Naturalisme I Matematikens Filosofi

Indholdsfortegnelse:

Naturalisme I Matematikens Filosofi
Naturalisme I Matematikens Filosofi

Video: Naturalisme I Matematikens Filosofi

Video: Naturalisme I Matematikens Filosofi
Video: Le Naturalisme 2024, Marts
Anonim

Indtastningsnavigation

  • Indtastningsindhold
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Venner PDF-forhåndsvisning
  • Forfatter og citatinfo
  • Tilbage til toppen

Naturalisme i matematikens filosofi

Først offentliggjort søndag 24. august 2008; substantiel revision tirs 26 mar 2013

Samtidsfilosofiens tre hovednaturalismer er metodologiske, ontologiske og epistemologiske. Metodologisk naturalisme siger, at de eneste autoritative standarder er videnskaben. Ontologisk og epistemologisk naturalisme angiver henholdsvis, at alle enheder og alle gyldige undersøgelsesmetoder i en eller anden forstand er naturlige. I filosofien for matematik i de sidste par årtier har metodologisk naturalisme modtaget brorparten af opmærksomheden, så vi koncentrerer os om dette. Ontologisk og epistemologisk naturalisme i matematikfilosofien diskuteres mere kort i afsnit 6.

  • 1. Metodologisk naturalisme

    1.1 Matematisk anti-revisionisme

  • 2. Nyere historie om metodologisk naturalisme

    • 2.1 Nylig baggrund
    • 2.2 Nuværende kontekst
  • 3. Lysende metodologisk naturalisme

    • 3.1 autoritativ
    • 3.2 Grænseproblemet og den videnskabelige metode
    • 3.3 Metodologisk enhed?
    • 3.4 Sanktionsgrad
    • 3.5 Standarder og praktikere
    • 3.6 Bredere naturalismer
  • 4. Motiverende naturalisme

    • 4.1 Naturalisme er revolutionerende i nogle henseender
    • 4.2 Mangel på argumenter i litteraturen
    • 4.3 Aktuel succes
    • 4.4 Aftale
    • 4.5 Historisk succes
  • 5. Heterogen naturalisme

    • 5.1 Er matematik metodologisk autonom?
    • 5.2 Hvis matematik er metodologisk autonom, etablerer det da Maddys Naturalisme?
  • 6. Ontologisk Naturalisme

    • 6.1 Naturvidenskab som Arbiter of Ontology
    • 6.2 Alle enheder er Spatiotemporal
    • 6.3 Naturalistisk anti-platonisme og epistemologisk naturalisme
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Andre internetressourcer
  • Relaterede poster

1. Metodologisk naturalisme

Metodologisk naturalisme har tre vigtige og beslægtede sanser i matematikfilosofien. Den første er, at de eneste autoritative standarder i matematikfilosofien er naturvidenskab (fysik, biologi osv.). Det andet er, at de eneste autoritative standarder i matematikfilosofien er matematikens selv. Det tredje, et amalgam af de første to, er, at de autoritative standarder er standarder for naturvidenskab og matematik. Vi omtaler disse tre naturalismer som videnskabelige, matematiske og matematiske-cum-videnskabelige. Bemærk, at under hele dette punkt 'videnskab' og anerkendte udtryk kun omfatter naturvidenskaber.

1.1 Matematisk anti-revisionisme

Naturalisme-'metodologisk 'og' i matematikfilosofien ', der herefter forstås, synes at have anti-revisionære konsekvenser for matematik. Matematik-filosofen LEJ Brouwer udviklede intuitionistisk matematik, der forsøgte at vælte og erstatte standard ('klassisk') matematik. Brouwer forsøgte at motivere intuitionistisk matematik filosofisk med en intuition-baseret redegørelse for matematisk sandhed. En nyere eksponent for intuitionistisk matematik er Michael Dummett, der har udviklet argumenter fra sprogfilosofien, især teorien om mening, på dens vegne. Alligevel kondonerer videnskabelige standarder klassisk over intuitionistisk matematik:selvom nutidens videnskab kunne være omarbejdet intuitionistisk - en stor hvis-den ville være mindre enkel og mere besværlig end dens nuværende klassisk baserede version. Matematikere har også en tendens til at betragte intuitionistisk matematik som underordnet klassisk matematik, hvis de fortolkes som en rival til den. Hverken Brouwer eller Dummetts intuitionisme er tilsyneladende sanktioneret af videnskabelige eller matematiske standarder, så naturalisme udelukker dem uden for retten. For mange af dens tilhængere er det faktisk netop naturalismens punkt. Det menes ofte, at det er at blokere fantasifulde angreb på etablerede discipliner som matematik efter discipliner med mindre sikre metoder. Hverken Brouwer eller Dummetts intuitionisme er tilsyneladende sanktioneret af videnskabelige eller matematiske standarder, så naturalisme udelukker dem uden for retten. For mange af dens tilhængere er det faktisk netop naturalismens punkt. Det menes ofte, at det er at blokere fantasifulde angreb på etablerede discipliner som matematik efter discipliner med mindre sikre metoder. Hverken Brouwer eller Dummetts intuitionisme er tilsyneladende sanktioneret af videnskabelige eller matematiske standarder, så naturalisme udelukker dem uden for retten. For mange af dens tilhængere er det faktisk netop naturalismens punkt. Det menes ofte, at det er at blokere fantasifulde angreb på etablerede discipliner som matematik efter discipliner med mindre sikre metoder.

2. Nyere historie om metodologisk naturalisme

2.1 Nylig baggrund

Samtidig interesse for naturalisme stammer fra Quine, hvis naturalisme er fremtrædende i hans senere værker. Et repræsentativt citat er, at naturalisme er 'anerkendelsen af, at det er inden for selve videnskaben og ikke i en vis tidligere filosofi, at virkeligheden skal identificeres og beskrives' (Quine 1981, 21). En anden stor indflydelse er Hilary Putnam, der artikulerer sin videnskabelige naturalisme som følger:

… det er dumt at blive enige om, at en grund til at tro, at p garanterer at acceptere p under alle videnskabelige omstændigheder og derefter tilføje 'men alligevel er det ikke godt nok.' En sådan dom kunne kun træffes, hvis man accepterede en trans-videnskabelig metode som overlegen den videnskabelige metode; men denne filosof har i det mindste ingen interesse i at gøre det. (Putnam 1971, 356)

Set fra dette perspektiv bedømmes matematik efter videnskabelige standarder, fordi alt er. Desuden hævder Quine og Putnam, at disse standarder sanktionerer platonist-matematik, fordi matematik og dens platonistkonstruktion er en uundværlig del af vores bedste videnskabelige teorier.

Selvom naturalisme som en selvbevidst position i matematikfilosofien fremkommer mest fuldstændigt med Quine, er der som altid forløbere. Den empiristiske tradition i sine forskellige dækker (logisk positivisme, Mølle, Hume osv.) Er den mest åbenlyse forløber, skønt der er betydelige forskelle mellem prækinesiske empirikere og nutidige naturalister. Fremkomsten af den videnskabelige naturalisme i matematikfilosofien falder også sammen med en stigning i en bredere videnskabelig naturalisme, også delvis tilskrives Quine, der betragter al filosofi - ikke kun matematikfilosofi - som finder sted inden for naturvidenskab. Naturalisme går også hånd i hånd med en nu generelt udbredt pessimisme omkring traditionelle filosofiske argumenteringsformer.

Nogle versioner af naturalisme er attraktive for stort set alle filosoffer i dag. At metoderne i matematik og naturvidenskab er de bedste, vi har, forekommer en platitude, som filosofi bør forsøge at anerkende og bygge på snarere end ignorere. Spørgsmålet er, hvordan man gør det nøjagtigt.

2.2 Nuværende kontekst

I de sidste par årtier har der været en stor stigning i interessen for naturalisme. 1997 var et vigtigt år i den nylige matematikfilosofi, da det så udgivelsen af fire bøger, der præciserede positionerne for fem førende filosofer i matematik: John Burgess og Gideon Rosen's A Subject with No Object, Penelope Maddy's Naturalism in Mathematics, Michael Resnik's Mathematics as Science of Patterns og Stewart Shapiros matematikfilosofi. Alle fire bøger er i forskellige grader og blandt andet naturalistiske: de to første er naturalistiske manifestationer, den tredje går ind for en quinensk videnskabelig naturalisme, og den sidste, selvom den primært beskæftiger sig med andre spørgsmål, er sympati for naturalismen. John Burgess's naturalisme,først beskrevet i hans (1983) og i de sidste par år udarbejdet med sin kollega Gideon Rosen (1997, 2005), er måske mest naturligt fortolket som en version af matematisk-cum-videnskabelig naturalisme (1997, 211). Penelope Maddys naturalisme er en heterogen form for naturalisme, der skelner mellem matematikens rette og matematikens filosofi og omfavner matematisk naturalisme omkring den tidligere og videnskabelige naturalisme om sidstnævnte (afsnit 5). En anden holdning foreslået af Maddy (1997) er en gennemgribende matematisk naturalisme, der tager matematiske standarder som autoritative inden for både matematik og dens filosofi.s naturalisme er en heterogen form for naturalisme, der skelner mellem matematikens egentlige og matematikfilosofien, der omfavner matematisk naturalisme om førstnævnte og videnskabelig naturalisme om sidstnævnte (afsnit 5). En anden holdning foreslået af Maddy (1997) er en gennemgribende matematisk naturalisme, der tager matematiske standarder som autoritative inden for både matematik og dens filosofi.s naturalisme er en heterogen form for naturalisme, der skelner mellem matematikens egentlige og matematikfilosofien, der omfavner matematisk naturalisme om førstnævnte og videnskabelig naturalisme om sidstnævnte (afsnit 5). En anden holdning foreslået af Maddy (1997) er en gennemgribende matematisk naturalisme, der tager matematiske standarder som autoritative inden for både matematik og dens filosofi.

Når man ignorerer kvalifikationer, kan de vigtigste moderne versioner af naturalisme med deres repræsentative fortalere tabelleres som følger:

Matematik korrekt

Filosofi

Matematik

Videnskabelig

(quine)

Videnskabelig Videnskabelig

Matematisk Cum-Scientific

(Burgess)

Matematisk-cum-

Videnskabelig

Matematisk-cum-

Videnskabelig

Matematisk

(?)

Matematisk Matematisk

Heterogene

(Maddy 1997)

Matematisk Videnskabelig

For at illustrere forskellen mellem udsagn i korrekt matematik og matematikfilosofien skal du betragte som et eksempel på det tidligere Green-Tao-teorem, bevist i 2004, hvor det hedder, at rækkefølgen af primtal indeholder vilkårligt lange aritmetiske fremskridt (men selvfølgelig ikke uendelig lang); som eksempler på sidstnævnte antager platonisten påstand om, at nummer to findes og er abstrakt eller påstanden om, at fordi matematiske enheder skabes snarere end opdagede, er impredicative definitioner ikke tilladt. For enhver given filosof skal Green-Tao-sætningen og dens bevis vurderes efter standarderne i den første søjle. For eksempel,Quine accepterer teoremet, hvis og kun hvis det er en del af den bedste systematisering af videnskaben (som det antages, at de principper, som det er deduceret fra, og den logik, hvorpå det udledes af disse principper, er). Tilsvarende skal platonisme og strenge forhold til impredikativitet vurderes ved standarderne i den anden søjle for enhver given filosof. F.eks. Accepterer Quine platonisme, fordi han antager, at det er den videnskabeligt sanktionerede fortolkning af matematik: efter hans opfattelse er matematikken indeholdt i den bedste systematisering af videnskaben platonisk. Quine accepterer platonisme, fordi han antager, at det er den videnskabeligt sanktionerede fortolkning af matematik: efter hans opfattelse er matematikken indeholdt i den bedste systematisering af videnskaben platonisk. Quine accepterer platonisme, fordi han antager, at det er den videnskabeligt sanktionerede fortolkning af matematik: efter hans opfattelse er matematikken indeholdt i den bedste systematisering af videnskaben platonisk.

Der er ingen klare eksempler på opfattelsen af, at matematiske standarder skal være autoritative i matematikfilosofi, og dermed spørgsmålstegnet. David Lewis flirtede med denne position i sin monografi om sætteori (1991, viii – ix, 54), men på tidspunktet for hans (1993) havde han allerede afvist det. Holdningen antydes af bemærkninger i Maddy (1997), skønt som vi vil se i afsnit 5, fortolkes Maddy (1997) mere naturligt som fremme af en heterogen form for naturalisme. Adskillige andre filosofer af matematik er også professorer, der er naturister, især Alan Baker (2001) og Mark Colyvan (2001).

3. Lysende metodologisk naturalisme

Ligesom mange –ismer er naturisme måske bedre tænkt som en orientering med doktrinale implikationer end som en doktrin i sig selv. Ikke desto mindre kan vi forsøge at belyse det langs flere dimensioner.

3.1 autoritativ

Hvordan skal vi forstå påstanden om, at nogle sæt standarder burde være autoritative i matematikfilosofien? Vi kan bevare generalitet ved at henvise til X-standarder, hvor forekomsterne af interesse for os er 'videnskabelig', 'matematisk' eller 'videnskabelig-cum-matematisk'. Her er nogle (ikke-udtømmende) aflæsninger af myndighedskrav:

  1. Biconditional Naturalism: accept p iff p er sanktioneret af X-standarder
  2. Trumping Naturalism: accepter p hvis p er sanktioneret af X-standarder.
  3. Vægthed Naturalisme: Ved vurdering af, om p, skal du lægge større vægt på X-standarder.
  4. Kompatibilitet Naturalisme: accepter ikke p, hvis p er uforenelig med X-standarder.

Den tobetingede læsning er den stærkeste af de fire. Det udtrykker tanken om, at gyldige standarder bare er X-standarder. I modsætning til biconditional naturalism tillader trumfversionen tilsyneladende, at en erklæring i matematikfilosofien kan være acceptabel, selvom X-standarder ikke sanktionerer den. For eksempel udtrykker Burgess og Rosen deres naturalisme som følger:

Naturalistenes forpligtelse er … til det forholdsvis beskedne påstand om, at når videnskaben [forstået at inkludere matematik] taler med en fast og samlet stemme, er filosofen enten forpligtet til at acceptere sine konklusioner eller give, hvad der er genkendeligt videnskabelige grunde til at modstå dem (1997 65).

Dette er naturligt glanset som en trumferende version af videnskabelig-cum-matematisk naturalisme. Det ser ud til at tillade, at hvis matematik og naturvidenskab ikke taler med en fast stemme på et spørgsmål, kan vi acceptere dommen fra en anden disciplin.

Vægten Naturalisme er en vaguer-doktrin. Forskellige versioner opstår afhængigt af hvor meget vægt der lægges på X-standarder. En beskeden version fanger positionen fra naturalistisk tilbøjelige, men ikke direkte naturalistiske filosoffer. Vi genvinder to-betinget naturalisme, når X-standarder fremhæves til det punkt, hvor ingen andre betyder noget.

Kompatibilitetsnaturalisme er ikke så stærk som trumferende naturalisme. Hvis p er sanktioneret af X-standarder, forenes kompatibilitetsnaturalisme med at ikke acceptere ¬ p, men det behøver ikke nødvendigvis at acceptere p. Manglende accept af ¬ p mangler accept af p, da der altid er mulighed for at udsætte dommen på s. Kompatibilitetsvisningen accepteres generelt af de fleste moderne filosofer. For at tage et eksempel uden for matematikfilosofien, ville de fleste filosofer afvise en tidsfilosofi, der kolliderer med relativitetsteorien (i dette tilfælde X = videnskab). Inden for matematikfilosofien afviser de fleste filosofer en matematikfilosofi, der for eksempel indebærer, at kompleks analyse skulle kæmpes sammen (i dette tilfælde kunne X være videnskab, matematik eller matematik-cum-videnskab).

Forskellige svagere metodologiske teser er undertiden mærket 'naturalist', for eksempel afvisning af kartesisk fundamentering, men her forstår vi udtrykket mere robust. Hvilke af de ovennævnte varianter er den rigtige måde at udvikle naturalisme på, afhænger naturligvis af, hvordan naturalismen er motiveret (afsnit 4).

3.2 Grænseproblemet og den videnskabelige metode

Naturalisme skaber en modstand mellem X-standarder (videnskabelig, matematisk eller videnskabelig-cum-matematisk) og andre typer standarder, fx astrologiske, teologiske eller standarder for sund fornuft. Et andet eksempel på standarder, som naturalisten ser på den forkerte side af sporene, er 'grundlæggende' filosofiske. Goodman og Quine (i sin før-naturalistiske fase) indledte engang en artikel ved at erklære, at grundlaget for deres nominalisme var en grundlæggende filosofisk intuition, som ikke kunne reduceres af videnskabelige grunde (1947). Naturalister afviser appel til sådanne standarder.

Et åbenbart problem med naturalismen er, at der ikke ser ud til at være skarpe grænser mellem videnskab og ikke-videnskab og mellem matematik og ikke-matematik. For eksempel synes overgangen fra fysik til fysikfilosofi til fysik-tung metafysik til metafysik med almindelig have eller have at være gradvis. Når en matematiker skriver en forskningsartikel, en bachelor-lærebog, en populær bog om matematik, en bog, der uddyber hans personlige filosofi om matematik og hans psykologiske tilknytning til forskellige matematiske teorier, på hvilket tidspunkt har han nøjagtigt stoppet med at lave matematik? Når forskningsmatematikere mødes efter seminaret og er enige om kaffe om, at Riemann-hypotesen er det vigtigste fremragende problem i matematik,er dette en strengt matematisk påstand eller en personlig vurdering anerkendt af matematikere som uden for provinsen matematik korrekt?

Mange filosoffer følger Quine ved at citere en standardklynge af principper, der formodentlig er sammensat af videnskabelige standarder: empirisk tilstrækkelighed, ontologisk økonomi, enkelhed, frugtbarhed og så videre (Quine 1955, 247; Quine og Ullian 1970, kapitel 5). Lister af denne art er imidlertid utilfredsstillende af flere grunde. For det første kommer principperne i forskellige versioner. Alligevel er det tvivlsomt, om de generelle versioner er de videnskabeligt sanktionerede. Nogle forfattere hævder for eksempel, at videnskabelig appel til ontologisk parsimonie ikke strækker sig til postulering af abstrakte genstande (Burgess 1998). Andre hævder, at videnskabelig appel til enkelthed ikke bedst fanges af det fuldstændigt generelle slogan 'Foretager enhver teori T 1 frem for enhver mindre simpel teori T 2(i denne henseende) '(Paseau 2007). Desuden fortæller lister af denne art ikke, hvordan vi kan balancere desiderata imod hinanden.

Siden eksplosionen af videnskabsundersøgelser i 1960'erne er der nu mere opmærksom på nuancerne i videnskabelig praksis. Alligevel er en mere præcis artikulering af videnskabelige standarder og deres vægt forbløffende. Eksistensen af en algoritme, der indkapsler den videnskabelige metode, stilles generelt spørgsmålstegn ved (selvom mange mennesker tilsyneladende formår at implementere den videnskabelige metode, så hvis metoden ikke er algoritmisk, er heller ikke vores sind). Hvad der imidlertid ikke er tvivlsomt, er, at dens udstilling i øjeblikket slipper for os.

Når det er sagt, er det ikke klart, hvor alvorligt grænseproblemet er for naturforskere. Måske kan de hævde, at der er en ret skarp grænse, skønt en er svær at definere. Måske ved matematikere implicit, hvornår noget tæller som et stykke matematik, og når det er en ikke-matematisk kommentar til matematik. Under alle omstændigheder ser naturalisme ud til at overleve fraværet af en skarp grænse. Naturalisme kan tilsyneladende hvile sine påstande på et sæt standarder med uklare grænser.

3.3 Metodologisk enhed?

Hvad hvis der ikke er globale videnskabelige standarder, men bare standarderne for denne eller den del af videnskaben (f.eks. Fysik eller biologi, eller partikelfysik eller fluidmekanik), eller endda bare standarderne for denne eller den pågældende gruppe af forskere? I dette tilfælde ville den videnskabelige naturalisme fragmenteres i flere versioner (f.eks. Fysik-naturalisme eller biologi-naturalisme). Hvis motivationen for videnskabelig naturalisme peger på en af disse mere kornede naturalismer i forhold til de andre (f.eks. Fysik-naturalisme), eller hvis de alle returnerer de samme domme i matematikfilosofien, er den potentielle fragmentering ikke bekymrende. Men hvis ikke, er den videnskabelige naturforsker i problemer, da alle disse konkurrerende naturalismer er antagelig lige gyldige. Indtil videre har videnskabelige naturforskere været tilbøjelige til at antage, at videnskab fungerer med et enkelt sæt standarder. Selvom denne antagelse er sandsynlig, vil en streng naturforsker ønske at køre det op med detaljerede casestudier. Tilsvarende for matematisk naturalisme og matematisk cum-videnskabelig naturalisme.

3.4 Sanktionsgrad

Videnskabelige standarder sanktionerer forslag til en vis grad snarere end direkte. Den seneste hypotese på forskningsstolen vedtaget foreløbigt af nogle få eksperter har ikke den samme status som en længe forankret teori. Således vil den sort-hvide opfattelse af videnskabelige standarder, der sanktionerer eller ikke sanktionerer p, ikke gøre. (Dette er en idé, som Bayesianske bekræftelsesteori tager alvorligt.) Det kan også hævdes, at dette også er tilfældet for matematiske standarder, for eksempel ved at overveje ikke-deduktive grunde til tro på matematiske forslag. Det ser ud til at være rimeligt at se Goldbachs formodning, påstanden om, at hvert lige antal større end 4 er summen af to primes, hvilket i høj grad understøttes af de ikke-deduktive beviser, der i øjeblikket er til rådighed for det. I fravær af et bevis på Goldbachs formodning, dogdenne grad mangler 1. En mere præcis redegørelse for naturforskernes trosbekendtgørelse skal derfor udstede retningslinjer for fordelingen af troværdighed i p i overensstemmelse med graden og typen af forpligtelse til p videnskabelige eller matematiske standarder anbefaler.

3.5 Standarder og praktikere

Det ville være forkert at sidestille, hvad X-standarder sanktionerer med, hvad X-praktikere mener (for X = videnskab eller matematik eller mere generelt). For det første har X-overførere muligvis ikke givet et bestemt spørgsmål nogen tanke. For en anden kan X-fraktionører muligvis alle tage fejl. Derudover kan X-overtrædere selvbevidst opretholde det modsatte af eller under alle omstændigheder noget adskilt fra hvad X-standarder sanktionerer. For eksempel kan en videnskabsmand tro p, måske på grundlag af en 'magefølelse' eller på grund af nogle overordnede religiøse overbevisninger eller af en hvilken som helst ikke-videnskabelig grund, mens den stadig anerkender, at videnskabelige standarder understøtter ikke-p. Eller en matematiker kan måske tro, at tallet 7 har mystiske egenskaber, men ikke tror det er en matematiker. En tættere forbindelse mellem praktikere og standarder kan derfor være denne:hvad X-standarder sanktion er hvad X-fraktionører er disponeret over for korrekt at tro qua X-overgange. (Dette er ikke ment som en reduktiv analyse).

Når det er sagt, kræver det særlig bøn for at tilskrive X-overtrædelsessamfundet omfattende fejl med hensyn til, hvad X-standarder sanktionerer. Det, som X-overtrædere faktisk mener, fungerer således som et godt, men defeasible bevis for, hvad X-standarder sanktionerer.

3.6 Bredere naturalismer

Videnskabelig naturalisme som defineret her omfatter kun naturvidenskab (og ligeledes for videnskabelig cum-matematisk naturalisme). Bredere naturalismer inddrager ikke kun traditionel naturvidenskab, men også nogle af de andre videnskaber: måske hele samfundsvidenskab, måske kun noget af det, måske sprogvidenskab, måske kognitiv videnskab. Bemærk, at i senere skrifter vedtager Quine selv en bred version af naturalismen (1995, 49). Penelope Maddy har for nylig gjort det klart, at den form for videnskabelig naturalisme, hun går ind for - 'Anden filosofi', som hun nu foretrækker at kalde det - er meget bred, idet den ikke kun tager naturvidenskaberne ind, men også psykologi, sprogvidenskab, sociologi osv.. (2007, 2).

Udvidelse af videnskabelig eller videnskabelig cum-matematisk naturalisme til at omfatte disse discipliner har potentielt betydelige konsekvenser for matematikens filosofi. For eksempel, hvis semantik falder ind under den naturalistiske paraply, kan det give en naturalistisk sanktion for matematisk realisme eller platonisme, da den pålydende semantik for matematik ser ud til at assimilere den til de ukontroversielt bogstavelige dele af sproget - et punkt berømt gjort i Benacerraf (1973).

Hvorvidt man skal fortolke naturalismen bredt eller snævert afhænger af dens motivation. Attraktionerne ved videnskabelig eller matematisk eller videnskabelig cum-matematisk naturalisme ligger i disciplinernes uforlignelige succes (på en vis forståelse af, hvad denne succes kommer til - se afsnit 4). På dette tidspunkt er de ikke-naturvidenskaber imidlertid mindre succesrige end naturvidenskaben. Jo mindre vellykket man betragter de ikke-naturvidenskaber sammenlignet med de naturlige, jo mindre attraktiv bliver en bredere videnskabelig eller videnskabelig-cum-matematisk naturalisme i sammenligning med en strengt naturvidenskabelig.

Alle naturforskere, især dem af den bredere sort, skal afbalancere potentielt konkurrerende standarder. En bred naturforsker beslutter sig for eksempel at give naturvidenskaberne 2/3-vægtning og semantik 1/3-vægtning. Eller hun kan måske fastholde, at et forslag i matematikfilosofien er acceptabelt, hvis (eller endda: hvis og kun hvis) alle videnskaber, naturlige eller ikke-naturlige, sanktionerer det - det vil sige, når alle videnskaber taler med én stemme. Disse afbalanceringsspørgsmål er desværre ikke blevet behandlet meget af naturforskere. Måske er det fordi spørgsmål af denne art opstår for alle: uanset hvilke begrundelsesstandarder man accepterer, opstår problemet med, hvordan man kan dømme mellem dem. Men i det omfang naturalisme er receptpligtig og ikke kan stole på en implicit procedure, der allerede er på plads,det skylder os en artikulering af, hvordan vi afbalancerer forskellige sæt standarder.

Afbalanceringsspørgsmålet er særlig presserende for matematisk-cum-videnskabelige naturforskere. En videnskabelig naturforsker er i princippet glad for at sige, at hvis en matematisk teori M er videnskabeligt overlegen, men matematisk dårligere end en anden matematisk teori M *, så bør M foretrækkes frem for M * (det næste afsnit indeholder et eksempel). Matematiske-cum-videnskabelige naturforskere kan dog komme ned på begge sider, afhængigt af detaljerne i de særlige teorier: det hele afhænger af, om M's videnskabelige fordele sammenlignet med M *opvejes af dets matematiske ulemper. Nu har matematikfilosofien ikke en etableret tradition for at veje matematiske teoriers videnskabelige og matematiske fordele og ulemper mod hinanden; heller ikke nogen anden disciplin. Så problemet med at skabe balance mellem matematiske og videnskabelige standarder er særlig presserende for den matematiske-cum-videnskabelige naturforsker.

For at illustrere dette problem antages, som mange filosofer hævder, at det generelle princip om ontologisk økonomi - så få enheder som muligt - er en videnskabelig standard. Antag også, som Penelope Maddy hævder, at en sætteoretisk version af ontologisk forsømmelser - så mange sæt som muligt - er en matematisk standard (dette er en måde at udbetale det sætteoretiske maksimum, som Maddy kalder MAXIMIZE). Disse to standarder kolliderer, som Maddy anerkender (1997, 131). I betragtning af disse antagelser kan en predikativistisk sætteori, der udgør et relativt lille antal sæt, siger af den art, der er udviklet i Hermann Weyls Das Kontinuum, muligvis være videnskabeligt overlegen ZFC, der udgør flere sæt. Alligevel menes ZFC generelt at være matematisk overlegen i forhold til en predikativistisk sætteori. Måske er den rigtige diagnose, at sammenstødet kun er overfladisk, da den rigtige videnskabelige version af ontologisk økonomi er 'positivt så få konkrete enheder som muligt', og den korrekte matematiske version af ontologisk skønlighed er 'positivt så mange abstrakte enheder som muligt'. Men det kan være i dette tilfælde, den matematisk-cum-videnskabelige naturforsker skal komme med en generel politik til håndtering af potentielle sammenstød eller hævde, at ingen sådanne sammenstød er mulige.den matematisk-cum-videnskabelige naturforsker skal komme med en generel politik til håndtering af potentielle sammenstød eller hævde, at ingen sådanne sammenstød er mulige.den matematisk-cum-videnskabelige naturforsker skal komme med en generel politik til håndtering af potentielle sammenstød eller hævde, at ingen sådanne sammenstød er mulige.

4. Motiverende naturalisme

Man kan simpelthen vedtage naturalisme uden at give et argument eller motivation for det. Men motiveringer for naturalisme beroliger den, gør den internt stærkere og giver den dialektisk styrke, hvilket øger sin appel til ikke-naturalister. De besvarer det grundlæggende spørgsmål: hvorfor nøjagtigt disse standarder?

(Det samme gælder for naturalismer, der først og fremmest opfattes som tilgange eller holdninger snarere end doktriner. Siden udgivelsen af hendes bog fra 1997 har Penelope Maddy præciseret, at hendes version af naturalisme er en holdning (Maddy 2001) eller en stykkevis metode / undersøgelsesmetode (2007, se f.eks. s. 19 fn. 15, s. 403). Imidlertid er holdninger og tilgange til undersøgelse attraktive i det omfang de er godt motiverede.)

4.1 Naturalisme er revolutionerende i nogle henseender

Naturalisme menes ofte at være en konservativ filosofi for matematik, som vi antydede i afsnit 1. Men faktisk er tingene mere komplicerede. Hver af de tre naturalismer af interesse er revolutionerende i en vis henseende.

Vores standardvisning er, at matematiske standarder afgør spørgsmål i korrekt matematik, for eksempel spørgsmål som om Fermats sidste sætning eller Axiom of Choice er sandt. Videnskabelige standarder menes ikke at have nogen indflydelse på dette: Da Andrew Wiles beviste Fermats sidste sætning i midten af 1990'erne, var han ikke særlig optaget af, hvordan hans bevis ville gå ned i fysikafdelinger eller mere generelt dens indvirkning på empirisk videnskab. På samme måde er påstanden om, at hvis nogle store kardinalaksiomer ikke er videnskabeligt sanktioneret (måske fordi det ikke fører til nye empiriske konsekvenser), så er der ingen god grund til at acceptere det, er, som Maddy påpeger, 'ude af trit med den faktiske praksis med sæt teori '(1997, 132), og faktisk ude af trit med den faktiske praksis med meget filosofi. Vi bedømmer normalt ikke store kardinalaksiomer efter videnskabelige standarder; vi bedømmer dem efter matematiske standarder. Quine gik selvbevidst mod kornet, da han afviste de højere flyvninger i sætteorien på videnskabelig grund (1986, 400).

Videnskabelig naturalisme om matematik er således et filosofisk revolutionært syn, da den går ind for et andet sæt standarder, som matematik (videnskabelige) skal bedømmes fra de traditionelle (matematiske). Det er også potentielt revolutionerende omkring matematikken selv, da det kan føre til en revision af matematikken. (Bemærk, at selv hvis videnskabelig naturalisme ikke indebærer en revision af matematik, tæller den stadig som filosofisk revolutionerende: at gå ind for udskiftning af Y-standarder med X-standarder som de rette voldgiftsmænd på et eller andet område er filosofisk revolutionerende, selvom Y-standarderne og X-standarder støtter tilfældigvis de samme påstande på dette domæne.) Når det er sagt,nylige videnskabelige naturforskere har haft en tendens til at være matematisk konservative i temperament og har forfægtet ringe eller ingen revision af matematik.

Disse moral gælder også for matematisk-cum-videnskabelig naturalisme, men i mindre grad, da sidstnævnte giver en vis vægt på matematiske standarder i matematisk begrundelse.

Den tredje af de tre naturalismer af interesse, matematisk naturalisme, er filosofisk, men ikke matematisk revolutionerende. Matematisk er det så konservativt som muligt: ingen andre standarder end matematiske er relevante for vurderingen af matematiske påstande. Således vælges ingen accepteret matematik fra uden. Alligevel er matematisk naturalisme en revolutionerende holdning i matematikfilosofien. For at se dette, formoder vi, at platonisme er en del af standard, accepteret matematisk praksis. I dette tilfælde indebærer matematisk naturalisme, at der ikke er yderligere spørgsmål om dens sandhed. Løst sagt, simpelthen fordi matematikere (qua-matematikere) er platonister, er platonisme den korrekte filosofi for matematik. Dette er helt klart ude af trit med filosofisk praksis: filosofer ser på matematikernesbetragter (qua-matematikere) som defekte data for matematikfilosofien, ikke dens konklusion. Vi ser således, at den enkle karakterisering af matematisk naturalisme som konservativ ikke er helt rigtig: skønt matematisk konservativ er den filosofisk revolutionerende.

Samlet set er videnskabelig, matematisk og matematisk cum-videnskabelig naturalisme hver for sig revolutionerende i nogen henseende og står over for en tilsvarende bevisbyrde. Vi kan måske nu sætte pris på den forstand, hvori den generelle påstand, udtrykt i afsnit 1, om, at naturalisme er anti-revision, er sandt, og den forstand, hvori det ikke er.

Dette viser også, at nutidig naturalisme adskiller sig fra sidstnævnte Wittgensteins overfladisk lignende metafilosofi. Wittgensteins antifilosofi, som naturalisme, forhindrer filosofi i at ændre matematik:”Filosofi må på ingen måde forstyrre den faktiske brug af sprog … Den efterlader alt, som det er. Det efterlader også matematik, som den er”(1953, §163). Naturalismens revolutionære tenor betyder imidlertid, at den ikke forlader alt, som det er.

4.2 Mangel på argumenter i litteraturen

Argumenter for naturalisme mangler i litteraturen. De fleste naturister sætter simpelt hen deres naturalisme og arbejder nedstrøms for den i håb om, at dens konsekvenser vil vise sig attraktive for de modtagelige (Maddy 2007, 3). Naturalisme bliver således effektivt en personlig credo med lidt direkte forsøg på at bringe nogen anden om bord: Jeg accepterer kun X-standarder i et eller andet domæne, fordi jeg finder dem mere troværdige end andre. Nu kan man måske i slutningen af dagen ikke gøre det bedre. Men vi bør ikke antage det i starten. Det er desto vigtigere i betragtning af naturalismens revolutionære træk, som tidligere forklaret. En konservativ retfærdiggørelsesteori kan sanktionere naturalismen i betragtning af et bredt naturalistisk udgangspunkt; men vores udgangspunkt, som vi har set, er ikke det at trumfe naturalismen: det er højst kompatibilitetsnaturalisme. Så et argument for noget mere end den mildeste version af naturalisme ville være velkommen.

4.3 Aktuel succes

Naturalister er motiverede af tanken om, at videnskabelige eller matematiske standarder er de mest succesrige standarder, vi har. Men hvad kommer succes til? Meget groft kan følgende betragtes som et tegn på en discipliners succes: (i) blandt dets udøvere er der en bredt opfattet opfattelse af disciplinens vejledende spørgsmål og tilladte metode; og (ii) der er fremskridt inden for disciplinen med at adressere dens vejledende spørgsmål. Man kan derefter forsøge at argumentere i disse linjer, at fysik er mere succesrig end metafysik, at psykologi er mere vellykket end parapsykologi, og at astronomi er mere succesrig end astrologi.

En sådan fremgangsmåde står over for et todelt problem. Hvis der sker noget med metodikken, kan alle slags discipliner opnå succes uden at opnå troværdighed. Tænk på Guru-ologi, den disciplin, der tager sine vejledende spørgsmål til at være dem, der er udtalt af nogle guruer, og fastlægger som dens metode, at acceptable svar er alle og kun guruens udtalelser (måske under forudsætning af konsistens - så lad os antage for godt mål at guru er konsistent og mere generelt sandsynligt kohærent). Disse svar kan være så fantasifulde, som du vil: vi overlader det til læserens fantasi at udtænke eksempler på outlandish påstande fremsat af guruen. Hvis vi antager, at guruen besvarer hvert af de spørgsmål, som han rejser,Guru-ologi er derfor progressiv - den besvarer alle de spørgsmål, den rejser - og den er derfor vellykket. Men dens succes taler intet om dens troværdighed.

Generelt, hvis succes for et givet sæt standarder S måles på dets egne vilkår, dvs. ved at bruge S-standarder, er flere selvbærende, men intuitivt uacceptable sæt standarder, der regnes som vellykkede. Denne relativisme er helt klart ikke det, som naturalisten ønsker. Ligeledes for tanken om, at succes skal bestemmes af, hvor godt standarderne hjælper os med at 'tackle den virkelighed' adskillige ikke-videnskabelige og ikke-matematiske naturalismer tillægger sig selv dette grundlag. Måske burde succes i stedet måles ved, hvor godt standarderne forklarer og forudsiger naturlige fænomener, dvs. hvordan de håndterer naturvidenskabens emne. Men at vedtage vores sædvanlige syn på, hvordan man bedømmer succes i denne henseende, ville være tvivlsom tigger til fordel for videnskabelig naturalismeda videnskabelige standarder netop er de standarder, vi har udviklet for at klare denne del af virkeligheden. Sammenlign en astrologisk naturalisme, der er motiveret af ideen om, at succes skal måles ved, hvor godt standarderne forklarer og forudsiger 'astrologiske fænomener', forstået som astrologerne gør. Så hvis et naturalistisk argument baseret på succes skal lykkes, skal der findes en anden naturalistisk acceptabel, men ikke-spørgsmål, der tigger forståelse for 'succes'.der skal findes en anden naturalistisk acceptabel men ikke-tvivlsom tiggende forståelse af 'succes'.der skal findes en anden naturalistisk acceptabel men ikke-tvivlsom tiggende forståelse af 'succes'.

Det andet problem med et succesargument er, at succes på den ene sfære ikke er tegn på succes i en anden. Biologi er temmelig vellykket med at forklare og forudsige biologiske fænomener. Men hvorfor skulle det give det myndighed over spørgsmål i matematik eller matematikfilosofien? Ligeledes for andre naturvidenskaber. Som vi vil se, genereres dette punkt.

4.4 Aftale

Traditionel filosofi, kan en naturalist måske sige, fører til uendelig uenighed. Videnskab og matematik når derimod normalt bred enighed - ofte konsensus - om spørgsmål inden for deres domæne. Derfor foretrækkes videnskabelige eller matematiske standarder frem for andre. (Sådanne argumenter fra uenighed og manglende konvergens i udtalelse har fremtrædende fremtrædende inden for andre områder af filosofien, især metaetik.)

Imidlertid virker den moral, som naturalisten ønsker at trække på ud fra mønster af aftale og uenighed, uberettiget. Aftale eller uenighed i et samfund er en betinget sag. En totalitær stat kunne opnå enighed i hele samfundet med nedkøling af effektivitet ved at indføre et foretrukket sæt standarder for dens emner. Generelt er der utallige ikke-epistemiske grunde til aftale eller uenighed. Det er derfor ikke enighed, der betyder noget, men snarere forklaringen på, hvorfor aftalen opnås.

En mere sofistikeret version af dette argument kan derfor være baseret på uklarhedens sporbarhed snarere end på dens blotte tilstedeværelse. Uenighed er almindelig i både filosofi og videnskab, men kun i sidstnævnte, kan det siges, er uenighed kan håndteres. I det mindste kan der gøres fremskridt, og måske kan der i princippet altid opnås enighed. Faktiske mønstre for aftale og uenighed kan derefter citeres som bevis for den respektive sporbarhed eller ufravigelighed af debatter, der er antaget af, sige, videnskabelige og ikke-videnskabelige filosofiske standarder.

Det er uden for denne indgangs rækkevidde at vurdere denne mere sofistikerede version af argumentet, som i en eller anden form for nylig har fået betydelig opmærksomhed uden for matematikfilosofien. Bemærk dog et par prima facie-vanskeligheder.

For at abstrahere fra eventualiteterne i vores epistemiske situation fortsætter argumenter om kanalbarhed normalt ved at overveje yderst idealiserede emner, især emner, hvis faktiske, logiske osv. Viden langt overstiger vores. Men problemet med sådanne idealiseringer er, at de ser ud til at være tiggende. F.eks. Ville en teologisk anti-naturalist fastholde, at faktisk faktiske højt informerede emner vil blive bedømt om fakta om overnaturlig virkelighed. Vores greb om idealiserede emner, og hvordan uenighed mellem dem sandsynligvis løser sig, kan derfor være for løs til at trække nogen substantiel moral fra sådanne tankeeksperimenter. Enten eller sådanne argumenter vil sandsynligvis være tiggeri.

For det andet kan vi indrømme, at overvejelser om sporbarhed afslører, at videnskabelige og matematiske standarder er mere sandhedsfremmende på deres respektive områder. Alligevel ser det ikke ud til at give en garanti for at tro, at de vil få succes på andre områder. (Dette er det samme punkt, vi fremsatte i forbindelse med argumentet fra succes.)

4.5 Historisk succes

Det mest lovende argument for naturalisme er måske baseret på historisk succes. Videnskabelige og matematiske standarder har en bedre track record end andre; Derfor bør videnskabelige og matematiske standarder tages som autoritative i matematikfilosofien og andre steder. Bemærk, at ligesom de to foregående argumenter, er dette argument for naturalisme i matematikfilosofien et argument for global naturalisme.

Nogle naturforskere har udtrykkeligt været afhængige af denne motivation. For eksempel bruger Lewis den til at afvise strukturalisme som den korrekte filosofi om sætteori i Parts of Classes (1991, 58–9), selvom han fraskriver sig det som et argument; se også Colyvan (2001, 33), Shapiro (1997, 30) og Burgess (1998, 197). Der er meget at sige om argumentet, der udforskes i Paseau (2005). Her tilfredse vi os med to kritiske observationer.

Da filosofer tilsyneladende anvender forskellige standarder, er det ikke klart, hvad det betyder at sige, at filosofi som helhed har en dårlig historisk status. Overvej den tidlige Popper (1935), som mente, at intet beløb af bevismateriale kan gøre en ufalsificeret teori sandsynlig (eller i det mindste ikke mere sandsynlig end nogen anden uklassificeret teori). Dette er den slags eksempler, som David Lewis udøver for at pirre sjov ved filosofien: helt sikkert - helt sikkert - standarderne, der førte til denne konklusion, er ikke pålidelige. Relativitetsteorien er uden tvivl mere sandsynlig end den endnu ikke-klassificerede hypotese om, at verden vil ende i år 2525. Alligevel, hvis jeg ikke deler Poppers 1935-standarder, er det faktum, at hans daværende videnskabsfilosofi fra mit synspunkt åbenlyst forkert gør intet for at ryste min tro på mine egne filosofiske standarder. På samme måde skal du tage Thomas Aquinas,hvis filosofiske standarder omfattede konsonans med Bibelen og mere generelt med de kristne tro. Hvis jeg ikke er kristen, gør det faktum, at Aquinas 'filosofiske teologi fra mit synspunkt er forkert, intet for at ryste min tro på mine filosofiske standarder. Således ser Sir Karl eller St. Thomas 'standarder, som jeg ser det, ikke noget godt, der ikke underminerer min tro på min egen.

Jeg er derfor måske enig med naturforskeren i, at filosofi har en dårligere status end videnskab og matematik. Men det følger ikke, at de (ikke-videnskabelige eller ikke-matematiske) standarder, som jeg bruger, har en dårlig track record. Hvis filosofer konsekvent har antaget et mere eller mindre ensartet sæt standarder i løbet af historiens løb, og hvis jeg også følger den tradition ved at acceptere dem som mine, og endvidere, hvis disse standarder beviseligt har en dårligere status end videnskabelige eller matematiske standarder, det ville være en grund for mig til at vende mig til naturforsker. Men den første antagelse er i det mindste tvivlsom, og det er ikke klart, hvad der er tilbage af argumentet fra historien, hvis mine standarders antecedenter ikke har en dårlig track record.

Et andet problem med argumentet har at gøre med dens anvendelse på filosofiske spørgsmål. Lad os være enige om, at videnskabelige standarder har en god track record, når det gælder besvarelse af videnskabelige spørgsmål, at matematiske standarder har en god track record når det kommer til besvarelse af matematiske spørgsmål, og desuden at disse track records er bedre end filosofiske standarders track record i besvare filosofiske spørgsmål. Disse kendsgerninger synes imidlertid ikke at være relevante for spørgsmålet om, hvilke standarder der skal behandles som autoritative når det kommer til filosofiske spørgsmål. En god track record på en sfære er ikke i sig selv bevis for sandhedsskabende i en anden.

Dette ved nu velkendte indvendinger kan illustreres ved at overveje debatten mellem platonister og strukturalister i matematikfilosofien. Platonister fortolker '1 + 2 = 3' som en påstand om abstrakte genstande. Strukturalister på den anden side fortolker '1 + 2 = 3' som en påstand om, hvad der er tilfældet i enhver struktur, der tilfredsstiller aritmetikens aksiomer. (Her tænker vi på strukturalisme som den synspunkt, der ofte er mærket 'eliminativ strukturalisme' efter Charles Parsons, og hvis mest sofistikerede boglængde- og modalversion kan findes i Hellman (1989).) Naturalister hævder, at matematiske standarder har været mere succesfuld i fortiden, og derfor burde man have tillid til dette spørgsmål. Men det er på ingen måde klart, at dette er den type spørgsmål, der vedrører hvilke matematiske standarder, der har en bedre track record end filosofiske. Matematiske standarder har en god track record når det kommer til spørgsmål som om 1 + 2 er lig med 3, eller hvad serien 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… konvergerer til, eller om Poincaré-konjektionen (angående klassificering af 3-manifolds) er sandt; men de har ikke en bevist track record når det kommer til spørgsmål som om disse sandheder er platonistiske eller strukturalistiske. (En relateret indvending mod argumentet er, at videnskabelige standarder ikke taler til spørgsmål om fortolkning, såsom spørgsmålet om hvilken platonisme eller strukturisme man foretrækker. Jfr. Paseau (2007).)Matematiske standarder har en god track record når det kommer til spørgsmål som om 1 + 2 er lig med 3, eller hvad serien 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… konvergerer til, eller om Poincaré-konjektionen (angående klassificering af 3-manifolds) er sandt; men de har ikke en bevist track record når det kommer til spørgsmål som om disse sandheder er platonistiske eller strukturalistiske. (En relateret indvending mod argumentet er, at videnskabelige standarder ikke taler til spørgsmål om fortolkning, såsom spørgsmålet om hvilken platonisme eller strukturisme man foretrækker. Jfr. Paseau (2007).)Matematiske standarder har en god track record når det kommer til spørgsmål som om 1 + 2 er lig med 3, eller hvad serien 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… konvergerer til, eller om Poincaré-konjektionen (angående klassificering af 3-manifolds) er sandt; men de har ikke en bevist track record når det kommer til spørgsmål som om disse sandheder er platonistiske eller strukturalistiske. (En relateret indvending mod argumentet er, at videnskabelige standarder ikke taler til spørgsmål om fortolkning, såsom spørgsmålet om hvilken platonisme eller strukturisme man foretrækker. Jfr. Paseau (2007).)men de har ikke en bevist track record når det kommer til spørgsmål som om disse sandheder er platonistiske eller strukturalistiske. (En relateret indvending mod argumentet er, at videnskabelige standarder ikke taler til spørgsmål om fortolkning, såsom spørgsmålet om hvilken platonisme eller strukturisme man foretrækker. Jfr. Paseau (2007).)men de har ikke en bevist track record når det kommer til spørgsmål som om disse sandheder er platonistiske eller strukturalistiske. (En relateret indvending mod argumentet er, at videnskabelige standarder ikke taler til spørgsmål om fortolkning, såsom spørgsmålet om hvilken platonisme eller strukturisme man foretrækker. Jfr. Paseau (2007).)

Sammenfattende forbliver behovet for naturforskere at udvikle disse argumenter eller fremstille bedre argumenter.

5. Heterogen naturalisme

Indtil videre har vi overvejet tre ensartede typer metodisk naturalisme, der vedrører matematik: videnskabelig, matematisk og matematisk-cum-videnskabelig. Overvej nu en heterogen metodologisk naturalisme, der accepterer matematiske standarder, når det kommer til korrekt matematik, men som vedtager videnskabelige standarder for matematikfilosofien og for filosofien mere generelt. Heterogen naturalisme er blevet fremskaffet af Penelope Maddy (1997), hvis rige bidrag har animeret og uforligneligt påvirket debatten om naturalisme i matematikfilosofien i de sidste tyve år. (Maddy foretrækker nu at kalde hendes naturalisme 'Anden filosofi', som i titlen på hendes bog i 2007, men her fastholder vi mærket 'naturalisme' i overensstemmelse med resten af indgangen.)

Til at begynde med et repræsentativt citat fra Maddy:

Hvor Quine hævder, at videnskab er 'ikke ansvarlig for nogen supravidenskabelig domstol og ikke har brug for nogen begrundelse ud over observation og den hypotetisk-deduktive metode', tilføjer den matematiske naturforsker, at matematik ikke kan svares til nogen ekstra-matematisk domstol og ikke behov for nogen begrundelse ud over bevis og den aksiomatiske metode (1997, 184).

I vores terminologi er Maddys heterogene naturalisme en trumfende tese. Som hun udtrykker det, 'hvis vores filosofiske beretning om matematik kommer i konflikt med vellykket matematisk praksis, er det filosofien, der skal give' (1997, 161). Hverken filosofi eller videnskab kan vælte matematik '' metodologiske kendelser '' (2007, 361), da de begge er ekstra-matematiske domstole. Imidlertid tager Maddy filosofien i matematik i modsætning til den matematik, der skal være en gren af naturvidenskaben, som hun forklarer i følgende afsnit:

Så naturalistisk matematikfilosofi finder sted inden for naturvidenskab, ligesom naturalistisk videnskabsfilosofi, men i modsætning til naturalistisk videnskabsfilosofi indtager den en praktisk holdning til den naturaliserede model for matematisk praksis (1997, 202).

Disse og lignende passager (især 1997, 200–203) indikerer, at Maddy tager matematikfilosofien til at være ansvarlig for (naturlige) videnskabelige standarder.

Den heterogene naturalismes særegne karakter er således, at den anbefaler et sæt standarder (matematisk) til løsning af nogle spørgsmål om matematik-matematiske, såsom hvilke aksiomer at vælge, og et andet sæt standarder (videnskabelig) til løsning af andre spørgsmål om matematik, der er åben ved selve praksis-filosofiske, såsom hvordan man fortolker matematik. Dette er i modsætning til ensartede naturalismer i matematikfilosofien, f.eks. Kineanisk videnskabelig naturalisme eller burgerisk matematisk-cum-videnskabelig naturalisme eller en ensartet matematisk naturalisme (også foreslået af Maddy (1997), men efter vores opfattelse i sidste ende ikke fortaler der).

For at forklare, hvordan denne bivalente holdning kan fungere i praksis, tag Maddys yndlingseksempel: sæt teori. Antag, at ZFC + LCA er vores nuværende accepterede sætteori, hvor LCA er en samling af store kardinalaksiomer. I betragtning af matematisk naturalisme om korrekt matematik er der ikke noget spørgsmål om at afvise ZFC + LCA til fordel for, siger, ZFC + det aksiom, at der ikke er nogen utilgængelige eller nogen anden sætteori, siger Quines nye fundamenter. Matematiske standarder sanktionerer ZFC + LCA, så det er den sætteori, vi skal acceptere. Men hvordan skal vi fortolke ZFC + LCA? Platonistisk, strukturelt eller på anden måde? Det er et filosofisk spørgsmål, så givet videnskabelig naturalisme om matematikens filosofi (og filosofi mere generelt) er det rigtige svar det, der er sanktioneret af videnskabelige standarder. For eksempel,hvis et altoverskyggende videnskabeligt kriterium om enkelhed favoriserer platonisme over alle andre fortolkninger, skal det være den korrekte fortolkning af ZFC + LCA.

Maddy motiverer sin naturalisme ved at appellere til den”grundlæggende ånd, der ligger til grund for al naturalisme: overbevisningen om, at en succesrig virksomhed, hvad enten det er videnskab eller matematik, skal forstås eller evalueres på sine egne vilkår, at en sådan virksomhed ikke skal underkastes kritik fra, og har ikke brug for støtte fra et eller andet eksternt, angiveligt højere synspunkt”(1997, 184). En anstrengt læsning af denne sætning er, at naturalismens grundlæggende overbevisning per definition kun gælder for naturvidenskab og matematik. En mere naturlig læsning er, at den gælder enhver vellykket videnskab overhovedet. Maddy hævder derefter, at ikke-matematiske grunde faktisk ikke har påvirket matematik. Vi kan udtrykke dette som en afhandling om, at matematik er autonom.

Vurderingen af Maddys heterogene naturalisme består hovedsageligt i vurderingen af autonomitesen vedrørende matematik og dens implikationer. Et spørgsmål er, om afhandlingen er sand. En anden er, om afhandlingen understøtter heterogen naturalisme, hvis det er sandt.

5.1 Er matematik metodologisk autonom?

Maddy hævder, at den korrekte model for matematisk begrundelse vil bekræfte hypotesen om, at traditionelt videnskabelige eller filosofiske argumenter ikke indgår i berettigelsen af matematiske udsagn. For eksempel kritiserede de franske analytikere Baire, Borel og Lebesgue Axiom of Choice på grundlag af en definabilistisk metodologi, hvorefter eksistensen af et objekt afhænger af dets definibilitet: Funktioner skal være definerbare regler, medlemskab af et sæt skal gives i en definerbar måde osv. Men definabilisme endte med at have ingen indflydelse på praktik af matematik, og dens sympatisører blev tavset eller opgav det, da dets matematiske uønskede træk blev klart. F.eks. Tillader Axiom of Choice at tage maksimale idealer i ringe og andre strukturer;det indebærer de former for maksimalitetsprincipper, som selv analytikere allerede brugte; det forenkler transfinite aritmetik; og til trods for sin mistænkelige abstraktion viser det sig at svare til 'konkrete' og 'matematiske' udsagn som påstanden om, at ethvert vektorrum har et grundlag. Årsagerne til at acceptere Axiom of Choice var i sidste ende rent matematisk.

Maddy giver også en beundringsværdig detaljeret redegørelse for de slags matematiske grunde, der militerer mod 'Axiom' af Constructibility, V = L, især det faktum, at dens vedtagelse går imod det sætteoretiske maksimum MAXIMIZE, som nyder godt af, at universet af sætter bør være så ekspansiv som muligt (ved at indeholde så mange isomorfistyper som muligt).

De fleste kommentatorer har lade den beskrivende komponent i Maddys naturalisme, autonomitesen, bestå, og i stedet fokusere kritik på dens normative implikationer. Alligevel er autonomitesen meget radikal. Det sædvanlige billede af samspillet mellem matematik og filosofi er af en tovejsgade. Især menes det, at filosofi i nogen grad påvirker matematisk praksis. For eksempel tager intuitionister afhængigheden for at være dybtgående: De mener, at al den matematiske praksis hviler på et falskt filosofisk fundament, og at når først dette fundament er fjernet, matematik totter.

Maddy indrømmer frivilligt, at filosofiske doktriner som definabilisme eller realisme er vigtige inspirationer til matematisk udvikling, selvom de ikke kommer under retfærdiggørelse (1997, 192). Og hun accepterer, at”teorier om matematisk sandhed eller eksistens eller viden faktisk optræder i de fleste matematiske debatter om korrekte metoder sammen med mere typisk matematiske overvejelser” (2007, 348). Men hun fastholder, at sådanne teorier ikke til sidst har spillet en 'instrumental rolle' (2007, 359), og at de har samlet en 'track record of irrelevance' (2007, 366) i udviklingen af matematik.

Så falder filosofiske (eller mere generelt ikke-matematiske) overvejelser altid på inspirationens side snarere end at være berettigede? Nå, filosofiske overvejelser er næsten aldrig ført frem i matematiske tidsskrifter eller bøger. Og når de er Maddy, ser de dem som beløbende, når man skraber overfladen, til 'intra-matematiske' argumenter (1997, 193), hvoraf en naturaliseret model for praksis ville blive 'renset' på grund af deres metodologiske irrelevans (1997), 197). Hvis hun har ret, generaliseres dette svar fra denne særlige, temmelig begrænsede, type kontekst til alle matematiske sammenhænge.

En af implikationerne af denne opfattelse er, at de slags maxims, som Maddy ser som rent interne i matematik, såsom MAKSIMISERING eller UNIFY, aldrig selv er underlagt af filosofiske overbevisninger. UNIFY er en metodologisk konsekvens af sætteoriens grundlæggende ambition om at tilvejebringe 'et enkelt system, hvor alle objekter og strukturer i matematik kan modelleres eller indstilles' (1997, 208–9). Alligevel UNIFY og sæt teoriens grundlæggende ambition - det faktum, at som Maddy korrekt observerer, "sætteori (i det mindste delvist) er designet til at skabe et fundament for klassisk matematik" (2007, 355) - er sig selv på en lille måde, måske for at en vis lille grad understøttet af sætteoretisk realisme, dvs. synspunktet om, at sætteori handler om et enkelt univers af sæt. Ligeledes for Axiom of Choice,som på overfladen skylder sin plads i den sætteoretiske kanon til dels - måske kun i mindre grad - til en indgroet realisme om sætteori. Flere sætteoretikere er registreret som påstande om denne virkning, så bevisbyrden er på Maddy til at forklare disse bemærkninger.

Maddy anvender også den følgende problematiske stilart. Hun mener, at det faktum, at filosofiske debatter (f.eks. Om realisme) er vidt åbne, men at matematik har udviklet sig på en bestemt måde (f.eks. For at tillade impredicative metoder) viser, at filosofiske debatter ikke har påvirket resultatet af moderne matematik (f.eks. 2007 348). Men det faktum, at en debat om realisme er åben i filosofien, betyder ikke, at den er åben i matematikken. Måske har matematikere implicit taget en realistisk holdning, som til dels ligger til grund for deres accept af impredicativity, selv når filosofer fortsætter med at diskutere realismens korrekthed som matematikfilosofi. Matematik kan være filosofisk delvis, og det er derfor, den har udviklet sig, som den har.

Disse punkter mod autonomitesen er næppe uundværlige. For at evaluere det kræves større klarhed over, hvor grænsen mellem berettigelse og inspiration ligger, og hvad det nøjagtigt betyder at sige, at noget falder på den ene eller den anden side. Og selvfølgelig er vi nødt til at identificere mere præcist, hvilke af faktorerne i udviklingen i matematik, der er begrundet i funktion, og hvilke tomgangsløsninger. Selv hvis autonomitesen ikke er sand, er den måske næsten sand. Og måske kræves der ikke noget så stærkt som en autonomitese for at understøtte trumf i modsætning til to-betinget naturalisme.

5.2 Hvis matematik er metodologisk autonom, etablerer det da Maddys Naturalisme?

At en praksis med udstedelse af erklæringer faktisk er autonom indebærer ikke, at dens erklæringer derved er acceptabel. Praksis kan hermetisk forsegles fra påvirkning udefra (f.eks. Astrologi, dogmatisk teologi), men det gør ikke i sig selv deres påstande acceptable. Hvad gør matematik anderledes?

Maddy anerkender dette problem for sin holdning (1997, 203–5; 2005, 449; 2007, 346–7), som gennemgange og diskussioner om hendes arbejde har taget fat på (f.eks. Dieterle 1999, Rosen 1999, Roland 2007; kun Tappenden (2001) er mere sympatisk). Hun adresserer det ved at skelne mellem rene og anvendte discipliner. Tager astrologi som en folie, bemærker hun, at anvendt astrologi kan fortolkes som at fremsætte påstande om den empiriske verden. Ved hjælp af hendes almindelige videnskabelige standarder værdsætter den videnskabelige naturforsker, at anvendt astrologi er falsk (da den afviger fra den accepterede videnskabelige historie). Anvendt astrologi fortjener derfor ikke naturens respekt. Ren astrologi derimod er astrologi fortolket som behandling af 'visse overnaturlige vibrationer, der ikke interagerer kausalt med almindelige fysiske fænomener' (1997, 204). Imidlertid,der er ingen grund til at tro på ren astrologi, da den ikke findes i vores bedste videnskabelige teori om verden. På begge fortolkninger er astrologi således uanalogisk for matematik.

Maddy ser ud til at ville have hendes kage og spise den. Årsagen til matematikens troværdighed antages at være dens anvendelse i videnskab. Men hvorfor skulle det faktum, at matematikfunktioner i vores bedste videnskab være en grund til at tro matematikernes ytringer - det vil sige en grund til at antage, at de er sande? Mistanken er, at hvis funktion i bedste videnskab er mærket af troværdighed, skulle det være videnskabelige standarder, der i sidste ende bestemmer matematiske teoriers accept. Maddy har faktisk citeret en funktion, der adskiller matematik fra ren astrologi, som hun påpeger (2007, 390); men hvad der stadig forbliver uklart, er, hvorfor denne funktion skal gøre matematik snarere end videnskab autoritativ med hensyn til spørgsmål i matematik korrekt. Således ser det ud til, at hun ikke har forklaret, hvordan man konsekvent kan være en matematisk naturforsker om matematiske teorier, men en videnskabelig naturforsker om alt andet, inklusive matematikens sandhed og natur. Mere generelt, i betragtning af at en praksis har spørgsmål i sandhedsvurderbare udsagn, ser det ud til, at man ikke kan forfægte X-standarder som voldgiftsmænd for disse udsagns acceptabilitet, samtidig med at man går ind for et andet sæt standarder, Y-standarderne, som voldgiftsmænd for, om eller ikke udsagnene skal tages som sande, hvordan de skal fortolkes osv. Bemærk, at dette er et problem, der udelukkende står overfor af heterogen i modsætning til ensartet naturalisme.i betragtning af at en praksis rejser spørgsmål i sandhedsvurderbare udsagn, ser det ud til, at man ikke kan forfægte X-standarder som voldgiftsmænd for disse udsagns acceptabilitet, samtidig med at man går ind for et andet sæt standarder, Y-standarderne, som voldgiftsmænd for, om udsagnene er ej eller ej bør tages som sande, hvordan de skal fortolkes osv. Bemærk, at dette er et problem, der udelukkende står overfor af heterogen i modsætning til ensartet naturalisme.i betragtning af at en praksis rejser spørgsmål i sandhedsvurderbare udsagn, ser det ud til, at man ikke kan forfægte X-standarder som voldgiftsmænd for disse udsagns acceptabilitet, samtidig med at man går ind for et andet sæt standarder, Y-standarderne, som voldgiftsmænd for, om udsagnene er ej eller ej bør tages som sande, hvordan de skal fortolkes osv. Bemærk, at dette er et problem, der udelukkende står overfor af heterogen i modsætning til ensartet naturalisme.

Den eneste måde at undgå denne tilsyneladende inkonsekvens er at antage, at det at "acceptere" en erklæring, der er sanktioneret ved matematisk praksis - en erklæring, som den autonome praksis i matematik giver tommelfingeren - ikke udgør at tage det som sandt. Skønt det foreslås af et par passager i Maddy (1997), er denne fortolkning ikke en, der seriøst kan sættes på hendes bog. Desuden er det ensbetydende med videnskabelig naturalisme i alle undtagen navn. Det svarer til påstanden om, at uanset matematikere, der bruger deres tid på at sige, lave og udgive, ikke bør forstyrres, men at vi kun skal være opmærksomme på at tro, at de matematiske påstande, der er sanktioneret af videnskabelig grund, uanset om de får tommelfingeren eller ej i matematikernes sprogspil.

Dette billede er for nylig blevet kompliceret af Maddys påstande om, at det, hun kalder Arealisme - der ikke tager sætteori og mere generelt matematik for at være sandt - kan være lige så videnskabeligt respektabelt som tynd realisme - groft, det synspunkt, der sætter, har kun de egenskaber, der er tilskrevet dem ved sætteori (2007, IV.4). Denne indgang har ikke plads til at gøre retfærdighed over for dette twist i Maddys metafilosofi. Det er tilstrækkeligt at bemærke følgende. De spørgsmål, der netop er diskuteret, ser ud til at opstå for den tynde realist lige så meget som enhver anden form for realist. Og områdelistkonstruktionen ser ud til at omdanne Maddys position til noget helt anderledes end den heterogene naturalisme, der er under overvejelse her.

6. Ontologisk Naturalisme

Når man vender sig væk fra metodisk naturalisme, skal man nu overveje ontologisk naturalisme, synspunktet om, at alle enheder er naturlige. En måde at læse dette på er at kun de enheder, der stilles af naturvidenskaben, findes. En anden og måske mere naturlig læsning er, at der kun findes spatiotemporale enheder. Vi behandler begge læsninger kort i dette sidste afsnit og tager kort ind epistemologisk naturalisme i 6.3.

6.1 Naturvidenskab som Arbiter of Ontology

Ved den første læsning er ontologisk naturalisme i matematikfilosofien en ligetil konsekvens af metodologisk videnskabelig naturalisme. Den siger, at matematikens ontologi er den matematiske ontologi for vores bedste naturvidenskab. Videnskabelige platonister hævder efter Quine og Putnam, at denne ontologi er platonist, ligesom matematisk-cum-videnskabelige platonister (f.eks. Burgess og Rosen (1997)). Modstand mod videnskabelig platonisme og det tilhørende argument om uundværlighed er blevet monteret på flere fronter (f.eks. Field 1980, Sober 1993, Maddy 1997, kap. II.6, Paseau 2007). Konsulter Colyvan (2011) for en detaljeret diskussion.

6.2 Alle enheder er Spatiotemporal

Den anden læsning af ontologisk naturalisme, ifølge hvilken alle enheder er spatiotemporal, udgør en version af anti-platonisme i matematikfilosofien.

Positionen underinddeles. I et reduktionistisk synspunkt tages matematik til en logikogrammatisk pålydende værdi, men dens objekter (tal, funktioner, sæt osv.) Betragtes som spatiotemporale. Dette synspunkt fremmes for sæt i Armstrong (1991) og mere generelt i Bigelow (1988). Ikke-reduktionistiske synspunkter er mangfoldige. De inkluderer at tage matematik som meningsløs symbolmanipulation (formalisme), eller som udforskning af hvad der er sandt i alle strukturer, der adlyder aksiomerne (strukturalisme), eller som udforskning af hvad der er sandt i alle mulige strukturer, der adlyder aksiomerne (modal-strukturalisme)). Bueno (kommende) diskuterer forskellige nominalismer, dvs. synspunkter, der kun betragter spatiotemporale enheder. Da mange af disse nominalismer er forenelige med ikke-naturalistiske såvel som ontologiske naturalistiske motiver, diskuterer vi dem ikke her. Vi koncentrerer os om en håndfuld spørgsmål, der hovedsageligt vedrører reduktionistiske versioner af ontologisk realisme.

Reduktionistisk ontologisk naturalisme og ikke-modal strukturalisme omkring sætteori står over for et øjeblikkeligt problem: der er tilsyneladende langt færre enheder i rumtiden end der er sæt. Selv på de mest liberale antagelser (rumtidspunkter og vilkårlige regioner deraf eksisterer, kan nogle små uendelige enheder samles på et hvilket som helst af disse punkter eller regioner), størrelsen på rumtid og objekterne deri er en relativt lav uendelig kardinalitet (bestemt ikke mere end

Beth
Beth

ω- selv det er generøst). Der er således ikke nok spatiotemporale enheder til at fortolke sætteorien bogstaveligt eller til at gøre en strukturel fortolkning af sætteorien ikke-vakuøst sand, og dermed for at sikre, at sætteoretiske usandheder fremgår falske snarere end sande. Se Paseau (2008) for diskussion af dette og andre problemer for sætteoretisk reduktionisme.

Et andet problem er, at selv hvis rumtiden var stor nok til at tilvejebringe enten en model til en bogstavelig fortolkning af sætteorien eller et eksempel på dens strukturelle fortolkning, ville dette være en betinget kendsgerning om vores univers. Sæt teori ville være sandt, men betinget. Da vi typisk tænker på matematik som nødvendigt, er dette imidlertid en ubesværet konsekvens for en matematikfilosofi. Nogle kan endda kalde det en reductio.

Versioner af disse problemer påvirker også Mills empirisme (1843). For Mill er matematik og logik naturvidenskab, og deres principper er naturlove. Aritmetik er for eksempel teorien om aggregater, dvs. teorien om samlinger af konkrete enheder. Geometri er teorien om idealiserede grænser for konkrete enheder-linjer, punkter, planer og så videre - hvis principper er "virkelige kendsgerninger med nogle af deres omstændigheder overdrevet eller udeladt" (Mill 1843, bind 1, bk. II, kap. V.). Milliansk matematikfilosofi er modtagelig for det netop givne kardinalitetsproblem. (Selvfølgelig er dette en anakronistisk kritik, da infinitær sætteori endnu ikke var blevet udviklet i Mills tid.) Hvad angår matematikens beredskab, bet Bit Mill kuglen og accepterede den.

Et relateret problem for en Millian-opfattelse, der opstår selv for matematikken på Mills tid, er et dilemma vedrørende eksistensen af aggregater af aggregater, aggregater af aggregater af aggregater…. Aggregater af højere orden, hvis de findes, kan kun være abstrakte - hvad ellers? Men hvis de ikke eksisterer - hvis der kun er førsteordens aggregater - så er der især ikke et antal tal, for eksempel er det meningsløst eller falsk at sige, at der er to primater mellem 20 og 30.

Kitcher (1983) er et forsøg på at genoplive Mills filosofi om matematik ved at modalisere den. Det redegør for matematisk sandhed med hensyn til driften af en mulig, men ikke-faktisk ideel agent, og falder således under overskriften modalistiske matematikfilosofier. (Selvom Kitcher selv ikke er glad for mærket (1983, 121–2).)

Andre tilsyneladende problemer for reduktionistisk ontologisk naturalisme inkluderer problemet med vilkårlighed og det faktum, at det strider dybt imod matematisk metode. Antag, at aritmetik er undersøgelsen af nogle særlige spatiotemporale enheder. Meget godt; men hvilke? Det er bestemt tilfældigt, hvilken spatiotemporal enhed der vælges som tallet nul. Denne kritik er en version af et generelt anti-reduktionistisk argument fremlagt i Benacerraf (1965). Responsen herpå er normalt, at reduktionisme ikke søger at afdække betydningen af talebegreber, men i stedet foreslår en teoretisk identifikation (Paseau 2009). Anvendelsen af modstridende matematisk metode er også alvorlig. Hvis matematiske objekter er spatiotemporale,hvorfor udfører matematikere ikke eksperimenter for at opdage deres egenskaber? Hvis matematik virkelig var optaget af det spatiotemporale, ville dets metodologi helt sikkert være mere empirisk.

Ontologiske naturalistiske synspunkter af den diskuterede type er af disse og beslægtede grunde betragtet som problematiske og er derfor upopulære.

6.3 Naturalistisk anti-platonisme og epistemologisk naturalisme

Uanset hvad deres motivation er, er ontologiske naturforskere pr. Definition (ved denne anden læsning af læren) enige om, at platonisme er falsk. Nogle gange er ontologisk naturalisme motiveret af metafysiske doktriner, for eksempel af princippet om, at alt, hvad der findes, har kausale kræfter. Abonnenter på dette princip inkluderer Armstrong (1997), der kalder det det eleatiske princip; for kritik, se Colyvan (2001 kap. 3) og Papineau (2009).

Det mest populære argument for ontologisk naturalisme er epistemologisk, og følgelig er ontologisk naturalisme ofte allieret med epistemologisk naturalisme. Hvis der er abstrakte enheder, ser det ud til, at vi ikke kan kende eller danne pålidelige overbevisninger om dem (Benacerraf 1973, Field 1989) på grund af deres kausale isolering fra os. De fleste filosofer anser dette for at være det største problem, der rammer platonisme. Bemærk, at argumentet typisk fører til agnosticisme snarere end benægtelse af abstrakte matematiske objekter 'eksistens. Dette er ikke stedet at engagere sig i argumentet - for flere detaljer, se Balaguer (2009) - gem for at tegne, hvordan en platonist, der også er en videnskabelig eller matematisk-cum-videnskabelig naturalist-f.eks. Quine-reagerer på det.

Den naturalist-platonistiske reaktion er toformet (Burgess og Rosen 1997, 2005; for kritik, se Linnebo 2006, Chihara 2006). Det første udtryk er, at der aldrig er blevet udtænkt et simpelt kriterium for viden (eller pålidelig tro eller berettiget tro), der lykkes med at udelukke viden om det abstrakte uden derved udelukke de videnstyper, som naturlige naturister ville acceptere (Steiner 1975). Et par eksempler: (i) betingelsen om, at p er en årsag til troen på, at p er for stærk, da det udelukker viden om fremtiden; (ii) som naturalist-platonisten ser det, at abstrakt matematisk virkelighed således er-og-så er faktisk en del af den bedste forklaring på troen på, at p; derfor viser sig en forklarende tilstand af denne art at være forenelig med platonisme. I øvrigt,naturalist-platonister klager over, at selv hvis der blev fundet et kriterium, der trækker den linje, hvor nominalisten ønsker, at det skulle blive trukket, ville det stille spørgsmålet mod platonisme.

For det andet kører naturalist-platonister en standard-quinean linje ved at fortolke enhver udfordring til pålideligheden af vores overbevisning om platoniske matematiske objekter som en generel udfordring for den videnskabelige metodes pålidelighed. (Dette er fra den videnskabelige naturforskares synspunkt; den videnskabelige cum-matematiske naturforsker kan køre den samme linje med tilsvarende justeringer.) Men af vores bedste lys - i henhold til vores bedste teori om verden, dvs. naturvidenskab, der udgør abstrakte matematiske objekter - tro på abstrakte matematiske enheder nås ved en pålidelig metode, nemlig den videnskabelige metode. Dette er ikke blot selvbekræftelse, da den videnskabelige metode her bliver brugt til at forklare pålideligheden af matematiske overbevisninger, omend holistisk. Men selvfølgelig, hvis pålideligheden af selve den videnskabelige metode stilles i tvivl, har naturforskeren intet andet valg end at bruge selve den videnskabelige metode til at forklare sin egen pålidelighed. Naturalist-platonisten kan tilføje, at vi ikke kan gøre det bedre, og at enhver, der sætter spørgsmålstegn ved den videnskabelige metodes pålidelighed, derved har forladt naturalistcampen. Fra dette perspektiv er der så ikke noget epistemologisk problem for platonisme, når det først er konstateret, at platonist-matematik er en del af bedste videnskab.der er ikke noget epistemologisk problem for platonisme, når det først er konstateret, at platonist-matematik er en del af bedste videnskab.der er ikke noget epistemologisk problem for platonisme, når det først er konstateret, at platonist-matematik er en del af bedste videnskab.

Bibliografi

  • Armstrong, DM, 1991, "Classes Are States of Affairs", Mind, 100 (2): 189–200.
  • –––, 1997, A World of States of Affairs, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Baker, A., 2001, “Matematik, uundværlighed og videnskabelig fremskridt”, Erkenntnis, 55: 85–116.
  • Balaguer, M., 2009, “Platonism in Metaphysics”, i The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2009 Edition), Edward N. Zalta (red.), URL = .
  • Bigelow, J., 1988, The Reality of Numbers, Oxford: Clarendon Press.
  • Benacerraf, P., 1965, "Hvilke numre der ikke kunne være", Filosofisk anmeldelse 74, repr. i P. Benacerraf & H. Putnam (red.), Philosophy of Mathematics: Selected Readings 1983, Cambridge University Press.
  • –––, 1973, “Matematisk sandhed”, Journal of Philosophy 70, repr. i Benacerraf & Putnam (1983), Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Cambridge: Cambridge University Press, s. 403–420.
  • Bigelow, J., 1988, The Reality of Numbers, Oxford: Clarendon Press.
  • Bueno, O, kommende "Nominalisme i matematikens filosofi", The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  • Burgess, J., 1983, "Why I Not Not Nominalist", Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 93–105.
  • –––, 1990, 'Epistemology and nominalism', i AD Irvine (red.), Physicalism in Mathematics. Dordrecht: Kluwer, s. 1–15.
  • –––, 1998, “Occam's Razor and Scientific Method”, i M. Schirn (red.), Philosophy of Mathematics Today, New York: Oxford University Press, s. 195–214.
  • Burgess, J. & Rosen, G., 1997, Et emne uden objekt, New York: Oxford University Press.
  • –––, 2005, “Nominalism Reconsidered”, i S. Shapiro (red.), Oxford Handbook of the Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, s. 515–535.
  • Chihara, C., 2006, “Burgess 'videnskabelige' argumenter for eksistensen af matematiske objekter”, Philosophia Mathematica 14: 318–37.
  • Colyvan, M., 2001, The Unispensability of Mathematics, New York: Oxford University Press.
  • –––, 2011, “Uundværlige argumenter i filosofien for matematik”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2011 Edition), Edward N. Zalta (red.), URL = .
  • Dieterle, JM, 1999, “Matematisk, astrologisk og teologisk naturalisme”, Philosophia Mathematica, 7: 129-135.
  • Field, H., 1980, Science Without Numbers, Princeton: Princeton University Press.
  • –––, 1989, Realisme, matematik og modalitet, Oxford: Basil Blackwell.
  • Goodman, N. & Quine. WV, 1947, “Skridt hen imod en konstruktiv nominalisme”, Journal of Symbolic Logic, 12: 105–122.
  • Hellman, G., 1989, Mathematics Without Numbers, Oxford: Oxford University Press.
  • Kitcher, P., 1983, The Nature of Mathematical Knowledge, Oxford: Oxford University Press.
  • Lewis, D., 1991, Parts of Classes, Oxford: Blackwell.
  • –––, 1993, “Mathematics is Megethology”, Philosophia Mathematica, 3: 3–23.
  • Linnebo, Ø, 2006, “Epistemological Challenges to Mathematical Platonism”, Philosophical Studies, 129: 545–574.
  • Linsky, B., og Zalta, E., 1995, "Naturaliseret platonisme vs. platoniseret naturalisme", The Journal of Philosophy, 92 (10): 525–555 (oktober).
  • Lycan, WG, 1988, Judgment and Justification, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Maddy, P., 1997, Naturalism in Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2001, “Naturalisme: venner og fjender”, Filosofiske perspektiver, 15: 37–67.
  • –––, 2005, “Three Forms of Naturalism” i S. Shapiro (red.), Oxford Handbook of the Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, s. 437–459.
  • –––, 2007, Second Philosophy: A Naturalistic Method, Oxford University Press.
  • Mill, JS, 1843, et system af logik. [flere udgaver]
  • Papineau, D., 2009, "Naturalism", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition), Edward N. Zalta (red.), URL = .
  • Paseau, A., 2005, “Naturalism in Mathematics and the Authority of Philosophy”, British Journal for the Philosophy of Science, 56: 399–418.
  • –––, 2007, “Scientific Platonism”, i M. Leng, A. Paseau & M. Potter (red.), Matematisk viden, Oxford: Oxford University Press, s. 123–149
  • –––, 2008, “Motiverende reduktionisme omkring sæt”, Australasian Journal of Philosophy, 86: 295–307.
  • –––, 2009, “Reduktion af aritmetik til sætteori”, i Ø. Linnebo & O. Bueno (eds), Nye bølger i matematikens filosofi, Palgrave Macmillan.
  • Popper, KR, 1935, Logik der Forschung, Wien: Springer.
  • Putnam, H., 1971, “Philosophy of Logic”, repr. i hans matematik, materie og metode: filosofiske papirer (bind 1), Cambridge: Cambridge UP, s. 323–57.
  • Roland, Jeffrey, 2009, “On Naturalizing the Epistemology of Mathematics”, Pacific Philosophical Quarterly, 90 (1): 63–97.
  • Quine, WV, 1955, "Posits and Reality", repr. i The Ways of Paradox and Other Essays, Cambridge, MA: Harvard University Press, s. 246–54.
  • –––, 1981,”Ting og deres plads i teorier” i hans teorier og ting, Cambridge, MA: Harvard University Press, s. 1–23.
  • –––, 1986, “Svar til Charles Parsons”, i L. Hahn & P. Schilpp (red.), The Philosophy of WV Quine, La Salle: Open Court, s. 396–403.
  • –––, 1995, Fra stimulering til videnskab. Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Quine, WV og Ullian, J., 1970, The Web of Belief, New York: McGraw Hill.
  • Roland, J., 2007, “Maddy and Mathematics: Naturalism or Not”, British Journal for the Philosophy of Science, 58: 423–450.
  • Rosen, G., 1999, Review of Maddy (1997), British Journal for the Philosophy of Science, 50: 467–74.
  • Shapiro, Stewart og Patrick Reeder, 2009, “En videnskabelig virksomhed ?: Penelope Maddys anden filosofi”, Philosophia Mathematica, 17 (2): 247–271.
  • Sober, E., 1993, “Matematik og uundværlighed”, Philosophical Review, 102: 35–58.
  • Steiner, M., 1975, Matematisk viden, Princeton: Princeton University Press.
  • Tappenden, J., 2001, “Review: Recent Work in Philosophy of Mathematics”, Journal of Philosophy, 98: 488–97.
  • Wittgenstein, L., 1953, Philosophical Investigations, Oxford: Blackwell.

Akademiske værktøjer

sep mand ikon
sep mand ikon
Sådan citeres denne post.
sep mand ikon
sep mand ikon
Forhåndsvis PDF-versionen af denne post hos Friends of the SEP Society.
inpho ikon
inpho ikon
Slå dette emne op på Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papirer ikon
phil papirer ikon
Forbedret bibliografi til denne post på PhilPapers med links til dens database.

Andre internetressourcer

[Kontakt forfatteren med forslag.]

Anbefalet: