Epistemology Of Geometry

Indholdsfortegnelse:

Epistemology Of Geometry
Epistemology Of Geometry

Video: Epistemology Of Geometry

Video: Epistemology Of Geometry
Video: Plato's Meno: The Geometry Lesson 2024, Marts
Anonim

Indtastningsnavigation

  • Indtastningsindhold
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Venner PDF-forhåndsvisning
  • Forfatter og citatinfo
  • Tilbage til toppen

Epistemology of Geometry

Først offentliggjort man 14. oktober 2013; substantiel revision mand. 31. jul. 2017

Geometrisk viden angår typisk to slags ting: teoretisk eller abstrakt viden indeholdt i definitionerne, sætninger og bevis i et geometri-system; og en vis viden om den eksterne verden, såsom det kommer til udtryk i termer hentet fra et geometri-system. Arten af forholdet mellem den abstrakte geometri og dens praktiske udtryk skal også overvejes.

Dette essay anser forskellige teorier om geometri, deres grunde til forståelighed, for gyldighed, og for fysisk for fortolkning i perioden stort set før indførelsen af de teorier om specielle og generelle relativitetsteori i 20 th århundrede. Det viser sig, at et kompliceret samspil mellem kortest og ligestil er i arbejde i mange faser.

Før 19 th århundrede kun én geometri blev undersøgt i dybden eller menes at være en nøjagtig eller korrekt beskrivelse af fysiske rum, og det var euklidiske geometri. Den 19 th århundrede selv oplevede et væld af nye geometrier, hvoraf den vigtigste var Projektiv geometri og ikke-euklidisk eller hyperbolsk geometri. Projektiv geometri kan betragtes som en uddybning af de ikke-metriske og formelle sider af den euklidiske geometri; ikke-euklidisk geometri som en udfordring til dets metriske aspekter og implikationer. Ved de indledende år af 20 thårhundrede var der foreslået en række Riemannianske differentielle geometrier, der gjorde streng fornemmelse af ikke-euklidisk geometri. Der var også betydelige fremskridt inden for området abstrakte geometrier, såsom dem, der blev foreslået af David Hilbert. Heraf følger, at begreberne 'geometri' og 'fysiske rum' ikke har enkle betydninger i 19 th århundrede, og skiftende opfattelser af disse vilkår ikke følger et simpelt mønster af raffinement. Deres indbyrdes forbindelser har derfor også en kompliceret historie.

  • 1. Epistemologiske spørgsmål i Euclids geometri
  • 2. Epistemologiske problemer i anvendt geometri

    2.1 Implikationer af mekanik

  • 3. Projektiv geometri

    • 3.1 Koordinere transformationer; Kleinian geometri
    • 3.2 Hilbert og andre om aksiomatisk projektiv geometri
  • 4. Ikke-euklidisk geometri
  • 5. Riemannisk geometri

    • 5.1 Geodesik og forbindelser
    • 5.2 Riemann og Beltrami og streng ikke-euklidisk geometri
  • 6. Forståelsen af ikke-euklidisk geometri

    • 6.1 Herbarts filosofi
    • 6.2 Helmholtz og Poincaré
    • 6.3 Poincaré versus Russell
  • 7. Afsluttende bemærkninger
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Andre internetressourcer
  • Relaterede poster

1. Epistemologiske spørgsmål i Euclids geometri

En detaljeret undersøgelse af geometri, som Euclid præsenterede den, afslører en række problemer. Det er værd at overveje disse i nogle detaljer, fordi det erkendelsesteoretisk overbevisende status Euklids elementer var ubestridt af næsten alle, indtil de senere årtier af det 19. th århundrede. Blandt disse problemer er en mangel på klarhed i definitionerne af lige linje og plan og en forvirring mellem korteste og lige som en eller den grundlæggende geometriske egenskab. (Se de mange kommentarer samlet i Heaths udgave af Euclid's Elements.) Konsekvenserne for det parallelle postulat behandles separat, se afsnit om ikke-euklidisk geometri.

De første fire Books of Euclids elementer handler om lige linjer og cirkler, men det er velkendt, at begrebet en lige linje kun får en mest utilfredsstillende definition. En linje siges at være”en bredde uden længde”, og en lige linje til at være en linje”som ligger jævnt med punkterne på sig selv”. Dette kan hjælpe med at overbevise læserne om, at de deler en fælles opfattelse af den rette linje, men det nytter ikke, hvis der opstår uventede vanskeligheder ved oprettelsen af en teori, som vi skal se.

For dem, der besluttede at læse elementerne omhyggeligt og se, hvordan de afgørende udtryk bruges, blev det tydeligt, at beretningen både er bemærkelsesværdigt omhyggelig på nogle måder og mangelfuld i andre. Lige linjer opstår næsten altid som endelige segmenter, der kan udvides på ubestemt tid, men som mange kommentatorer bemærkede, skønt Euclid sagde, at der er et segment, der slutter sig til to punkter, sagde han ikke eksplicit, at dette segment er unikt. Dette er en fejl i beviset for den første kongruenssætning (I.4), der siger, at hvis to trekanter har to par sider lige, og den inkluderede vinkel er lig, er de resterende sider af trekanterne lige.

Sætning I.4 er interessant på en anden måde. Sætning I.2 bærer et omhyggeligt, og på ingen måde indlysende, bevis på, at et givet linjesegment i et plan kan kopieres nøjagtigt med et af dets slutpunkter på et hvilket som helst foreskrevet punkt i planet. Sætning I.4 kræver korrekt et bevis på, at en vinkel ligeledes kan kopieres nøjagtigt på et vilkårligt punkt, men denne Euclid kan ikke give på dette trin (en er givet i I.23, som dog bygger på disse tidligere resultater). Han fremsatte derfor en skaldet påstand om, at en trekant kan kopieres nøjagtigt i en vilkårlig position, hvilket får en til at undre sig over, hvorfor sådan pleje blev brugt på I.2. Faktisk skulle hele begrebet bevægelse af figurer blive et langvarigt diskussionsemne i arabisk / islamisk tid. (om fradrag i Euclid, se Mueller 1981).

En troværdig læsning af Elements Book I er, at en lige linje kan forstås som at have en retning, så der er en lige linje i hver retning på hvert punkt og kun en lige linje på et givet punkt i en given retning. Det parallelle postulat siger derefter, at linjer, der krydser en given linje i lige vinkler, peger i samme retning og ikke møder hinanden. Men dette må betragtes som en fortolkning og en, der kræver en hel del arbejde for at præcisere.

Retning er ikke desto mindre en mere plausibel kandidat end afstand; Euclid startede ikke med tanken om, at den lige linje, der forbinder to forskellige punkter, er den korteste kurve, der forbinder dem. Det relevante primitive koncept i elementerne er ligestillingen af segmenter, såsom alle radier i en given cirkel. Euclid sagde som fælles opfattelse 4, at hvis to segmenter kan fås til at falde sammen, er de lige, og (i den besværlige I.4) brugte han samtalen, at hvis to segmenter er ens, kan de få dem til at falde sammen. Segmenter er således, at enten den ene er mindre end den anden, eller de er ens, og i I.20 viste Euclid, at "i en hvilken som helst trekant er to sider samlet på nogen måde større end den resterende." Dette resultat er blevet kendt som trekantens ulighed,og det går langt med at bevise, at linjesegmentet, der forbinder to forskellige punkter, er den korteste kurve gennem disse punkter. Når det parallelle postulat er introduceret, viste Euclid, at modsatte sider af et parallelogram er lige, og derfor er afstanden mellem et par parallelle linjer en konstant.

Men der er en anden svaghed i elementerne, som også er værd at bemærke, selvom det trak mindre opmærksomhed, og dette er flyets karakter. Flyet har en anden substandard definition, som åbenbart er modelleret på linjen: "en plan overflade er en overflade, der ligger jævnt med de lige linjer på sig selv" (og overraskende, "en overflade er den, der kun har længde og bredde”). Derefter nævnes ordet 'fly' ikke i de første fire bøger, selvom de udelukkende drejer sig om plangeometri. Da Euclid vendte sig mod solid geometri i bog IX, begyndte han med tre teoremer successivt at vise, at en lige linje ikke kan ligge dels i et plan og dels ikke, at hvis to lige linjer skærer hinanden, ligger de i et plan, og hver trekant ligger i et fly, og at hvis to fly mødes, så gør de det på en linje. Imidlertid,han kan kun siges at hævde disse resultater og gøre dem plausible, fordi han ikke kan bruge sin definition af et fly til at bevise nogen af dem. De danner imidlertid grundlaget for de næste sætninger: der er en vinkelret på et plan på ethvert punkt på planet, og alle linier vinkelret på en given linje på et givet punkt danner et plan.

I.4 er I.4 problematisk. Overvej med henblik på en reduktion ad absurdum, at man har to trekanter, (ABC) og (A'BC) på samme side af deres fælles base (BC), og sådan at (BA = BA ') og (CA = CA'). Det er beregnet til at vise, at vertikaterne (A) og (A ') derfor falder sammen, og for dette skal man, som Gauss har observeret (i ikke-offentliggjorte bemærkninger, se Gauss Werke 8, 193) bruge det faktum, at trekanter ligger i det samme plan. En god definition af et plan er påkrævet, en sådan, at dette resultat kan bevises.

Lad os sige, at en rent syntetisk geometri er en, der beskæftiger sig med primitive koncepter som lige linjer og planer på noget som den ovenstående måde. Det vil sige, at det tager lige linie og planets planhed som grundlæggende og appellerer til de netop beskrevne forekomstegenskaber. Det er modstandsdygtigt over for tanken om at tage afstand som et grundlæggende koncept eller mod ideen om at erstatte udsagn i geometri med udsagn om tal (sige som koordinater), skønt det ikke er fjendtligt at koordinere geometri, der opføres på det.

Lad os også sige til de nuværende formål, at en metrisk geometri er en, hvor afstanden er et primitivt koncept, så linjesegmenter kan siges at have den samme længde, kongruente figurer har tilsvarende sider lige lange og geometriske transformationer bevarer længder. Vi kan også tillade, at ligheder er tilladte: dette er transformationer, der producerer skalakopier af figurer. (Ingen sætning i Euclids elementer afhænger af den faktiske størrelse på en figur: enhver sætning, der gælder for én figur, gælder for alle dens skalakopier.)

Elementærgeometri i det moderne vest bevægede sig på en forvirret måde mod at gøre afstand til det primære primitive koncept, mens de ofte opretholdt den euklidiske vægt på retfærdighed og således ofte blandede implikationerne af de forskellige koncepter. Et bemærkelsesværdigt eksempel på, at dette ikke desto mindre er produktivt, var John Wallis argument til forsvar for det parallelle postulat (givet som et foredrag i 1665 og offentliggjort i Wallis 1693). Det hviler, som han indså, af evnen til at fremstille vilkårlige kopier af en trekant, og det ser ud til at være første gang, at ækvivalensen blev anerkendt mellem disse to systemer:

  1. Euclids elementer
  2. Euclids elementer med det parallelle postulat fjernet og antagelsen om, at der findes tilfældige lignende tal, tilføjede.

I Encylopédie Méthodique (1784: bind 2, 132) definerede d'Alembert geometri som den videnskab, der lærer os at kende omfang, position og soliditet af kroppe. Dens principper er funderet, fortsatte han med, på sandheder, der er så tydelige, at det ikke er muligt at bestride dem. En linje (som en kurve) er en-dimensionel, og den korteste linje, der forbinder to punkter, er den rette linje. Parallelle linjer er linjer, uanset hvor langt de udvides aldrig vil mødes, fordi de er overalt ens.

Joseph Fourier tog i en diskussion med Monge også begrebet afstand som grundlæggende, men han begyndte med tredimensionelt rum. Derefter definerede han successivt sfæren, planet (som punkterne ækvidistant fra to givne punkter) og linjen (som punkterne ækvidistant fra tre givne punkter). Dette gav ham i det mindste definitioner af disse tidligere urolige koncepter (se Bonola 1912, 54).

Adrien-Marie Legendre var en matematiker, der sympatiske med elementernes didaktiske mål, men ikke til dens oprindelige formuleringer. Han skrev flere forskellige versioner af sine Éléments de géométrie (1794) med henblik på at genoprette den euklidiske strenghed i undervisningen i geometri, der efter hans opfattelse var blevet korroderet af tekster, såsom en af Clairaut (1741), der var afhængig af forestillinger om selv-beviser. De adskiller sig stort set, som han måtte indrømme, i deres mislykkede forsøg på at udlede det parallelle postulat.

I alle disse udgaver tog Legendre et fast metrisk synspunkt. Hans åbningsdefinition af den første udgave erklærede, at "Geometri er en videnskab, der har til formål at måle omfanget". Omfanget, forklarede han, har tre dimensioner, længde bredde og højde; en linje er en længde uden bredde, dens ekstremiteter kaldes punkter, og et punkt har derfor ikke noget omfang. En lige linje er den korteste sti fra et punkt til et andet; overflader har længde og bredde, men ingen højde eller dybde; og et plan er en overflade, hvor denne linie ligger i overfladen, hvis to vilkårlige punkter er forbundet med en lige linje.

Legendre gik derefter ud for at bevise elementernes teorier sammen med nogle resultater, som Euclid foretrak at antage, såsom (Legendres første resultat): to vilkårlige retvinkler er ens. Hans sætning 3 beviste, at linjen, der forbinder to forskellige punkter, er unik (dens eksistens er stiltiende antaget at være en konsekvens af definitionen af en lige linje). Kendte kongruenssætninger følger i hver udgave, indtil det parallelle postulat ikke længere kunne ignoreres. Når der var sikkerhed for, at der var parallelle linjer, viste Legendre, at de var ens på hinanden.

Faktisk var Legendres forsøg på at gendanne strenghed i behandlingen af elementær geometri ikke bedre end Euclids, og på nogle måder værre, ikke kun fordi hans forsøg på at bevise det parallelle postulat uundgåeligt mislykkedes, men fordi han smuglede mere på sin konto, end han indså. Men dets vigtigste betydning for de nuværende formål er, at den eksemplificerer forsøget på at grundlægge elementær geometri på et begreb med afstand, eller rettere, og mere præcist, på ideen om, at en lige linje er kurven for korteste afstand mellem nogen af dens punkter. Afstand i sig selv er ikke defineret.

Afslutningsvis: en rimelig opfattelse på det tidspunkt ville have været den metriske geometri, der var nødvendig for at få sit hus i orden, og det kunne sandsynligvis ikke gøre det ved at pode begrebet afstand på en struktur, der er modelleret efter Euclids elementer. Dette er en akavet position for traditionel geometri at være i, og det kan have åbnet folks sind for mulighederne for alternativer. Der skulle bestemt produceres to. Én, projektiv geometri, forstærket og forbedret den syntetiske side af geometrien. Den anden ikke-euklidiske geometri var en ny og udfordrende metrisk geometri. Men inden vi ser på dem, henvender vi os til nutidige filosofiske diskussioner om geometri.

2. Epistemologiske problemer i anvendt geometri

Det er en nyttig forenkling at sige, at omkring 1800 var opfattelsen, at der var et fysisk rum (universet), og at dette rum blev beskrevet af geometrien i Euclids elementer, som var den eneste kandidat til en sådan opgave. Tvister vedrørte den strenge præsentation af denne geometri og dens nøjagtige anvendelse på den fysiske verden. Arten af den viden, som geometri leverede, var også et spørgsmål om en vis diskussion.

Locke (se posten om Locke) tog fra den aristoteliske tradition tanken om, at euklidisk geometri og rationel teologi er eksempler på videnskabelig viden, men forsøgte at forankre hans filosofi i intuitiv, demonstrativ og følsom slags viden. Intuitiv viden er det, der straks forstås; demonstrativ viden benytter sig af de mellemliggende trin i et bevis som i geometri. Begge disse former for viden er sikre. Følsom viden er ikke sikker: det er det, vi lærer gennem vores sanser, den præsenterer effekter, men ikke årsager, den er i bedste fald delvis og kan være vildledende. Men fordi Locke grundlagde en vis viden om viden om essenser, som han mente var for altid skjult for os, blev han tvunget til at forsvare denne svagere form for viden, som den var passende for menneskelig viden. Rummet kan betragtes som sammensat af alle (faktiske og mulige) positioner af genstande; rent rum er rum med alle faste organer fjernet, og afstand det primitive koncept, vi bruger til at diskutere adskillelsen mellem kroppe.

I sin en essay om menneskelig forståelse (1690) hævdede Locke det

Når vi besidder os med den største sikkerhed for demonstrationen, at de tre vinkler i en trekant er lig med to rigtige, hvad oplever vi mere end opfattelse, at ligestilling med to rigtige nødvendigvis accepterer og er uadskillelig fra tre vinkler i en trekant? (Essay IV.i.2)

og senere det

… Ideen om en højreforet trekant medfører nødvendigvis en lighed mellem dens vinkler og to rigtige. Vi kan heller ikke forestille denne relation, denne sammenhæng af disse to ideer, muligvis være mutable eller være afhængig af enhver vilkårlig magt, som efter valget gjorde det således eller kunne gøre det på anden måde. (Essay IV.iii.29, s. 559–560)

Følsom viden om de tilsvarende genstande kunne imidlertid aldrig have denne grad af sikkerhed, og fordi vores viden stammer fra vores viden om objekter, ser det ud til, at videnskabelig viden om rum er af en anden art end vores viden om geometri. For Locke leverede den euklidiske geometri således en slags viden og erfaring og videnskabeligt eksperiment, en anden. Man kan sige, at der i dag er en epistemologisk kløft i filosofien i form af en skelnen mellem empirisk og a priori viden, der stadig er anerkendt.

Situationen med Hume er mere kompliceret, men også uden tvivl klarere, fordi kløften løses direkte. I sin A Treatise of Human Nature (1739–1740) forsvarede han sikkerheden omkring aritmetik og algebra, men tilbageholdt den fra geometri med den begrundelse, at vores viden om punkter og linjer i sagens natur er upræcise. Sandheden i den euklidiske geometri var ikke sandheder om verden, men om et abstrakt system, og ville forblive sande, hvis der ikke var nogen figurer i verden, der svarer til deres euklidiske ækvivalenter. Isosceles trekant teorem, der hævder ligheden mellem to sider af en trekant med to lige vinkler, skal forstås, antydede Hume, som påstanden om, at under de givne omstændigheder er to sider af en trekant omtrent lige- og fortolket på denne måde kravet er sikkert (se Badici 2011 og de Pierris 2012).

I Kants metafysik (se hans kritik af ren grund (1781/1787) og indgangen Kants syn på rum og tid) er situationen igen mere kompliceret eller sofistikeret. Kant introducerede begrebet a priori viden i modsætning til a posteriori, og syntetisk viden i modsætning til analytisk viden for at muliggøre eksistensen af viden, der ikke stod på erfaring (og således var a priori), men ikke var tautologisk karakter (og derfor syntetisk og ikke analytisk). Analytiske udsagn er a priori, den omstridte klasse af a priori ikke-analytiske udsagn indeholder dem, der ikke kunne være ellers, og så giver en vis viden. Blandt dem er udsagnene fra den euklidiske geometri; Kant tilskrev syntetisk a priori status til kendskabet til rummet. Han tilskrev også sikkerhed til euklidisk geometri. Men, skrev Kant,det er ikke filosofen, der ved, at vinkelsummen af en trekant er to rette vinkler, det er matematikeren, fordi matematikeren fremstiller en bestemt konstruktion, der gør sandheden i påstanden påviselig (se Kritik, A 716, B 744).

Blandt de franske filosofier var den dominerende stilling i 1770'erne den kartesiske position, som som eksemplificeret af Clairauts Élémens de géométrie (1741) måske var unødigt naiv i sin insistering på klare og øjeblikkelige ideer. D'Alemberts position i hans artikler i Encylopédie Méthodique (1784) var mere sofistikeret. Geometriens genstande skal forstås ved at abstrahere fra kroppe enhver kvalitet bortset fra at være gennemtrængelig, delbar og figurerede omfang. Blandt disse objekter er linjer, der mangler bredde, og overflader, der mangler dybde. Sandheder, der er fastlagt omkring geometriobjekterne, er rent abstrakte og hypotetiske, fordi der ikke findes en sådan ting, for eksempel som en perfekt cirkel. De demonstrerede egenskaber kan kun rumme faktiske cirkler, i det omfang det faktiske objekt nærmer sig tilstanden af at være en perfekt cirkel,

De er på en eller anden måde en grænse, og hvis man kan sige det på denne måde, er asymptot af fysiske sandheder, udtrykket for de objekter, der nærmer sig så tæt som man ønsker uden nogensinde at nå frem til det præcist. (se Encylopédie Méthodique II, 132)

Men hvis matematiske sætninger ikke nøjagtigt holder naturen, tjener disse sætninger i det mindste med tilstrækkelig præcision i praksis. For at blive demonstreret med fuld strenghed må de betragtes som at holde organer i en tilstand af abstrakt perfektion, som de ikke rigtig har.

Kurverne, der studeres i geometri, er ikke helt lige eller perfekt buede, overfladerne er ikke helt flade eller perfekt buede, men jo mere næsten de er så, jo mere nærmer de sig tilstanden med at have de egenskaber, som man beviser om linjer nøjagtigt lige eller buede, og af overflader nøjagtigt flade eller buede.

Disse refleksioner, fortsatte d'Alembert, vil være nok til at tilbagevise skeptikerne, der klager over, at geometriske genstande ikke rigtig findes, og andre uvidende om matematik, der betragter det som et nytteløst og meningsløst spil.

Det ser derfor ud til, at filosoffer ikke fandt nogen problemer i Euclids elementer, men Hume, d'Alembert og andre af en empiristisk overtalelse bestred brugen af teorierne med den begrundelse, at geometriobjekter muligvis ikke har nogen tilsvarende objekter i verden.. Filosofer, der er mere åbne over for ideen om en bred vifte af bestemt viden (som f.eks. Kant) kunne give geometriske teorier status som a priori sandheder, der ikke kunne være andre end de er.

2.1 Implikationer af mekanik

Det fysiske rum var den naive, tredimensionelle version af rummet i Euclids elementer og af kartesisk koordinatiseret tredimensionel geometri, og det var sådan, Newton havde betragtet det i sin Principia Mathematica (1687). Det blev udtænkt som en neutral arena uden egne egenskaber, der blev gennemsyret af forskellige slags kræfter, der blev skabt af og på sin side påvirket af fysiske kroppe. Chief blandt disse var tyngdekraften, som matematikere i kartesiske tradition betragtet som en mystisk, selv uacceptabelt, konceptet da den blev indført, men som ved starten af den 19 thårhundrede var blevet vist af Laplace at være i stand til at håndtere alle de kendte bevægelser i solsystemet. Som en konsekvens af dette var tyngdekraften blevet et naturligt, primitivt begreb, der ikke længere havde behov for yderligere forklaring, og efter 1800 var det rimeligt af mennesker, der arbejdede med de nye teorier om magnetisme og elektricitet at betragte dem som kræfter og modellere dem, hvor det var relevant, på Newtonian tyngdekraft.

Det fysiske rum, som beskrevet af Newton i hans Principia, skal studeres ved at gå fra observationer af kroppe i bevægelse i forhold til hinanden og tidsbestemt af et vilkårligt ur til den tilsvarende sande bevægelse i absolut rum og tid. Som Newton udtrykte det i slutningen af hans første Scholium, var formålet med hans afhandling at vise

hvordan man bestemmer sande bevægelser ud fra deres årsager, virkninger og tilsyneladende forskelle, og omvendt, hvordan man bestemmer ud fra bevægelser, hvad enten det er sandt eller tilsyneladende, deres årsager og virkninger.

Der var tydeligvis ingen tvivl i Newtons mening om den euklidiske karakter af det fysiske rum, og der synes faktisk at have været nogen tvivl blandt astronomer i 17 th århundrede, at rummet var describable i de udtryk, der anvendes i Euklids elementer. Det er også sandsynligt, at den voksende anerkendelse af fordelene ved Newtons fysik cementerede en tro på, at rummet var tredimensionelt, homogent, isotropisk og skal beskrives som om det var et uendeligt koordinatnet, således at eksemplificere teoreme - hvis ikke præcist definitioner af elementerne.

Blandt de geometriske aspekter af det fysiske rum, som Newton etablerede, er udsagnet om hans første lov:

Hvert organ bevarer i sin tilstand af at være i ro eller bevæge sig ensartet lige frem, undtagen i det omfang det er tvunget til at ændre sin tilstand af kræfter, der er imponeret.

Der er også resultatet af, at et homogent sfærisk fast stof udøver den samme tyngdekrafteffekt på andre legemer, som en lige stor masse koncentreret i midten af kroppen. Det vil sige, at sådanne organer opfører sig på en måde, der er beviselig og ikke kun tilnærmelsesvis det samme som punktmasser. På denne måde får point og linjer fysisk betydning i hans teori om dynamik.

Det var Laplace, der gav det stærkeste argument for at sige, at det fysiske rum adlyder den euklidiske geometri. I sin Exposition du système du monde fra 1796 (se Bog V, kap. V, s. 472) tilføjede han en interessant note (citeret i Bonola 1912: 54) for at sige, at

Geometriske forsøg på at bevise Euclids postulat om paralleller har hidtil været nytteløse. Ingen kan imidlertid være i tvivl om dette postulat og de teoremer, som Euclid udledte fra det. Således indbefatter begrebet rum en særlig egenskab, der er indlysende, uden hvilken parallellernes egenskaber ikke kan fastlægges nøje. Ideen om et afgrænset område, fx cirklen, indeholder intet, der afhænger af dets absolutte størrelse. Men hvis vi forestiller os, at dens radius skal formindskes, bringes vi uden forsinkelse til formindskelsen i det samme forhold mellem dets omkreds og siderne af alle de indskrevne figurer. Denne proportionalitet synes for mig at være et mere naturligt postulat end Euclids, og det er værd at bemærke, at det opdages på ny i resultaterne fra teorien om universal tyngdekraft.

Dette ligner markant synet på Wallis et godt århundrede før, selvom Laplace ikke nævnte Wallis og måske ikke har kendt til hans diskussion om det parallelle postulat.

Omkring 1800 var det derfor generelt sandt, at problemer med sandhedskravene fra den euklidiske geometri var blevet lokaliseret blandt de generelle problemer omkring vores viden om den eksterne verden. Tilliden til filosofiske og videnskabelige kredse i gyldigheden af den euklidiske geometri i sig selv var høj.

3. Projektiv geometri

I udtalelsen fra mange i 19 th århundrede, euklidisk geometri mistet sin grundlæggende status for en geometri, der blev betragtet som mere generelt: Projektiv geometri. (For en introduktion til geometri i 19 thårhundrede, se Gray 2011. Projektiv geometri er beskrevet i posten, Nineteenth Century Geometry, se også essays fra forskellige forfattere i Bioesmat-Martagon 2011.) Projektiv geometri har sit eget grundlæggende problem, svarende til afstanden i den euklidiske geometri, som angår begrebet tværforhold, og vi er nødt til at følge trinene for at skabe projektiv geometri som et selvstændigt emne, definere tværforhold i denne indstilling og løse de epistemologiske problemer, der rejses (en præstation forbundet med Klein's Erlangen-program). Vi skal også se, at væksten i projektiv geometri skaber arenaen for Hilberts aksiomatisering af geometri.

Planprojektiv geometri tog et særligt løft fra Jean Victor Poncelet's bog fra 1822 Traité des propriétés projectives des figurer, hvor han viste kraften i projektive metoder under den provokerende formulering af ikke-metrisk geometri. Den grundlæggende karakter af den nye geometri ligger i den måde, den kan tænkes på, som at fange de enkleste egenskaber ved den lige linje - to forskellige punkter definerer en unik linje, to forskellige linjer mødes på højst et punkt, mens de metriske begreber kasseres afstand og vinkel.

Poncelet's påstande om transformationer af flyet, der kortlægger linjer til linjer, blev omskrevet af Chasles (1837) på en mere streng måde, der fremhævede uoverensstemmelsen i krydsforhold. Krydsforholdet mellem fire punkter (A), (B), (C), (D) på en linje er defineret til at være (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB), og hvis punkterne er kortlagt til henholdsvis (A '), (B'), (C '), (D') ved en projektiv transformation, så

[AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = A'B '{.} C'D' / mathbin {/} A'D '{.} C'B'.)

Dette efterlod emnet imidlertid i den ubehagelige position at synes at være mere generel end euklidisk geometri, fordi euklidiske, metriske transformationer er projektive transformationer, men ikke omvendt, mens de stadig synes at stole på et metrisk koncept i definitionen af dets grundlæggende invariant.

Dette spørgsmål blev taklet i 1840'erne og 1850'erne af Georg Karl Christian von Staudt. Hans to bøger (1847, 1856–1860) forsøgte at skabe grundlag for projektiv geometri, der gjorde det til et autonomt emne, uafhængigt af den euklidiske geometri. De var svære at læse og ufuldkomne på flere måder, men opgaven med at skabe en streng teori kunne ses for første gang som et spørgsmål om at afslutte en allerede begyndt opgave. Von Staudt argumenterede for, at transformationerne af plan projektiv geometri kunne kortlægge enhver tredobbelt kollinære punkter til enhver anden, og enhver firedobling af punkter (hvoraf tre ikke var kollinær) til nogen anden, men ikke nogen firedobling af kollinære punkter til nogen anden. Derefter foretog han en detaljeret undersøgelse af kollinære firedobler. Han fremsatte også korte bemærkninger om, hvordan euklidisk geometri kunne opnås ved projektiv geometri,og ud fra disse kunne det ses, at hans teori om kollinære firedobler reduceres til den velkendte teori om tværforhold, så snart begrebet euklidisk afstand blev føjet til den projektive geometri. Denne indsigt blev gjort klar og eksplicit af Klein i en række papirer i de tidlige 1870'ere. Den første læselige lærebog om projektiv geometri, og den, der gav den sit navn, var Cremonas Elementi di geometria projettiva fra 1873, og derefter steg emnet hurtigt til at blive den grundlæggende klassiske geometri.og den, der gav det sit navn, var Cremonas Elementi di geometria projettiva fra 1873, og derefter steg emnet hurtigt til at blive den grundlæggende klassiske geometri.og den, der gav det sit navn, var Cremonas Elementi di geometria projettiva fra 1873, og derefter steg emnet hurtigt til at blive den grundlæggende klassiske geometri.

Dets grundlæggende koncepter var punkter, linjer og planer i et rum, der var (mathbb {R} ^ 3) beriget med et, hvad der ofte blev kaldt plan i uendelighed, så alle to coplanære linier mødes. Før axiomatisations af teorien i slutningen af de 19 th århundrede, punkt, linie, og flyet er udefinerede begreber, med en intuitiv fortolkning som tillod en klar passage mellem Projektiv og euklidiske geometri. De tilladte transformationer af geometrikortet peger på punkter, linjer til linjer og planer til planer og bevarer tværforhold. De virker transiterende på rummet, så intet punkt, linje eller plan er specielt, og derfor kan linier, der er parallelle i en hvilken som helst endelig del af rummet, kortlægges til krydsende linjer og vice versa.

I sin syntetiske form var succeserne med den projektive geometri stort set begrænset til den forenkling, den bragte til studiet af koniske - alle ikke-degenererede koniske (cirklen, ellips, parabola og hyperbola) er projektivt ækvivalente. I sin algebraiske form viste projektiv geometri sig næsten væsentlig i studiet af plane algebraiske kurver i enhver grad og udvidet til projektive rum med højere dimensioner til studiet af algebraiske overflader. Alt dette bidrog til den centrale betydning, der tillægges en ikke-metrisk geometri baseret på lidt mere end begrebet lige linje og på forekomstegenskaber af linjer og planer.

Projektiv geometri havde også en forbløffende funktion, kaldet dualitet og betragtes af Cremona som en logisk lov. I plan projektiv geometri er det muligt at udveksle udtrykkene 'punkt' og 'linje', 'sammenfaldende' og 'samtidige' og på denne måde udveksle gyldige udsagn. Som et resultat har alle definitioner, sætninger og bevis i projektiv geometri en dobbelt karakter. Dobbeltdelen af udsagnet om Desargues 'teorem og dens bevis, for eksempel, er omvendt af teoremet og dets bevis. I tre dimensioner kan udtrykkene 'punkt' og 'plan' udveksles på samme måde, og linjer udveksles med andre linjer. Dette rejser et spændende epistemologisk spørgsmål: det er let at forestille sig rummet bestående af punkter, men umuligt at betragte det intuitivt som sammensat af linjer. At gøre tingene værre,rummet er tredimensionelt, når det betragtes som sammensat af punkter, men firedimensionelt, når det består af linjer.

3.1 Koordinere transformationer; Kleinian geometri

Kleins Erlangen-program og det, der er blevet kendt som det Kleinske syn på geometri, er beskrevet i posten, det nittende århundredes geometri. Det er kommet til at stå som den vigtigste kilde til den opfattelse, at geometri kan defineres som en gruppe, der fungerer på et rum, og en geometrisk egenskab er enhver egenskabsmæssig invariant under alle transformationer af den relevante gruppe.

Klein gik ind for dette synspunkt i en pjece, der blev offentliggjort, da han blev professor ved universitetet i Erlangen i 1872 og andre publikationer i tidsskrifter i 1870'erne for at genforene geometrien. Han præsenterede en måde at vise, at metriske geometrier, såsom euklidisk og ikke-euklidisk geometri, og andre geometrier, såsom inversiv geometri og birational geometri, kan betragtes som specielle tilfælde af projektiv geometri (hvilket også kan påvirke geometri, som han ikke gjorde ved om i 1872).

Den grundlæggende geometri var reel projektiv geometri, siger vi i to dimensioner. I denne geometri er rummet et reelt projektivt rum, og gruppen er gruppen af alle projektive transformationer. Denne gruppe kortlægger punkter til punkter, linjer til linjer, kurver af grad (n) til kurver af grad (n), og vigtigst af alt er tværforholdet mellem fire kollinære punkter uændret ved enhver projektiv transformation. I Kleinian synspunkt fastlægger dette, at punkter, linjer, kurver af grad (n) og tværforholdet mellem fire kollinære punkter er egenskaberne for geometrien.

Projektiv geometri inkorporerede de andre geometrier på forskellige måder. Klein oplyste, at man muligvis vil forsøge at tilføje til listen over konfigurationer, i hvilket tilfælde gruppen, der holder dem invariant, generelt vil være mindre end hovedgruppen, eller man kan forsøge at udvide gruppen, i hvilket tilfælde klassen af invariantkonfigurationer vil generelt krympe. Klein havde først for nylig været i stand til at vise, at ikke-euklidisk geometri opstår som en subgeometri ved at begrænse opmærksomheden til det indre af en konisk i det projektive rum og til den undergruppe, der kortlægger det indre af denne koniske til sig selv (se Klein 1871, 1873).

Den epistemologiske karakter af Kleins Erlangen-program bliver tydeligere, når man ser på, hvordan det løste den velkendte irriterende tvivl om definitionen af tværforhold i projektiv geometri. Klein's svar fortsatte analogt med længder i euklidisk eller ikke-euklidisk geometri. I disse geometrier bevarer den tilsvarende gruppe lige linjer, og ethvert punkt kan kortlægges til et hvilket som helst andet punkt, men der er ingen transformation i gruppen, der kan kortlægge et linjesegment til et korrekt undersegment af sig selv. Ethvert vilkårligt, men fast linjesegment kan derfor tages som længdenhed og bruges til at måle linjesegmenter ved at konstruere vilkårlige multipler og undermultipler af det og arrangere dem som en lineal. For nu at måle længden af et segment (AB),man lægger blot punktet (A) i den ene ende af linealen og ser hvor punktet (B) falder på linealen.

Kleins indsigt efter von Staudt var, at et nøjagtigt lignende argument, der involverer firdobbelte af kollinære punkter, kan bruges til at definere tværforhold i projektiv geometri. Den projektive gruppe bevarer lige linjer, og enhver bestilt trippel med kollinære punkter kan kortlægges til enhver bestilt trippel kollinære punkter, og kortet, der sender en given ordnet trippel med forskellige punkter til en anden ordnet trippel med forskellige punkter er unik, men der er ingen transformation i gruppen, der kan kortlægge en firedobler på fire kollinære punkter på en vilkårlig sådan firedobler. Enhver vilkårlig, men fast kollinær firedobling kan derfor tages som enhed af 'størrelse', og et kompliceret, men ikke vanskeligt argument gør det muligt for en at fremstille vilkårlige multipla og undermultipler af det, der kan bruges til at måle tværforhold ved at arrangere som en ville en lineal. I stedet for at give detaljerne, er det bedre at give denne suggestive illustration af, hvorfor det kan gøres. Lad krydsforholdet mellem de fire kollinære punkter (P), (Q), (R), (S) måles ved at kortlægge punkterne på punkterne (A), (B), (C), (D) på den rigtige linje, hvor (A) er ved oprindelsen, (C) ved (infty) og (D) ved 1, så det er placeringen af (B), der bestemmer krydsforholdet. Dette bestemmes entydigt, og hvis længden på (AB) er (x), finder vi, at (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).så det er positionen til (B), der bestemmer tværforholdet. Dette bestemmes entydigt, og hvis længden på (AB) er (x), finder vi, at (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).så det er positionen til (B), der bestemmer tværforholdet. Dette bestemmes entydigt, og hvis længden på (AB) er (x), finder vi, at (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).

På tidens sprog er længde en topunkts invariant for den euklidiske eller ikke-euklidiske gruppe, og tværforhold er en fire-punkts invariant for den projektive gruppe.

3.2 Hilbert og andre om aksiomatisk projektiv geometri

Problemer med nogle tekniske spørgsmål i Projektiv geometri, og de stigende standarder for stringens i slutningen af det 19. th århundrede provokeret forsøg på at axiomatise emnet. Opgaven blev taget op mest energisk af Pieri, Peano, og en række andre italienske geometers i anden halvdel af det 19. th århundrede, og det lykkedes at give en streng højde for reelle og komplekse Projektiv geometri i to og tre dimensioner (se Marchisotto og Smith 2007). Men det lykkedes dem samtidig at reducere emnet til en streng uddannelse for geometri-lærere og værdsatte ikke mulighederne for forskning, som de havde åbnet. Det blev overladt til David Hilbert at revitalisere den aksiomatiske tilgang til geometri (se Hallett og Majer 2004).

Hilbert var blevet introduceret til en række kontroverser om elementær projektiv geometri, der vedrørte, hvad der resulterede i hvilke indstillinger, der indebar, hvilke andre resultater. Den mest bemærkelsesværdige vedrørte Desargues teorem. I 3-dimensionel projektiv geometri er Desargues teorem en konsekvens af kun incidensaksiomer, men det er en teorem om punkter og linjer i et projektivt plan (og så i 2-dimensionel geometri), men ingen havde været i stand til at udlede det fra incidensaksiomerne i 2-dimensionel projektiv geometri. Man havde mistanke om, at det måske ikke kunne drages fra disse aksiomer alene, og Giuseppe Peano var i stand til at vise, at det faktisk ikke kunne trækkes uden nogle ekstra antagelser. uafhængigt,Hilbert gav også et eksempel på en geometri, der opfyldte alle incidensaksiomer i 2-dimensionel projektiv geometri, men hvor Desargues teorem var falsk. Det blev senere erstattet af det enklere eksempel fundet af den amerikanske matematiker og astronom FR Moulton i alle senere udgaver af Hilberts Grundlagen der Geometrie (1899).

I de aksiomatiske geometrier, som Hilbert fremførte, er de grundlæggende objekter (punkter, linjer, planer) ikke defineret. I stedet specificerede Hilbert, hvordan de kan bruges, og hvad der kan siges om dem. Han præsenterede fem familier af aksiomer, sorteret efter de koncepter, de anvendte eller kodificerede. Derefter skabte han en række geometrier, der adlyder en række aksiomsystemer, og etablerede konsistensen af dem ved at give dem koordinater over passende ringe og felter - ofte indrømmer hans geometrier mange fortolkninger eller modeller. Dette gav disse geometrier al konsistensen af aritmetik og førte til Hilberts interesse i forsøg på at forankre aritmetik i en eller anden form for sætteori og logik.

Hilberts tilgang trivdes, fordi han var klar over, at der var en matematik af aksiomer, en undersøgelse af forskellige, men indbyrdes relaterede aksiomskemaer og deres implikationer. Poincaré accepterede i sin anmeldelse (1902) af Hilberts bog de nye geometrier som gyldige, men beklagede, at de, som han udtrykte det, var ufuldstændige, fordi de manglede en psykologisk komponent. Med dette mente han, at de ikke kunne imødekommes i hans forklaring af, hvordan vi har noget kendskab til geometrien i det fysiske rum, fordi de ikke kunne indbygges.

4. Ikke-euklidisk geometri

Undersøgelser af det parallelle postulat begyndte i græsk tid, fortsatte i den islamiske verden og blev foretaget i det tidlige moderne vest. Men af grunde, der stadig er uklare, blev det efter omkring 1800 lettere for folk at forestille sig, at Euclids elementer måske ikke var det eneste mulige system for metrisk geometri. Blandt de faktorer, der kan hjælpe med at forklare, hvordan det tænkelige blev tænkt, selv uden for matematikersamfundet, var akkumulering af sætninger baseret på andre antagelser end det parallelle postulat. Det ser ud til, at produktionen af nye, konsistente konsekvenser af en sådan radikal antagelse og manglen på at finde en modsigelse fik nogle mennesker til at overveje, at der faktisk kunne være en hel geometri, der var forskellig fra Euclids.

Signaleksemplet på dette skift er advokatprofessor FK Schweikart, som i 1818 sendte Gauss via Gerling, en kollega af hans ved University of Marburg, en beretning om en geometri, der var ganske anderledes end Euclids. Schweikarts geometri blev accepteret af Gauss, der svarede, at alle egenskaber ved den nye geometri kunne afledes, når en værdi blev givet for en konstant, der dukkede op i Schweikarts konto. Men hvad Gauss havde accepteret og på hvilke grunde er mindre klart. Gauss havde allerede fundet fejl med flere forsvar af Euclids elementer, og efterhånden som årene gik han til at være helt sikker på, at der var en ny, to-dimensionel geometri, der adskiller sig fra den euklidiske plangeometri. Denne geometri kunne beskrives ved hjælp af formler, som han ville have set var beslægtet med de af sfærisk geometri. Men han beskrev ikke en tredimensionel geometri af denne art, idet han åbnede muligheden for, at den todimensionelle geometri var en form for, meningsløs ulighed. På den anden side gjorde han i korrespondance med Bessel det klart, at han ikke kunne tilskrive den euklidiske geometri den sikkerhed, han gav aritmetik, som var priori, og både han og Bessel holdt åbne muligheden for, at astronomiske rumregioner kunne undlade at være euklidisk.

Kredit for de første fuldt matematiske beskrivelser af rummet i andre termer end Euclids skal derfor gå til János Bolyai i Ungarn og Nicolai Ivanovich Lobachevskii i Rusland uafhængigt. Bolyai i sine "Appendix scientiam spatii absolute veram shows" (1832) og Lobachevskii i hans "Neue Anfangsgrunde der Geometrie" (1835) og igen i hans Geometrische Untersuchungen (1840) erstattede det parallelle postulat med den antagelse, at der blev givet en linje og et punkt ikke på den linje, der er mange linjer gennem det punkt, der ligger i det plan, der er defineret af det givne punkt og den givne linje, og som ikke opfylder den givne linje. Af disse, som de derefter viste, er en linje i hver retning asymptotisk for den givne linje, og disse asymptotiske linjer deler familien af alle de andre linjer i det givne plan og gennem det givne punkt i to familier:dem, der opfylder den givne linje, og dem, der ikke gør det. Derefter fulgte meget arbejde, berømt ens i begge tilfælde, især for at vise, at i det tredimensionelle rum, der er beskrevet af deres antagelser, er der en overflade, hvorpå den euklidiske geometri rummer, og for at udlede eksistensen af trigonometriske formler, der beskriver trekanter i planet. Disse formler ligner de tilsvarende formler for trekanter på kuglen.

Alt dette overbeviste både Bolyai og Lobachevskii om, at den nye geometri kunne være en beskrivelse af det fysiske rum, og det ville fremover være en empirisk opgave at beslutte, om euklidisk geometri eller ikke-euklidisk geometri var sandt. Lobachevskii forsøgte endda at bestemme sagen med astronomiske midler, men hans resultater var fuldstændig uoverensstemmende.

Det er naturligvis rigtigt, at intet beløb af konsistente fradrag i den nye geometri udelukker muligheden for, at der findes en modsigelse, men det spændende forhold mellem den nye geometri og sfærisk geometri og eksistensen af trigonometriske formler for trekanter antydede stærkt at den nye geometri i det mindste var ensartet. De, der accepterede det, og de var meget få inden 1860'erne, kan alligevel godt have bifaldt en bedre konto end den, som Bolyai og Lobachevskii leverede. Men inden vi vender os til det, det involverede, er det værd at holde pause ved at sætte pris på formlerne, fordi mange geometre skulle finde dem overbevisende bevis for gyldigheden af den nye geometri, selv efter reformuleringerne af Riemann og Beltrami (for eksempel Enriques i hans store essay (1907) om principperne for geometri).

Det er ikke kun, at der er formler, men at de antyder en alternativ formulering af geometri, hvor geometrien, der er beskrevet i Euclids elementer, kan vise sig at være et specielt tilfælde. Hvis der kunne være en anden måde at definere geometri på, som ville føre til disse formler i forskellige tilfælde, ville vejen være åben for at overveje alle spørgsmålene om geometri, som kritisk undersøgelse havde åbnet. Den person, der bedst kunne gøre dette i 1830'erne og 1840'erne, var Gauss. Han vidste meget godt, hvad Bolyai og Lobachevskii havde gjort, og hans differentielle geometri gav ham midlerne til at fortsætte, men underligt nok gjorde han det ikke. I de tidlige 1840'ere skrev han nogle noter, der viser, at han kunne forbinde den nye todimensionelle geometri med geometri på en overflade med konstant negativ krumning, men han gjorde intet med denne iagttagelse.

På den anden side ville den blotte eksistens af formler ikke være tilstrækkelig til at gøre dem geometriske. Dette behov for at give dem en geometrisk forankring blev genkendt af Lobachevskii i hans tidligste publikationer, men fordi de var på russisk blev de ikke læst uden for Rusland (og blev heller ikke værdsat af russiske matematikere). Han faldt sine overvejelser af denne art i sin pjece fra 1840, hvor meget af hans omdømme afhænger af i dag, men bragte dem tilbage i sin sidste præsentation, Pangéométrie (1856), som dog ikke gjorde det bedre end de tidligere versioner.

Lobachevskii argumenterede for det første, at geometri var en videnskab om kroppe i rummet, og at rummet er tredimensionelt. Det mest primitive koncept var kontakten, og det modsatte, et snit, der adskiller to legemer. To organer, der ikke er i kontakt, er adskilt, og et passende tredje organ, der er i kontakt med dem begge, måler afstanden mellem dem, et begreb, der ellers var udefineret. Han kunne derfor definere en sfære med dens centrum på et givet punkt som samlingen af alle punkter, der er ens fra et givet punkt. Han viste derefter, hvordan man definerer et plan ved at fange den intuition, at der ved to forskellige punkter et plan er samlingen af punkter i rummet, der er den samme afstand fra hvert af de to givne punkter. I hans udtryk er to plan et plan det sæt punkter, der er fælles for to sfærer med samme radius,det ene centreret på det ene punkt og det andet på det andet. En linje kan defineres på lignende måde.

Med intuitionen om, at afstand er det primitive koncept, kommer en større forståelse af bevægelse, eller i det mindste resultaterne af at være i stand til at bevæge objekter rundt uden at ændre dem. Man kan forestille sig at transportere en stiv krop rundt, siger en terning med sider af enhedens længde og bruge en af dens sider til at markere længder. Vi skal se senere, at de muligheder, der ligger i denne proces foranlediget en kylling-og-ægget debat mellem Bertrand Russell og Henri Poincaré i slutningen af det 19. th århundrede.

Den nye geometri udgjorde en radikal udfordring for den euklidiske geometri, fordi den benægtede traditionel geometri sit bedste krav på sikkerhed, med andre ord, at det overhovedet var det eneste logiske system til at diskutere geometri. Det udnyttede også den spænding, som eksperterne kender, mellem begreberne lige og kortest. Men på andre måder var det konventionelt. Det bød ingen nye definitioner af velkendte koncepter som rethed eller afstand, det var enig med euklidisk geometri over vinkler, det tilbød kun en anden intuition om parallelle linjer baseret på en anden intuition om den rette adfærd af lige linjer. Dets talsmænd bød ikke på en skeptisk konklusion. Bolyai og Lobachevskii sagde ikke:”Se, der er to logiske, men uforenelige geometrier, så vi kan aldrig vide, hvad der er sandt.” I stedet,de holdt håb om, at eksperimenter og observationer ville afgøre. De epistemologiske priser folk måtte betale, hvis astronomiske observationer var faldet til fordel for den nye geometri, på en måde ville have været lille: det ville have været nødvendigt at sige, at lige linjer trods alt har en uventet egenskab, men kun en detekteres i lange afstande eller med bemærkelsesværdige mikroskoper. For at være sikker, ville mange af teorierne om den euklidiske geometri derefter skulle omarbejdes, og deres kendte euklidiske kolleger ville kun fremstå som meget gode tilnærmelser. Men det kan stort set sammenlignes med den situation, Newtonsk mekanik befandt sig i efter fremkomsten af særlig relativitet.på en måde har været svag: det ville have været nødvendigt at sige, at lige linjer trods alt har en uventet egenskab, men en kun kun kan påvises i lange afstande eller med bemærkelsesværdige mikroskoper. For at være sikker, ville mange af teorierne om den euklidiske geometri derefter skulle omarbejdes, og deres kendte euklidiske kolleger ville kun fremstå som meget gode tilnærmelser. Men det kan stort set sammenlignes med den situation, Newtonsk mekanik befandt sig i efter fremkomsten af særlig relativitet.på en måde har været svag: det ville have været nødvendigt at sige, at lige linjer trods alt har en uventet egenskab, men en kun kun kan påvises i lange afstande eller med bemærkelsesværdige mikroskoper. For at være sikker, ville mange af teorierne om den euklidiske geometri derefter skulle omarbejdes, og deres kendte euklidiske kolleger ville kun fremstå som meget gode tilnærmelser. Men det kan stort set sammenlignes med den situation, Newtonsk mekanik befandt sig i efter fremkomsten af særlig relativitet.og deres kendte euklidiske kolleger ville kun fremstå som meget gode tilnærmelser. Men det kan stort set sammenlignes med den situation, Newtonsk mekanik befandt sig i efter fremkomsten af særlig relativitet.og deres kendte euklidiske kolleger ville kun fremstå som meget gode tilnærmelser. Men det kan stort set sammenlignes med den situation, Newtonsk mekanik befandt sig i efter fremkomsten af særlig relativitet.

5. Riemannisk geometri

Den meget mere markante ændring kom med ankomsten af Bernhard Riemanns store udvidelse af Gaussisk differentiel geometri. Mange af de epistemologiske spørgsmål rejses allerede med Gauss arbejde (1828), så vi henvender os til det først.

Gauss tænkte dybt over, hvad det er at definere en overflade, og han fandt, at tre definitioner af successiv generalitet er mulige. Man kan antage, at overfladen i det mindste lokalt kan gives i formen, (z = f (x, y)) for en eller anden funktion (f) af (x) og (y). Dette gælder regioner i sfæren, men ikke for det hele på én gang. Mere generelt kan man antage, at overfladen består af de punkter ((x, y, z)), der tilfredsstiller en ligning af formen (f (x, y, z) = 0), som sfære er. Mere generelt stadig, sagde Gauss, kan det være, at en overflade blev givet lokalt af tre funktioner, hver af to variabler (u) og (v). Disse to variabler skal betragtes som koordinaterne for punkter i et plan og funktionerne (x (u, v), y (u, v)) og (z (u, v)) sammen give koordinaterne af punkter på overfladen i rummet. I denne indstillinghvert punkt på et stykke af en overflade har (u) og (v) koordinater i planet. Afstanden mellem to punkter på overfladen svarende til ((u, v)) og ((u + du, v + dv)) i planet er givet af en version af Pythagorean-sætningen med en formel af form

) tag {*} ds ^ 2 = E (u, v) du ^ 2 + 2F (u, v) dudv + G (u, v) dv ^ 2)

hvor (E, F) og (G) bestemmes af funktionerne (x, y) og (z) og opfylder (EG - F ^ 2 / gt 0).

Gauss var i stand til at definere et mål for overfladens krumning på et tidspunkt, og han fandt noget bemærkelsesværdigt ved det: måling af krumning afhænger kun af (E, F) og (G) og deres derivater med respekterer (u) og (v), men ikke på funktionerne (x (u, v), y (u, v)) og (z (u, v)) direkte. Det præcise udtryk er langt og kompliceret, men implikationen er, som Gauss påpegede, at hans mål for krumningen af en overflade på et punkt er iboende: det bestemmes fuldstændigt af målinger i overfladen og involverer ikke noget spørgsmål om en tredje dimension vinkelret på overfladen. Givet en måling, en formel (*) for afstand, kan krumningen findes. Hvis for eksempel formlen for afstand er den for et kort over kuglen på planet,krumningen vil blive fundet at være den gensidige del af kvadratet på sfærens radius.

Gauss undersøgte også, hvornår en overflade kan kortlægges på en anden på en sådan måde, at afstandene ikke ændres: Hvis to punkter (P) og (Q) på den ene overflade er en afstand (d) fra hinanden, så det samme er deres billeder på den anden overflade. Gauss kunne vise, at en nødvendig betingelse for, at dette kan ske, er, at krumningerne på de tilsvarende punkter er de samme. For eksempel er cylinderen og planet lokalt isometrisk; skønt buet, har cylinderen nul krumning i Gauss 'forstand, ligesom flyet gør, hvilket er grunden til at udskrivning fra en roterende tromle er mulig.

Dette betyder, at der er geometriske egenskaber, man kan udlede fra et kort over en overflade, der er uafhængige af kortets detaljer og henviser til selve overfladen. Dens gaussiske krumning på hvert punkt er kendt, og der er andre egenskaber, som man kan udlede fra at kende (ds ^ 2), for eksempel kurven med korteste længde mellem to punkter (under visse betingelser).

Det blev ikke umiddelbart værdsat, at Gauss's tilgang tillader matematikere at definere overflader som regioner i planet med en bestemt metrik, som ikke kan opnås fra overflader i det euklidiske 3-dimensionelle rum. Hvis man definerer en overflade som billedet af et kort fra et stykke (mathbb {R} ^ 2) til (mathbb {R} ^ 3), er det naturligvis i (mathbb {R} ^ 3). Men hvis man definerer en overflade som et område af (mathbb {R} ^ 2) med en bestemt metrik, er der muligvis ingen overflade i (mathbb {R} ^ 3), som den svarer til. Den første person, der værdsatte dette, synes at have været Riemann, der også udvidede denne idé til et hvilket som helst antal dimensioner.

Riemanns ideer var både dybe og naive, og af den grund viste de sig vanskelige at gøre præcise, men vi kan tillade os indledningsvis at være naive. Han antog, at han fik et rum (han kaldte det en 'mangfoldighed'), hvor man på ethvert tidspunkt kan pålægge et koordinatsystem i det mindste på alle punkter i nærheden af et vilkårligt startpunkt, og hvis, når man gør det, er ethvert punkt relateret til det oprindelige punkt ved en liste med (n) tal sagde han, at rummet er (n) - dimensionelt. Vi kan tænke på denne proces som at give et kort over mindst den del af rummet nær det oprindelige punkt på (mathbb {R} ^ n). Indtil videre adskiller dette sig fra overfladetasken, idet to dimensioner er blevet erstattet af (n).

Han antog derefter, at der var et middel til at sige, hvad afstanden var uendeligt, ved at generalisere formlen for (ds ^ 2) fra 2 til (n) variabler. (Han tillod endda, at der blev anvendt helt forskellige formler, men vi skal ikke beskrive den del af hans teori, der lå brak i mange år).

Dernæst kontrollerede han, at denne iboende egenskab ved krumning fortsatte i højere dimensioner, hvilket den gør. Dette skyldes i det væsentlige, at det (n) - dimensionelle objekt har masser af 2-dimensionelle overflader, som den gaussiske teori finder anvendelse på, så en forestilling om krumning af et (n) - dimensionelt objekt på et punkt kan udledes fra en overvejelse af de 2-dimensionelle overflader, der passerer gennem punktet.

Nu spurgte han, hvad mere ønsker vi at være i stand til at gøre geometri? Der er egenskaber ved rummet, der er uafhængige af koordinatsystemet. Hvis to forskellige koordinatsystemer giver forskellige koordinater, men gør det på en sådan måde, at afstanden mellem punkterne bevares, så giver begge systemer os mulighed for at udføre geometri, og når vi gør det, finder vi ud af, at de to koordinatsystemer er enige om kurverne på hvert punkt, på afstandene mellem punkter osv.

Fordi formlen for (ds ^ 2) blev nedskrevet underlagt kun nogle få begrænsninger, er der ingen grund til at tro, at en Riemannisk geometri er defineret med hensyn til en antecedent euklidisk geometri. Der er ingen påstand om, at en (n) - dimensionel Riemannisk geometri skal fås ved hjælp af et kort fra et (n) - dimensionelt undergruppe af noget euklidisk (N) - dimensionelt euklidisk rum. Dette betyder, at geometri kan udføres uden henvisning til nogen euklidisk geometri: Euklidisk geometri er ikke længere epistemologisk før nogen undersøgelse af andre geometrier. Euklids regeringstid var teoretisk set over.

5.1 Geodesik og forbindelser

Givet et begreb om afstand på en manifold er det muligt at tale om geodesik - en geodesisk sammenføjning af to punkter er en kurve med korteste længde mellem disse to punkter. Spørgsmål om eksistens og unikhed kan rejses og ofte besvares. Et betydeligt fremskridt blev foretaget uafhængigt af Tullio Levi-Civita i 1917 og Hermann Weyl i 1918, inspireret af Einsteins teori om generel relativitet, da de viste, hvordan man definerer parallelitet på en buet manifold (om Levi-Civitas bidrag, se Bottazzini 1999 og videre) Weyls bidrag se Scholz 2001). Groft sagt er der i Weyls præsentation (1918) to vektorer på forskellige punkter parallelle, hvis de hører til en familie af vektorer langs en kurve, der ikke varierer langs kurven. Det er en effekt af krumning, at denne definition er uafhængig af vektoren af familien, men afhænger af kurven, medmindre krumningen er nul; vektorer på en typisk manifold kan kun siges at være parallelle langs en kurve.

Begrebet fjern parallelisme gør det muligt for en vektor at flyttes langs en vilkårlig kurve på en måde, der holder den parallel med sig selv på ethvert punkt. Dette blev omtalt som en måde at etablere en forbindelse mellem forskellige punkter, og teorien blev kaldt teorien om forbindelser på manifolds. Især er det muligt at spørge, om en familie af tangentvektorer til en kurve er sammensat af vektorer parallelle med tangentvektoren ved udgangspunktet. I så fald er kurven en naturlig kandidat, der skal betragtes som den lige kurve mellem dens slutpunkter, fordi tangentvektoren aldrig accelererer langs kurven.

Forbindelser kan defineres uafhængigt af metrikken, men hvis metrikken og forbindelsen er kompatible, kan det vises, at ethvert lille stykke af denne kurve er den korteste kurve, der forbinder dens slutpunkter, så de lige linier på en manifold er de geodesiske. I moderne differentiel geometri defineres geodesik via forbindelser.

5.2 Riemann og Beltrami og streng ikke-euklidisk geometri

Riemanns “Ueber die Hypothesen…” (holdt som forelæsning i 1854, offentliggjort postumt i 1867) og Beltramis “Saggio” (1868) gav forskellige men ækvivalente beretninger om 2-dimensionel ikke-euklidisk geometri ved at beskrive det som geometrien i det indre af en disk med en ny metrisk. Riemanns beretning, der blev anført i (n) dimensioner, stemmer overens med den, som Poincaré skulle bruge i mange korte publikationer i 1880 og 1881, men kun beskriver eksplicit i hans større papir (Poincaré 1882). I denne måling er geodesik buer af cirkler vinkelret på skivegrænsen, og vinkler er korrekt repræsenteret. I Beltramis version er geodesik repræsenteret af lige linjesegmenter, der er akkorder på disken. Riemann- og Beltrami-diske overtalte hurtigt matematikere, at den ikke-euklidiske geometri af Bolyai og Lobachevskii gjorde,når alt kommer til alt, gør en streng matematisk mening. Poincarés bidrag et årti senere var at gøre ikke-euklidisk geometri til den naturlige geometri for visse emner andetsteds i matematik, især det udviklende og vigtige emne på Riemann-overflader.

Betydningen af en streng beretning om enhver del af matematikken bør ikke ignoreres, men accept af Riemannisk geometri i indstillingen af ikke-euklidisk geometri gik ud over præsentationen af en konsekvent formalisme. Det markerer accept af opfattelsen af, at geometri er alt, hvad der kan beskrives i den Riemanniske formalisme. Døren åbnes for den opfattelse, at der er mange geometrier, som hver skal være ensartet, og at ingen af dem har brug for at henvise til den euklidiske geometri. Antallet af dimensioner af det 'rum', der diskuteres, det 'rum' 'topologiske karakter og den nøjagtige metrik er alle spørgsmål om ligegyldighed. Der er en 2-dimensionel geometri af sådan en sådan art, fordi der kan findes en passende metrisk; fordi der som sådan er et kort over det,ikke fordi der er fundet en overflade i (mathbb {R} ^ 3) med de rigtige egenskaber. Faktisk blev det senere vist (Hilbert 1901), at der ikke er nogen overflade i (mathbb {R} ^ 3), der netop svarer til det ikke-euklidiske 2-dimensionelle rum.

Riemann var klar over, at de epistemologiske konsekvenser af denne måde at udføre geometri var enorme på. Matematikere skulle ikke længere have behov for at abstrahere nogle grundlæggende intuitioner fra det, de tror om det fysiske rum, såsom arten og egenskaberne ved lige linjer eller cirkler, og forsøge at opbygge en ægte geometri på grundlag af nogle aksiomatiske udtryk for disse intuitioner. Tværtimod burde tankens retning gå i den modsatte retning: matematikere var frie til at konstruere uendeligt mange geometrier og se hvilke der gjaldt det fysiske rum. I denne forbindelse blev det snart vist, at det er muligt at udføre teoretisk mekanik i indstillingen af ikke-euklidisk geometri.

6. Forståelsen af ikke-euklidisk geometri

Den epistemologiske betydning af projektiv geometri hviler på dens implikationer for arten og strengheden i klassisk geometri. Den epistemologiske betydning af ikke-euklidisk geometri hviler mere på muligheden for, at det kunne være sandt på en hvilken som helst måde, som den euklidiske geometri kunne være sandt. Vi har derfor henvende sig til 19 th århundrede undersøgelser af forståeligheden af geometri.

6.1 Herbarts filosofi

Johann Friedrich Herbart blev Kants efterfølger i Königsberg i 1808, hvor han forblev indtil han gik til Göttingen i 1833, hvor han døde i 1841, men han var ingen ortodoks kantian. Hans vigtigste arbejde, den to-bindende Psychologie als Wissenschaft neu gegrundet auf Erfahrung, Metaphysik og Mathematik fra 1824-1825, forsøgte at basere psykologi i filosofi og behandlede erfaring og metafysik lige. Ved hjælp af noget temmelig fantasisk matematik bestræbte han sig for at vise, hvordan hukommelse fungerer, og hvordan gentagne stimuli af visse slags får hjernen til at lære at opfatte for eksempel linjer, parallelle linjer, krydsende linjer og overflader. Der er ingen medfødte ideer efter Herbarts mening; det visuelle rum konstrueres ud fra erfaringerne, mest markant ved hjælp af den konceptuelle handling om at udlede kontinuitet i rumlige processer. Og koncepter genereres af klynger af minder, hvorpå logikken derefter fungerer uafhængigt af deres oprindelse. Dette var Herbarts måde at undgå grundlæggende logik i psykologien.

Herbarts ideer påvirkede Riemann (se Scholz 1982). Riemann betragtede naturvidenskab som forsøget på at forstå naturen ved hjælp af præcise begreber, der skal modificeres i lyset af vores erfaring med dem. Han forventede, at de mest succesrige koncepter ville være ganske abstrakte, og var enig med Herbart i, at de ikke kunne være a priori på kantisk vis. Derudover var det deres oprindelse i opfattelse, der gav disse begreber deres betydning for videnskaben. I notater, han skrev for sig selv (se Riemann Werke 1990: 539) sagde Riemann, at han var enig med Herbart i spørgsmål om psykologi og epistemologi, men ikke ontologi eller med hans ideer om konstruktionen af begreberne rum, tid og bevægelse. Uenigheden masker en dybere sympati. Herbart havde forfægtet en tredimensionel reel verden af årsagssammenhængende men diskrete monader,som sindet behandler via konceptet om et kontinuum, som det leverer, og derved forvandler sine diskrete oplevelser til spektra af muligheder. Riemann så ingen grund til at begrænse opmærksomheden til tre dimensioner og flyttede det kontinuerlige spektrum af muligheder ind i de meget generelle geometriske begreber, han skabte.

Dette formindskede, eller måske efterlod, den erfaring, som Herbart havde lagt vægt på. Riemann gjorde opmærksom på, hvad Herbart havde sagt, skete naturligt: Hvis erfaringen genererer koncepter, som vi rammer verden med, så, sagde Riemann, lad matematik generere mere præcise og fleksible begreber, som vi kan udføre videnskab med.

6.2 Helmholtz og Poincaré

Riemanns ideer påvirkede igen Hermann von Helmholtz, der offentliggjorde flere indflydelsesrige essays om, hvordan vores viden om geometri er mulig. I sin”Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie” (1868) bestræbte han sig for at vise, hvordan kun et begrænset antal Riemanniske geometrier kan konstrueres, hvor der er et begreb om stiv kropsbevægelse. Han argumenterede for, at det er vores oplevelse af stive kroppe, der lærer os, hvordan rummet er, og især hvad afstand er. Han hævdede endvidere, at et 2-dimensionelt rum, der indrømmer stive kropbevægelser, enten ville være det euklidiske plan eller kuglen. Beltrami skrev til ham for at påpege, at han havde overset muligheden for ikke-euklidisk geometri, og Helmholtz var ikke kun enig,men skrev et yderligere essay (1870), hvor han forklarede, hvordan det ville være muligt for os at have kendskab til denne geometri i kantiansk forstand (syntetisk a priori). Mange kantianere nægtede at blive overbevist, mest sandsynligt ud fra en forstand, at Kant helt sikkert havde troet, at vi har upåklagelig viden om den slags om den euklidiske geometri, men en person, som disse ideer meget sandsynligt påvirkede, var Henri Poincaré (se Gray 2012).

Så snart Poincaré begyndte at skrive sine populære filosofiske essays om geometri, gjorde han det klart, at hans største bekymring var hvordan vi overhovedet kunne stole på enhver geometri. Han var godt opmærksom på det store udvalg af Riemanniske geometrier og af konklusionen af Helmholtz's spekulationer, som på det tidspunkt blev gjort streng i arbejdet med Sophus Lie, at et meget begrænset antal geometrier indrømmede stive kropbevægelser. Hans bekymring i hans”On the foundation of geometry” (1898) var med epistemologi.

Poincaré hævdede, at sindet hurtigt indser, at det kan kompensere for visse former for bevægelser, det ser. Hvis et glas kommer mod dig, kan du gå baglæns på en sådan måde, at glasset virker uændret. Du kan gøre det samme, hvis det vipper eller roterer. Sindet kommer til at indeholde en butik med disse kompenserende bevægelser, og det er klar over, at det kan følge hinanden, og resultatet bliver en tredje kompenserende bevægelse. Disse mentale handlinger danner et matematisk objekt kaldet en gruppe. Sindet kan imidlertid ikke generere kompenserende bevægelser for andre bevægelser, det ser, såsom bevægelse af vin i glasset, når det virvler rundt. På denne måde kommer sindet til at danne begrebet en stiv kropsbevægelse, det er netop den bevægelse, som sindet kan danne en kompenserende bevægelse for.

Poincaré overvejede derefter, hvilken gruppe gruppen af kompenserende bevægelser kunne være, og fandt, at der, som Helmholtz havde antydet, og Lie derefter havde bevist, var en strengt begrænset samling af sådanne grupper. Hoved blandt dem var de grupper, der kommer fra euklidisk og ikke-euklidisk geometri, og som abstrakte grupper er de forskellige. Men hvilken var korrekt?

Poincarés kontroversielle opfattelse var, at man aldrig kunne vide. Mennesker vælger gennem evolution og gennem vores erfaring som spædbørn den euklidiske gruppe og siger således, at rummet er euklidisk. Men en anden art, der trækker på forskellige oplevelser, kunne vælge den ikke-euklidiske gruppe og så sige, at rummet var ikke-euklidisk. Hvis vi mødte en sådan art, ville der ikke være noget eksperiment, der ville afgøre spørgsmålet.

Man kunne forestille sig, sagde han og lavede store trekanter og måle vinklerne. Sidene af trekanten er, skal vi sige, lavet af lysstråler. Lad os antage, at inden for grænserne for eksperimentel fejl er resultatet af eksperimentet, at vinkelsummen af trekanten er mindre end (pi), et resultat, der stemmer overens med ikke-euklidisk geometri, men er uforenelig med den euklidiske geometri. Den eneste konklusion, man kan drage, sagde Poincaré, er, at enten lysstråler bevæger sig langs lige linjer, og rummet er ikke-euklidisk, eller at rummet er euklidisk, og at lysstråler bevæger sig langs kurver.

Vi kan sammenfatte hans argument på denne måde. Vores viden om den eksterne verdens geometri er baseret på vores mentale evne til at håndtere en gruppe af stive kropbevægelser. Der er en meget begrænset butik af disse grupper, men intet eksperiment kan beslutte dem imellem. Alt, hvad vi kan gøre, er at tage et valg, og vi skal vælge den enkleste. Som det sker, var det den euklidiske gruppe, fordi, sagde Poincaré, vi havde fundet, at en af dens egenskaber, der ikke deles med den ikke-euklidiske gruppe, var særlig enkel. Men den menneskelige art havde, som det var, gjort et valg, og dette valg var nu medfødt i det menneskelige sind. På grund af den måde, hvid man erhverves, og det faktum, at der er mere end en passende gruppe, kan vi aldrig vide, om rummet er euklidisk eller ikke-euklidisk, kun at vi konstruerer det som euklidisk.

Denne vending på den kantianske lære om Ding an sichs uvidenhed (tinget i sig selv) og vores indeslutning til fremtrædelsesverdenen var medfølgende for Poincaré som en fungerende fysiker, men der er en vigtig skelnen at foretage. Det netop forklarede synspunkt er Poincarés filosofi om geometrisk konventionalisme. Han gik ind for konventionelitet på andre videnskabelige områder og argumenterede for, at det, vi kalder naturlovene (Newtons love, energibesparelse osv.) Hverken var empiriske spørgsmål, der er åbne for revision eller absolutte sandheder, men var veletablerede resultater, der var hævet til aksioms rolle i de nuværende videnskabelige teorier. De kunne blive udfordret, men kun hvis en hel videnskabelig teori blev udfordret, ikke ledig, når der blev foretaget nogle akavede observationer. Overfor en satellit, der ikke så ud til at overholde Newtons love, skulle man, sagde Poincaré, overveje en som endnu ikke bemærket styrke på arbejdet og ikke forsøge at omskrive Newton. Men en ny teori kan foreslås baseret på forskellige antagelser, der omskriver en naturlov, fordi disse love ikke er evige sandheder - vi kunne aldrig vide sådanne ting. Og hvis der skulle foreslås en ny teori, kan man kun vælge mellem den nye og den gamle på grund af bekvemmelighed.man kan kun vælge mellem det nye og det gamle på grund af bekvemmelighed.man kan kun vælge mellem det nye og det gamle på grund af bekvemmelighed.

Den afgørende sondring her er, at den videnskabelige konventionisme fungerer på et højt niveau. Valgene træffes bevidst og intellektuelt, debatten er kun åben for mennesker med en betydelig mængde specialuddannelse. Geometrisk konventionelisme fungerer på sindet, før den er i stand til nogen form for formel instruktion, og hvis den ikke fungerede, ville det uheldige emne være ude af stand til nogen viden om den eksterne verden.

6.3 Poincaré versus Russell

Poincarés synspunkter bragte ham i kollision med Bertrand Russell i 1890'erne, da han kom ud af sin korte hegelianske fase og trådte ind i hans kantiske fase. Russell forsøgte at etablere den kantianske a priori ved at argumentere for, at der er en grundlæggende geometri, som er projektiv geometri, og vi har syntetisk a priori viden om det (se Griffin 1991 om Russell og Nabonnand 2000 om kontroversen).

Der kan ikke være nogen tvivl om, at Poincaré med sin meget større kommando over matematik vandt meget af debatten, da Russell med sin karakteristiske vilje til at indrømme hans fejl var villig til at indrømme. Men en betydelig forskel i tilgangen mellem dem var aldrig at løse. Poincarés analyse begyndte med ideen om stive legemer, hvorfra der oprettes et begreb om afstand. Russell argumenterede tværtimod, at uanset hvad vi måtte opdage begrebet afstand, skal vi vide, inden vi begynder, at afstanden fra London til Paris er mere end en meter. Denne Poincaré benægtede i sin”Des fondements de la géométrie: à propos d'un livre de M. Russell” (1899).

Efter Poincarés opfattelse ved vi kun, hvad afstanden fra et punkt til et andet er, når vi har fundet ud af, hvad stive legemer gør, og denne viden er blevet medfødt i os. Efter Russells mening kunne ingen diskussion af begrebet afstand endda overveje, at afstanden fra London til Paris er mindre end en meter - vi ville vide, at vi ikke talte om afstand, hvis vi sagde noget sådan. Poincaré insisterede på, at snak om det, vi ved, altid skal være afhængig af, hvordan vi ved det; uden en sådan analyse var påstandene slet ikke videnskrav. Russell ønskede, at afstand skal betragtes som en grundlæggende intuition.

En matematisk illustration kan muligvis belyse uenigheden. For Poincaré, snak om det, vi måske kalder almindelig geometri, rumfølelsen, som vi har før avanceret instruktion, handler virkelig om den evne, vi har til at måle ting. Vi kan bære et stift krop rundt og bruge det som en lineal. Det er fordi vi kan gøre det, at vi kan tale om afstanden mellem steder. Hvis du vil gøre opsætningen mere abstrakt, skal der være et rum og en gruppe, der fungerer på rummet og bevæger punkter i rummet rundt. Hvis denne gruppe har den egenskab, at et område af dette rum imidlertid flyttes rundt, er det aldrig kortlagt til en ordentlig undergruppe af sig selv, så kan man konstruere stive legemer og tale om afstand.

For Russell er det frit at tage et mellemrum og tildele en 'afstand' til hvert par par (underlagt nogle enkle regler, som jeg udelader). I forhold til denne følelse af afstand kan man sige, hvis punkter i det, når en region flyttes rundt, forbliver den samme afstand fra hinanden eller ej. Vi har gjort dette for vores fornemmelse af afstand på jordoverfladen, og vi kan gøre det, uanset om vi også har nogle stive kropsbevægelser eller ej. I matematiske termer ville Russell være tilfreds med det, der kaldes et metrisk rum. Pointen er ikke, at man kunne pålægge jordens overflade en måling, hvor et bestemt par punkter, siger i Cambridge, var en meter fra hinanden, og London og Paris var kun en halv meter fra hinanden - man kunne - men at man kan tale om afstand uden at forudsætte en gruppes handling. Nogle metriske rum indrømmer handlingen fra grupper, der bevarer afstand,andre gør det ikke, men afstand kan defineres uden at tale om en gruppe. Poincaré blev aldrig konfronteret med nøjagtigt dette argument-metriske rum er en opfindelse af de 20th århundrede, men vi ved, hvad han ville have sagt. Han ville have sagt, at det var gyldig matematik, men helt formelt og ikke kunne betragtes som ægte viden, fordi det manglede en psykologisk dimension. Vi ved dette, fordi det var hans kritik af de aksiomatiske geometrier konstrueret af Hilbert (se nedenfor).

Poincarés argumenter mødte også indvendinger fra den italienske matematiker Federigo Enriques. Poincaré havde hævdet, at en måde at se gyldigheden af det geometriske konventionelle argument var at overveje en disk, hvor alt var lavet af det samme materiale, som ekspanderede, når det blev opvarmet, og hvor temperaturen var en særlig funktion af afstanden til midten af disken. Denne funktion, som Poincaré specificerede, sikrede, at metrikken i skiven, målt ved stænger fremstillet af det samme materiale som skiven, var den ikke-euklidiske geometri. Skabninger, der bor på disken, ville rapportere, at deres plads var ikke-euklidisk; vi ville svare, at der var plads i Euklidæerne, men underlagt den forvrængende effekt af temperaturfeltet. Hver side kan klart bevare deres position fri for selvmodsigelse.

Enriques hævdede i sin Problemi della Scienza (1906), at dette var urimeligt. Skabningerne ville have ret til at tilskrive en geometri til deres rum (og faktisk ikke-euklidisk geometri), fordi den forvrængende kraft er uden for deres kontrol. Deres geodesik er indbygget i rummet, og det ville være urimeligt af dem at tilskrive geodesics stier til driften af en 'kraft', fordi denne 'styrke' ikke var noget, de i princippet selv kunne manipulere. Varme, gravitationseffekten af massive genstande, alle disse fordrejende påvirkninger er ting, der kan tillades, fordi de kan ændres. Hvis det i eksperimentet ovenfor skulle hævdes, at plads er euklidisk, men vores kandidater til lige linier er deformeret, skulle det være muligt at variere graden af deformation. Man kan udføre eksperimentet længere væk fra alle massive genstande i tommere områder i rummet. Hvis forskellige eksperimenter gav endnu lidt forskellige resultater, ville man i henhold til Poincarés egne kriterier for ændring af videnskabelige konventioner kigge efter noget under de omstændigheder, der var ansvarlige for afvigelsen af lysstrålene fra retfærdighed. Men hvis alle eksperimenter var enige, argumenterede Enriques for, at det ville være rationelt at konkludere, at lysstråler rejste på geodesik og geometrien af rummet var ikke-euklidisk. Men hvis alle eksperimenter var enige, argumenterede Enriques for, at det ville være rationelt at konkludere, at lysstråler rejste på geodesik og geometrien af rummet var ikke-euklidisk. Men hvis alle eksperimenter var enige, argumenterede Enriques for, at det ville være rationelt at konkludere, at lysstråler rejste på geodesik og geometrien af rummet var ikke-euklidisk.

Det er også værd at bemærke, at den voksende raffinement af ideer om, hvordan teoretisk geometri forholder sig til praktisk erfaring, og om arten af den viden, som geometri leverer, hører til en familie med ændringer i hele matematikken i 1900. En autonom disciplin af matematik dukkede op der lægger en stigende vægt på formelle aspekter af emnet og tilbød et kompliceret og ofte fjernt forhold til oplevelsesverdenen. Denne modernistiske vending i matematik diskuteres forskellige steder (se Gray 2008 og den der citerede litteratur).

7. Afsluttende bemærkninger

Dette essay har undersøgt de vigtigste grene i udviklingen af geometrien, indtil de tidlige år af det 20. th århundrede under overskrifterne teoretisk eller abstrakt viden, empirisk og andre analyser af forståeligheden af en sådan viden, og den deduktive karakter af denne viden.

Status for den lige linje i elementær euklidisk geometri som både den korteste kurve, der forbinder et hvilket som helst af to af dens punkter, og som den kurve, der altid peger i samme retning, blev frakoblet. Den ene undersøgelseslinje førte til geometrier, der understregede retfærdighed som den grundlæggende egenskab (typisk projektiv geometri) og den anden til geometrier, der understregede det korteste aspekt. Den tidligere tilgang blev set fra starten som en ikke-metrisk tilgang og blev den foretrukne arena for formelle, endda aksiomatiske undersøgelser af geometri som en deduktiv virksomhed. Prisen havde mindre og mindre at sige om det fysiske rum (som Poincaré bemærkede). Geometribegrebet blev radikalt udvidet, men på måder, der ikke var beregnet til at være beretninger om et forståeligt rum.

Den metriske beretning førte til en gradvis belysthed af en betydelig uklarhed i Euclids elementer: det parallelle postulat. For en stor del af de 19 th århundrede, dette var det eneste alternativ til Euklids der blev foreslået som en forståelig geometri, selvom det generelt var enige om, at kun de mest sarte eksperimenter kunne håbe på at afgøre sagen. Poincarés anfægtede opfattelse var, at intet eksperiment kunne beslutte det, og dette rejste vigtige spørgsmål om den måde, abstrakte udtryk skal fortolkes på.

Ud over den iøjnefaldende idé om et alternativ til Euclids geometri-system, der havde stod i to tusinde år, var der panoplen til metriske geometrier, der blev antydet i Gauss 'arbejde med differentiel geometri og udarbejdet af Riemann. Her viste det sig endelig muligt at forklare forholdet mellem lige og korteste i en passende generel ramme. Det blev også muligt at diskutere geometri som en krop af ideer, der voksede ud af naive ideer om længde, vinkel, form og størrelse, og at gøre det på en sofistikeret og streng måde uden at appellere til aksiomer, uanset om disse aksiomer var bestemt eller ej som destillationer af forståelig oplevelse. På denne måde blev det muligt at anvende geometriske ideer i nye rammer og på nye måder.

Ved udgangen af det første årti af det 20. th århundrede, var det klart, at euklidisk geometri havde mistet sin fremtrædende position. Der var bedre formelle, aksiomatiske systemer (som dem, der blev foreslået af Hilbert og nogle matematikere i skolen omkring Peano). Der var rige systemer, der var mere grundlæggende i den forstand at bruge færre egenskaber for figurerne i traditionel geometri, såsom den rette linje (de mange versioner af projektiv geometri). Og der var en overflod af metriske geometrier med mere naturlige udgangspunkt og dybere teorier.

Som et resultat blev ideer om, hvordan teoretisk geometri uanset art relaterer til rummet omkring os, blevet meget mere sofistikerede. Sandhed om geometri var ikke længere at tage for givet, men var til en vis grad empirisk, og filosofiske ideer om geometriens forståelighed var også uddybet.

Bibliografi

  • d'Alembert, J. le Rond, 1784, Encylopédie Méthodique: Mathématique.
  • Badici, E., 2011, “Standards of equity and Hume's view of geometry”, Pacific Philosophical Quarterly, 92 (4): 448–467.
  • Beltrami, E., 1868, “Saggio di interpretazione della geometria non Euclidea”, Giornale di Matematiche, 6: 284–312, i Opere matematiche I: 374–405. Engelsk oversættelse i J. Stillwell, 1996, Sources of Hyperbolic Geometry (History of Mathematics 10), American and London Mathematical Sociations, p. 7-34.
  • Bioesmat-Martagon, L., 2011, Éléments d'une biografi de l'espace projectif, Nancy: Presses Universitaires de Nancy, Collection histories de geometries, 2.
  • Bolyai, J., 1832, “Appendix scientiam spatii absolute veram viser”, i W. Bolyai og J. Bolyai, 1832, Tentamen juventutem studiosam i Elementa Matheosis purae, osv., Maros-Vásérhely, 2 bind. Engelsk oversættelse af GB Halsted, "The Science Absolute of Space", appendiks i Bonola 1912 og i JJ Gray, 2004, János Bolyai, Non-Euclidean Geometry and the Space of Space, Burndy Library, MIT.
  • Bonola, R., 1906, La geometria non-Euclidea, Bologna: Zanichelli, engelsk oversættelse HS Carslaw, forord af F. Enriques, 1912, History of non-Euclidean geometry, Chicago: Open Court; genoptryk, New York: Dover, 1955.
  • Bottazzini, U., 1999, "Ricci og Levi-Civita: fra differentielle invarianter til generel relativitet", i JJ Gray (red.) Det symbolske univers: geometri og fysik 1890–1930, Oxford: Oxford University Press.
  • Chasles, M., 1837, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie… suivi d'un Mémoire de géométrie, osv. tom. 11, Bruxelles.
  • Clairaut, AC, 1741, Elémens de géométrie, Paris: David Fils. Genoptrykt 1920, Paris: Gauthier-Villars.
  • Cremona, L., 1873, Elementi di geometria projettiva, Turin. Engelsk oversættelse af C. Leudesdorf, 1885, Elements of projective geometry, Oxford: Clarendon Press.
  • Enriques, F., 1906, Problemi della Scienza. Engelsk oversættelse af K. Royce, 1914, Problems of Science, Chicago: Open Court.
  • Enriques, F., 1907, “Prinzipien der Geometrie”, Encylopädie der Mathematischen Wissenschaften, III. I.1,1-129, Leipzig, Teubner.
  • Euclid, The Thirteen Books of Euclid's Elements, oversættelse og kommentarer af Sir TL Heath, New York: Dover Publications, 1956.
  • Gauss, CF, 1828, “Disquisitiones generales circa superficies curvas”, Kommentarer om societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. Genoptrykt i 1870, Carl Friedrich Gauss Werke, 4: 217–258; og i P. Dombrowski (red.), 1978, 150 år efter Gauss '' Erhvervelser Generales Circa Superficies Curvas ', latin original, med et genoptryk af den engelske oversættelse af A. Hiltebeitel og J. Morehead, 1902, Astérisque 62, Paris: Société mathématique de France; og i P. Pesic, (red.), 2005, Generelle undersøgelser af buede overflader, New York: Dover Books.
  • Gauss, CF, 1900 Werke 8, Leipzig: Teubner.
  • Gray, JJ, 2008, Platons spøgelse: Den modernistiske transformation af matematik, Princeton: Princeton University Press.
  • –––, 2011, verdener ud af intet; et kursus på historien om geometri i 19 th århundrede, 2. reviderede udgave, London:. Springer.
  • –––, 2012, Henri Poincaré: en videnskabelig biografi, Princeton: Princeton University Press.
  • Griffin, N., 1991, Russells idealistiske læreplads, Oxford: Clarendon Press.
  • Hallett, M. og U. Majer (eds), 2004, David Hilberts forelæsninger om geometriens fundamenter, 1891-1902, Berlin: Springer.
  • Helmholtz, H. von, 1868, “Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie”, Nachrichten K. Ges. Wissenschaften zu Göttingen, 9. Engelsk oversættelse af MF Lowe, 1921, "Om de fakta, der ligger til grund for geometri", Epistemological Writings, RS Cohen og Y. Elkana (red.), Boston Studies in the Philosophy of Science, Boston: Reidel, bind 37, 39-57.
  • –––, 1870, “Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome”, Vorträge und Reden, vol. 2, 1–31. Engelsk oversættelse “Om oprindelsen og betydningen af geometriens aksiomer”, i Epistemological Writings, s. 1–25.
  • –––, 1921, Schriften zur Erkenntnistheorie, Berlin: Springer, P. Hertz og M. Schlick (red.), 1977, oversat af MF Lowe som epistemologiske skrifter, RS Cohen og Y. Elkana (red.), Reidel.
  • Herbart, JF, 1824–1825, Psychologie als Wissenschaft neu gegründet auf Erfahrung, Metaphysik, und Mathematik, 2 bind, Königsberg: AW Unzer.
  • Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals i Göttingen, Leipzig: Teubner, mange efterfølgende udgaver. Engelsk oversættelse af 10. udgave af L. Unger, 1971, Foundations of geometry, Chicago: Open Court.
  • –––, 1901, “Über Flächen von konstanter Gaussscher Krümmung”, Transactions of the American Mathematical Society 2: 87–99. I Gesammelte Abhandlungen, 2: 437–448.
  • Hume, D., 1739–1740, A Treatise of Human Nature, London. Søgbar tekst ved A Treatise of Human Nature af David Hume, genoptrykt fra den originale udgave i tre bind og redigeret med et analytisk indeks af LA Selby-Bigge, MA (Oxford: Clarendon Press, 1896). [online søgbar Hume 1739]
  • Kant, I., 1781, 1787, Kritik der reinen Vernunft; oversætter Norman Kemp Smith, 1929, Immanuel Kants kritik af ren grund, 2. udg. rep. 1970, London: Macmillan.
  • Klein, CF, 1871, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie”, Mathematische Annalen, 4: 573–625. Også i Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (nr. XVI): 254–305, Berlin: Springer.
  • –––, 1872, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometriske Forschungen, Programm zum Eintritt i filosofiske fakulteter og universitet til Erlangen, Deichert, Erlangen, i Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (nr. XXVII): 460–497. Engelsk oversættelse af MW Haskell, 1892–1893, Bulletin of the New York Mathematical Society 2: 215–249, Berlin, Springer.
  • –––, 1873, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. (Zweiter Aufsatz)”, Mathematische Annalen, 6: 112–145, i Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (nr. XVIII): 311–343, Berlin: Springer.
  • Laplace, P.-S., 1796, "Exposition du système du monde," Paris: Crapelet, i Oeuvres VI, Paris, Gauthier-Villars, 1884
  • Legendre, A.-M., 1794, Éléments de géométrie, Paris: Fermin Didot Frères, flere udgaver.
  • Levi-Civita, T., 1917, “Nozione de parallelismo in una varietà qualunque”, Rendiconto del Circolo Matematico di Palermo, 42: 173–205.
  • Lobachevskii, NI, 1835, “Neue Anfangsgrunde der Geometrie mit einer vollständigen Theorie der parallellinien”, tysk oversættelse i Lobachetschefskij, NI 1899 Zwei geometrische Abhandlungen, tr. F. Engel, Leipzig, Teubner.
  • –––, 1840, Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berlin, rep. Mayer & Müller, 1887, engelsk tr. GB Halsted, geometriske undersøgelser i teorien om paralleller, bilag i (Bonola 1912).
  • –––, 1856, Pangéométrie, ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale des paralleles, Kasan. Engelsk oversættelse med kommentar, Pangeometry, A. Papadopoulos (red.), European Mathematical Society, 2010.
  • Locke, J., 1690, En essay om menneskelig forståelse, London. [Locke 1690 tilgængelig online]
  • Marchisotto, E. og JT Smith, 2007, Arven fra Mario Pieri i geometri og aritmetik, Boston: Birkhäuser.
  • Mueller, I., 1981, Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements, Cambridge: MIT Press.
  • Nabonnand, P., 2000, “La polémique entre Poincaré et Russell au sujet du statut des axiomes de la géométrie,” Revue d'histoire des mathématiques, 6: 219-269.
  • Newton, Sir I., 1687, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Engelsk oversættelse The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, tr. IB Cohen, A. Whitman, J. Budenz, University of California Press, 1999.
  • de Pierris, G., 2012, “Hume on space, geometry and diagrammatic reservation”, Synthese, 186 (1): 169–189.
  • Poincaré, H., 1882e. Théorie des groupes fuchsiens. Acta Mathematica 1, 1–62 i Oeuvres 2, 108–168.
  • Poincaré, H., 1898, "Om fundamenterne for geometri" (oversat af TJ McCormack) Monist 9: 1–43. Genoptrykt i Ewald, 1996, Fra Kant til Hilbert: En kildebog i grundlæggende af matematik, Oxford: Oxford University Press, 2: 982–1012.
  • –––, 1899, “Des fondements de la géométrie: à propos d'un livre de M. Russell,” Revue de métaphysique et de morale 7: 251–279.
  • –––, 1902, “Les fondements de la géométrie”, Journal des savants, 252–271. Engelsk oversættelse af EV Huntington, 1903, “Poincarés anmeldelse af Hilberts 'geometri-fundamenter”, Bulletin of the American Mathematical Society, 10 (1): 1–23. [Poincaré 1902 (engelsk) tilgængelig online]
  • Poncelet, JV, 1822, Traité des Propriétées Projectives des Figures, Paris: Gauthier-Villars.
  • Riemann, GBF, 1867 [1854], “Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen,” Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13: 1–20. Genudgivet i Gesammelte Mathematische Werke, Wissenschaftliche Nachlass und Nachträge. Samlede papirer: Nach der Ausgabe von Heinrich Weber og Richard Dedekind, 1990, R. Narasimhan, (red.) Berlin: Springer, s. 304–319. Bernhard Riemann, Collected Papers, oversat af Roger Baker, Charles Christenson og Henry Orde, Kendrick Press, 2005.
  • Russell, B., 1899, "Sur Les Axiomes de la Géométrie", Revue de méetaphysique et de morale, 684–706, oversat og genoptrykt som "On the Axioms of Geometry", i N. Griffin og AC Lewis, (red.), 1990, The Collected Papers af Bertrand Russell, 2, London: Hyman Unwin, 394–415.
  • Scholz, E., 1982, "Herbarts indflydelse på Bernhard Riemann," Historia Mathematica, 9 (4): 413–440.
  • –––, 2001, “Weyl's Infinitesimalgeometrie”, i Hermann Weyls Raum – Zeit – Materie og en generel introduktion til hans videnskabelige arbejde, E. Scholz (red.) Basel, Birkhäuser.
  • Schweikart, FK, 1818, “Notiz”, i Carl Friedrich Gauss Werke, 8: 180–181.
  • von Staudt, GKC, 1847, Geometrie der Lage, Nürnberg.
  • –––, 1856–1860, Beiträge zur Geometrie der Lage, 3 bind, Nürnberg.
  • Villaggio, P., 2006, “På Enriques grundlæggende mekanik”, i K. Williams (red.) To kulturer: Essays til ære for David Speiser, Birkhäuser, 133–138.
  • Wallis, J., 1693, “De postulato quinto et definitione lib. 6 Euclidis deceptatio geometrica”, i Operum Mathematicorum, 2: 665–678.
  • Weyl, H., 1918, Raum – Zeit – Materie, Springer. Engelsk oversættelse af den tredje udgave (1920) Space-time-matter, London: Methuen.

Akademiske værktøjer

sep mand ikon
sep mand ikon
Sådan citeres denne post.
sep mand ikon
sep mand ikon
Forhåndsvis PDF-versionen af denne post hos Friends of the SEP Society.
inpho ikon
inpho ikon
Slå dette emne op på Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papirer ikon
phil papirer ikon
Forbedret bibliografi til denne post på PhilPapers med links til dens database.

Andre internetressourcer

  • Dynamisk version af Euclid's Elements af DE Joyce, Clark University
  • Engelsk oversættelse af Gauss (1828), på Internetarkivet.

Anbefalet: