikke er nogen påviselig forskel for Conserv. [45]

Dette er bare glimt af den igangværende forskning. Undersøgelsen af, hvordan talere behandler kvantificerede udtryk, der kombinerer den grundlæggende teoretiske analyse med metoder fra psykologi, neurovidenskab og datalogi, er i øjeblikket et rigt område i studiet af generaliserede kvantificatorer.

Bibliografi

  • Bach, Emmon, Eloise Jelinek, Angelika Kratzer og Barbara H. Partee (red.), 1995, kvantificering i naturlige sprog, (studier i sprogvidenskab og filosofi 54), Dordrecht: Springer Netherlands. doi: 10,1007 / 978-94-017-2817-1
  • Barwise, Jon, 1979, “On Branching Quantifiers in English”, Journal of Philosophical Logic, 8 (1): 47–80. doi: 10,1007 / BF00258419
  • Barwise, Jon og Robin Cooper, 1981, "Generaliserede kvantificatorer og naturligt sprog", lingvistik og filosofi, 4 (2): 159–219. doi: 10,1007 / BF00350139
  • Barwise, Jon og Solomon Feferman (red.), 1985, Model Theoretic Logics, (Perspectives in Mathematical Logic), New York: Springer-Verlag.
  • van Benthem, Johan, 1986, Essays in Logical Semantics, (Studies in Linguistics and Philosophy, 29), Dordrecht: D. Reidel.
  • –––, 1989, “Polyadiske kvantificatorer”, lingvistik og filosofi, 12 (4): 437–464. doi: 10,1007 / BF00632472
  • van Benthem, Johan FAK og Alice ter Meulen (red.), 2011, Handbook of Logic and Language, anden udgave, Amsterdam: Elsevier.
  • Bonnay, Denis, 2008, “Logicality and Invariance”, Bulletin of Symbolic Logic, 14 (1): 29–68. doi: 10,2178 / bsl / 1208358843
  • Cartwright, Richard L., 1994, "At tale om alting", Noûs, 28 (1): 1–20. doi: 10,2307 / 2.215.917
  • Clark, Robin, 2011a, “Generaliserede kvantificeringsmidler og antalsense”, Philosophy Compass, 6 (9): 611–621. doi: 10.1111 / j.1747-9991.2011.00419.x
  • –––, 2011b, “Om læsbarheden af kvantificatorer”, i van Benthem og ter Meulen 2011: 911–923.
  • Clark, Robin og Murray Grossman, 2007, “Number Sense and Quantifier Interpretation”, Topoi, 26 (1): 51–62. doi: 10,1007 / s11245-006-9008-2
  • Dalrymple, Mary, Makoto Kanazawa, Yookyung Kim, Sam McHombo og Stanley Peters, 1998, “Gensidige udtryk og begrebet gensidighed”, lingvistik og filosofi, 21 (2): 159–210. doi: 10,1023 / A: 1005330227480
  • Ebbinghaus, Heinz-Dieter og Jörg Flum, 1995, Finite Model Theory, (Springer Monographs in Mathematics), Berlin: Springer Berlin Heidelberg. doi: 10,1007 / 3-540-28788-4
  • Ebbinghaus, Heinz-Dieter, Jörg Flum og Wolfgang Thomas, 1994, Matematisk logik (Einführung in die mathematatische Logik), anden udgave, New York: Springer-Verlag. doi: 10,1007 / 978-1-4757-2355-7
  • Filin Karlsson, Martin, 2017, “Alt hvad der er: om semantik af kvantificering over absolut alt”, Ph. D. Speciale, Göteborgs Universitet, (Acta Philosophica Gothoburgensia 31). [Karlsson 2017 tilgængelig online]
  • Geurts, Bart og Frans van der Slik, 2005, “Monotonicity and Processing Load”, Journal of Semantics, 22 (1): 97–117. doi: 10,1093 / jos / ffh018
  • Glanzberg, Michael, 2004, “Kvantificering og realisme”, Filosofi og fænomenologisk forskning, 69 (3): 541–572. doi: 10.1111 / j.1933-1592.2004.tb00518.x
  • Hackl, Martin, 2000, “Comparative Quantifiers”, ph.d.-afhandling, Massachusetts Institute of Technology. [Hackl 2000 tilgængelig online]
  • Hella, Lauri, 1989, “Definibilitetshierarkier af generaliserede kvantificeringsmidler”, Annals of Pure and Applied Logic, 43 (3): 235–271. doi: 10,1016 / 0168-0072 (89) 90070-5
  • Hella, Lauri, Jouko Väänänen og Dag Westerståhl, 1997, “Definibilitet af polyadiske lifter af generaliserede kvantificeringsmaskiner”, Journal of Logic, Language and Information, 6 (3): 305–335. doi: 10,1023 / A: 1008215718090
  • Henkin, Leon, 1961, "Nogle bemærkninger til uendeligt lange formler", i infinitistiske metoder: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, Warszawa, 2-9 september 1959, Oxford: Pergamon Press, 167–183.
  • Higginbotham, James og Robert May, 1981, "Spørgsmål, kvantificatorer og krydsning", Den sproglige gennemgang, 1 (1): 41–79. doi: 10,1515 / tlir.1981.1.1.41
  • Hintikka, Jaakko, 1973, “Quantifiers vs. Quantification Theory”, Dialectica, 27 (3-4): 329–358. doi: 10.1111 / j.1746-8361.1973.tb00624.x
  • Hopcroft, John E. og Jeffrey D. Ullman, 1979, Introduktion til Automata teori, sprog og beregning, (Addison-Wesley-serie i datalogi), Reading, MA: Addison-Wesley.
  • Icard III, Thomas F., 2014, “Higher-Order Syllogistics”, i formel grammatik 2014, Glyn Morrill, Reinhard Muskens, Rainer Osswald og Frank Richter (red.), (Lecture Notes in Computer Science 8612), Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1–14. doi: 10,1007 / 978-3-662-44121-3_1
  • Icard III, Thomas Icard og Lawrence S. Moss, 2014, “Seneste fremskridt inden for monotonicity”, i perspektiver på semantiske repræsentationer for tekstuel inferens, (LiLT 9), Stanford, CA: CSLI Publications, 167–194. [Icard and Moss 2014 tilgængelig online]
  • Icard, Thomas, Lawrence Moss og William Tune, 2017, “A Monotonicity Calculus and its Completeness”, i fortsættelse af det 15. møde om matematik for sprog, London, UK: Association for Computational Linguistics, 75–87. doi: 10,18653 / v1 / W17-3408
  • Keenan, Edward L., 1992, “Beyond the Frege Boundary”, lingvistik og filosofi, 15 (2): 199-221. doi: 10,1007 / BF00635807
  • Keenan, Edward L. og Leonard M. Faltz, 1984, Boolean Semantics for Natural Language, Dordrecht: Springer Netherlands. doi: 10,1007 / 978-94-009-6404-4
  • Keenan, Edward L. og Lawrence S. Moss, 1985, "Generaliserede kvantificatorer og det ekspressive magt af naturligt sprog", i generaliserede kvantificatorer i naturligt sprog, Alice ter Meulen og Johan van Benthem (red.), Berlin, Boston: De Gruyter 73–124. doi: 10,1515 / 9783110867909,73
  • Keenan, Edward L. og Denis Paperno (red.), 2012, Handbook of Quantifiers in Natural Language, (Studies in Linguistics and Philosophy 90), Dordrecht: Springer Netherlands. doi: 10,1007 / 978-94-007-2681-9
  • Keenan, Edward L. og Jonathan Stavi, 1986, “En semantisk karakterisering af naturlige sprogbestemmere”, lingvistik og filosofi, 9 (3): 253–326. doi: 10,1007 / BF00630273
  • Keenan, Edward L. og Dag Westerståhl, 2011, “Generaliserede kvantificatorer i lingvistik og logik”, i van Benthem og ter Meulen 2011: 859–910.
  • Lewis, David, 1975, “Adverbs of Quantification”, i formel semantik for naturligt sprog, Edward L. Keenan (red.), Cambridge: Cambridge University Press, 3–15. doi: 10,1017 / CBO9780511897696.003
  • Lindström, Per, 1966, “Første ordens predikatlogik med generaliserede kvantificeringsmaskiner”, Theoria, 32 (3): 186–195. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1966.tb00600.x
  • Linnebo, Øystein, 2006, “Sæt, egenskaber og ubegrænset kvantificering”, i Rayo og Uzquiano 2006: 149–178.
  • Luosto, Kerkko, 2000, “Hierarchies of Monadic Generalised Quantifiers”, Journal of Symbolic Logic, 65 (3): 1241–1263. doi: 10,2307 / 2.586.699
  • Montague, Richard, 1974, formel filosofi: udvalgte papirer af Richard Montague, Richmond H. Thomason (red.), New Haven, CT: Yale University Press.
  • Moss, Lawrence S., 2015, “Natural Logic” i Handbook of Contemporary Semantic Theory, Shalom Lappin og Chris Fox (red.), Anden udgave, John Wiley & Sons, 646–681.
  • Mostowski, Andrzej, 1957, "Om en generalisering af kvantificatorer", Fundamenta Mathematicae, 44 (1): 12–36. doi: 10,4064 / fm-44-1-12-36
  • Mostowski, Marcin, 1998, “Computational Semantics for Monadic Quantifiers”, Journal of Applied Non-Classical Logics, 8 (1-2): 107–121. doi: 10,1080 / 11663081.1998.10510934
  • Odic, Darko, Paul Pietroski, Tim Hunter, Justin Halberda og Jeffrey Lidz, 2018, “Enkeltpersoner og ikke-individuelle i kognition og semantik: Mass / Count Distinction and Quantity Representation”, Glossa: A Journal of General Linguistics, 3 (1): 61. doi: 10.5334 / gjgl.409
  • Paperno, Denis og Edward L. Keenan (red.), 2017, Handbook of Quantifiers in Natural Language: Volume II, (Studies in Linguistics and Philosophy 97), Cham: Springer International Publishing. doi: 10,1007 / 978-3-319-44330-0
  • Parsons, Terence, 1997 [2017], “The Traditional Square of Opposition”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Sommer 2017), Edward N. Zalta (red.). URL =
  • Peters, Stanley og Dag Westerståhl, 2002, "Har engelsk virkeligt resumptiv kvantificering?", I konstruktionen af betydning, David I. Beaver, Luis D. Casillas Martínez, Brady Z. Clark og Stefan Kaufmann (red.), Stanford, CA: CSLI-publikationer, 181–195.
  • –––, 2006, Quantifiers in Language and Logic, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199291267.001.0001
  • –––, 2013, “The Semantics of Possessives”, Sprog, 89 (4): 713–759. doi: 10,1353 / lan.2013.0065
  • Pietroski, Paul, Jeffrey Lidz, Tim Hunter, og Justin Halberda, 2009, "Betydningen af 'mest': Semantik, talethed og psykologi", Mind & Language, 24 (5): 554-585. doi: 10.1111 / j.1468-0017.2009.01374.x
  • Rayo, Agustín, 2012, “Absolute Generality Revesidered”, i Oxford Studies in Metaphysics bind 7, Karen Bennett og Dean W. Zimmerman (red.), Oxford: Oxford University Press, 93–126. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199659081.003.0004
  • Rayo, Agustín og Gabriel Uzquiano (red.), 2006, Absolute Generality, Oxford: Clarendon Press.
  • Sher, Gila Y., 1997, “Delvis ordnet (forgrening) Generaliserede kvantificeringsmaskiner: En generel definition”, Journal of Philosophical Logic, 26 (1): 1–43. doi: 10,1023 / A: 1017944808396
  • Steinert-Threlkeld, Shane, 2016, “Nogle egenskaber ved iterated sprog”, Journal of Logic, Language and Information, 25 (2): 191–213. doi: 10,1007 / s10849-016-9239-6
  • Steinert-Threlkeld, Shane og Thomas F. Icard III, 2013, “Iterating Semantic Automata”, Linguistics and Philosophy, 36 (2): 151–173. doi: 10,1007 / s10988-013-9132-6
  • Steinert-Threlkeld, Shane og Jakub Szymanik, forestående,”Lærbarhed og semantiske universaler”, semantik og pragmatik. [Steinert-Threlkeld og Szymanik forestående tilgængelig online]
  • Szabolcsi, Anna, 2010, Kvantificering, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9780511781681
  • Szymanik, Jakub, 2016, Kvantificatorer og kognition: Logiske og beregningsmæssige perspektiver, (Studier i lingvistik og filosofi 96), Cham: Springer International Publishing. doi: 10,1007 / 978-3-319-28749-2
  • Westerståhl, Dag, 1987, "Branching Generalised Quantifiers and Natural Language", i Generalised Quantifiers, Peter Gärdenfors (red.) (Studies in Linguistics and Philosophy 31), Dordrecht: Springer Netherlands, 269–298. doi: 10,1007 / 978-94-009-3381-1_10
  • –––, 1989, “Kvantificatorer i formelle og naturlige sprog”, i Håndbog for filosofisk logik, Dov M. Gabbay og Franz Guenthner (red.), Dordrecht: Springer Netherlands, 4: 1–131. Genoptrykt, 2007, Håndbog for filosofisk logik, Dov M. Gabbay og Franz Guenthner (red.), Dordrecht: Springer Netherlands, 14: 223–338. doi: 10,1007 / 978-1-4020-6324-4_4
  • –––, 1994, “Iterated Quantifiers”, i Dynamics, Polarity and Quantification, Makoto Kanazawa og Christopher J. Piñón (red.), (CSLI Lecture Notes 48), Stanford, CA: CSLI Publications, 173–209.
  • –––, 2012, “Klassiske versus moderne kvadrater af opposition og videre” i Oppositionspladsen: En generel ramme for kognition, Jean-Yves Beziau og Gillman Payette (red.), Bern: P. Lang, 195 -229.
  • –––, 2017, “Sameness”, i Feferman on Foundations, Gerhard Jäger og Wilfried Sieg (red.), (Enestående bidrag til logik 13), Cham: Springer International Publishing, 449–467. doi: 10,1007 / 978-3-319-63334-3_16
  • Williamson, Timothy, 2003, “Alt”, Filosofiske perspektiver, 17 (1): 415–465. doi: 10.1111 / j.1520-8583.2003.00017.x

Akademiske værktøjer

sep mand ikon
sep mand ikon
Sådan citeres denne post.
sep mand ikon
sep mand ikon
Forhåndsvis PDF-versionen af denne post hos Friends of the SEP Society.
inpho ikon
inpho ikon
Slå dette emne op på Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papirer ikon
phil papirer ikon
Forbedret bibliografi til denne post på PhilPapers med links til dens database.

Andre internetressourcer

[Kontakt forfatteren med forslag.]