Epistemisk Logik

Indholdsfortegnelse:

Epistemisk Logik
Epistemisk Logik

Video: Epistemisk Logik

Video: Epistemisk Logik
Video: What is Epistemic Logic? 2024, Marts
Anonim

Indtastningsnavigation

  • Indtastningsindhold
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Venner PDF-forhåndsvisning
  • Forfatter og citatinfo
  • Tilbage til toppen

Epistemisk logik

Først udgivet fredag 7. juni 2019

Epistemisk logik er et underfelt af epistemologi, der beskæftiger sig med logiske tilgange til viden, tro og relaterede forestillinger. Selvom enhver logik med en epistemisk fortolkning kan kaldes en epistemisk logik, er den mest udbredte type epistemisk logik, der er i brug i øjeblikket, modal logik. Viden og tro er repræsenteret via de modale operatører K og B, ofte med et abonnement, der angiver den agent, der holder holdningen. Formler (K_ {a} varphi) og (B_ {a} varphi) læses derefter henholdsvis "agent a ved, at phi" og "agent a mener, at phi". Epistemisk logik tillader den formelle udforskning af implikationerne af epistemiske principper. For eksempel angiver formlen (K_ {a} varphi / højre pil / varphi), at det, der er kendt, er sandt, mens (K_ {a} varphi / højre pil K_ {a} K_ {a} varphi) siger, at det, der vides, vides at være kendt. Epistemisk logik semantik er typisk angivet med hensyn til mulige verdener via Kripke-modeller, således at formlen (K_ {a} varphi) læses for at hævde, at (varphi) er sandt i alle verdens agenter som a betragter som epistemisk muligt i forhold til dets aktuelle information. De centrale problemer, der har berørt epistemiske logikere, inkluderer for eksempel at bestemme, hvilke epistemiske principper der er bedst egnede til at karakterisere viden og tro, de logiske forhold mellem forskellige opfattelser af viden og tro og de epistemiske træk ved grupper af agenter. Ud over korrekt filosofi blomstrer epistemisk logik inden for teoretisk datalogi, økonomi og beslægtede områder.

  • 1. Introduktion
  • 2. Den modale tilgang til viden

    • 2.1 Det formelle sprog i den epistemiske logik
    • 2.2 Holdninger med højere orden
    • 2.3 Partitionsprincippet og modal semantik
    • 2.4 Kripke-modeller og den skelnenes fortolkning af viden
    • 2.5 Epistemologiske principper i epistemisk logik
    • 2.6 Principper for viden og tro
  • 3. Viden i grupper

    • 3.1 Sprog og modeller med flere agenter
    • 3.2 Begreber om gruppeviden
  • 4. Logisk alvidenhed
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Andre internetressourcer
  • Relaterede poster

1. Introduktion

Aristoteliske tekster lægger grunden til diskussioner om viden og troens logik, især De Sophisiticis Elenchis samt Prior og Posterior Analytics. Mens Aristoteles behandlede de fire aletiske tilstande med mulighed, nødvendighed, umulighed og beredskab, bidrog Buridan, Pseudo Scotus, Ockham og Ralph Strode til at udvide Aristoteles indsigt til epistemiske temaer og problemer (Boh 1993; Knuuttila 1993). I denne periode supplerede Pseudo-Scot og William af Ockham Aristoteles undersøgelse af mentale handlinger med kognition og vilje (se Boh 1993: 130). Ivan Bohs undersøgelser af det 14. og det 15. århundredes undersøgelser af epistemisk logik giver en fremragende dækning af emnet, især hans epistemiske logik i den senere middelalder (1993).

Ifølge Boh formulerede den engelske filosof Ralph Strode et fuldstændigt generelt system med propositionsepistemiske regler i hans indflydelsesrige 1387 bog Konsekvenser (Boh 1993: 135). Strodes præsentation bygger på de tidligere logiske afhandlinger om Ockham og Burley. Problemer med epistemisk logik blev også drøftet mellem 1330 og 1360'erne af de såkaldte Oxford Calculators, mest fremtrædende af William Heytesbury og Richard Kilvington. I det femtende århundrede engagerede Paul fra Venedig og andre italienske filosofer også en sofistikeret refleksion over forholdet mellem viden, sandhed og ontologi.

Diskussioner om epistemisk logik i middelalderen deler et lignende sæt grundlæggende antagelser med nutidige diskussioner. Vigtigst af alt undersøgte middelalderlige filosofer forbindelsen mellem viden og ærlighed: Hvis jeg ved p, er p sandt. Desuden begynder mange middelalderlige diskussioner med en antagelse, der ligner GE Moore's bemærkning om, at et epistemisk middel ikke kohærent kan hævde "p, men jeg tror ikke (kender) p". Setninger af denne form kaldes normalt Moore-sætninger.

Moderne behandlinger af logik for viden og tro voksede ud af filosofernes og logikernes arbejde fra 1948 til 1950'erne. Rudolf Carnap, Jerzy Łoś, Arthur Prior, Nicholas Rescher, GH von Wright og andre erkendte, at vores diskurs om viden og tro indrømmer en aksiomatisk-deduktiv behandling. Blandt de mange vigtige artikler, der optrådte i 1950'erne, er von Wrights sædearbejde (1951) bredt anerkendt for at have indledt den formelle undersøgelse af den epistemiske logik, som vi kender det i dag. Von Wrights indsigt blev udvidet af Jaakko Hintikka i hans bog Knowledge and Belief: An Introduction to the Logic of the Two Notions (1962). Hintikka leverede en måde at fortolke epistemiske begreber med i form af mulig verdenssemantik og har som sådan fungeret som grundlæggende tekst til studiet af epistemisk logik siden da.

I 1980'erne og 1990'erne fokuserede epistemiske logikere på de logiske egenskaber ved systemer, der indeholder grupper af videre, og senere stadig på de epistemiske træk i såkaldte "multimodale" sammenhænge. Siden 1990'erne har arbejdet inden for dynamisk epistemisk logik udvidet den traditionelle epistemiske logik ved at modellere den dynamiske proces med videnindsamling og tro revision. I de sidste to årtier er epistemisk logik kommet til at omfatte et bredt sæt formelle tilgange til den tværfaglige undersøgelse af viden og tro.

Interesse for epistemisk logik strækker sig langt ud over filosofer. I de seneste årtier har der været en hel del tværfaglig opmærksomhed på epistemisk logik med økonomer og computerforskere, der aktivt udvikler området sammen med logikere og filosoffer. I 1995 signaliserede to vigtige bøger det frugtbare samspil mellem datalogi og epistemisk logik: Fagin, Halpern, Moses og Vardi (1995) og Meyer og van der Hoek (1995). Arbejdet med computerforskere er blevet mere og mere centralt for epistemisk logik i de mellemliggende år.

Blandt filosofer er der øget opmærksomhed på samspillet mellem disse formelle tilgange og traditionelle epistemologiske problemer (se for eksempel van Benthem 2006; Hendricks & Symons 2006; Stalnaker 2006; Holliday 2018).

Der findes adskillige indledende tekster om epistemisk logik, fx van Benthem (2011); Ditmarsch, Hoek og Kooi (2007); Ditmarsch et al. (2015); Gochet og Gribomont (2006); og Meyer (2001) med Lenzen (1980) giver et overblik over den tidlige udvikling.

2. Den modale tilgang til viden

Indtil relativt for nylig fokuserede epistemisk logik næsten udelukkende på propositionskendskab. I tilfælde af propositionskendskab bærer en agent eller en gruppe agenter den propositionelle holdning til at vide over for et eller andet forslag. For eksempel, når man siger: "Zoe ved, at der er en høne i haven", hævder man, at Zoe er den agent, der bærer den propositionelle holdning, velvidende til det påstand, der udtrykkes med den engelske sætning "der er en høne i gården". Forestil dig nu, at Zoe ikke ved, om der er en høne i haven. For eksempel kan det være tilfældet, at hun ikke har adgang til oplysninger om, hvorvidt der er en høne i haven. I dette tilfælde betyder hendes mangel på information, at hun vil betragte to scenarier som mulige, hvori der er en høne i haven og et, hvor der ikke er noget.

Måske har hun en praktisk beslutning, der ikke kun involverer høner, men også tilstedeværelsen af skræmmende hunde i haven. Hun ønsker måske at fodre hønerne, men vil kun gøre det, hvis der ikke er nogen hund i haven. Hvis hun var uvidende om, hvorvidt der er en hund i haven, vokser antallet af scenarier, hun skal overveje i sine overvejelser, til fire. Det er klart, at man er nødt til at overveje epistemiske alternativer, når man ikke har fuldstændige oplysninger om de situationer, der er relevante for ens beslutninger. Som vi vil se nedenfor, har mulig verdens-semantik givet en nyttig ramme til at forstå den måde, hvorpå agenter kan resonnere om epistemiske alternativer.

Mens epistemiske logikere traditionelt havde fokuseret på at vide det, finder man en række andre anvendelser af viden på naturligt sprog. Som Wang (2015) påpeger, optræder udtrykket ved at vide hvordan, vide hvad, vide hvorfor er meget almindeligt næsten lige så ofte (undertiden hyppigere) på talte og skriftlige sprog som at vide det. For nylig er der udviklet ikke-standard epistemisk logik over sådanne udtryk, skønt man ved, hvem konstruktioner der er til stede i Hintikka's Knowledge and Belief (1962; se også Boër & Lycan 1986; Rendsvig 2012). Således foreslår den epistemiske logik ud over propositionskendskab også måder at systematisere logikken med spørgsmål og svar (Brendan ved, hvorfor hunden gøede). Det giver også indsigt i forholdet mellem flere identifikationsformer (Zoe ved, at denne mand er præsidenten). Her kan agenten siges at kende et faktum, der vedrører flere identifikationsmåder, for så vidt hun korrekt identificerer præsidenten, som hun måske kender fra historier i avisen med den mand, hun ser stående foran hende, som hun identificerer som et objekt inden for sit visuelle felt (Hintikka & Symons 2003). Epistemisk logik kan også give indsigt i spørgsmål om proceduremæssig "know-how" (Brendan ved, hvordan man ændrer en sikring). For eksempel kan det at forstå, hvordan man skal (varphi) svare til kravet om, at der findes en sådan måde, at en agent ved, at det er en måde at sikre, at (varphi) (se Wang 2015, 2018). Arbejde med hensyn til begrundelse for viden er også udført ved kombinationer af begrundelseslogik med epistemisk logik (se f.eks. Artemov & Nogina 2005; Renne 2008). Der arbejdes løbende på disse og andre emner, og nye udviklinger vises konstant.

2.1 Det formelle sprog i den epistemiske logik

Det seneste arbejde i epistemisk logik bygger på en modal opfattelse af viden. For at være klar over modalitetens rolle i den epistemiske logik er det nyttigt at introducere de grundlæggende elementer i den moderne formalisme. For enkelhedens skyld begynder vi med sagen om viden og tro for en enkelt agent, hvor vi udsætter behandlingen af flere agenter til afsnit 3, Et prototypisk epistemisk logiksprog gives ved først at rette et sæt propositionsvariabler (p_ {1}), (p_ {2}),…. I applikationer af epistemisk logik får propositionskompetible variabler specifikke fortolkninger: For eksempel kunne (p_ {1}) tages for at repræsentere forslaget "der er en høne i haven" og (p_ {2}) the forslag "der er en hund i haven" osv. Forslagsvariablerne repræsenterer forslag, der ikke er repræsenteret i en mere detaljeret detalje i det formelle sprog. Som sådan omtales de derfor ofte som atomforslag eller blot atomer. Lad Atom betegne sættet med atomforslag.

Bortset fra atomforslagene supplerer epistemisk logik sproget med propositionslogik med en modal operator, (K_ {a}), til viden og (B_ {a}), til tro.

(K_ {a} varphi) lyder "Agent a ved, at (varphi)"

og lignende

(B_ {a} varphi) lyder “Agent a mener, at (varphi)”.

I mange nylige publikationer om epistemisk logik gives det fulde sæt af formler på sproget ved hjælp af en såkaldt Backus-Naur-form. Dette er simpelthen en notativ teknik afledt af datalogi, der giver en rekursiv definition af formlerne, der betragtes som grammatisk”korrekte”, dvs. sættet af velformede formler:

) varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} varphi / mid B_ {a} varphi, / text {for} p / in / textit {Atom}.)

Dette siger, at (varphi) er p, hvis p er et atom. (neg / varphi) er en veldannet formel, hvis (varphi) allerede er en velformet formel. Symbolet '(neg)' er en negation og '(kile)' en sammenhæng: (neg / varphi) læser 'ikke (varphi)' mens ((varphi / kil / psi)) læser '(varphi) og (psi)'. Vi kalder dette grundlæggende sprog, der inkluderer både en K nowledge og en B elief operator, (mathcal {L} _ {KB}). Som i propositionslogik defineres yderligere forbindelser fra (neg) og (kile): Typisk notation er '(vee)' for 'eller', '(højre højre)' til ' hvis …, så … 'og' (leftrightarrow) 'for' … hvis, og kun hvis, … '. Typisk bruges (top) ('top') og (bot) ('bottom') til at betegne henholdsvis det konstant sande proposition og den konstant falske proposition.

Som vi ser nedenfor, læses (K_ {a} varphi) som angiver, at (varphi) holder i alle verdener tilgængelige for a. I denne forstand kan K betragtes som at opføre sig på samme måde som "boks" -operatøren, (square), der ofte bruges til at betegne nødvendighed. Ved evaluering af (K_ {a} varphi) ved en mulig verden w evalueres man i realiteten en universel kvantificering over alle de verdener, der er tilgængelige fra w. Den universelle kvantificator (forall) i første-ordens logik har den eksistentielle kvantificator (eksisterer) som dens dobbelte: Dette betyder, at kvantificatorerne er gensidigt definerbare ved at tage enten (forall) som primitive og definere (eksisterer x / varphi) som kort for (neg / forall x / neg / varphi) eller ved at tage (exist) som primitiv og definere (forall x / varphi) som (neg / eksisterer x / neg / varphi). I tilfælde af (K_ {a}),det kan ses, at formlen (neg K_ {a} neg / varphi) foretager en eksistentiel kvantificering: Den siger, at der findes en tilgængelig verden, der tilfredsstiller (varphi). I litteraturen introduceres ofte en dobbelt operator for (K_ {a}). Den typiske notation for (neg K_ {a} neg) inkluderer (langle K_ {a} rangle) og (widehat {K} _ {a}). Denne notation efterligner diamantformen (pastill), som er standard dual operator til boksen (square), som igen er standardnotation for den universelt kvantificerende modale operator (se posten på modal logik). Den typiske notation for (neg K_ {a} neg) inkluderer (langle K_ {a} rangle) og (widehat {K} _ {a}). Denne notation efterligner diamantformen (pastill), som er standard dual operator til boksen (square), som igen er standardnotation for den universelt kvantificerende modale operator (se posten på modal logik). Den typiske notation for (neg K_ {a} neg) inkluderer (langle K_ {a} rangle) og (widehat {K} _ {a}). Denne notation efterligner diamantformen (pastill), som er standard dual operator til boksen (square), som igen er standardnotation for den universelt kvantificerende modale operator (se posten på modal logik).

Mere ekspressive sprog i epistemisk logik involverer tilføjelsen af operatører til forskellige forestillinger om gruppeviden (se Afsnit 3). Som vi for eksempel diskuterer nedenfor, er den almindelige videnoperatør og såkaldte dynamiske operatører vigtige tilføjelser til det epistemiske logiks sprog. Dynamiske operatører kan for eksempel indikere den ægte offentliggørelse af (varphi): () varphi!]). En formel () varphi!] Psi) læses "hvis (varphi) med sandhed annonceres for alle, så er det efter meddelelsen (psi) tilfældet". Spørgsmålet om, hvilken slags udtryksmagt der tilføjes med tilføjelsen af operatører, er et forskningsemne, der aktivt undersøges i dynamisk epistemisk logik. Så hvis f.eks. Tilføjelse af () varphi!]) Til sig selv til (mathcal {L} _ {KB}) ikke tilføjes udtrykskraft,men på et sprog, der også inkluderer almindelig viden, gør det det.

2.2 Holdninger med højere orden

Bemærk, at for eksempel (K_ {a} K_ {a} p) er en formel på det sprog, vi introducerede ovenfor. Den siger, at agent a ved, at agent a ved, at p er tilfældet. Formler med indlejrede epistemiske operatører af denne art udtrykker en holdning af højere orden: en holdning angående holdning hos en eller anden agent.

Holdninger med højere orden er et tilbagevendende tema i den epistemiske logik. Ovennævnte Moore-sætninger, f.eks. (B_ {a} (p / kil B_ {a} neg p)) udtrykker en holdning af højere orden. Så gør mange af de epistemiske principper diskuteret i litteraturen og nedenfor. Overvej følgende fremtrædende epistemiske princip, der involverer viden af højere orden: (K_ {a} varphi / højre højre K_ {a} K_ {a} varphi). Er det rimeligt at kræve, at viden tilfredsstiller denne ordning, dvs. at hvis nogen kender (varphi), så ved de, at de ved (varphi)? Til dels kan vi tøve med inden vi accepterer dette princip i kraft af den involverede højere orden. Dette er et spørgsmål om løbende diskussion inden for epistemisk logik og epistemologi.

2.3 Partitionsprincippet og modal semantik

Semantikken i det formelle sprog introduceret ovenfor præsenteres generelt i form af såkaldte mulige verdener. I epistemisk logik fortolkes mulige verdener som epistemiske alternativer. Hintikka var den første, der eksplicit formulerede en sådan tilgang (1962). Dette er et andet centralt træk i hans tilgang til epistemologi, der fortsat informerer om udviklingen i dag. Det kan anføres, forenklet, [1] som følger:

Partitionsprincip: Enhver propositionel holdning opdeler sættet af mulige verdener i dem, der er i overensstemmelse med holdningen dem, der ikke er.

Partitionsprincippet kan bruges til at give en semantik for videnoperatøren. uformelt

(K_ {a} varphi) er sand i verden w hvis, og kun hvis, (varphi) er sand i enhver verden (w '), der er kompatibel med hvad en ved på w.

Her ved agent a, at (varphi) bare i tilfælde af, at agenten har oplysninger, der udelukker enhver mulighed for fejl, udelukker hvert tilfælde, hvor (neg / varphi).

2.4 Kripke-modeller og den skelnenes fortolkning af viden

Siden 1960'erne har Kripke-modeller, defineret nedenfor, fungeret som grundlaget for den mest anvendte semantik for alle sorter af modal logik. Brugen af Kripke-modeller til repræsentation af epistemiske begreber indebærer en filosofisk holdning med hensyn til disse begreber. Én udbredt fortolkning, især inden for teoretisk økonomi og teoretisk datalogi, forstår viden med hensyn til informativ skelbarhed mellem mulige verdener. Det, som vi her vil referere til som den udskilelige fortolkning, går i det mindste tilbage til Lehmann (1984).

Da fortolkningsevnen fortolkning vedrører viden, men ikke tro, vil vi arbejde med et sprog uden trooperatører. Lad sproget (mathcal {L} _ {K}) derfor gives med formularen Backus-Naur

) varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} varphi / text {for} p / in / textit {Atom}.)

Som vi vil se, indebærer fortolkningen af udskilleligheden meget strenge krav for, at noget kan betegnes som viden. Vi introducerer det her til pædagogiske formål og sætter de formelle detaljer i fortolkningen på plads for at introducere og forklare relativt mindre ekstreme positioner derefter.

Overvej igen sagen om Zoe, hønen og hunden. Eksemplet involverer to forslag, som vi vil identificere med de formelle atomer:

p læses som "der er en høne i haven".

og

q læse som "der er en hund i haven".

Det er værd at understrege, at disse to med henblik på formaliseringen af dette scenarie er de eneste forslag af interesse. Vi begrænser vores opmærksomhed til (textit {Atom} = {p, q }). I tidlige præsentationer af epistemisk logik og i meget af standard epistemisk logik i øjeblikket inkluderes alle atomer af interesse fra starten. Det er klart, at dette er et idealiseret scenario. Det er vigtigt at bemærke, hvad denne tilgang forlader. Overvejelser, der ikke fanges på denne måde, inkluderer fremkomsten af nye atomer; ideen om, at andre atomforslag kan introduceres i en fremtidig tilstand via en eller anden læringsproces eller spørgsmålet om en agents bevidsthed om forslag;scenariet, hvor en agent kan være midlertidigt uvidende om et atom på grund af en eller anden psykologisk eller anden faktor (se Afsnit 4 for henvisninger til såkaldt bevidsthedslogik). I øjeblikket er det vigtigste punkt, at standard epistemisk logik begynder med antagelsen om, at sættet Atom udtømmer rummet med forslag til agenten.

Med to atomer er der fire forskellige måder, som en verden konsekvent kan være. Vi kan skildre hver ved en kasse:

Grundlæggende fire verdener: fire kasser i træk med noget mellemrum. Den første mærkede w1 og indeholder parret: p, q. Den anden mærket w2 med parret: p ikke q. Den tredje, w3, med parret: ikke p, q. Den fjerde, w4, med parret: ikke p, ikke q. Næsten alle efterfølgende billeder indeholder det samme med nogle mindre ændringer
Grundlæggende fire verdener: fire kasser i træk med noget mellemrum. Den første mærkede w1 og indeholder parret: p, q. Den anden mærket w2 med parret: p ikke q. Den tredje, w3, med parret: ikke p, q. Den fjerde, w4, med parret: ikke p, ikke q. Næsten alle efterfølgende billeder indeholder det samme med nogle mindre ændringer

De fire felter kan formelt repræsenteres af et sæt (W = {w_ {1}, w_ {2}, w_ {3}, w_ {4} }), typisk kaldet et sæt mulige verdener. Hver verden er yderligere mærket med de atomer, der er sande i den verden. De er mærket med en funktion V, værdiansættelsen. Værdiansættelsen specificerer, hvilke atomer der er sande i hver verden på følgende måde: Givet et atom p er (V (p)) undergruppen af verdener, hvor p er sandt. [2] At (w_ {1}) er mærket med p og q betyder således, at (w_ {1} i V (p)) og (w_ {1} i V (q)). På illustrationen er (V (p) = {w_ {1}, w_ {2} }) og (V (q) = {w_ {1}, w_ {3} }).

Antag til præsentationsmæssige formål, at der virkelig er en høne i haven, men ingen hund. Derefter repræsenterer (w_ {2}) modelens faktiske verden. På illustrationer fremhæves den faktiske verden ofte:

Grundlæggende Fire verdener undtagen w2 fremhæves med en dobbelt linje i stedet for en enkelt linje for boksen
Grundlæggende Fire verdener undtagen w2 fremhæves med en dobbelt linje i stedet for en enkelt linje for boksen

Antag nu, at hønen altid kløser, men at hunden aldrig bjælker, og at selv om Zoe har akut hørelse, kan hun ikke se gården. Så er der visse mulige verdener, som Zoe ikke kan skelne: mulige måder ting kan være, som hun ikke kan skelne fra hinanden. At være i verden med kun en høne ((p, / neg q)), kan Zoe ikke fortælle, om hun er i verden med både høne og hund ((p, q)): hendes situation er sådan at Zoe er opmærksom på to måder ting kan være, men hendes oplysninger tillader hende heller ikke at eliminere.

For at illustrere, at en mulig verden ikke kan skelnes fra en anden, tegnes der typisk en pil fra førstnævnte til sidstnævnte:

Grundlæggende fire verdener undtagen w2 fremhæves, og en pil peger fra w2 til w1
Grundlæggende fire verdener undtagen w2 fremhæves, og en pil peger fra w2 til w1

Her repræsenterer pile en binær relation til mulige verdener. I modal logik generelt kaldes det tilgængelighedsrelationen. Under den skelnenes fortolkning af den epistemiske logik kaldes det undertiden den skelbarhedsrelation. Angiv formelt forholdet (R_ {a}), med det underskrift, der viser, at forholdet hører til agent a. Forholdet er en undergruppe af sættet af bestilte par mulige verdener, ({(w, w ') colon w, w' / i W }). En verden w “peger” på en anden (w ') hvis ((w, w') i R_ {a}). I dette tilfælde siges (w ') at være tilgængelig (ikke skelnes) fra w. I litteraturen er dette ofte skrevet (wR_ {a} w ') eller (R_ {a} ww'). Notationen '(w' / i R_ {a} (w)) 'er også almindelig: Sættet (R_ {a} (w)) er derefter de verdener, der er tilgængelige fra w, dvs.

[R_ {a} (w): = {w '\ i W: (w, w') i R_ {a} }.)

En sidste note: sættet ({(w, w ') colon w, w' / i W }) skrives ofte (W / gange W), det kartesiske produkt af W med sig selv.

For (R_ {a}) til trofast at repræsentere en sammenhæng mellem udskillelighed, hvilke verdener skal den forholde sig til? Hvis Zoe fx blev dyppet ned i (w_ {1}), kunne hun da fortælle, at hun ikke er i (w_ {2})? Nej: forholdet mellem skelnen er symmetrisk, hvis man ikke kan fortælle a fra b, og man kan heller ikke fortælle b fra a. At en relation er symmetrisk tegnes typisk ved at udelade pilhoveder helt eller ved at sætte dem i begge retninger:

Grundlæggende Fire verdener undtagen w2 er fremhævet, og en dobbelthovedet pil forbinder w2 og w1
Grundlæggende Fire verdener undtagen w2 er fremhævet, og en dobbelthovedet pil forbinder w2 og w1

Hvilke af de resterende verdener kan ikke skelnes? I betragtning af at hønen altid kløser, har Zoe oplysninger, der giver hende mulighed for at skelne (w_ {1}) og (w_ {2}) fra (w_ {3}) og (w_ {4}) og omvendt, jf. pkt. symmetri. Derfor er der ingen pile mellem disse. Verdenerne (w_ {3}) og (w_ {4}) kan ikke skelnes. Dette bringer os til følgende repræsentation:

Grundlæggende fire verdener undtagen w2 er fremhævet, og en dobbeltpilen forbinder w2 og w1 og en anden dobbelthovedet pil forbinder w3 og w4
Grundlæggende fire verdener undtagen w2 er fremhævet, og en dobbeltpilen forbinder w2 og w1 og en anden dobbelthovedet pil forbinder w3 og w4

Da ingen information nogensinde tillader Zoe at skelne noget fra sig selv, er enhver mulig verden således relateret til sig selv, og den uskilte relation er refleksiv:

Grundlæggende fire verdener undtagen w2 er fremhævet, og en dobbeltpilen forbinder w2 og w1 og en anden dobbelthovedet pil forbinder w3 og w4. Hver verden har også en pil, der løber tilbage til den samme verden
Grundlæggende fire verdener undtagen w2 er fremhævet, og en dobbeltpilen forbinder w2 og w1 og en anden dobbelthovedet pil forbinder w3 og w4. Hver verden har også en pil, der løber tilbage til den samme verden

Standardtolkningen af Zoe-eksemplet i form af en mulig verdensmodel er nu færdig. Inden vi vender os til en generel præsentation af fortolkningen af udskilleligheden, lad os se på, hvad Zoe ved.

Husk den uformelle modale semantik for videnoperatøren ovenfra:

(K_ {a} varphi) er sand i verden w hvis, og kun hvis, (varphi) er sand i hver verden (w '), der er kompatibel med de oplysninger, a har på w.

For at nærme sig en formel definition skal du tage '(w / vDash / varphi)' for at betyde, at (varphi) er sandt i verden w. Således kan vi definere sandheden om (K_ {a} varphi) i w ved

(w / vDash K_ {a} varphi) iff (w '\ vDash / varphi) for alle (w') sådan at (wR_ {a} w ').

Denne definition angiver, at en kender (varphi) i verden w, og kun hvis, (varphi) er tilfældet i alle verdener (w '), som a ikke kan skelne fra w.

Så hvor forlader det Zoe? Først og fremmest giver definitionen os mulighed for at evaluere hendes viden i hver af verdenerne, men da (w_ {2}) er den egentlige verden, er det en verden af interesse. Her er nogle eksempler på, hvad vi kan sige om Zoes viden i (w_ {2}):

  1. (w_ {2} vDash K_ {a} p). Zoe ved, at hønen er i haven, da alle verdener, der ikke kan skelnes fra (w_ {2}), der ville være (w_ {1}) og (w_ {2}) gør p sandt.
  2. (w_ {2} vDash / neg K_ {a} q). Zoe ved ikke, at hunden er i gården, da en af de uskilte verdener faktisk (w_ {2}) i sig selv gør q falsk.
  3. (w_ {2} vDash K_ {a} K_ {a} p). Zoe ved, at hun kender p fordi (a)) (w_ {2} vDash K_ {a} p) (jf. 1.) og (b)) (w_ {1} vDash K_ {a} s).
  4. (w_ {2} vDash K_ {a} neg K_ {a} q). Zoe ved, at hun ikke kender q, fordi (a)) (w_ {2} vDash / neg K_ {a} q) (jf. 2.) og (b)) (w_ {1 } vDash / neg K_ {a} q).

Vi kunne sige meget mere om Zoes viden: enhver formel for det epistemiske sprog uden trooperatører kan evalueres i modellen. Det repræsenterer således alle Zoes informationer af højere orden om hendes egen viden om, hvilke punkter 3. og 4. er de første eksempler.

En sidste ingrediens er påkrævet, før vi kan angive fortolkningen af utskilleligheden i dens fulde generalitet. I eksemplet ovenfor blev det vist, at skelnenes forhold var både symmetrisk og refleksiv. Formelt kan disse egenskaber defineres som følger:

Definition: En binær relation (R / delmængde W / gange W) er

  1. refleksiv iff for alle (w / i W, wRw),
  2. symmetrisk iff for alle (w, w '\ i W,) hvis (wRw'), derefter (w'Rw).

Den manglende ingrediens er derefter den relative egenskab ved transitivitet. 'Kortere end' er et eksempel på en transitiv egenskab: Lad x være kortere end y, og lad y være kortere end z. Derefter skal x være kortere end z. Så givet (w_ {1}, w_ {2}) og (w_ {3}), hvis forholdet R holder mellem (w_ {1}) og (w_ {2}) og mellem (w_ {2}) og (w_ {3}), derefter er pilen mellem (w_ {1}) og (w_ {3}) konsekvensen af at kræve, at forholdet skal være transitive:

Et diagram over tre noder: w1, w2 og w3. En pil mærket 'antaget' går fra w1 til w2 og en anden pil med den samme etiket går fra w2 til w3. En tredje pil, mærket 'implicit' går fra w1 til w3
Et diagram over tre noder: w1, w2 og w3. En pil mærket 'antaget' går fra w1 til w2 og en anden pil med den samme etiket går fra w2 til w3. En tredje pil, mærket 'implicit' går fra w1 til w3

Formelt defineres transitivitet som følger:

Definition: En binær relation (R / delmængde W / gange W) er transitive iff for alle (w, w ', w' '\ i W,) hvis (wRw') og (w'Rw ''), derefter (wRw '')

En relation, der er både refleksiv, symmetrisk og transitiv kaldes en ækvivalensrelation.

Lad os nu definere Kripke-modellen med alle komponenterne på plads:

Definition: En Kripke-model til (mathcal {L} _ {K}) er en tuple (M = (W, R, V)) hvor

  • W er et ikke-tomt sæt mulige verdener,
  • R er en binær relation til W og
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) er en værdiansættelse.

I definitionen betegner '(mathcal {P} (W))' Wets magtstyrke: Det består af alle undergrupper af W. Derfor er (V (p)), værdiansættelsen af atom p i modellen M, en delmængde af de mulige verdener: De, hvor p er sandt. I denne generelle definition kan R være enhver relation til W.

For at specificere, hvilken verden der er faktisk, tilføjes en sidste parameter til modellen. Når den faktiske verden er specificeret, kaldes en Kripke-model ofte spids:

Definition: En spids Kripke-model for (mathcal {L} _ {K}) er et par ((M, w)) hvor

  • (M = (W, R, V)) er en Kripke-model, og
  • (w / i W).

Endelig kan vi formelt definere semantikken, der var noget løst udtrykt ovenfor. Dette gøres ved at definere en forbindelse mellem spidse Kripke-modeller og formlerne for det formelle sprog. Relationen betegnes '(vDash)' og kaldes ofte tilfredshedsrelationen.

Definitionen går derefter som følger:

Definition: Lad (M = (W, R_ {a}, V)) være en Kripke-model for (mathcal {L} _ {K}) og lad ((M, w)) være en spids Kripke-model. Derefter for alle (p / in / textit {Atom}) og alle (varphi, / psi / in / mathcal {L} _ {K})

) start {align} (M, w) & / vDash p & / textrm {iff} & w / in V (p) (M, w) & / vDash / neg / varphi & / textrm {iff} & / textrm {ikke} (M, w) vDash / varphi \(M, w) & / vDash (varphi / wedge / psi) & / textrm {iff} & (M, w) vDash / varphi / textrm {og} (M, w) vDash / psi \(M, w) & / vDash K_ {a} varphi & / textrm {iff} & (M, w ') vDash / varphi / textrm {for alle } w '\ i W / textrm {sådan at} wR_ {a} w'. / end {align})

Formlen (varphi) er tilfreds i den spidse model ((M, w)) iff ((M, w) vDash / varphi).

I fuld almindelighed antyder den udskillelige fortolkning, at for (K_ {a}) for at fange viden, skal relationen (R_ {a}) være en ækvivalensrelation. En spids Kripke-model, som denne er tilfreds med, kaldes ofte en epistemisk tilstand. I epistemiske tilstande betegnes forholdet med en tilde med subscript: (sim_ {a}).

Givet spidse Kripke-modeller og den skelnenes fortolkning, har vi en semantisk specifikation af ét videnbegreb. Med denne tilgang kan vi opbygge modeller af situationer, der involverer viden, som vi gjorde med legetøjseksemplet med Zoe og hønsene. Vi kan bruge disse modeller til at bestemme, hvad agenten gør eller ikke ved. Vi har også de formelle fundamenter på plads til at begynde at stille spørgsmål om, hvordan agentens viden eller usikkerhed udvikler sig, når den modtager ny information, et emne studeret i dynamisk epistemisk logik.

Vi stiller måske også mere generelle spørgsmål om begrebet viden, der er modelleret ved hjælp af spidse Kripke-modeller med udeladelige forhold: I stedet for at se på en bestemt model på det tidspunkt og spørge, hvilke formler modellen giver sandhed, kan vi spørge, hvilke generelle principper alle sådanne modeller er enige om på.

2.5 Epistemologiske principper i epistemisk logik

Afvikling af den korrekte formelle repræsentation af viden involverer refleksion nøje over de epistemologiske principper, som man er forpligtet til. Et ukontroversielt eksempel på et sådant princip, som de fleste filosoffer vil acceptere, er ægthed:

Hvis et forslag er kendt, er det sandt.

[K_ {a} varphi / rightarrow / varphi.)

I en formel sammenhæng kan dette princip forstås at sige, at hvis (varphi) er kendt, skal det altid være opfyldt i ens modeller. Hvis det viser sig, at nogle af ens valgte modeller forfalsker veridikalitetsprincippet, ville de fleste filosoffer simpelthen betragte disse modeller som uacceptable.

Når vi vender tilbage til spidse Kripke-modeller, kan vi nu spørge, hvilke principper disse modeller forpligter sig til. For at begynde at besvare dette spørgsmål er vi nødt til at forstå de mest generelle træk ved vores formalisme. Strategien i modal logik generelt (se Blackburn, de Rijke, & Venema 2001) er at abstrahere væk fra en given modells kontingente træk. Betingede funktioner vil fx omfatte det specifikke antal verdener, der overvejes, den specifikke værdiansættelse af atomerne og valget af en faktisk verden. I dette tilfælde er de eneste funktioner, der ikke er betingede, dem, der kræves af den generelle definition af en spids Kripke-model.

For at abstrahere passende skal du tage en spids Kripke-model ((M, w) = (W, R, V, w)). For at bestemme, om forholdet mellem denne model er en ækvivalensrelation, behøver vi kun at overveje verdener og forholdet. Parret med disse elementer udgør det grundlæggende niveau for modellen og kaldes modelens ramme:

Definition: Lad ((M, w) = (W, R, V, w)) være en spids Kripke-model. Derefter kaldes paret ((W, R)) rammen til ((M, w)). Enhver model ((M ', w')), der deler rammen ((W, R)) siges at være bygget på ((W, R)).

Overvej igen den epistemiske tilstand for Zoe ovenfra:

Grundlæggende fire verdener undtagen w2 er fremhævet, og en dobbeltpilen forbinder w2 og w1 og en anden dobbelthovedet pil forbinder w3 og w4. Hver verden har også en pil, der løber tilbage til den samme verden
Grundlæggende fire verdener undtagen w2 er fremhævet, og en dobbeltpilen forbinder w2 og w1 og en anden dobbelthovedet pil forbinder w3 og w4. Hver verden har også en pil, der løber tilbage til den samme verden

Flere andre modeller kan være bygget på samme ramme. Følgende er to eksempler:

Grundlæggende Fire verdener undtagen w3 (i stedet for w2) er fremhævet, og en dobbeltpilen forbinder w2 og w1 og en anden dobbeltkrydset pil forbinder w3 og w4. Hver verden har også en pil, der løber tilbage til den samme verden. Derudover har w2 parret: p, q i stedet for p, ikke q
Grundlæggende Fire verdener undtagen w3 (i stedet for w2) er fremhævet, og en dobbeltpilen forbinder w2 og w1 og en anden dobbeltkrydset pil forbinder w3 og w4. Hver verden har også en pil, der løber tilbage til den samme verden. Derudover har w2 parret: p, q i stedet for p, ikke q
Grundlæggende Fire verdener undtagen w4 (i stedet for w2 eller w3) er fremhævet, og en dobbelthovedpil tilslutter w2 og w1 og en anden dobbelthovedet pil forbinder w3 og w4. Hver verden har også en pil, der løber tilbage til den samme verden. Derudover har w1 parret: ikke p, ikke q; w2, w3 og w4 har hver parret: p, q
Grundlæggende Fire verdener undtagen w4 (i stedet for w2 eller w3) er fremhævet, og en dobbelthovedpil tilslutter w2 og w1 og en anden dobbelthovedet pil forbinder w3 og w4. Hver verden har også en pil, der løber tilbage til den samme verden. Derudover har w1 parret: ikke p, ikke q; w2, w3 og w4 har hver parret: p, q

Med forestillingen om en ramme definerer vi måske begrebet gyldighed af interesse. Det er det andet udtryk defineret i følgende:

Definition: En formel (varphi) siges at være gyldig i rammen (F = (W, R)), hvis hver spidset Kripke-model, der bygger på F, opfylder (varphi), dvs. iff for hver ((M, w) = (F, V, w) = (W, R, V, w)), ((M, w) vDash / varphi). En formel (varphi) er gyldig i klassen af rammer (mathsf {F}) (skrevet (mathsf {F} vDash / varphi)) iff (varphi) er gyldig i hver ramme F i (mathsf {F}).

Sættet med formler, der er gyldige i en klasse af rammer (mathsf {F}) kaldes logikkenaf (mathsf {F}). Angiv denne logik, det vil sige sætet ({ varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {F} vDash / varphi }) af (Lambda _ { mathsf {F }}). Dette er en semantisk tilgang til at definere logik, hver kun et sæt formler. Man kan også definere logik bevisteoretisk ved at definere en logik som det sæt formler, der kan bevises i et eller andet system. Med logik som bare sæt formler, kan resultaterne af sundhed og fuldstændighed derefter udtrykkes ved hjælp af sæt inddragelse. For at eksemplificere, lad (mathsf {A}) være et sæt aksiomer og skriv (mathsf {A} vdash / varphi) når (varphi) kan vises fra (mathsf {A}) ved hjælp af et givet sæt af fradragsregler. Lad den resulterende logik angive sætningssætningerne (Lambda _ { mathsf {A}}). Det er sæt formler fra (mathcal {L} _ {K}), der kan bevises fra (mathsf {A}), dvs.sætet ({ varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {A} vdash / varphi }). Logikken (Lambda _ { mathsf {A}}) er lyd med hensyn til (mathsf {F}) iff (Lambda _ { mathsf {A}} subseteq / Lambda _ { mathsf {F }}) og komplet med hensyn til (mathsf {F}) iff (Lambda _ { mathsf {F}} subseteq / Lambda _ { mathsf {A}}).[3]

Vender vi tilbage til den skelnenes fortolkning af viden, kan vi derefter søge at finde de epistemologiske principper, som fortolkningen er forpligtet til. Der er et trivielt svar af lidt direkte interesse: Lad (mathsf {EQ}) være klassen af rammer med ækvivalensrelationer. Derefter er logikken i fortolkningsevnen fortolkningen sæt af formler af (mathcal {L} _ {K}), der er gyldige over (mathsf {EQ}), dvs. sættet (Lambda _ { mathsf {EQ}}: = { varphi / i / mathcal {L} _ {K} kolon / mathsf {EQ} vDash / varphi }). Ikke særlig informativ.

At tage en aksiomatisk tilgang til at specificere logikken giver imidlertid en præsentation med hensyn til let at forstå principper. For at starte med det enkleste, så angiver princippet T, at viden er faktisk: Hvis agenten kender (varphi), skal (varphi) være sandt. Jo mere besværlige K siger, at hvis agenten kender en implikation, så hvis agenten kender antecedenten, ved den også konsekvensen. Dvs. hvis vi inkluderer afledningsreglen modus ponens (fra (varphi / højre pil / psi) og (varphi), konkluderer (psi)) som regel i vores videnlogik, siger K, at viden er lukket under implikation. Princippet B siger, at hvis (varphi) er sandt, ved agenten, at den betragter (varphi) som mulig. Endelig angiver 4, at hvis agenten kender (varphi), så ved den, at den ved (varphi). T,B og 4 i nedenstående tabel (navnene er historiske og ikke alle meningsfulde).

) begynde {align} textrm {K} & & (K_ {a} (varphi / højre pil / psi) & / højre pil (K_ {a} varphi / højre pil K_ {a} psi) / \ textrm {T} & & K_ {a} varphi & / højre pil / varphi \\ / textrm {B} & & / varphi & / højre K_ {a} bredhat {K} _ {a} varphi \\ / textrm { 4} & & K_ {a} varphi & / højre højre K_ {a} K_ {a} varphi \\ / end {align})

I stedet for epistemologiske intuitioner kunne vi diskutere et videnbegreb ved at diskutere disse og andre principper. Bør vi acceptere T som et princip, som viden følger? Hvad med de andre? Inden vi fortsætter, lad os først gøre det klart, hvordan de fire ovennævnte principper relaterer til fortolkningen af utskillelighed. For at gøre dette har vi brug for forestillingen om en normal modal logik. I nedenstående definition, som i ovenstående principper, bruger vi teknisk formelskemaer. F.eks. I (K_ {a} varphi / højre pil / varphi) er (varphi) en variabel, der spænder over formler i (mathcal {L} _ {K}). Strengt taget er (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) ikke en formel, men et skema til opnåelse af en formel. En modal forekomst af (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) er derefter formlen opnået ved at lade (varphi) være en eller anden konkret formel fra (mathcal {L} _ {K}). For eksempel er (K_ {a} p / højre pil p) og (K_ {a} (p / kil K_ {a} q) højre pil (p / kil K_ {a} q)) begge modale forekomster af T.

Definition: Lad (Lambda / subseteq / mathcal {L} _ {K}) være et sæt modale formler. Derefter er (Lambda) en normal modal logik, hvisf (Lambda) tilfredsstiller alle følgende:

  1. (Lambda) indeholder alle modale forekomster af de klassiske propositionelle tautologier.
  2. (Lambda) indeholder alle modale forekomster af K.
  3. (Lambda) er lukket under modus ponens: Hvis (varphi / in / Lambda) og (varphi / højre højre / psi / i / Lambda), derefter (psi / i / Lambda).
  4. (Lambda) er lukket under generalisering (alias nødvendighed): Hvis (varphi / in / Lambda), så (K_ {a} varphi / in / Lambda).

Der er en unik mindste normal modal logik (givet sættet Atom), der indeholder nøjagtigt hvad der kræves af definitionen og intet mere. Det kaldes ofte for den minimale normale modale logik og betegnes med fed skrift K (må ikke forveksles med den ikke-fedtliggende K, der angiver skemaet).

Logikken K er kun et sæt formler fra (mathcal {L} _ {K}). Dvs. K (subseteq / mathcal {L} _ {K}). Punkt 1.4. giver et perspektiv på dette sæt: De giver en aksiomatisering. Som nedenfor omtales skemaet K som en aksiom, skønt virkelig K-instinktionerne er aksiomer.

Til K kan vi tilføje yderligere principper som aksiomer (aksiomskemaer) for at få stærkere logik (logik, der har yderligere sætninger: Logik (Lambda), som K (subseteq / Lambda)). Af umiddelbar interesse er logikken S5:

Definition: Logikken S5 er den mindste normale modale logik, der indeholder alle modale forekomster af T, B og 4.

Her er så forholdet mellem de ovennævnte fire principper og den skelnenes fortolkning:

Sætning 1: Logikken S5 er logikken i klassen af spidse Kripke-modeller, der bygger på rammer med ækvivalensrelationer. Dvs. (textbf {S5} = / Lambda _ { mathsf {EQ}}).

Hvad fortæller denne sætning os om videnprincipperne? I en retning fortæller det os, at hvis man accepterer den uskilte fortolkning, så har man implicit accepteret principperne K, T, B og 4 som rimelige for viden. I den anden retning fortæller det os, at hvis man finder ud af, at S5 er den passende videnlogik, og man finder, at spidse Kripke-modeller er den rigtige måde at semantisk repræsentere viden, så må man bruge en ækvivalensrelation. Hvorvidt man skal fortolke denne relation med hensyn til udskillelighed er dog et spørgsmål, som logikken er tavse på.

Når vi diskuterer principper for viden, kan det være, at nogle af de fire ovenfor synes acceptable, mens andre ikke gør det: Man kan være uenig i acceptabiliteten af B og 4, siger, mens du accepterer K og T. Ved at forstå forholdet mellem S5 og ækvivalens relationer, er et mere finkornet perspektiv fordelagtigt: Sætning 1 kan hakkes i mindre stykker, der afspejler bidraget fra de individuelle principper K, T, 4 og B til ækvivalenskravet, dvs. at forholdet skal være på samme tid refleksiv, symmetrisk og transitive.

Sætning 2: Lad (F = (W, R)) være en ramme. Derefter:

  • Alle modale forekomster af K er gyldige i F.
  • Alle modale forekomster af T er gyldige i F, hvis R er refleksiv.
  • Alle modale forekomster af B er gyldige i F, hvis R er symmetrisk.
  • Alle modale forekomster på 4 er gyldige i F, hvis R er transitive.

Der er en række indsigter at få fra sætning 2. For det første, hvis man ønsker at bruge en hvilken som helst type Kripke-model til at fange viden, så må man acceptere K. Når man springer over nogle detaljer, skal man faktisk acceptere den fulde logik K, da dette er logikken i klassen for alle Kripke-modeller (se f.eks. Blackburn, de Rijke, & Venema 2001).

For det andet viser teoremet, at der er et intimt forhold mellem de individuelle epistemiske principper og egenskaberne på relationen. Dette betyder igen, at man generelt kan nærme sig”logikken” i den epistemiske logik fra to sider fra intuitioner om tilgængelighedsrelationen eller fra intuitioner om epistemiske principper.

Flere litterære, logiske systemer, der er svagere end S5, er blevet foreslået i litteraturen. Her specificerer vi logikerne med sættet af deres modale aksiomer. F.eks. Er logikken K givet af ({ tekst {K} }), mens S5 er givet af ({ tekst {K}, / tekst {T}, / tekst {B}, / tekst {4} }). For at etablere nomenklatur indeholder nedenstående tabel et udvalg af principper fra litteraturen med de rammeegenskaber, de karakteriserer, jfr. Aucher (2014) og Blackburn, de Rijke, & Venema (2001), på linjen under dem. Rammebetingelserne er ikke alle ligetil.

I tabel 1 er underskriften på (R_ {a}) udeladt for at lette læsbarheden, og det samme er domænet for kvantificering W, hvor verdens variabler (x, y, z) ligger.

K

(K_ {a} (varphi / højre pil / psi) højre pil (K_ {a} varphi / højre pil K_ {a} psi))

Ingen: Ikke relevant

D

(K_ {a} varphi / højre / bredhat {K} _ {a} varphi)

Seriel: (altall x / findes y, xRy).

T

(K_ {a} varphi \

højre pil / varphi) Refleksivt: (altall x, xRx).

4

(K_ {a} varphi / højre mark K_ {a} K_ {a} varphi)

Transitive: (forall x, y, z, / text {if} xRy / text {og} yRz / text {, derefter} xRz).

B

(varphi / højre mark K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi)

Symmetrisk: (altall x, y, / tekst {hvis} xRy / tekst {, derefter} yRx).

5

(neg K_ {a} varphi / højre højre K_ {a} neg K_ {a} varphi)

Euklidisk: (forall x, y, z, / text {if} xR_ {a} y / text {og} xR_ {a} z / text {, derefter} yRz).

0,2

(widehat {K} _ {a} K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi)

Confluent: (forall x, y, / text {if } xRy / text {og} xRy ', / text {derefter} findes z, yRz / text {og} y'Rz).

0,3

((widehat {K} _ {a} varphi / kile / widehat {K} _ {a} psi) rightarrow (widehat {K} _ {a} (varphi / kile / widehat {K} _ {a} psi) vee / widehat {K} _ {a} (varphi / kilen / psi) vee / widehat {K} _ {a} (psi / kile / widehat {K} _ {a } varphi)))

Ingen forgrening til højre: (forall x, y, z, / text {if} xRy / text {og} xRz, / text {derefter} yRz / text {eller} y = z / text {eller} zRy)

.3.2

((widehat {K} _ {a} varphi / wedge / widehat {K} _ {a} K_ {a} psi) højre højre K_ {a} (widehat {K} _ {a} varphi / vee / psi))

Semi-euklidisk: (alt x, y, z,) hvis (xRy) og (xRz), derefter (zRx) eller (yRz).

0,4

((varphi / wedge / widehat {K} _ {a} K_ {a} varphi) højre pil K_ {a} varphi)

Ukendt for forfattere: Ikke relevant

Tabel 1. Epistemiske principper og deres rammebetingelser.

Tilføjelse af epistemiske principper som aksiomer til den grundlæggende minimale normale modale logik K giver ny, normal modal logik. Et valg er:

K ({ Tekst {K} })
T ({ Text {K}, / tekst {T} })
D ({ Text {K}, / tekst {D} })
KD4 ({ Text {K}, / tekst {D}, / tekst {4} })
KD45 ({ Text {K}, / tekst {D}, / tekst {4}, / tekst {5} })
S4 ({ Text {K}, / tekst {T}, / tekst {4} })
S4.2 ({ Text {K}, / tekst {T}, / tekst {4}, / tekst {0,2} })
S4.3 ({ Text {K}, / tekst {T}, / tekst {4}, / tekst {0,3} })
S4.4 ({ Text {K}, / tekst {T}, / tekst {4}, / tekst {0,4} })
S5 ({ Text {K}, / tekst {T}, / tekst {5} })

Tabel 2. Logiske navne og aksiomer

Forskellige aksiomatiske specifikationer giver muligvis den samme logik. Bemærk f.eks. At tabellens aksiomatiske specifikation ({ tekst {K}, / tekst {T}, / tekst {5} }) i S5 ikke stemmer overens med den, der er givet i definitionen forud for sætning 1, ({ text {K}, / tekst {T}, / tekst {B}, / tekst {4} }). Bemærk også, der er mere end en aksiomatisering af S5: aksiomerne ({ tekst {K}, / tekst {T}, / tekst {5} }), ({ tekst {K}, / tekst {T}, / tekst {B}, / tekst {4} }), ({ tekst {K}, / tekst {D}, / tekst {B}, / tekst {4} }) og ({ tekst {K}, / tekst {D}, / tekst {B}, / tekst {5} }) alle giver S5logik (jf. f.eks. Chellas 1980). En ofte set variant er ({ tekst {K}, / tekst {T}, / tekst {4}, / tekst {5} }). Det er dog overflødigt at tilføje det, da alle dets eksempler kan bevises fra K, T og 5. Men da både 4 og 5 fanger vigtige epistemiske principper (se Afsnit 2.6), indgår 4 ofte undertiden med henblik på filosofisk gennemsigtighed. For flere ækvivalenser mellem modal logik, se f.eks. Indgangen til modal logik eller Chellas (1980) eller Blackburn, de Rijke og Venema (2001).

Logik kan være stærkere eller svagere end hinanden, og at kende rammen egenskaber for deres aksiomer kan hjælpe os med at forstå deres forhold. For eksempel, da 4 er afledt fra ({ tekst {K}, / tekst {T}, / tekst {5} }), er alle sætningerne i S4 afledelige i S5. S5 er således mindst lige så stærk som S4. Faktisk er S5 også strengt stærkere: Det kan bevise ting, som S4 ikke kan.

Denne S5 kan være aksiomatiseret både af ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }) og ({ text {K}, / tekst {T}, / tekst {5} }) kan ses gennem rammegenskaberne for aksiomerne: hver refleksiv og euklidisk relation (T og 5) er en ækvivalensrelation (T, B og 4). Dette viser også overflødigheden af 4: Hvis man har antaget en relation refleksiv og euklidisk, tilføjer den intet nyt for yderligere at antage, at den er transitive. Generelt er det at have forståelse for samspillet mellem relationelle egenskaber meget hjælp til at se sammenhænge mellem modal logik. For eksempel at bemærke, at enhver refleksiv relation også er seriel betyder, at alle formler, der er gyldige i klassen af serielle modeller, også er gyldige i klassen for refleksive modeller. Derfor er enhver sætning af D således et sætning af T. Derfor er T mindst mindst så stærk som D (dvs. (textbf {D} subseteq / textbf {T})). At T også er strengt stærkere (ikke (textbf {T} subseteq / textbf {D})) kan vises ved at finde en seriel, ikke-refleksiv model, der ikke tilfredsstiller noget sætning af T (for eksempel (K_ {a} p / højre pil p)).

2.6 Principper for viden og tro

Med den formelle baggrund for den epistemiske logik på plads, er det let at variere rammerne lidt for at imødekomme trobegrebet. Vend tilbage til sproget (mathcal {L} _ {KB}) for både viden og tro:

) varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} psi / mid B_ {a} psi, / text {for} p / in / textit {Atom}.)

For at fortolke viden og troformler sammen i spidse Kripke-modeller er alt, hvad der er behov for, en yderligere sammenhæng mellem mulige verdener:

Definition: En spids Kripke-model til (mathcal {L} _ {KB}) er en tuple ((M, w) = (W, R_ {K}, R_ {B}, V, w)) hvor

  • W er et ikke-tomt sæt mulige verdener,
  • (R_ {K}) og (R_ {B}) er binære relationer på W,
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) er en værdiansættelse, og
  • (w / i W).

(R_ {K}) er relationen for videnoperatøren og (R_ {B}) relationen til trooperatøren. Definitionen gør ingen yderligere antagelser om deres egenskaber. I figuren nedenfor giver vi en illustration, hvor pilene er mærket i overensstemmelse med forholdet, de svarer til. Den refleksive sløjfe ved (w_ {3}) er en etiket, der indikerer, at den hører til begge relationer, dvs. ((w_ {3}, w_ {3}) i R_ {K}) og (((w_ {3}, w_ {3}) i R_ {B}).

Fire kasser mærket w1 (indeholdende 'p'), w2 (indeholdende 'ikke p'), w3 (indeholdende 'p') og w4 (der indeholder 'ikke p'). w1 fremhæves, og en pil, der er mærket 'K', går fra den til w2. w2 har pile, der hver er mærket 'B', der peger på w3 og w4. w3 har en pil mærket 'K, B', der løber tilbage til den
Fire kasser mærket w1 (indeholdende 'p'), w2 (indeholdende 'ikke p'), w3 (indeholdende 'p') og w4 (der indeholder 'ikke p'). w1 fremhæves, og en pil, der er mærket 'K', går fra den til w2. w2 har pile, der hver er mærket 'B', der peger på w3 og w4. w3 har en pil mærket 'K, B', der løber tilbage til den

Tilfredshedsrelationen er defineret som ovenfor, men med de åbenlyse ændringer for viden og tro:

((M, w) vDash K_ {a} varphi) iff ((M, w ') vDash / varphi) for alle (w' / i W) sådan at (wR_ {K } w ').

((M, w) vDash B_ {a} varphi) iff ((M, w ') vDash / varphi) for alle (w' / i W) sådan at (wR_ {B } w ').

Den skelnenes fortolkning stiller meget stærke krav til tilgængelighedsrelationen for viden. Disse er nu blevet fjernet, og det har også forpligtet sig til principperne T, B, D, 4 og 5. Når vi tager Kripke-modeller som grundlæggende semantik, er vi stadig engagerede i K, selvom dette princip ikke er uproblematisk, som vi vil se nedenfor i vores diskussion af problemet med logisk alvidenhed.

Af principperne fra tabel 1 er T, D, B, 4 og 5 drøftet mest i litteraturen om epistemisk logik, både som principper for viden og som principper for tro. Princippet T for viden

[K_ {a} varphi / højre pil / varphi)

accepteres bredt. Viden anses ofte for at være veridisk. Kun ægte forslag kan kendes. For fx Hintikka (1962) og Fagin et al. (1995) er T's fiasko den definerende forskel mellem de to forestillinger.

Selvom tro ikke ofte anses for at være veridisk, menes det typisk at være ensartet. Dvs., agenter tages for aldrig at tro på modsigelsen, dvs. enhver formel, der er ækvivalent med ((p / kile / neg p)) eller (bot), kort. Det, der mener at være konsekvent, fanges derefter af princippet

) neg B_ {a} bot.)

Princippet (neg B_ {a} bot) er på Kripke-modeller ækvivalent med princippet D, (B_ {a} varphi / rightarrow / widehat {B} _ {a} varphi). Derfor kræver gyldigheden af (neg B_ {a} bot) serielle rammer. Vidne fx om dens fiasko i (w_ {1}) ovenfor: Da der ikke er nogen verdener tilgængelige via (R_ {B}), tilfredsstiller alle tilgængelige verdener (bot). Derfor (w_ {1}) tilfredsstiller (B_ {a} bot), hvilket krænker konsistensen. Bemærk også, at (neg B_ {a} bot) kan skrives til (widehat {B} _ {a} top), hvilket er sandt i en verden, bare i tilfælde af at en verden er tilgængelig gennem (R_ {B}). Dens gyldighed sikrer således seriøsitet.

Bemærk, at videnes oprigtighed sikrer dens konsistens: Enhver refleksiv ramme er automatisk seriel. Derfor accepterer (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) accept af (neg K_ {a} bot).

Af principperne D, 4 og 5 har de to sidstnævnte modtaget langt mest opmærksomhed, både for viden og tro. De fortolkes ofte som styring af principiel adgang til egne mentale tilstande. De 4 principper

) begynde {align} K_ {a} varphi & / højre højre K_ {a} K_ {a} varphi \\ B_ {a} varphi & / højre højre B_ {a} B_ {a} varphi \\ / slut {align})

omtales ofte som principper for positiv introspektion eller for kendskab til 'KK'-princippet. Begge principper anses for acceptable af fx Hintikka (1962) af forskellige grunde end introspektion. Han argumenterer baseret på en autoepistemisk analyse af viden ved hjælp af en ikke-Kripkean mulig verdenss semantik kaldet model systems. Hintikka hævder, at når en agent forpligter sig til at kende (varphi), forpligter agenten sig til at have den samme holdning, uanset hvilken ny information agenten vil møde i fremtiden. Dette indebærer, at i alle agentens epistemiske alternativer til Hintikka, alle modellerne (delvise beskrivelser af mulige verdener), hvor agenten ved mindst lige så meget, som de nu ved, agenten stadig ved (varphi). Da (K_ {a} varphi) således indeholder alle agentens epistemiske alternativer, konkluderer Hintikka, at (K_ {a} K_ {a} varphi). Ligeledes støtter Hintikka 4 for tro, men Lenzen rejser indsigelser (Lenzen 1978: kap. 4).

Williamson argumenterer mod den generelle accept af princippet (Williamson 2000: kap. 5) for et videnbegreb baseret på lidt upræcise observationer, et såkaldt fejlmarginprincip (se f.eks. Aucher 2014 for en kort opsummering).

De 5 principper

) begynde {align} neg K_ {a} varphi & / højre højre K_ {a} neg K_ {a} varphi \\ / neg B_ {a} varphi & / højre højre B_ {a} neg B_ {a} varphi \\ / end {align})

omtales ofte som principper for negativ introspektion. Negativ introspektion er ret kontroversiel, da den stiller meget høje krav til viden og tro. Skemaet 5 kan ses som en lukket verdensantagelse (Hendricks 2005): Agenten har et komplet overblik over alle mulige verdener og egen information. Hvis (neg / psi) betragtes som muligt ((widehat {K} _ {a} neg / psi), dvs. (neg K_ {a} psi)), er agenten ved, at det anses for muligt ((K_ {a} neg K_ {a} psi)). En sådan lukket verdensantagelse er naturlig, når man bygger hyperrationelle agenter i f.eks. Datalogi eller spilteori, hvor antages at agenterne resonnerer så hårdt som logisk muligt om deres egne oplysninger, når de træffer beslutninger.

Hintikka (1962) argumenterer mod 5 og bruger sin opfattelse af epistemiske alternativer. Efter at have accepteret T til viden, står eller falder 5 med antagelsen om en symmetrisk tilgængelighedsrelation. Men, Hintikka hævder, tilgængelighedsforholdet er ikke symmetrisk: Hvis agenten besidder en vis mængde information ved modelsættet (s_ {1}), er modellsættet (s_ {2}), hvor agenten har lært noget mere vil være et epistemisk alternativ til (s_ {1}). Men (s_ {1}) vil ikke være et epistemisk alternativ til (s_ {2}), fordi i (s_ {1}) ved agenten ved hypotese ikke så meget som i (S_ {2}). Derfor er forholdet ikke symmetrisk, så 5 er ikke et vidensprincip for Hintikka's regning.

I betragtning af Hintikka's ikke-standard semantik er det lidt vanskeligt at fastlægge, om han ville acceptere en normal modal logik som logik for viden og tro, men i så fald ville S4 og KD4 være de nærmeste kandidater (se Hendricks & Rendsvig 2018 for dette punkt). I modsætning hertil foreslog von Kutschera for S4.4 (1976), Lenzen foreslog S4.2 (1978), van der Hoek argumenterede for S4.3 (1993), og Fagin, Halpern, Moses og Vardi (1995) og mange andre bruger S5 til viden og KD45 til tro.

Ud over principper for viden og principper for tro kan man også overveje principper, der styrer samspillet mellem viden og tro. Tre principper af interesse er

) start {align} tag * {KB1} K_ {a} varphi & / højre pil B_ {a} varphi \\ / tag * {KB2} B_ {a} varphi & / højre højre K_ {a} B_ {a} varphi \\ / tag * {KB3} B_ {a} varphi & / højre højre B_ {a} K_ {a} varphi \\ / end {align})

Principperne KB1 og KB2 blev introduceret af Hintikka, der støtter begge Hintikka (1962) og bemærker, at Platon også er forpligtet til KB1 i Theatetus. Det første princip, KB1, fanger intuisionen om, at viden er en stærkere opfattelse end tro. Den anden som 4 og 5 fanger ideen om, at man har privilegeret adgang til sin egen tro. Den tredje, stammet fra Lenzen (1978), fanger opfattelsen af, at tro holdes med en slags overbevisning: hvis der antages noget, antages det at være kendt.

Selvom interaktionsprincipperne KB1KB3 kan se uskyldige ud af sig selv, kan de føre til kontroversielle konklusioner, når de kombineres med specifik logik for viden og tro. For det første viser Voorbraak (1993), at det at kombinere 5 for viden og D for tro med KB1

[B_ {a} K_ {a} varphi / højre højre K_ {a} varphi)

er et sætning af den resulterende logik. Hvis vi antager, at viden er sand, indebærer denne sætning, at agenter ikke kan tro at de ved noget, der tilfældigvis er falsk.

Hvis der tilføjes KB3 yderligere, kollapser begreberne viden og tro. Dvs. det kan bevises, at (B_ {a} varphi / højre mark K_ {a} varphi), som i kombination med KB1 indebærer, at

[B_ {a} varphi / leftrightarrow K_ {a} varphi.)

Derfor er de to begreber kollapset til en. Dette blev sagt i 1986 af Kraus og Lehmann.

Hvis man ikke er interesseret i, at viden og tro falder sammen, skal man således opgive noget: Man kan ikke have både 5 til viden, D for tro og KB1 og KB3, der styrer deres interaktion. Igen kan resultater vedrørende korrespondance mellem principper og relationsejendomme hjælpe: I 1993 viste van der Hoek på baggrund af en semantisk analyse, at hvor de fire principper i fællesskab er tilstrækkelige til sammenbrud, er heller ingen undergruppe af dem. At opgive et enkelt princip vil således eliminere sammenbruddet. Det er også tilstrækkeligt at svække KB1 kun for ikke-modale formler til at undgå sammenbrud (jf. Halpern 1996).

For mere om epistemiske interaktionsprincipper, principperne.2,.3,.3.2. og.4, og forhold til såkaldte betingede overbevisninger, se Aucher (2014). For en introduktion til betinget overbevisning og relationer til flere andre typer viden fra den filosofiske litteratur, se Baltag og Smets (2008). Sidstnævnte inkluderer også diskussioner om interdefinerbarheden af forskellige forestillinger, ligesom Halpern, Samet og Segev (2009) for viden og (ikke-betinget) tro.

3. Viden i grupper

Vi mennesker er optaget af andre agenters epistemiske tilstande. I det almindelige liv resonnerer vi med forskellige grader af succes om, hvad andre ved. Vi er især optaget af, hvad andre ved om os, og ofte specifikt om, hvad de ved om, hvad vi ved.

Ved hun, at jeg ved, hvor hun begravede skatten?

Ved hun, at jeg ved, at hun ved?

Og så videre.

Epistemisk logik kan afsløre interessante epistemiske træk ved systemer, der involverer grupper af agenter. I nogle tilfælde afhænger for eksempel fremvoksende sociale fænomener af agenter, der på særlige måder resonnerer om andre agenters viden og tro. Som vi har set, anvendte traditionelle systemer for epistemisk logik kun i tilfælde af enkeltagenter. De kan imidlertid udvides til grupper eller multi-agent-systemer på en relativt ligetil måde.

Som David Lewis bemærkede i sin bog Convention (1969), afhænger mange fremtrædende træk i det sociale liv af agenter, hvis de antager, at reglerne for en vis praksis er spørgsmål af almindelig viden. For eksempel ved chauffører, at et rødt trafiklys angiver, at de skal stoppe ved et kryds. For at konventionen om trafiklys overhovedet skal være på plads, er det dog først nødvendigt, at chauffører også skal vide, at andre chauffører ved, at rødt betyder stop. Derudover skal chauffører også vide, at alle ved, at alle ved, at…. Trafiklysens traditionelle rolle er afhængig af, at alle chauffører ved, at alle chauffører kender reglen, at reglen er et stykke almindelig viden.

En række normer, social og sproglig praksis, agentinteraktion og spil forudsætter fælles viden, først formaliseret af Aumann (1976) og med de tidligste epistemiske logiske behandlinger af Lehmann (1984) og af Halpern og Moses (1984). For at se, hvordan epistemisk logik kaster lys over disse fænomener, er det nødvendigt at introducere lidt mere formalisme. Efter standardbehandlingen (se f.eks. Fagin et al. 1995) kan vi syntaktisk forøge sproget for propositionslogik med n viden-operatører, et for hvert middel, der er involveret i gruppen af agenter, der overvejes. Den primære forskel mellem semantik givet for en mono-agent og en multi-agent semantik er nogenlunde, at n tilgængelighedsrelationer indføres. Et modalt system for n-midler opnås ved at sammenføje n modal logik, hvor det for enkelhedens skyld kan antages, at midlene er homogene i den forstand, at de alle kan beskrives af det samme logiske system. En epistemisk logik for n agenter består af n kopier af en bestemt modal logik. I en så udvidet epistemisk logik er det muligt at udtrykke, at en eller anden agent i gruppen kender en vis kendsgerning, at en agent ved, at en anden agent kender et faktum osv. Det er muligt at udvikle logikken yderligere: Ikke kun kan en agent vide, at en anden agent kender en kendsgerning, men de ved muligvis alle dette faktum samtidig. I en så udvidet epistemisk logik er det muligt at udtrykke, at en eller anden agent i gruppen kender en vis kendsgerning, at en agent ved, at en anden agent kender et faktum osv. Det er muligt at udvikle logikken yderligere: Ikke kun kan en agent vide, at en anden agent kender en kendsgerning, men de ved muligvis alle dette faktum samtidig. I en så udvidet epistemisk logik er det muligt at udtrykke, at en eller anden agent i gruppen kender en vis kendsgerning, at en agent ved, at en anden agent kender et faktum osv. Det er muligt at udvikle logikken yderligere: Ikke kun kan en agent vide, at en anden agent kender en kendsgerning, men de ved muligvis alle dette faktum samtidig.

3.1 Sprog og modeller med flere agenter

For at repræsentere viden for et sæt (mathcal {A}) af n agenter, lad os først angive et sprog. Lad (mathcal {L} _ {Kn}) gives med formen Backus-Naur

) varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {i} varphi \, / text {for} p / in / textit {Atom}, i / in / mathcal {A}.)

For at repræsentere viden for alle n agenter sammen i spidse Kripke-modeller er alt, hvad der er nødvendigt, at tilføje passende mange relationer:

Definition: En spids Kripke-model for (mathcal {L} _ {Kn}) er en tuple ((M, w) = (W, {R_ {i} } _ {i / in / mathcal { A}}, V, w)) hvor

  • W er et ikke-tomt sæt mulige verdener,
  • For hver (i / i / matematisk {A}) er (R_ {i}) en binær relation til W,
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) er en værdiansættelse, og
  • (w / i W).

For også at indarbejde overbevisninger skal du blot anvende det samme træk som i en enkelt agent-sag: Forøg sproget og lad der være to relationer for hver agent.

Definitionen bruger en familie af relationer ({R_ {i} } _ {i / in / mathcal {A}}). I litteraturen betegnes det samme ((W, R_ {i}, V, w) _ {i / in / mathcal {A}}). Alternativt betragtes R som en funktion, der sender agenter til relationer, dvs. (R: / mathcal {A / højre højre} mathcal {P} (W / gange W)). For hver (i / i / matematisk {A}) er (R (i)) en relation til W, ofte betegnet (R_ {i}). Dette er stilistiske valg.

Når man kun overvejer en enkelt agent, er det typisk ikke relevant at inkludere flere verdener i W, end der er mulige værdiansættelser af atomer. I tilfælde af flere agenter er dette ikke tilfældet: for at udtrykke de forskellige former for tilgængelig viden af højere orden er der brug for mange kopier af”den samme” verden. Lad os eksemplificere for (mathcal {A} = {a, b }), (textit {Atom} = {p }) og hver (R_ {i}, i / in / matematisk {A},) en ækvivalensrelation. Lad os repræsentere, at både a og b kender p, men b ved ikke, at a kender p, dvs. (K_ {a} p / kil K_ {b} p / kil / neg K_ {b} K_ {a} p). Så har vi brug for tre verdener:

Tre kasser mærket w1 (indeholdende 'p'), w2 (indeholdende 'p') og w3 (der indeholder 'ikke p'). Hver boks har en pil mærket 'a, b', der løber tilbage til den. w1 fremhæves og er forbundet til w2 ved hjælp af en pil med dobbelt overskrift mærket 'b'. w2 er forbundet til w3 ved hjælp af en pil med dobbelt overskrift mærket 'a'
Tre kasser mærket w1 (indeholdende 'p'), w2 (indeholdende 'p') og w3 (der indeholder 'ikke p'). Hver boks har en pil mærket 'a, b', der løber tilbage til den. w1 fremhæves og er forbundet til w2 ved hjælp af en pil med dobbelt overskrift mærket 'b'. w2 er forbundet til w3 ved hjælp af en pil med dobbelt overskrift mærket 'a'

Hvis vi prøver at lade (w_ {1}) spille rollen som (w_ {2}), ville a miste viden i p: begge p-verdener er nødvendige. Generelt, hvis W antages at have en fast, endelig størrelse, vil der være en informationsformel af højere orden, som ikke kan tilfredsstilles i den.

3.2 Begreber om gruppeviden

Multi-agent systemer er interessante af andre grunde end at repræsentere information af højere orden. De enkelte agenters oplysninger kan også samles for at fange, hvad agenterne ved i fællesskab, som gruppeviden (se Baltag, Boddy, & Smets 2018 for en nylig diskussion). En standardopfattelse er, at denne stil er distribueret viden: Den viden, som gruppen ville have, hvis agenterne deler al deres individuelle viden. For at repræsentere det skal du øge sproget (mathcal {L} _ {Kn}) med operatører

[D_ {G} tekst {for} G / subseteq / mathcal {A},)

for at gøre (D_ {G} varphi) til en velformet formel. Hvor (G / subseteq / mathcal {A}) er en gruppe af agenter, læser formlen (D_ {G} varphi), at det er distribueret viden i gruppen G, som (varphi).

For at evaluere (D_ {G} varphi) definerer vi en ny relation fra dem, der allerede findes i modellen. Ideen bag definitionen er, at hvis en agent har fjernet en verden som et epistemisk alternativ, så vil gruppen også være det. Definer relationen som skæringspunktet mellem de enkelte agenters forhold:

[R_ {G} ^ {D} = / bigcap_ {i / i G} R_ {i})

I modellen med tre tilstande indeholder (R_ {G} ^ {D}) kun de tre sløjfer. For at evaluere en distribueret videnformel skal du bruge den samme formular som for andre modale operatører:

[(M, w) vDash D_ {G} varphi / text {iff} (M, w ') vDash / varphi / text {for alle} w' / i W / tekst {sådan at} wR_ {G } ^ {D} w'.)

Det kan være tilfældet, at en meget viden, der kender alt, der er distribueret viden i G, men det er ikke garanteret. For at fange, at alle agenter kender (varphi), kunne vi bruge forbindelsen til formlerne (K_ {i} varphi) til (i / matematisk {A}), dvs. (bigwedge_ {i / i / mathcal {A}} K_ {i} varphi). Dette er en veldefineret formel, hvis (mathcal {A}) er begrænset (som det typisk er). Hvis (mathcal {A}) ikke er endelig, er (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi) ikke en formel i (mathcal {L} _ {Kn}), da det kun har begrænsede konjunktioner. Som en kortfattet beskrivelse af (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi) er det standard at introducere operatøren, alle kender, (E_ {G}):

[E_ {G} varphi:. = / Bigwedge_ {i / i / mathcal {A}} K_ {i} varphi)

I den tre verdensmodel, (K_ {a} p / kilen K_ {b} p), så (E _ { {a, b }} p).

At alle ved noget, betyder ikke, at denne viden deles mellem gruppemedlemmerne. Den tre verdensmodel eksemplificerer dette: Skønt (E _ { {a, b }} p), er det også tilfældet, at (neg K_ {b} E _ { {a, b }} p).

For at fange, at der ikke er nogen usikkerhed i gruppen om (varphi) eller nogen højere-orden usikkerhed om (varphi) er kendt af alle agenter, ingen formel på sproget (mathcal {L} _ { Kn}) er nok. Overvej formlen

[E_ {G} ^ {k} varphi)

hvor (E_ {G} ^ {k}) er forkortelse til k iterationer af (E_ {G}) operatoren. For intet naturligt tal k vil formlen (E_ {G} ^ {k} varphi) være tilstrækkelig: det kan være tilfældet, at b ikke kender det! For at rette op på denne situation kunne man prøve

) Bigwedge_ {k / i / mathbb {N}} E_ {G} ^ {k} varphi)

men dette er ikke en formel, da (mathcal {L} _ {Kn}) kun indeholder endelige konjunktioner.

Selvom (E_ {G}) -operatøren er definerbar på sproget (mathcal {L} _ {Kn}), er en passende opfattelse af almindelig viden derfor ikke. Til det er vi igen nødt til at definere en ny relation til vores model. Denne gang er vi interesseret i at fange, at ingen betragter (varphi) epistemisk muligt overalt. For at opbygge forholdet tager vi derfor først unionen forbindelserne mellem alle agenterne i G, men dette er ikke helt nok: for at bruge den standard modale semantiske klausul, må vi også være i stand til at nå alle verdener i denne forbindelse i et enkelt trin. Lad os derfor

[R_ {G} ^ {C}: = / venstre (bigcup_ {i / i G} R_ {i} højre) ^ {*})

hvor ((cdotp) ^ {*}) er operationen til at tage den transitive lukning. Hvis R er en relation, er ((R) ^ {*}) R plus alle par, der mangler for at gøre R til en transitiv relation. Overvej den tre verdensmodel: Med relationen (bigcup_ {i / in {a, b }} R_ {i}) kan vi nå (w_ {3}) fra (w_ {1}) i to trin, ved at stoppe ved (w_ {2}). Med ((bigcup_ {i / i {a, b }} R_ {i}) ^ {*}), (w_ {3}) kan nås i et trin: Ved det nyligt tilføjede transitive link fra (w_ {1}) til (w_ {3}).

For at repræsentere almindelig viden skal du udvide Backus-Naur-formen til (mathcal {L} _ {Kn}) med operatørerne

[C_ {G} tekst {for} G / subseteq / mathcal {A},)

for at gøre (C_ {G} varphi) til en velformet formel. Evaluer sådanne formler med den semantiske klausul

[(M, w) vDash C_ {G} varphi / text {iff} (M, w ') vDash / varphi / text {for alle} w' / i W / tekst {sådan at} wR_ {G } ^ {C} w'.)

Varierende egenskaber for tilgængelighedsrelationer (R_ {1}, R_ {2}, / ldots, R_ {n}), som beskrevet ovenfor resulterer i forskellige epistemiske logikker. F.eks. Bestemmes system K med fælles viden af alle rammer, mens system S4 med fælles viden bestemmes af alle refleksive og transitive rammer. Lignende resultater kan opnås for de resterende epistemiske logikker (Fagin et al. 1995). For mere kan du se posten om almindelig viden.

4. Logisk alvidenhed

Den vigtigste klage over den tilgang, som epistemiske logikere anvender, er, at den er forpligtet til et overdrevent idealiseret billede af menneskelig ræsonnement. Kritikere har bekymret sig for, at den relationelle semantik af den epistemiske logik forpligter en til en lukkeegenskab for en agents viden, der er utroligt stærk i betragtning af faktiske menneskelige ræsonneringsevner. Lukkeegenskaberne giver anledning til det, der er blevet kaldt problemet med logisk alvidenhed:

Hver gang en agent c kender alle formlerne i et sæt (Gamma) og A følger logisk fra (Gamma), kender c også A.

Især kender c alle teoremer (lader (Gamma = / emptyset)) og kender alle de logiske konsekvenser af enhver formel, som agenten kender (lader (Gamma) bestå af en enkelt formel). Bekymringen her er, at begrænsede agenser er begrænset af grænser for deres kognitive kapacitet og ræsonneringsevne. Beretningen om viden og tro på, at epistemisk logik synes forpligtet til at involvere overmenneskelige evner som at kende alle tautologier. Bekymringen er således, at epistemisk logik simpelthen ikke er egnet til at fange faktisk viden og tro, som disse forestillinger figurerer i almindeligt menneskeliv.

Hintikka erkendte en uoverensstemmelse mellem reglerne for den epistemiske logik og den måde, verbet”at kende” er normalt brugt allerede på de tidlige sider af viden og tro. Han påpegede det

det er klart afviseligt at udlede”han ved, at q” fra”han ved, at p” udelukkende på grundlag af at q følger logisk fra p, for den pågældende kan muligvis ikke se, at p indebærer q, især hvis p og q er relativt komplicerede udsagn. (1962: 30-31)

Hintikka's første reaktion på, hvad der kom til at blive kaldt problemet med logisk alvidenhed, var at se forskellen mellem almindelig brug af udtryk som”konsistens” og formel behandling af viden som indikation af et problem med vores almindelige terminologi. Hvis en person kender aksiomerne i en matematisk teori, men ikke er i stand til at angive de fjerne konsekvenser af teorien, benægtede Hintikka, at det er passende at kalde denne person inkonsekvent. I almindelige menneskelige anliggender, hævdede Hintikka, har anklagen om inkonsekvens, når de ledes mod en agent, konnotationen af at være irrationel eller uærlig. Fra Hintikka's perspektiv bør vi således vælge et andet udtryk til at fange situationen for en person, der er rationel og tilgængelig for overtalelse eller korrektion, men ikke logisk alvidende. Ikke-alvidende,rationelle agenter kan være i stand til at sige, at”jeg ved, at p, men jeg ved ikke, om q”, selv i tilfælde af at q kan p. Han foreslår derefter, at q skal betragtes som forsvarligt i betragtning af agentens viden, og benægtelse af q skal betragtes som uforsvarligt. Dette valg af terminologi blev kritiseret, for så vidt det binder det pejorative uforsvarlige til et eller andet sæt af propositioner, selvom fejlen faktisk ligger i agentens kognitive kapacitet (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).selvom fejlen faktisk ligger i agentens kognitive kapacitet (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).selvom fejlen faktisk ligger i agentens kognitive kapacitet (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).

Hintikka's tidlige epistemiske logik kan forstås som en måde at resonnere over, hvad der er implicit i en agents viden, selv i tilfælde, hvor agenten selv ikke er i stand til at bestemme, hvad der er implicit. En sådan tilgang risikerer at blive overdreven idealiseret, og dens relevans for at forstå menneskets epistemiske omstændigheder kan udfordres på disse grunde.

Få filosofer var tilfredse med Hintikka's forsøg på at revidere vores almindelige brug af udtrykket”konsistent”, som han præsenterede det i viden og tro. Imidlertid gav han og andre snart mere populære måder at håndtere logisk alvidenhed på. I 1970'erne indførte svar på problemet med logisk alvidenhed semantiske enheder, der forklarer, hvorfor agenten ser ud til at være, men faktisk ikke er skyld i logisk alvidenhed. Hintikka kaldte disse enheder”umulige mulige verdener” (1979; se også posten om umulige verdener og Jago 2014). Den grundlæggende idé er, at en agent fejlagtigt kan tælle blandt verdenerne, der er i overensstemmelse med dens viden, nogle verdener, der indeholder logiske modsigelser. Fejlen er simpelthen et produkt af agentens begrænsede ressourcer;agenten er muligvis ikke i stand til at opdage modsigelsen og kan fejlagtigt regne dem som ægte muligheder. I nogle henseender kan denne tilgang forstås som en udvidelse af det førnævnte svar på logisk alvidenhed, som Hintikka allerede havde skitseret i viden og tro.

I samme ånd introduceres enheder kaldet”tilsyneladende mulige” verdener af Rantala (1975) i hans urne-modelanalyse af logisk alvidenhed. Tilladelse af umulige mulige verdener eller tilsyneladende mulige verdener, hvor den semantiske værdiansættelse af formlerne til en vis grad er vilkårlig giver en måde at gøre logisk alvidenhed mindre truende på. Når alt kommer til alt, på enhver realistisk beretning af det epistemiske agentur vil agenten sandsynligvis overveje (omend utilsigtet) verdener, hvor logikkens love ikke indeholder. Da ingen reelle epistemiske principper rummer bredt nok til at omfatte umulige og tilsyneladende mulige verdener, skal nogle betingelser anvendes til epistemiske modeller, så de overholder epistemiske principper (for kritik af denne tilgang se Jago 2007: 336-337).

Alternativt til at designe logik, hvor videnoperatørerne ikke udviser logisk alvidenhed, giver opmærksomhedslogik et alternativ: Skift fortolkningen af (K_ {a} varphi) fra “a ved, at (varphi)” til “a ved implicit, at (varphi)”og tager eksplicit viden om, at (varphi) er implicit viden om (varphi) og bevidsthed om (varphi). Da bevidsthed ikke er lukket under logisk konsekvens, tillader en sådan bevægelse forestillingen om eksplicit viden, der ikke er logisk alvidende. Da agenter hverken er nødt til at beregne deres implicitte viden, eller de kan holdes ansvarlige for at besvare forespørgsler baseret på det, er logisk alvidenhed kun problematisk for eksplicit viden, og problemet med logisk alvidenhed afværges således. Selvom logisk allvidenhed er en epistemologisk betingelse for implicit viden,agenten selv kan faktisk ikke undlade at realisere denne betingelse. For mere om bevidsthedslogik, se f.eks. Sæd Fagin & Halpern (1987) eller Velazquez-Quesada (2011) og Schipper (2015) for oversigter.

Debatter om de forskellige former for idealisering involveret i den epistemiske logik pågår i både filosofiske og tværfaglige sammenhænge.

Bibliografi

  • Arló-Costa, Horacio, Vincent F. Hendricks og Johan van Benthem (red.), 2016, Readings in Formal Epistemology, Cham: Springer International Publishing. doi: 10,1007 / 978-3-319-20451-2
  • Artemov, Sergei og Elena Nogina, 2005, "Introduktion til begrundelse i den epistemiske logik", Journal of Logic and Computation, 15 (6): 1059–1073. doi: 10,1093 / logcom / exi053
  • Aucher, Guillaume, 2014, “Principper for viden, tro og betinget tro”, i tværfaglige værker inden for logik, epistemologi, psykologi og lingvistik: dialog, rationalitet og formalisme, Manuel Rebuschi, Martine Batt, Gerhard Heinzmann, Franck Lihoreau, Michel Musiol, og Alain Trognon (red.), Cham: Springer International Publishing, 97–134. doi: 10,1007 / 978-3-319-03044-9_5
  • Aumann, Robert J., 1976, “Enighed om uenig”, The Annals of Statistics, 4 (6): 1236–1239. Genoptrykt i Arló-Costa, Hendricks og van Benthem 2016: 859–862. doi: 10.1214 / aos / 1176343654, doi: 10.1007 / 978-3-319-20451-2_40
  • Baltag, A., R. Boddy og S. Smets, 2018, “Gruppeviden i interrogativ epistemologi”, i van Ditmarsch og Sandu 2018: 131–164. doi: 10,1007 / 978-3-319-62864-6_5
  • Baltag, Alexandru og Sonja Smets 2008 red.) (Tekster i logik og spil, bind 3), Amsterdam: Amsterdam University Press, 9. – 58.
  • Benthem, Johan van, 2006, “Epistemisk logik og epistemologi: tilstanden i deres anliggender”, Filosofiske studier, 128 (1): 49–76. doi: 10,1007 / s11098-005-4052-0
  • –––, 2011, Logical Dynamics of Information and Interaction, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9780511974533
  • Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke og Yde Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9781107050884
  • Boër, Steven E. og William G. Lycan, 1986, Knowing Who, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Boh, Ivan, 1993, Epistemisk logik i den senere middelalder, (Emner i middelalderens filosofi), London / New York: Routledge.
  • Chellas, Brian F., 1980, Modal Logic: An Introduction, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Chisholm, Roderick M., 1963, “The Logic of Knowing”, The Journal of Philosophy, 60 (25): 773–795. doi: 10,2307 / 2.022.834
  • Ditmarsch, Hans van, Joseph Y. Halpern, Wiebe van der Hoek og Barteld Kooi (red.), 2015, Handbook of Epistemic Logic, London: College Publications.
  • Ditmarsch, Hans van, Wiebe van der Hoek, og Barteld Kooi, 2007, Dynamic Epistemic Logic, Dordrecht: Springer Netherlands. doi: 10,1007 / 978-1-4020-5839-4
  • Ditmarsch, Hans van og Gabriel Sandu (red.), 2018, Jaakko Hintikka om viden og spilteoretisk semantik, (Fremragende bidrag til logik, 12), Cham: Springer International Publishing. doi: 10,1007 / 978-3-319-62864-6
  • Fagin, Ronald og Joseph Y. Halpern, 1987, “Tro, opmærksomhed og begrænset ræsonnering”, kunstig intelligens, 34 (1): 39–76. doi: 10,1016 / 0004-3702 (87) 90003-8
  • Fagin, Ronald, Joseph Y. Halpern, Yoram Moses og Moshe Y. Vardi, 1995, Reasoning About Knowledge, Cambridge, MA: The MIT Press.
  • Gochet, Paul og Pascal Gribomont, 2006, “Epistemic Logic”, i Håndbog om logikens historie, 7, Amsterdam: Elsevier, 99–195. doi: 10,1016 / S1874-5857 (06) 80.028-2
  • Halpern, Joseph Y., 1996, "Bør viden udvide troen?", Journal of Philosophical Logic, 25 (5): 483–494. doi: 10,1007 / BF00257382
  • Halpern, Joseph Y., Dov Samet og Ella Segev, 2009, “Definition af viden med hensyn til tro: Det modale logiske perspektiv”, gennemgangen af symbolisk logik, 2 (3): 469–487. doi: 10,1017 / S1755020309990141
  • Halpern, Joseph Y. og Yoram Moses, 1984, "Viden og fælles viden i et distribueret miljø", i procedurer for det tredje årlige ACM-symposium om principper for distribueret computing (PODC '84), Vancouver, British Columbia, Canada, ACM Press 50-61. doi: 10,1145 / 800222,806735
  • Hendricks, Vincent F., 2005, Mainstream and Formal Epistemology, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9780511616150
  • Hendricks, Vincent F. og Rasmus K. Rendsvig, 2018, “Hintikkas viden og tro på flux”, i van Ditmarsch og Sandu 2018: 317–337. doi: 10,1007 / 978-3-319-62864-6_13
  • Hendricks, Vincent F. og John Symons, 2006, “Hvor er broen? Epistemologi og epistemisk logik”, Filosofiske studier, 128 (1): 137–167. doi: 10,1007 / s11098-005-4060-0
  • Hintikka, Jaakko, 1962 [2005], Viden og tro: En introduktion til logikken over de to begreber, anden udgave, Vincent F. Hendriks og John Symons (red.), (Tekster i filosofi, 1), London: College Publications.
  • –––, 1969, “Semantics for Propositionional Attitudes”, i filosofisk logik, JW Davis, DJ Hockney, og WK Wilson (red.), Dordrecht: Springer Netherlands, 21–45. doi: 10,1007 / 978-94-010-9614-0_2
  • ––– 1978, “Impossible Possible Worlds Vindicated”, i Game-Theoretical Semantics, Esa Saarinen (red.) (SLAP 5), Dordrecht: Springer Netherlands, 367–379. doi: 10,1007 / 978-1-4020-4108-2_13
  • –––, 2007, “Epistemologi uden viden og uden tro”, i Socratic Epistemology: Explorations of Know-Seeking by Questioning, Cambridge: Cambridge University Press, 11–37. doi: 10,1017 / CBO9780511619298.002
  • Hintikka, Jaakko og John Symons, 2003, “Systems of Visual Identification in Neuroscience: Lessons from Epistemic Logic”, Philosophy of Science, 70 (1): 89–104. doi: 10,1086 / 367.871
  • Hocutt, Max O., 1972, “Er epistemisk logik mulig?”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 13 (4): 433–453. doi: 10,1305 / ndjfl / 1093890705
  • Hoek, Wiebe van der, 1993, “Systemer for viden og tro”, Journal of Logic and Computation, 3 (2): 173–195. doi: 10,1093 / logcom / 3.2.173
  • Holliday, Wesley H., 2018, “Epistemic Logic and Epistemology”, i Introduktion til formel filosofi, Sven Ove Hansson og Vincent F. Hendricks (red.), Cham: Springer International Publishing, 351–369. doi: 10,1007 / 978-3-319-77434-3_17
  • Jago, Mark, 2007, “Hintikka og Cresswell on Logical Omniscience”, Logic and Logical Philosophy, 15 (4): 325–354. doi: 10,12775 / LLP.2006.019
  • –––, 2014, The Impossible: An Essay on Hyperintensionality, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780198709008.001.0001
  • Knuuttila, Simo, 1993, Modalities in Medieval Philosophy, (Emner i middelalderens filosofi), New York: Routledge.
  • Kraus, Sarit og Daniel Lehmann, 1986, "Viden, tro og tid", i Automata, sprog og programmering, Laurent Kott (red.), Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 186–195.
  • Kutschera, Franz von, 1976, Einführung i Die Intensionale Semantik, (De Gruyter Studienbuch: Grundlagen Der Kommunikation), Berlin / New York: De Gruyter.
  • Lehmann, Daniel, 1984, "Viden, fælles viden og beslægtede gåder (udvidet resumé)", Forløb af det tredje årlige ACM-symposium om principper for distribueret computing (PODC '84), 62–67. doi: 10,1145 / 800222,806736
  • Lenzen, Wolfgang, 1978, Nyligt arbejde i epistemisk logik, (Acta Philosophica Fennica, 30), Amsterdam: North Holland Publishing Company.
  • –––, 1980, Glauben, Wissen Und Wannsynlichkeit: Systeme Der Epistemischen Logik, (Library of Exact Philosophy, 12), Wien: Springer.
  • Lewis, David K., 1969, Convention: A Philosophical Study, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Meyer, John-Jules Ch, 2001, "Epistemic Logic", i Blackwell Guide to Philosophical Logic, Lou Goble (red.), Oxford: John Wiley & Sons, 183–202.
  • Meyer, John-Jules Ch. og Wiebe van der Hoek, 1995, Epistemic Logic for AI and Computer Science, (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 41), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Rantala, Veikko, 1975, “Urn-modeller: En ny slags ikke-standardmodel til førstegangs-logik”, Journal of Philosophical Logic, 4 (4): 455–474. doi: 10,1007 / BF00558760
  • Rendsvig, Rasmus K., 2012, “Modellering semantisk kompetence: En kritisk gennemgang af Freges puslespil om identitet”, i nye retninger inden for logik, sprog og beregning, Daniel Lassiter og Marija Slavkovik (red.), Berlin / Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 140–157. doi: 10,1007 / 978-3-642-31467-4_10
  • Renne, Bryan, 2008, “Dynamisk epistemisk logik med begrundelse”, Ph. D. Speciale, New York: City University of New York.
  • Schipper, Burkhard C., 2015, “Awareness”, i Ditmarsch et al. 2015: 77–146.
  • Stalnaker, Robert, 2006, “On Logics of Knowledge and Belief”, Philosophical Studies, 128 (1): 169–199. doi: 10,1007 / s11098-005-4062-y
  • Velazquez-Quesada Fernando Raymundo, 2011, “Små trin i informationens dynamik”, Ph. D. Speciale, Institut for Logik, Sprog og Computation, Amsterdam University.
  • Voorbraak, Franciscus Petrus Johannes Maria, 1993, "Så vidt jeg ved: Epistemisk logik og usikkerhed", Ph. D. Speciale, Filosofisk Institut, Utrecht Universitet.
  • Wang, Yanjing, 2015, “En logik for at vide, hvordan”, i logik, rationalitet og interaktion, Wiebe van der Hoek, Wesley H. Holliday og Wen-fang Wang (red.), Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 392-405. doi: 10,1007 / 978-3-662-48561-3_32
  • –––, 2018, “Ud over at vide, at: en ny generation af epistemisk logik”, i van Ditmarsch og Sandu 2018: 499–533. doi: 10,1007 / 978-3-319-62864-6_21
  • Williamson, Timothy, 2000, Knowledge and its Limits, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / 019925656X.001.0001
  • Wright, Georg Henrik von, 1951, An Essay in Modal Logic, (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics), Amsterdam: North-Holland Publishing Company.

Akademiske værktøjer

sep mand ikon
sep mand ikon
Sådan citeres denne post.
sep mand ikon
sep mand ikon
Forhåndsvis PDF-versionen af denne post hos Friends of the SEP Society.
inpho ikon
inpho ikon
Slå dette emne op på Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papirer ikon
phil papirer ikon
Forbedret bibliografi til denne post på PhilPapers med links til dens database.

Andre internetressourcer

  • Hintikka's World, et grafisk, pædagogisk værktøj til at lære om epistemisk logik, højere orden ræsonnement og viden dynamik.
  • Modal Logic Playground, en grafisk grænseflade til tegning og evaluering af formler for modal propositionslogik.
  • Hendricks, Vincent og John Symons, "Epistemic Logic", Stanford Encyclopedia of Philosophy (Forår 2019-udgave), Edward N. Zalta (red.), URL = . [Dette var den forrige indgang om dette emne i Stanford Encyclopedia of Philosophy - se versionens historie.]

Anbefalet: