Logik Til Analyse Af Magt I Normale Formspil

Indholdsfortegnelse:

Logik Til Analyse Af Magt I Normale Formspil
Logik Til Analyse Af Magt I Normale Formspil

Video: Logik Til Analyse Af Magt I Normale Formspil

Video: Logik Til Analyse Af Magt I Normale Formspil
Video: Magtanalyse 2/2 2024, Marts
Anonim

Indtastningsnavigation

  • Indtastningsindhold
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Venner PDF-forhåndsvisning
  • Forfatter og citatinfo
  • Tilbage til toppen

Logik til analyse af magt i normale formspil

Først offentliggjort ons 14 juni 2017; substantiel revision Tirsdag 1. august 2017

Denne indgang diskuterer brugen af matematiske sprog til at udtrykke og analysere de formelle egenskaber ved magt i normale formspil. De matematiske sprog, der diskuteres i dette punkt, vil blive omtalt som logik og klassificeret efter deres evne til at udtrykke spilrelaterede koncepter.

Materialet i dette punkt vil være begrænset til den logiske analyse af strategier og præferencer for (grupper af) individer i normal formspil. Det vil ikke dække brugen af spilteori til at studere logiske sprog eller rollen som epistemiske begreber i strategiske beslutninger. Det vil heller ikke dække aspekter af sekventiel beslutningstagning, der er typisk for strategisk ræsonnement i omfattende spil. En beskrivelse af disse findes i de relaterede poster logik og spil, epistemiske fundamenter af spilteori (se også van Benthem, Pacuit, & Roy 2011 og van Benthem 2014).

  • 1. Logikken under normale formspil
  • 2. De grundlæggende ingredienser

    • 2.1 Præferencer
    • 2.2 Valg
  • 3. Analyse af magt

    • 3.1 Kooperative spil og deres logik
    • 3.2 Strategiske spil og deres logik

      • 3.2.1 Ikke-monotonisk handlingslogik
      • 3.2.2 Logikbaserede spil
  • 4. Konklusioner: På det rigtige analyseniveau
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Andre internetressourcer
  • Relaterede poster

1. Logikken under normale formspil

Et (normalform) spil er en matematisk beskrivelse af forholdet mellem et sæt individer (eller grupper af individer) og et sæt potentielle resultater. Enkeltpersoner vælger uafhængigt og samtidigt en delmængde af resultaterne, hvor det endelige resultat vælges fra kombinationen af hvert valg. Uafhængigt betyder, at enkeltpersoners valg ikke påvirker hinanden. Samtidig betyder, at den enkeltes valg træffes uden at kende de andre spilleres valg. Det antages, at det enkelte individ har en præference frem for sættet af resultater, dvs. han eller hun kan lide nogle resultater mere end andre, og antages typisk at kende de andre individers potentielle valg og præferencer og justere deres beslutninger i overensstemmelse hermed.

Spil bruges til at modellere alle mulige situationer, lige fra dyreopførsel til international konfliktløsning (Osborne & Rubinstein 1994). En nyttig applikation til formålet med denne post er kollektiv beslutningstagning, hvor et eksempel vil være det fungerende eksempel igennem.

Eksempel 1: (Rom-traktaten)

Rom-traktaten (1958–1973) oprettede Det Europæiske Økonomiske Fællesskab. I henhold til traktatens artikel 148 kræver Rådets retsakter (en af de vigtigste lovgivende institutioner) til vedtagelse af dem:

  • 12 stemmer (hvis retsakten blev foreslået af Kommissionen) eller
  • 12 stemmer fra mindst 4 medlemslande (hvis handlingen ikke blev foreslået af Kommissionen).

Værdierne ovenfor henviser til EU-6, de stiftende medlemslande. Traktaten tildelte stemmerne som følger:

  • 4 stemmer: Frankrig, Tyskland, Italien;
  • 2 stemmer: Belgien, Holland;
  • 1 stemme: Luxembourg.

Dette scenarie kan beskrives som et spil.

Der er seks spillere, landene:

Frankrig, Tyskland, Italien, Belgien, Holland og Luxembourg.

De stemmer om et spørgsmål ad gangen. Spørgsmål kan være binære, f.eks. Vedtagelse af en grænsebeskyttelsesordning eller flerværdier, f.eks. Hvor mange millioner der skal bruges til vedtagelse af en grænsebeskyttelsesordning.

Lande har muligvis præferencer over resultatet af afstemningen eller endda over de andre landes specifikke afstemning, og de stemmer normalt uden at vide, hvordan de andre har stemt.

Ofte er disse spil sådan, at ingen deltagere alene er i stand til at beslutte det endelige resultat, men i nogle tilfælde kunne de samarbejde og blive enige om en fælles strategi.

Afhængigt af spillernes præferencer, viden og evner vil der være flere sandsynligheder for, at resultaterne vælges. For at forstå hvilke, har teori udtænkt løsningskoncepter, der formelt fungerer fra sættet af spil til sættet af resultater i hvert af disse spil, der beskriver spillernes rationalitet i matematiske termer. Løsningskoncepter, som vi vil se senere, kan udtrykkes kortfattet i enkel og velopdragen logik.

Dernæst beskriver vi spil som matematiske strukturer, hvor vi understreger forskellige nøgleingredienser (f.eks. Muligheden for at danne koalitioner, muligheden for at tage beslutninger i tide osv.) Og de bedst egnede sprog til at udtrykke dem.

2. De grundlæggende ingredienser

Formelt består spil af et endeligt sæt spillere (N = {1,2, / ldots, n }) og et muligvis uendeligt sæt resultater (W = {w_1, w_2, / ldots, w_k, / ldots }).

Eksempel 2:I eksemplet ovenfor er sætet af spillere {Frankrig, Tyskland, Italien, Belgien, Holland, Luxembourg}. Hvis vi overvejer spørgsmålet om vedtagelse af en grænsebeskyttelsesordning, er der to resultater: ja og nej, dvs. (W = { mbox {ja, nej} }). Hvis vi i stedet overvejer det problem, millioner, der er brugt til grænsebeskyttelsesplan, er der et potentielt uendeligt resultatrum, dvs. (W = { textrm {0M}, / textrm {1M}, / textrm {2M}, / ldots }). Det er muligt at have et sæt resultater, der endda forbedres yderligere, for eksempel at specificere, hvordan spillerne har stemt. I dette tilfælde ville resultatet, hvor Frankrig stemmer ja, de andre stemmer nej, og resultatet er nej, være anderledes end resultatet, hvor Italien stemmer ja, de andre stemmer nej, og resultatet er nej, selvom resultatet af afstemningen er den samme. Det, der er vigtigt at understrege, er, at hvert sæt af resultater kommer med et niveau af beskrivelse af, hvad der sker i det underliggende samspil. Der er ikke et priori rigtigt eller forkert beskrivelsesniveau, valget afhænger af egenskaberne ved spillet, som man er interesseret i.

På toppen af spillere og resultater kommer spil med to yderligere relationer:

  • en præferencesammenhæng, betegnet (succeq), der beskriver spillernes præferencer frem for resultater;
  • en handlingsrelation, betegnet (E), der beskriver de resultater, som spillere eller grupper af spillere er i stand til at pålægge eller omvendt udelukke;

En vigtig relation i spil er viden, der formelt beskriver, hvad spillerne kender til spillet og deres modstandere. Denne relation gives undertiden eksplicit, mens andre gange er implicit. Den nuværende post vil ikke gøre forholdet eksplicit, men snarere indarbejde det i formaliseringen af spillernes rationalitet.

Både præferencer og handlingsrelationer samler familier af individuelle relationer, en pr. Spiller. Præferencesammenhængen er for eksempel opdelt i en familie ({ succeq_i } _ {i / i N}), der beskriver præference over resultater for hver enkelt person, mens handlingsrelationen samler en familie ({E_C } _ {C / subseteq N}) beskriver hver, hvad en bestemt gruppe af spillere kan opnå.

Generelt kan et spil ses som en matematisk struktur

[(matematisk {N}, W, / succeq, E))

hvor (mathcal {N}) er det sæt af spillere, typisk endelige, (W) sætet af resultater, (succeq) præferencesammenhæng og (E) handlingsrelationen.

Denne matematiske struktur er også kendt som en relationel struktur (Blackburn, Rijke, & Venema 2001), som er den sætteoretiske ækvivalent til en såkaldt modal logik (Blackburn et al. 2001), et matematisk sprog, der er velegnet at udtrykke de matematiske egenskaber ved relationer. En relationel struktur vil herefter blive betegnet (F), der står for ramme.

Den sidste ingrediens, som vi har brug for, for at forbinde relationelle strukturer og modal logik, er specifikationen af et sæt atomforslag Atomer, der udtrykker de relevante egenskaber ved de resultater, vi er interesseret i. Dette sæt anses normalt for at kunne tælles [1] og er knyttet til resultater ved hjælp af en værdiansættelsesfunktion, dvs. en funktion af formen

[V: W / til 2 ^ / texttt {Atomer})

tilknytning til hvert resultat af det sæt propositionsatomer, der er sande ved det resultat.

En tuple ((F, V)) omtales som model, der vil blive betegnet (M).

Forholdene i en spilstruktur, der er i forhold til individuelle spillere (og grupper), vil formelt blive beskrevet i forbindelse med de vigtigste modale logikker, der bruges til at udtrykke deres egenskaber, på forskellige beskrivelsesniveauer og granularitet.

Følgende afsnit opsamler de baggrundsmæssige tekniske forestillinger, der er nødvendige for at fortolke de modalsprog, der bruges i denne post. Læseren, der allerede har kendskab til modal logik, kan springe den over. For en mere dybdegående udforskning kan man se den relaterede post om modal logik (Garson 2014). Kendte klassiske lærebøger er Modal Logic: En introduktion (Chellas 1980), der fokuserer på ikke-normal modal logik, og Modal Logic (Blackburn et al. 2001), der i stedet fokuserer på en mere matematisk behandling af normal modal logik. [2]

Modal logik: baggrundsopfattelser: En modal logik er en udvidelse af sproget i propositionslogik med et sæt modale operatører (Box_1, / ldots, / Box_n, / ldots), defineret på et tællbart sæt atomforslag / texttt {Atoms} = {p_1, p_2, / ldots }), hvor sættet med velformede formler er induktivt bygget (for en matematisk behandling af logik og induktion se f.eks. Dalen 1980). Hver velformet formel (varphi) i et modalsprog (mathcal {L}), fremover simpelt kaldet formel, er konstrueret ved hjælp af følgende grammatik:

) varphi:: = p / mid / lnot / varphi / mid / varphi / kile / varphi / mid / Box_i / varphi)

hvor (Box_i / in { Box_1, / ldots, / Box_n, / ldots }) og (p / in / texttt {Atoms}).

En model for dette sprog er en struktur (M = ((W, R_1, / ldots, R_n, / ldots), V)), der består af et sæt verdener eller tilstande eller resultater (W); en tilgængelighedsrelation (R_i) for hver modal operator (Box_i), defineret via såkaldte kvarterfunktioner (Chellas 1980), dvs. funktioner (R_i: W / til 2 ^ {2 ^ {W}}); og en værdiansættelsesfunktion (V: / texttt {Atomer} til 2 ^ {W}), der tildeler hver atomproposition et undermængde af (W) med den idé, at hver atomproposition er tildelt sættet af verdener, hvor dette forslag er sandt.

Som en generel konvention vil et multimodalt sprog med modaliteter (Box_1), …, (Box_n), … blive betegnet med (mathcal {L} ^ {f (Box_1), / ldots, f (Box_n), / ldots}), hvor funktionen (f) knytter sig til hver modalitet dens intuitive ordning. Lad (Delta) være et modalsprog bestående af modaliteter (Box_1), …, (Box_n), … og lad (M = ((W, R_1, / ldots, R_n, / ldots), V)) være en model for dette sprog. Den tilfredshed forhold af en formel (varphi / i / Delta) i forhold til et par ((M, w)), hvor (w / i W), er defineret i henhold til følgende sandhedsbetingelser:

) begynde {juster *} M, w & / modeller p & / mbox {hvis og kun hvis} & w / i V (p) / M, w & / modeller / neg / varphi & / mbox {hvis og kun hvis } & M, w / ikke / modeller / varphi \\ M, w & / modeller / varphi / land / psi & / mbox {hvis og kun hvis} & M, w / models / varphi / mbox {og} M, w / modeller / psi \\ M, wy & / modeller / Box_i / varphi & / mbox {hvis og kun hvis} & / varphi ^ M / i R_i (w) / \ end {align *})

hvor (varphi ^ {M} = {w / i W / midt M, w / modeller / varphi }) kaldes sandheden eller udvidelsen af (varphi).

En formel (varphi) for et modalsprog (Delta): holder i en tilstand (w) af model (M) når (M, w / modeller / varphi); er gyldig i en model (M), betegnet (modeller_ {M} varphi), hvis og kun hvis (M, w / modeller / varphi) for hver (w / i W), hvor (W) er domænet til (M); er gyldig i en klasse af modeller (mathcal {M}), betegnet (models _ { mathcal {M}} varphi), hvis og kun hvis det er gyldigt i alle (M / i / mathcal {M}); er gyldig i en ramme ({F}), betegnet (modeller _ {{F}} varphi), hvis og kun hvis vi for hver værdiansættelse (V) har det (modeller _ {(F, V)} varphi); er gyldig i en klasse af rammer (mathcal {F}), betegnet (modeller _ { mathcal {F}} varphi), hvis og kun hvis det er gyldigt i alle (F / i / mathcal {F}).

Sættet med formler af (Delta), der er gyldige i en klasse af modeller (mathcal {M}), betegnes (Delta _ { mathcal {M}}) (for rammer er denotationen (Delta _ { mathcal {F}})). For et sæt formler (Sigma) skriver vi (M, w / modeller / Sigma) for at sige det (M, w / modeller / sigma) for alle (sigma / in / Sigma). Vi siger, at et sæt formler (Sigma) semantisk indebærer en formel (varphi) i en klasse af modeller (mathcal {M}), betegnet (Sigma / models _ { mathcal {M }} varphi), hvis vi for hvert (M / i / matematisk {M}) har (models_ {M} Sigma) impliceret (models_ {M} varphi).

En modal regel

) frac { varphi_1, / ldots, / varphi_n} { psi})

er lyd i en klasse af modeller (mathcal {M}) hvis (varphi_1, / ldots, / varphi_n / models _ { mathcal {M}} psi).

Husk, efter Chellas (1980), at en modal logik (Delta) kaldes klassisk, hvis den er lukket under ækvivalensreglen, dvs. for hver (Box) på sproget (Delta) vi har:

) frac { varphi / leftrightarrow / psi} { Box / varphi / leftrightarrow / Box / psi})

Det kaldes monotonisk, hvis det er klassisk, og det er desuden lukket under reglen om monotonicitet, dvs. for hver (Box) på det sprog (Delta), vi har:

) frac { varphi / rightarrow / psi} { Box / varphi / rightarrow / Box / psi})

Det kaldes normalt, hvis det er monotonisk, det er lukket under reglen om generalisering og indeholder (K) aksiomet, dvs. for hver (Box) i formlerne til (Delta), vi har

) frac { varphi} { Box / varphi})

og (Delta) indeholder (Box (varphi / to / psi) to (Box / varphi / to / Box / psi)).

En normal modal logik kan fortolkes i strukturer med formen (M = ((W, R'_1, / ldots, R'_n, / ldots), V)), hvor hver (R'_i) er et hovedfilter [3] eller alternativt har formen (R'_i: W / til 2 ^ {W}).

2.1 Præferencer

Husk relationens struktur ((mathcal {N}, W, / succeq, E)) og overvej relationen (succeq). Dette forhold repræsenterer kompakt en familie ({ succeq_i } _ {i / i N}) af individuelle præferencerelationer, der hver indekseres med en spiller.

Formelt set er en præference for spiller (i) en relation

) succeq_i / subseteq W / times W)

Ideen er, at hvis to resultater (w) og (w ') er sådan, at ((w, w') in / succeq_i), overvejer spilleren (i) resultatet (w) mindst lige så godt som resultatet (w '). At ((w, w ') in / succeq_i) forkortes (w / succeq_i w'). Dets inverse er forholdet (preceq_i), der gælder for ((w, w ')), når (w' / succeq_i w). Dens strenge modstykke er forholdet (succ_i), der gælder for ((w, w ')) når (w / succeq_i w'), og det er ikke tilfældet, at (w '\ succeq_i w). Desuden betegner (w / sim_i w ') det faktum, at (w / succeq_i w') og (w '\ succeq_i w), hvilket betyder, at (i) er ligeglade mellem (w) og (w ').

Eksempel 3:Lad os vende tilbage til vores vigtigste eksempel. Landene har typisk præferencer over resultatet af beslutningen, f.eks. Mener Italien, at vi skal bruge mellem 5 og 10 millioner euro til ordningen, Tyskland mener, at vi skal bruge mellem 1 og 2, Belgien mellem 4 og 5, Luxembourg, Holland og Frankrig nøjagtigt 5. Dette betyder for eksempel, at Italiens præferencerelation er sådan, at (w / succ _ { textrm {Italy}} w ') når (textrm {5M} leq w / leq / textrm {10M}) og enten (w '> / textrm {10M}) eller (0 / leq w' / textrm {10M}) eller (0 / leq w '<\ textrm {5M}), (w / succ _ { textrm {Italy}} w ') når (textrm {5M} leq w' <w / leq / textrm {10M}) mens (w / sim _ { textrm {Italy}} w '), ellers. Ikke alle resultaterne af en afstemning vil nå til enighed. Derefter definerer vi til tekniske formål et hjælpeudbytte (w ^ {d}),fortolket som et uoverensstemmelsesresultat. Tanken er, at dette er et resultat af afstemningen, der ikke når nogen konsensus. Vi antager, at enhver aftale er strengt bedre for enhver spiller end uenighed, dvs. (w / succ _ {{i}} w ') når (w' = w ^ {*}) og (w / neq w ^ {*}) for hver (i / i N).

Egenskaber ved disse relationer kan udtrykkes ved hjælp af modal logik. For at gøre dette introducerer vi modale operatorer (Diamond ^ { preceq} _i), (Diamond ^ { prec} _i) og (Diamond ^ { sime _i) for hver af de tilsvarende relationer.

Fortolkningen for (R / i { preceq, / prec, / sim }) er som følger:

[M, w / modeller / Diamond ^ {R} _i / varphi / enskip / mbox {hvis og kun hvis} enskip M, w ^ { prime} modeller / varphi, / mbox {for nogle} w ^ { prime} mbox {with} w R_i w ^ { prime})

De pågældende relationer har ofte ekstra egenskaber. F.eks. Tages (preceq_i) normalt for at tilfredsstille følgende:

  • refleksivitet dvs. (forall w / i W, i / i N,) vi har det: (w / preceq_i w);
  • transitivitet dvs. (forall w_1, w_2, w_3 / i W, i / i N,) vi har det: ((w_1 / preceq_i w_2) og (w_2 / preceq_i w_3)) indebærer, at (w_1 / preceq_i w_3).
  • tilslutning dvs. (forall w_1, w_2 / i W, i / i N,) vi har det: enten (w_1 / preceq_1 w_2) eller (w_2 / preceq_i w_1).

De to første egenskaber kan karakteriseres i en normal modal logik med en modal operatør pr. Spiller ved hjælp af følgende aksiomer og gyldigheder.

Forslag 1

) begynde {align *} models_F / varphi & / højrehastighed / Diamond ^ { preceq} _i / varphi & / mbox {hvis og kun hvis} & / preceq_i / mbox {er refleksiv} / \ models_F / Diamond ^ { preceq} _i / Diamond ^ { preceq} _i / varphi & / rightarrow / Diamond ^ { preceq} _i / varphi & / mbox {hvis og kun hvis} & / preceq_i / mbox {er transitive} end {align *})

Dette er dog ikke tilfældet for forbindelse, da modalsprog som dette kun kan tale om lokale egenskaber ved relationer (Blackburn et al. 2001).

For at gøre dette er vi nødt til at introducere en speciel type operatør: den universelle (eller globale) modalitet (Goranko & Passy 1992). Denne modalitet udtrykker egenskaber for alle tilstande i et domæne (W) for en model (M), og det fortolkes som følger.

[M, w / modeller A / varphi / enskip / mbox {hvis og kun hvis} enskip M, w ^ { prime} modeller / varphi, / mbox {for alle} w ^ { prime} i W)

Formlen (neg A / neg / varphi) forkortes (E / varphi). Symbolet (E) er den eksistentielle dobbelte af (A) og det indikerer, at en bestemt formel har en vis tilstand i modellen. Med den globale modalitet har vi en ægte tilføjelse af ekspressivitet (sammen med yderligere omkostninger og yderligere gevinster, som vist i Goranko & Passy 1992), derfor kan vi udtrykke gyldighed i en model ved at udtrykke sandhed i en verden, være vidne til det faktum, at (M, w / modeller A / varphi) holder hvis og kun hvis (models_M / varphi) gør det.

Husk, at en relation (R) er trikotom, hvis og kun hvis for alle (x, y / i W) er det enten tilfældet, at (xRy, yRx) eller (y = x). Vi kan bruge en kombination af præference og globale modaliteter til at opnå følgende rammekorrespondance.

Forslag 2 Lad (F) være en ramme. Vi har det:

(models_F (varphi / wedge / Box ^ { preceq} _i / psi) til A (psi / vee / varphi / vee / Diamond ^ { preceq} _i / varphi)) hvis og kun hvis (preceq_i) er trikotom

En alternativ og muligvis mere intuitiv formel, der i stedet kan bruges, er, at (p, q) er atompropositioner:

[E p / land E q / til E (p / land q) lor E (p / land / Diamond ^ { preceq} _i q) lor E (q / land / Diamond ^ { preceq} _i p))

Trikotomi, transitivitet og refleksivitet af (preceq_i) svarer til, at forholdet er en svag lineær orden og dermed er forbundet.

Forholdet (prec_i), dvs. forholdet mellem streng præference, kan defineres som (preceq_i). Men (prec_i) tilfredsstiller følgende egenskab:

irrefleksivitet dvs. (forall w / i W, i / i N,) vi har det: det er ikke tilfældet, at (w / prec_i w)

Irrefleksivitet er ikke definerbar i grundlæggende modal logik (Blackburn et al. 2001). Men hvis atomforslagene er kraftige nok til at fortælle hvert resultat fra hinanden, bliver irrefleksivitet definerbar. Lad f.eks. (W_k) være en variabel, der identificerer verden (w_k). [4] Vi har følgende.

Forslag 3

) models_F w_k / to / neg / Diamond ^ / prec_i w_k / enskip / mbox {hvis og kun hvis} enskip / prec_i / mbox {er irrefleksivt})

Endelig tilfredsstiller ligegyldighedsforholdet (sim) egenskaberne refleksivitet, transitivitet og symmetri. Mens refleksivitet og transitivitet defineres analogt med de tidligere modaliteter, er symmetri defineret som følger.

symmetri dvs. (forall w_1, w_2 / i W, i / i N,) vi har det: (w_1 / sim_i w_2) indebærer, at (w_2 / sim_i w_1)

Mens aksiomerne for de første to ligner dem for (preceq_i), er symmetri karakteriseret som følger

Forslag 4

) models_F (psi / til / Box ^ { sim} _i / Diamond ^ { sim} _i / psi) enskip / mbox {hvis og kun hvis} enskip / sim_i / mbox {er symmetrisk})

De tre egenskaber ovenfor siger tilsammen, at hver (sim_i) er matematisk en ækvivalensrelation, dvs. en relation sådan, at

) bigcup_ {w / in W} {[w] mid w '\ i [w] mbox {når} w / sim_i w' })

er en partition af (W). Hvert element i denne partition er en ligegyldighedsklasse for spilleren (i), dvs. et sæt resultater, som han eller hun er ligeglad med.

Logikken for ækvivalensrelationer, såsom (sim_i), er også kendt som ({ bf S5}) -systemet.

Præferencer og værktøjer På grund af deres udbredte anvendelse i spilteori er en vigtig klasse af præferencesammenhænge dem, der svarer til numeriske værdier eller hjælpefunktioner.

En hjælpefunktion er en funktion

[u_i: W / højre pil / mathbb {R})

kortlægge resultater til reelle tal, der repræsenterer hvor meget en spiller værdsætter en bestemt tilstand.

Hjælpefunktioner inducerer naturligt præferencerelationer i følgende forstand.

Definition 5 Lad (u) være en hjælpefunktion. Vi siger, at (succeq ^ * _ i) svarer til (u), hvis følgende gælder:

[w / succeq ^ * _ i w '\ enskip / textrm {hvis og kun hvis} enskip u_i (w) geq u_i (w'))

Bemærk, hvordan enhver svag lineær rækkefølge over et endeligt sæt af resultater svarer til en eller anden brugsfunktion.

Vi henviser til de relaterede poster om præferencer (Hansson & Grune-Yanoff 2011) og beslutningsteori (Steele & Stefansson 2015) for en mere detaljeret analyse af præferences rolle i filosofi og beslutningsteori.

2.2 Valg

Et spil er også en beskrivelse af, hvad spillere kan opnå, alene eller inden for koalitioner. For at formalisere dette bruger vi effektivitetsfunktioner, en abstrakt magtmodel introduceret til at studere afstemningsstrategier i udvalg (Moulin & Peleg 1982).

En effektivitetsfunktion (Moulin & Peleg 1982) er en funktion

[E: 2 ^ {N} til 2 ^ {2 ^ {W}})

tilknytning til hver gruppe af spillere et sæt sæt resultater.

Tanken er, at når det er tilfældet, at (X / i E (C)), så kan koalitionen (C) beslutte, at resultatet af spillet ligger inden i sættet (X), og kan derfor udelukke, at resultaterne (W / setminus X) til sidst vælges. Med andre ord er (X) inden for koalitionens magt (C).

Effektivitetsfunktioner lukkes under supersæt, dvs. vi har, at (X / i E (C)) og (X / subseteq Y / subseteq W) indebærer, at (Y / i E (C)). Med andre ord, hvis (X) er inden for kraften i koalitionen (C), er det også hver af (X) 's supersæt. Fra dette, bemærk, følger det, at hvis en effektiv koefficient for en bestemt koalition ikke er tom, indeholder den altid sættet af alle resultater.

For (mathcal {X} subseteq {2 ^ {W}}) betegner vi (mathcal {X} ^ {+}) dens superset-lukning).

Eksempel 4: Gå tilbage til hovedeksemplet og overvej styrken i hvert enkelt land. På grund af spillereglerne er intet land alene i stand til at udelukke noget resultat.

Tyr til effektivitetsfunktioner: for hver (i / i N) har vi den (E ({i }) = {W }).

Dette er dog også tilfældet for koalitioner, der ikke er store nok. Tag for eksempel alle koalitioner i mindst to lande, der kan dannes mellem Holland, Belgien og Luxembourg.

) start {align *} E ({ mbox {Luxembourg, Belgien} }) & = \\ E ({ mbox {Luxembourg, Holland} }) & = \\ E ({ mbox {Belgien, Holland} }) & = \\ E ({ mbox {Luxembourg, Belgien, Holland} }) & = {W }. / end {align *})

Da deres samlede vægt beløber sig til højst 5 stemmer, er de ikke alene i stand til at nøjes med eller udelukke enhver mulig aftale. For retsakter, som Kommissionen har foreslået, har hver koalition (C), hvis stemmevægt ikke er mindst 12, den samme effektivitetsfunktion (E (C) = {W }).

For de andre koalitioner er situationen en anden. Overvej for eksempel koalitionen, der er lavet af Frankrig, Tyskland og Italien, der tilsammen har en stemmeret vægt på 12. For dem har vi det:

[E ({ textrm {Frankrig, Tyskland, Italien} }) = { {w } midt w / i W } ^ {+})

Det betyder, at de tre medlemmer alene kan beslutte resultatet af afstemningen. Dette gælder for hver koalition med afstemningsvægt 12 eller mere.

Hvad med de retsakter, som Kommissionen ikke har foreslået? Lad dem bruge en anden effektivitetsfunktion, som vi mærker (E ^ {*}).

I dette tilfælde skal den vindende koalition bestå af mindst fire medlemmer.

Så (E ^ {*} ({ mbox {Frankrig, Tyskland, Italien} }) = {W }) mens (E ^ {*} ({) Frankrig, Tyskland, Belgien, Holland (}) = { {w } mid w / in W } ^ {+}).

Generelt gælder det, at (E (C) = E ^ {*} (C)) når (| C | / geq 4). På grund af egenskaberne ved afstemningspelet har vi også det (E (C) = E ^ {*} (C)) når (| C | / leq 2). Forskellen er foretaget af koalitioner i størrelse 3: med (E ^ {*}) kan de aldrig opnå mere end ({W }), mens de med (E) kan nå ({ {w } mid w / i W } ^ {+}), hvis deres stemmerettighed er mindst 12. Bemærk, at Luxembourg ikke er relevant, når det kommer til lovforslag, som Kommissionen har foreslået, dvs. (E (C) = E (C / cup / textrm {Luxembourg})). Dette er ikke tilfældet for de andre regninger, som vi har observeret.

Egenskaber ved effektivitetsfunktioner kan udtrykkes i modal logik. For at gøre dette er det vigtigt at observere, at hver effektivitetsfunktion svarer til en (ikke-normal) relation i en relationel struktur. Så hvad effektivitetsfunktioner gør er at inducere en speciel form for kvarterstruktur, som vi kalder Coalition Model.

Definition 6 [Koalitionsmodeller] En koalitionsmodel er en tredobbelt ((W, E, V)) hvor:

  • (W) er et ikke-fritagende sæt stater;
  • (E: W / longrightarrow (2 ^ {N} longrightarrow 2 ^ {2 ^ W})) er en dynamisk effektivitetsfunktion;
  • (V: W / longrightarrow 2 ^ { texttt {Atoms}}) er en værdiansættelsesfunktion.

Som læseren vil bemærke, tillader dynamiske effektivitetsfunktioner hver stat muligvis at have forskellige magtfordelinger mellem koalitioner. Dette er strengt fornuftigt irrelevant til behandling af magt i normale formspil (Afsnit 3), hvor effektivitetsfunktionerne, der er forbundet med resultater, lige så godt kan antages at være ækvivalente overalt i modellen, men modellen er generel nok til at behandle omfattende og gentagne interaktion, hvor interaktionens sekventielle struktur defineres eksplicit. Vi forkorter normalt (E (w) (C)) som (E_w (C)) eller lige (E (C)), når det er klart fra konteksten.

Det sprog, der bruges til at tale om Coalition Models, er Coalition Logic (Pauly 2001), en ikke-normal modal logik til at udtrykke valg af grupper af spillere. Koalitionslogik er en udvidelse af propositionslogik med (| 2 ^ {N} |) modaliteter af formen ([C]), så en modal operatør indekseres hver med en koalition.

Tilfredshedsforholdet mellem formlerne af formen ([C] varphi) med hensyn til et par (M, w) er defineret som følger:

[M, w / modeller [C] varphi / enskip / textrm {hvis og kun hvis} enskip / varphi ^ M / i E_w (C))

hvor, (varphi ^ M = {w / i W / mid M, w / models / varphi }).

Intuitivt (varphi ^ M / i E_w (C)) betyder, at koalition (C) er i stand til at opnå egenskab (varphi).

Da lukning under superset eller resultatmonotonicitet betragtes som en egenskab for alle effektivitetsfunktioner, er reglen om monotonicitet gyldig i Coalition Logic, som derfor er en monoton modal logik (Hansen 2003).

Reglen om monotonicitet tager denne form for hver (C / subseteq N):

) frac { varphi / to / psi} {[C] varphi / til [C] psi})

Intuitivt, hvis (C) er i stand til at opnå (varphi), og vi har det (varphi) indebærer (psi), er (C) også i stand til at opnå (psi).

Matematiske egenskaber ved magten Bortset fra resultatet monotonicitet, kan mange andre egenskaber anses for nødvendige for at modellere koalitionskraft i spil. For eksempel har en effektivitetsfunktion egenskaben af:

  • livskraft, dvs. (emptyset / not / i E (C)), for hver (C / subseteq N);
  • sikkerhed dvs. (W / i E (C)) for hver (C / delmængde N);
  • regelmæssighed dvs. (X / i E (C)) indebærer, at (overline {X} ikke / i E (overline {C})), for hver (C / subseteq N, X / subseteq W);
  • N-maksimalitet dvs. (overline {X} i E (emptyset)) indebærer, at ({X} i E (N)) og (X / subseteq W);
  • superadditivitet dvs. (X / i E (C)) og (Y / i E (D)) indebærer, at (X / cap Y / i E (C / cup D)), for hver (C), (D / subseteq N), (C / cap D = / emptyset), (X, Y / subseteq W);
  • koalitionens monotonicitet, dvs. (X / i E (C)) indebærer, at (X / i E (D)), for hver (C / subseteq D / subseteq N), (X / subseteq W);
  • velbegrundet, dvs. (X / i E (N)) indebærer, at ({x } i E (N)), for nogle (x / i X), for hver (X / subseteq W).

En effektivitetsfunktion kaldes spillbar (Pauly 2001), hvis den har livlighed, sikkerhed, N-maksimalitet og superadditivitet. Det kaldes virkelig spilbart (Goranko, Jamroga, & Turrini 2013), hvis det er spillbart og velbegrundet. Bemærk, at hvis (W) er begrænset, kan en effektivitetsfunktion spilles, hvis og kun hvis den virkelig kan spilles (Goranko et al. 2013).

Ægte spilbarhed er en grundlæggende egenskab ved effektivitetsfunktioner og forbinder one-shot koalitionsspil med strategiske spil med et skud, som det vil være klart senere.

Eksempel 5: Effektivitetsfunktionerne i vores arbejdseksempel er alle virkelig spillbare.

I kvarterstrukturer er forbindelser mellem sætteoretiske og logiske egenskaber ofte øjeblikkelige, og standardkorrespondance-resultater mellem klasse af rammer og kvarterfunktioner (Chellas 1980) kan automatisk bruges til Coalition Logic.

Koalitionslogik er faktisk udtryksfuld nok til at karakterisere alle de hidtil nævnte begrænsninger.

Forslag 7 Lad (F = (W, E)) være en koalitionsramme, og (C, C ^ { prime}, C '') være koalitioner, således at (C / cap C '= / emptyset) og (C / subseteq C ''). Følgende resultater gælder:

  • (models_F [C] varphi / to / neg) overline {C}] neg / varphi) hvis og kun hvis (E) er regelmæssig;
  • (models_F [C] top) hvis og kun hvis (E) har sikkerhed;
  • (models_F [C] varphi / to [C ''] varphi) hvis og kun hvis (E) er monotonisk koalition;
  • (models_F / neg [C] bot) hvis og kun hvis (E) er livlig;
  • (models_F / neg) emptyset] neg / varphi / til [N] varphi) hvis og kun hvis (E) er N-maksimal;
  • (models_F [C ^ { prime}] varphi / kil [C] psi / til [C ^ { prime} cup C] (varphi / wedge / psi)) hvis og kun hvis (E) er superadditiv;
  • (varphi / to / psi / models_F [C] varphi / to [C] psi) hvis og kun hvis (E) er resultatet monotonisk.

For beviserne, se Pauly 2001.

Korrespondensresultater tillader os at adskille et antal klasseklasser ved hjælp af modal. Imidlertid begrænser ekspressiviteten hos de modale operatører kraftigt sprogets kapacitet til at skelne strukturklasser. I denne udstrækning skal læseren bemærke, at logikken i både spillbare og virkelig spillbare effektivitetsrammer deler det faktum, at (models_F) emptyset] top). Imidlertid er dette forslag, hvis fortolkning er det for hver (w / i W, {W } i E_w (emptyset)), ikke tilstrækkeligt til at foretage en formel sondring mellem (E_w (emptyset)) i de to forskellige klasser af effektivitetsfunktioner.

På tværs af disse linjer fortæller følgende resultat os, at koalitionslogik også er god nok til at resonnere over (eller, hvis du foretrækker, for svag til at skelne) virkelig spillbare effektivitetsfunktioner.

Teorem 8 (Goranko et al. 2013) Lad (mathcal {P}) være klassen af spillbare rammer og (mathcal {P} ^ {*}) klassen af virkelig spillbare. Derefter for hver formel af koalitionslogik (varphi)

) models_ / mathcal {P} varphi / textrm {hvis og kun hvis} models _ { mathcal {P} ^ {*}} varphi)

Dette følger af det faktum, at Playable Coalition Logic har den endelige modelegenskab (Pauly 2001), og i begrænsede modeller er spillbare effektivitetsfunktioner virkelig spillbare. [5]

Som tidligere påpeget vil denne indgang kun nævne, hvordan viden er implicit i spilstrukturer, men ikke vil dykke ned i studiet af epistemiske forudsætninger for rationelt spil. Relaterede poster, der er afsat til epistemisk logik (Hendricks & Symons 2006), dynamisk epistemisk logik (Baltag & Renne 2016), og især epistemisk spilteori (Pacuit & Roy 2015) undersøger dybtgående videnes rolle i beslutningsprocessen. En behandling af modal logik for spil, der i stedet fokuserer på informationsrollen, er Hoek & Pauly 2006.

3. Analyse af magt

Dette afsnit ser på spil, hvor enkeltpersoner eller grupper tager deres valg uafhængigt og samtidigt, og vi understreger endnu en gang, abstraherer væk fra, hvordan interaktionen udvikler sig i tiden. Det lægger særlig vægt på forholdet mellem spillernes valg og præferencer, nævner videnes rolle, og vigtigst af alt handler det om, hvordan man udtrykker løsningsbegreber på et logisk sprog.

Afsnittet beskriver først den generelle indstilling af kooperative spil, derefter betragter den den mere begrænsede og muligvis bedre kendte klasse af strategiske spil.

3.1 Kooperative spil og deres logik

Beskrivelsen af spillet givet i en relationel struktur af formen ((mathcal {N}, W, / succeq, E)) er ikke nok til at forstå, hvilket nøjagtigt resultat der vil blive valgt til sidst. Til dette har vi brug for et løsningskoncept, dvs. en kortlægning, der knytter et spil til et spil af resultaterne af dette spil (Abdou & Keiding 1991).

Der er introduceret en række løsningskoncepter til koalitionsspil (se f.eks. Osborne & Rubinstein 1994 og Apt 2009 (Andre internetressourcer)). Til de nuværende formål skal vi kun diskutere, hvad der muligvis er den mest kendte: kernen. Kernen er en samling af stabile resultater, dvs. resultater, for hvilke der ikke findes nogen koalition, hvis medlemmer både er i stand til og villige til at afvige fra det. Det kan ses som det sæt af resultater, som der ikke er nogen effektiv modstand mod (Abdou & Keiding 1991).

Formelt set som en relationel struktur (F = (mathcal {N}, W, / succeq, E)) siges et resultat (w / i W) at være stabilt, hvis der ikke er nogen koalition (C) og sæt af resultater (X / subseteq W), således at begge følgende betingelser er opfyldt:

  1. (X / i E (C))
  2. (y / i X) og (i / i C) indebærer, at (y / succ_i w)

Med andre ord er et resultat stabilt, hvis der ikke er nogen gruppe af individer, der kan opnå et alternativ, som de alle strengt foretrækker.

Den kerne er en samling af alle stabile resultater.

Eksempel 6:

Overvej udfallet 1M, som er det eneste resultat, som Tyskland regner med acceptabelt. Som allerede observeret har Tyskland en effektivitetsfunktion på (E ({ textrm {Tyskland} }) = {W }) så de på egen hånd ikke er i stand til at omdanne deres præference til et resultat. Men sammen med andre lande er de i stand til det. Antag, at deres allierede er Belgien, Frankrig og Holland. Er 1M så et godt resultat? Hvis vi ser på præferencerne for de andre aktører i koalitionen, dvs. Belgien, Frankrig, Holland, observerer vi følgende. Belgien havde snarere et resultat mellem 4M og 5M, Frankrig og Holland nøjagtigt 5M. Disse lande kunne mødes og vælge 5M, hvilket er et resultat, som er acceptabelt for dem. Effektivitetsfunktionen i ({) Belgien, Frankrig, Holland (}) er dog (E ({) Belgien, Frankrig,Holland (}) = {W }), hvilket betyder, at de tre lande ikke er tilstrækkelige til at godkende 5M-regningen. Men koalitionen fra Belgien, Frankrig, Italien og Holland ville være. Bemærk desuden, at 5M er et af Italiens foretrukne resultater. 5M er faktisk det eneste stabile resultat af spillet: der er ingen koalition, der sammen er villige og i stand til at afvige fra det.

Modal logik kan bruges til at repræsentere kernen. Overvej først formlen

[p / højrehastighed / bigvee_ {C / subseteq N} [C] venstre (bigwedge_ {i / i C} Diamond ^ / succ_i p / højre))

Dette siger, at hvis (p) er sandt, kan medlemmer af en eller anden koalition forbedre sig i nogle (p) verden, som ikke synes at være den rigtige formel til at udtrykke stabilitet i logik. Vi kan dog bevise følgende resultater, der bruger korrespondancen mellem formlen og en bestemt klasse af rammer.

Lad (E) være en (resultat monoton) effektivitetsfunktion og lad (succeq_i) en svag lineær rækkefølge. Derefter:

[(F, V '), w / modeller p / højre pil / bigvee_ {C / subseteq N} [C] venstre (bigwedge_ {i / i C} Diamond ^ / succ_i p / højre))

holder ved (w) for hver (V ') hvis og kun der findes en (C / undergruppe N) og (X / i E_w (C)) sådan, at for alle (i / i C), (x / i X) har vi det (x / succ_i w).

Så formlen holder på (w) for hver værdiansættelse, hvis og kun hvis (w) ikke hører til kernen. Det er klart, at hvis formlen er falsk ved et resultat og en vis værdiansættelse, betyder det, at resultatet faktisk hører til kernen.

Bemærk, at da effektivitetsfunktioner er monotoniske resultater, hvis vi har det (X / i E_w (C)) og

[X / subseteq / venstre (bigwedge_ {i / i C} Diamond ^ / succ_i p / højre) ^ {(F, V ')},)

derefter

) venstre (bigwedge_ {i / i C} Diamond ^ / succ_i p / højre) ^ {(F, V ')} i E_w (C).)

Bemærk også, at resultatet ovenfor giver mulighed for

) emptyset = / venstre (bigwedge_ {i / i C} Diamond ^ / succ_i p / højre) ^ {M} i E_w (C),)

hvilket kan være modstridende. At kræve (E) for at have livlighed tager sig af dette.

Læg også mærke til, hvordan vi var nødt til at indføre en universel kvantificering på sæt af værdiansættelser. Uden denne eksplicit kvantificering ville formlen kun gælde for en bestemt model, hvilket ikke ville være en passende løsning. Hvis vi i stedet kun er interesseret i at vide, om der findes et resultat, der er stabilt eller omvendt, om kernen er tom, er det tilstrækkeligt at kræve, at formlen ovenfor er et aksiom. Dette vil sige, at intet resultat er stabilt, dvs. at kernen er tom.

Forslag 10 Lad (F) være en ramme. Vi har det

) models_F p / højrehastig / bigvee_ {C / subseteq N} [C] venstre (bigwedge_ {i / i C} Diamond ^ / succ_i p / højre))

hvis og kun hvis intet resultat i (F) hører til kernen.

Igen ville livlighed tage sig af den trivielle sag, hvori

) venstre (bigwedge_ {i / i C} Diamond ^ / succ_i p / højre) ^ {(F, V)} = / tømmeyset.)

En alternativ tilgang er at identificere hvert resultat med et navn (eller nominelt) på sproget, dvs. at bruge en hybridlogik. Så har vi følgende.

Forslag 11 Lad (w_k) en atomstilling være sand ved udgang (w_k) og kun ved udgang (w_k).

[(F, V), w_k / modeller w_k / højrehastighed / bigvee_ {C / subseteq N} [C] venstre (bigwedge_ {i / i C} Diamond ^ / succ_i w_k / højre))

hvis og kun hvis (w_k) ikke hører til kernen.

Afhængig af de egenskaber, vi er interesseret i, er forskellige udvidelser af grundlæggende modal logik kombineret med forskellige former for gyldighed (ved en verden vs model vs ramme) bedst egnede til at udtrykke dem.

3.2 Strategiske spil og deres logik

Normale formspil eller strategiske spil er en repræsentation af, hvad individer snarere end koalitioner kan opnå, og hvad deres præferencer er.

Formelt er en strategisk spilform en tuple

[(N, W, { Sigma_i } _ {i / i N}, o))

hvor N er et begrænset sæt spillere, (W) et sæt resultater, ({ Sigma_i } _ {i / i N}) en samling strategier, en for hver spiller (i), (o: / prod_ {i / i N} Sigma_i / til W) en udfaldsfunktion, der knytter en tuple af strategier til et resultat.

Et strategisk spil er en tuple ((S, { succeq_i } _ {i / i N})), hvor (S) er en strategisk spilform og ({ succeq_i } _ { i / i N}) en samling af præferencerelationer, en for hver spiller (i).

Eksempel 7: Hvis vi tænker på landene i vores tidligere eksempel som individuelle spillere og deres stemmer som individuelle strategier, kan vi modellere Rom-traktaten-spillet som et strategisk spil, hvor hver enkelt person kan stemme et beløb, der skal afsættes til grænsebeskyttelse og præferencer er som ovenfor.

Udfaldsfunktionen sørger for at knytte det endelige resultat af den kollektive beslutning til hver enkelt spillers afstemning, f.eks. Ved at vælge et resultat, der er stemt af et sæt lande med en stemmeretning på mindst 12, eller resultere i ingen beslutning, hvis der ikke opnås enighed.

For eksempel:

  • Frankrig stemmer 0M
  • Belgien stemmer 2M
  • Italien stemmer 10 mio
  • Tyskland stemmer 0M
  • Holland stemmer 0M
  • Luxembourg stemmer 0M

Denne runde resulterer i ingen beslutning, fordi intet resultat har samlet stemmeret på mindst 12.

Antag dog, at anden runde er sådan, at alle undtagen Belgien holder sig til deres stemme, og antager, at Belgien skifter til at stemme 0M. Nu har 0M et samlet antal på 13, hvilket betyder, at det vælges som den endelige beslutning.

Ser vi på den samlede behandling af vores eksempel, ser det ud til at være sammenhæng mellem normale formspil og koalitionsspil. Dette forhold kan specificeres formelt.

Lad os først overveje, hvad en gruppe af spillere kan gøre i et normalt formspil. For at gøre dette definerer vi (alpha) - effektivitetsfunktionen, en matematisk beskrivelse af koalitionsstrategier i et spil i form af de sætresultater, de kan tvinge.

Definition 12) (alpha) - effektivitetsfunktion] Lad (S) være et strategisk spil. Vi definerer (alpha) -effektivitetsfunktionen til (S), (E ^ { alpha} _S (C)):

(E ^ { alpha} _S (C) = {X / \ mid) der findes (sigma_C) sådan, at vi for alle (sigma '_ { overline {C}}) har at (o (sigma_C, / sigma '_ { overline {C}}) i X })

Intuitivt samler (alpha) - effektivitetsfunktionen af (S) for hver gruppe af spillere det sæt resultater, som de kan opnå ved at fastlægge en strategi for dem, uanset hvordan deres modstandere spiller.

Forslag 13 (Goranko et al. 2013)

Funktionen (alpha) - virkningsfuldheden i et strategisk spil kan virkelig spilles.

Følgende resultat viser forholdet mellem strategier og effektivitetsfunktioner.

Sætning 14 (Goranko et al. 2013)

En effektivitetsfunktion kan virkelig spilles, hvis og kun hvis det er (alpha) - effektivitetsfunktionen i et strategisk spil.

Dette er en generalisering af resultatet i Peleg 1998 for endelige spil, startende fra modeller af strategiske spil, der først blev defineret i Pauly 2001. I et nøddeskal, hvad disse resultater indebærer, er følgende.

Forslag 15 Lad (F) være en relationel spilstruktur. Derefter er (F) et strategisk spil, hvis og kun hvis følgende formler er gyldige i (F) for disjoint (C, C ^ { prime}):

  • (varphi / to / psi / models_F [C] varphi / to [C] psi)
  • (models_F [C] top)
  • (models_F / neg [C] bot)
  • (models_F / neg) emptyset] varphi / til [N] varphi)
  • (models_F [C ^ { prime}] varphi / kil [C] psi / til [C ^ { prime} cup C] (varphi / wedge / psi))

På samme måde som vi gjorde for samarbejdsspil, kan vi spørge os selv, om et resultat er stabilt eller rationelt i en strategisk situation.

Nash-ligevægt og -definerbarhed Det vigtigste løsningsbegreb til analyse af strategiske spil er Nash-ligevægt. Uformelt er en Nash-ligevægt en samling af strategier, en pr. Spiller, således at ingen spiller er interesseret i at ændre hans eller hendes strategi, når de andre holder sig til deres. Formelt set er en strategiprofil (sigma) en (ren strategi) Nash-ligevægt, hvis vi for alle spillere (i / i N) og for alle (sigma'_i / in / Sigma_i) har

[o (sigma_i, / sigma _ {- i}) succeq_i o (sigma'_i, / sigma _ {- i}))

Eksempel 8: Overvej følgende afstemning

  • Frankrig stemmer 5M
  • Belgien stemmer 5M
  • Italien stemmer 10 mio
  • Tyskland stemmer 1M
  • Holland stemmer 5M
  • Luxembourg stemmer 5M

I dette spil er der ingen konsensus om noget budget. Situationen kan se ud som en dødvande, da alle har stemt efter deres præference. Dog er resultatet uenighed, som ingen spiller foretrækker nogen aftale. Den eneste måde, spillere kan konvertere til en aftale, er, at Italien ændrer deres stemme til 5M. Hvis dette sker, opnås 5M som et resultat.

Bemærk, at det ændrede spil, hvor Italien stemmer 5M, er en Nash-ligevægt.

Overvej nu en ændring af spillet ovenfor, hvor Italien og Holland stemmer 10M, mens de andre holder sig til deres stemme. Trods uenigheden er dette overraskende Nash-ligevægt, fordi ingen spiller samtidig er i stand til at komme til enighed, selvom de er villige til at gøre det.

Hvordan udtrykker Nash-ligevægter i logik? Husk, hvordan formlen

[p / til / bigvee_ {C / subseteq N} [C] venstre (bigwedge_ {i / i C} Diamond ^ / succ_i p / højre))

holder ved en ramme (F) hvis og kun hvis kernen er tom, og en hybrid logisk udvidelse kan fortælle os, om et specifikt resultat hører til kernen. Hvis (F) er baseret på en virkelig spillbar effektivitetsfunktion, har vi allerede en normal formspilsversion af kernen: et resultat, således at ingen koalition sammen er i stand til og villig til at afvige fra, ikke under hensyntagen til hvad de andre gør. Men Nash Equilibrium fastlægger en profil af strategier, således at ingen spiller er i stand til og villig til at afvige derfra. Med andre ord kræver det forestillingen om den bedste respons for en spiller med hensyn til en given profil.

Formalismer som Koalitionslogik er for svage til at udtrykke Nash-ligevægte. De kan imidlertid udtrykke det faktum, at visse effektivitetsfunktioner giver mulighed for en Nash-ligevægt. Dette er hvad der i Hansen & Pauly 2002 kaldes Nash-consistent Coalition Logic. Nash Equilibrium er faktisk ikke definerbar i grundlæggende modal logik (Benthem et al. 2011), men det kan gøres med en modalitet, der skærer både præference og valgrelationer (Benthem et al. 2011).

((F, V), w / modeller / langle / approx_i / cap / succ_i / rangle / varphi) hvis og kun hvis (w (approx_i / cap / succ_i) w ') indebærer, at (w' / modeller / varphi)

Derefter er den bedste respons for (i) defineret som (langle / approx_i / cap / succ_i / rangle / top), da der ikke er noget alternativ, der samtidig er opnåeligt og at foretrække fremfor (i). Alternativt kan en hybridlogik, der nævner strategiprofiler på sproget, give en løsning, svarende til tilfældet med kernen.

3.2.1 Ikke-monotonisk handlingslogik

Nogle logikker udnytter en mere kompakt repræsentation af de relationelle strukturer, der svarer til strategiske spil.

I stedet for at bruge effektivitetsfunktioner er hver spiller (i) forbundet med en ækvivalensrelation (ca._i / subseteq W / gange W), hvis inducerede partition repræsenterer de valg, han eller hun kan udføre. Disse ækvivalensrelationer beskriver det nøjagtige sæt valg, som en gruppe af spillere kan udføre, og de oprindelige modeller omtales som konsekvensistiske i litteraturen (se f.eks. Belnap, Perloff, & Ming 2001).

Definer nu en effektivitetsfunktion (E ^ {*}), som den indeholder

[E ^ {*} (i) = {[x] mid x '\ i [x] mbox {når} x / approx_i x' } ^ {+})

Intuitivt indsamler (E ^ {*} (i)) hvad nøjagtigt individerne kan opnå og alle deres supersæt.

(E ^ {*}) kaldes consequentialist, hvis det holder:

  • (E ^ {*} (C) = { bigcap_ {i / i C} X_i / mid / mbox {for nogle} X_i / i E ^ {*} (i) })
  • (emptyset / not / i E ^ {*} (C)) for hver (C / neq N)
  • (E ^ {*} (N) = { {x } midt x / i W } ^ {+})

Bemærk, at (E ^ *) er en virkelig spillbar effektivitetsfunktion.

Den sidste egenskab er velbegrundet, som i tilfældet med vilkårlige effektivitetsfunktioner. Dette er ikke en egenskab, der antages i alle varianter, f.eks. Valgstrukturer i Kooi & Tamminga 2008 og dens tidsmæssige variant STIT (Belnap et al. 2001) gør det ikke. Som observeret i Turrini 2012 og Tamminga 2013 svarer velbegrundede konsekventistiske modeller imidlertid til strategiske spil, og effektivitetsfunktionen (E) kan simuleres effektivt med ækvivalensforholdet (ca._i) for hver spiller. Intuitivt (E ^ {*} (i)) er det sæt sæt resultater, som (i) kan vælge uden at være i stand til at forfine yderligere.

For at resonnere om konsekvensentialistiske modeller bruger vi såkaldte konsekventistiske logikker, dvs. propositionslogik udvidet med modaliteter af formen ([C] varphi), fortolket som følger:

(M, w / modeller [C] varphi) hvis og kun hvis (M, w '\ modeller / varphi) for alle (w') sådan at (w (bigcap_ {i / in C} ca._i) w ')

Konsequentialistisk logik er udviklet til at resonnere om handling og konsekvens og har interessante anvendelser i deontisk logik, såsom Kooi & Tamminga 2008; Tamminga 2013; Turrini 2012. De er endvidere grundlaget for tidsmæssig logik af strategi som STIT og strategisk STIT, der diskuteres senere. Et specielt tilfælde er logikken med propositionskontrol (Hoek & Wooldridge 2005; Troquard, Hoek, & Wooldridge 2009).

3.2.2 Logikbaserede spil

I mange situationer har agenter kontrol over visse propositionsvariabler (Hoek & Wooldridge 2005), for eksempel kan de være ansvarlige for trafikstrømmen, eller de kan nedlægge veto mod et bestemt problem. Variabler kan også deles (Gerbrandy 2006), hvor et eksempel stemmer, hvor spillere deler kontrol over en variabel, hvis realisering bestemmes af en bestemt aggregeringsfunktion, fx majoritet (Troquard, Hoek, & Wooldridge 2011). Disse logikker med propositionskontrol specificerer, hvilke propositioner agenter har i deres effektivitetsfunktion. For eksempel, hvis agent (i) kontrollerer (p), er begge (p ^ {M}) og (neg p ^ {M}) i hans eller hendes effektivitetsfunktion. På en måde er disse modeller meget specielle typer effektivitetsfunktion, og hvilke agenter kontrol kan ses som et valg eller en strategi, der er tilgængelig for dem.

Logik til propositionskontrol har tilstande af typen ( varphi), hvilket betyder, at spilleren (i) har en "kontrol" -strategi for at sørge for, uanset hvordan de andre agenter vælger deres kontrol strategier, derefter (varphi) holder til sidst. Men de har også modaliteter af typen ([C] varphi), hvilket betyder, at spillere i (C) har en fælles kontrolstrategi, der sikrer (varphi) i sidste ende. En strategiprofil svarer således til en værdiansættelsesfunktion, der tildeler en sandhedsværdi af ethvert tilgængeligt forslag. På sin side kan en strategi for en spiller (i) således ses som en delvis værdiansættelsesfunktion, der kun tildeler en sandhedsværdi til de forslag, der kontrolleres af (i).

Lidt misbrugende notation siger vi, at en værdiansættelse (V) tilfredsstiller en formel (varphi), betegnet (V / modeller / varphi), hver gang den gør (varphi) sand under den aktuelle tildeling af udsagn. Med andre ord spilles propositionskontrolspil i en enkelt verden, og de individuelle opgaver afgør, hvilke forslag der er sandt, er den verden. Ved at betegne (mathcal {V}) sættet af alle værdiansættelser og (mathcal {V} _i) til de delvise, der er under kontrol af (i), har vi følgende.

((F, V) modellervarphi) hvis og kun hvis for alle (i / i C) findes der (V'_i / in / mathcal {V} _i) sådan at vi for alle (k / in / overline {C}, V '_ {k} i / matematisk {V} _k), har ((F, V') modeller / varphi)

Så når ([C] varphi) holder, kan koalition (C) spille en kontrolstrategi på en sådan måde, at uanset hvilken kontrolstrategi det er, at deres modstandere spiller, tilfredsstiller det resulterende resultat (varphi).

Logik til propositionskontrol kan udvides til målbaserede formaliteter, de såkaldte Boolske spil (Harrenstein, van der Hoek, Meyer, & Witteveen 2001): Forslag er opdelt blandt spillerne, hvor hver spiller kontrollerer det sæt af forslag han eller hun er tildelt. Derudover tildeles hver spiller også en formel med propositionslogik, som er beregnet til at være hans eller hendes mål, og hvis realisering muligvis ikke kun afhænger af de valg, han eller hun er i stand til at træffe.

Boolske spil er blevet studeret i vid udstrækning inden for multi-agent-systemer, som enkle og kompakte modeller til at repræsentere strategisk interaktion i en logisk baseret indstilling (Dunne & Hoek 2004; Dunne & Wooldridge 2012; Dunne, Hoek, Kraus, & Wooldridge 2008).

I deres mest generelle varianter er de en udvidelse af logik med propositionskontrol, hvor hver agent tildeles en målformel. Målformlen er en tilfredsstillende formel for sproget, og den vigtige funktion er, at målet for hver agent ikke behøver at være under hans eller hendes kontrol.

For eksempel kan agent (i) kun tildeles kontrollen med proposition (p), men kan have det mål, at (p / leftrightarrow q). Så hvorvidt (i) 's mål er opfyldt, afhænger ikke kun af (i) indstilling af proposition (p) for at være sandt, men også en anden agent, siger (j), sætter proposition (q) for at være sandt. Agent (j) på den anden side måske eller måske ikke er interesseret i at have (q) indstillet til sand. F.eks. Vil han eller hun gerne have, at forslag (r) skal være sandt, og derfor være ligeglade med, om (q) eller (overline {q}) realiseres i sidste ende. Eller måske endda have målet, at (overline {q}).

I Boolean-spil kan nogle mål realiseres sammen, for eksempel kan agenter alle have lyst til at (p / vee / neg q) er sandt, eller det kan være tilfældet, at visse værdiansættelser ikke realiserer alle agenters mål, men ingen ulykkelig agent er i stand til at forbedre sin egen situation ved at ændre opgaven til de propositionsvariabler, han eller hun kontrollerer. Denne situation er en meget enkel form for Nash-ligevægt, der kan udtrykkes i boolske spil.

Så for at {(gamma_i) er målet for spilleren (i) og (v_i) en delvis værdiansættelse, der er under kontrol af spilleren (i), siger vi, at værdiansættelse (v) er en Nash-ligevægt, hvis vi har det for hver (i) og hver (v'_i).

[(v_i, v _ {- i}) ikke / modeller / gamma_i / mbox {indebærer, at} (v'_i, v _ {- i}) ikke / modeller / gamma_i)

Så hvis (v) ikke tilfredsstiller (i) 's mål, er der intet (i), der kan gøre for at tilfredsstille det.

Analysen af Nash-ækvivalenter i det boolske spil viser en tæt sammenhæng mellem disse spil og propositionslogik: ved hjælp af en reduktion af tilfredshedsproblemet ved propositionelle logiske formler, er problemet med at kontrollere, om et resultat (v) er en Nash-ligevægt for en Boolean spillet er co-NP komplet (Wooldridge, Endriss, Kraus, & Lang 2013).

4. Konklusioner: På det rigtige analyseniveau

Husk på det allerførste eksempel, hvor sættet af resultaterne af et afstemningsspil kun kunne beskrives under hensyntagen til det samlede resultat af afstemningen eller ved eksplicit at beskrive, hvad hvert af landene havde stemt.

Ofte, når vi beskriver matematiske strukturer ved kortfattede sprog, konfronteres vi med spørgsmålet om, hvilket sprog der er det bedst egnede. Nogle er i stand til at udtrykke præferencer, viden og koalitionel evne alle sammen, nogle andre kun om to af dem, andre andre kun om en. Endelig er nogle sprog måske kun i stand til at udtrykke, hvad enkeltpersoner og ikke koalitioner kan opnå.

Igen er der ikke noget rigtigt svar på dette spørgsmål. Det hele afhænger af, hvad de grundlæggende egenskaber er, som man prøver at modellere. For at udtrykke Nash-ligevægte i et koordinationsspil er der ikke behov for en tidsmæssig logisk-baseret formalisme. Tværtimod, hvis man ønsker at udtrykke induktion bagud, er et sprog, der ikke gør den sekventielle struktur for beslutningsproblemet eksplicit, sandsynligvis ikke det rigtige.

Når vi vender tilbage til vores eksempel, kan nogle lande have præferencer over, hvordan andre lande stemmer, og dette kan have indflydelse på deres beslutningstagning og ændre de samlede ligevægtspunkter i spillet. Hvis dette er tilfældet, betyder det rigere sprog noget. Ellers, hvis vi med sikkerhed kan udelukke denne mulighed, synes det mere kortfattede sprog at være det passende valg.

Bibliografi

  • Abdou, Joseph og Hans Keiding, 1991, Effektivitetsfunktioner i socialt valg, (Teori og beslutningsbibliotek 8), Dordrecht: Springer Netherlands, doi: 10.1007 / 978-94-011-3448-4
  • Baltag, Alexandru og Bryan Renne, 2016, “Dynamic Epistemic Logic”, i Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Vinter 2016-udgave), Edward N. Zalta (red.), URL =
  • Belnap, Nuel, Michael Perloff og Ming Xu, 2001, Facing the Future: Agents and Choices in Our Indeterminist World, Oxford: Oxford University Press.
  • Benthem, Johan van, 2014, Logic in Games, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Benthem, Johan van, Eric Pacuit og Olivier Roy, 2011, “Mod en teori om leg: Et logisk perspektiv på spil og interaktion”, Spil, 2 (1): 52–86. doi: 10,3390 / g2010052
  • Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke og Yde Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9781107050884
  • Chellas, Brian, 1980, Modal Logic: An Introduction, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Dalen, Dirk van, 1980, Logic and Structure, Berlin: Springer-Verlag. doi: 10,1007 / 978-3-662-02962-6
  • Dunne, Paul E. og Wiebe van der Hoek, 2004, "Repræsentation og kompleksitet i boolske spil", i José Júlio Alferes & João Alexandre Leite (red.), Logik i kunstig intelligens, 9. europæiske konference, JELIA 2004, Lissabon, Portugal, 27.-30. September 2004, Proceedings, Berlin, Heidelberg: Springer, 3229: 347–359. doi: 10,1007 / 978-3-540-30227-8_30
  • Dunne, Paul E. og Michael Wooldridge, 2012, “Mod tractable boolean games” i Wiebe van der Hoek, Lin Padgham, Vincent Conitzer og Michael Winikoff (red.), Forløb af den 11. internationale konference om autonome agenter og Multiagent-systemer, (AAMAS 2012), Valencia, Spanien, 4. til 8. juni 2012, Richland, SC: International Foundation for Autonomous Agents and Multiagent Systems, vol. 2, s. 939–946.
  • Dunne, Paul E., Wiebe van der Hoek, Sarit Kraus og Michael Wooldridge, 2008, "Cooperative Boolean Games", i Lin Padgham, David C. Parkes, Jörg P. Müller, og Simon Parsons (red.), Proces of den 7. internationale fælles konference om autonome agenter og multiagent-systemer, (AAMAS 2008), Estoril, Portugal, 12.-16. maj, 2008, Richland, SC: International Foundation for Autonomous Agents and Multiagent System, vol. 2, s. 1015–1022.
  • Garson, James, 2014, “Modal Logic”, i Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Forår 2016-udgave), Edward N. Zalta (red.), URL = .
  • Gerbrandy, Jelle, 2006, “Logics of Propositionional Control”, i Hideyuki Nakashima, Michael P. Wellman, Gerhard Weiss, & Peter Stone (red.), Forløb af den 5. internationale fælles konference om autonome agenter og Multiagent-systemer, (AAMAS 2006), Hakodate, Japan, 8. – 12. Maj, 2006, New York: ACM, s. 193–200. doi: 10,1145 / 1.160.633,1160664
  • Goranko, Valentin og Salomon Passy, 1992, “Brug af den universelle modalitet: gevinster og spørgsmål”, Journal of Logic and Computation, 2 (1): 5–30. doi: 10,1093 / logcom / 2.1.5
  • Goranko, Valentin, Wojciech Jamroga og Paolo Turrini, 2013, “Strategiske spil og virkelig spillbare effektivitetsfunktioner”, Autonome agenter og Multi-Agent Systems, 26 (2): 288–314. doi: 10,1007 / s10458-012-9192-y
  • Hansen, Helle Hvid, 2003, Monotonic Modal Logics, Master Thesis, Universiteit van Amsterdam.
  • Hansen, Helle Hvid og Marc Pauly, 2002, “Axiomatising Nash-Consistent Coalition Logic”, i Sergio Flesca, Sergio Greco, Nicola Leone, & Giovambattista Ianni (red.), Logics in Artificial Intelligence, Berlin: Springer, 2424: 394– 406. doi: 10,1007 / 3-540-45757-7_33
  • Hansen, Helle Hvid, Clemens Kupke og Eric Pacuit, 2009, “Neighborhood Structures: Bisimilarity and Basic Model Theory”, Logical Methods in Computer Science, 5 (2): lmcs: 1167. [Hansen, Kupke, & Pacuit 2009 tilgængelig online]
  • Hansson, Sven Ove og Till Grune-Yanoff, 2011, “Præferencer”, i Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Efteråret 2011-udgave), Edward N. Zalta (red.), URL => https://plato.stanford.edu/ arkiver / fall2011 / poster / præferencer />
  • Harrenstein, Paul, Wiebe van der Hoek, John-Jules Meyer og Cees Witteveen, 2001, "Boolske spil", i Johan van Benthem (red.), Forløb af den 8. konference om teoretiske aspekter af rationalitet og viden, (Tark ' 01), San Francisco: Morgan Kaufmann, s. 287–298.
  • Hendricks, Vincent og John Symons, 2006, "Epistemic Logic", i Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Spring 2006 Edition), Edward N. Zalta (red.), URL =
  • Hodges, Wilfrid, 2013, “Logic and Games”, i Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Spring 2013 Edition), Edward N. Zalta (red.), URL = .
  • Hoek, Wiebe van der og Marc Pauly, 2006, “Modal logic for games and information”, i Patrick Blackburn, Johan van Benthem, & Frank Wolter (red.), Handbook of Modal Logic, s. 1077–1148, Elsevier.
  • Hoek, Wiebe van der og Michael Wooldridge, 2005, “Om logikken for samarbejde og propositionskontrol”, Kunstig intelligens, 164 (1-2): 81-119. doi: 10,1016 / j.artint.2005.01.003
  • Kooi, Barteld og Allard Tamminga, 2008, “Moralske konflikter mellem grupper af agenter”, Journal of Philosophical Logic, 37 (1): 1–21. doi: 10,1007 / s10992-007-9049-z
  • Kracht, Marcus og Frank Wolter, 1999, “Normal Monomodal Logics Can Simulate All Other”, Journal of Symbolic Logic, 64 (1): 99–138. doi: 10,2307 / 2.586.754
  • Moulin, Herve og Bezalel Peleg, 1982, "Kerner af effektivitetsfunktioner og implementeringsteori", Journal of Mathematical Economics, 10 (1): 115–145. doi: 10,1016 / 0304-4068 (82) 90009-X
  • Osborne, Martin og Ariel Rubinstein, 1994, A Course in Game Theory, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Pacuit, Eric og Olivier Roy, 2015, “Epistemic Foundations of Game Theory”, i Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Forår 2015-udgave), Edward N. Zalta (red.), URL =
  • Pauly, Marc, 2001, Logic for Social Software, Ph. D. speciale, Amsterdam-universitetet. [Pauly 2001 tilgængelig online]
  • Peleg, Bezalel, 1998, “Effektivitetsfunktioner, spilformer, spil og rettigheder”, Social Choice and Welfare, 15 (1): 67–80. doi: 10,1007 / s003550050092
  • Steele, Katie og Orri Stefansson, 2015, “Decision Theory”, i Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Winter 2015 Edition), Edward N. Zalta (red.), URL =
  • Tamminga, Allard, 2013, “Deontic Logic for Strategic Games”, Erkenntnis, 78 (1): 183–200. doi: 10,1007 / s10670-011-9349-0
  • Troquard, Nicolas, Wiebe van der Hoek og Michael Wooldridge, 2009, “A Logic of Games and Propositionional Control”, i Carles Sierra, Cristiano Castelfranchi, Keith S. Decker, og Jaime Simão Sichman (red.), Proceedings of the 8. International fælles konference om autonome agenter og multiagent-systemer, (AAMAS 2009), Budapest, Ungarn, 10.-15. Maj 2009, Richland, SC: International Foundation for Autonomous Agents and Multiagent Systems, vol. 2, s. 961–968.
  • ––– 2011, “Ræsonnement omkring sociale valgfunktioner”, Journal of Philosophical Logic, 40 (4): 473–498. doi: 10,1007 / s10992-011-9189-z
  • Turrini, Paolo, 2012, “Agreements as Norms”, i Thomas Ågotnes, Jan Broersen, og Dag Elgesem (red.), Deontic Logic in Computer Science: 11. International Conference, (DEON 2012), Bergen, Norge, 16.-18. Juli, 2012, Berlin: Springer, 7393: 31-45. doi: 10,1007 / 978-3-642-31570-1_3
  • Wooldridge, Michael, Ulle Endriss, Sarit Kraus og Jérôme Lang, 2013, “Incentive Engineering for Boolean Games”, Kunstig intelligens, 195: 418–439. doi: 10,1016 / j.artint.2012.11.003

Akademiske værktøjer

sep mand ikon
sep mand ikon
Sådan citeres denne post.
sep mand ikon
sep mand ikon
Forhåndsvis PDF-versionen af denne post hos Friends of the SEP Society.
inpho ikon
inpho ikon
Slå dette emne op på Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papirer ikon
phil papirer ikon
Forbedret bibliografi til denne post på PhilPapers med links til dens database.

Andre internetressourcer

  • Apt, Krzysztof, 2009, "Cooperative Games", Kursnotater, Centrum Wiskunde & Informatica, Amsterdam.
  • Logik i handling

Anbefalet: