Russells Paradoks

Indholdsfortegnelse:

Russells Paradoks
Russells Paradoks

Video: Russells Paradoks

Video: Russells Paradoks
Video: Russell's Paradox - A Ripple in the Foundations of Mathematics 2024, Marts
Anonim

Indtastningsnavigation

  • Indtastningsindhold
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Venner PDF-forhåndsvisning
  • Forfatter og citatinfo
  • Tilbage til toppen

Russells paradoks

Først udgivet fre 8. december 1995; substantiel revision sø 9. oktober 2016

Russells paradoks er det mest berømte af de logiske eller sætteoretiske paradokser. Også kendt som Russell-Zermelo-paradokset opstår paradokset inden for naiv sætteori ved at overveje sættet af alle sæt, der ikke er medlemmer af sig selv. Et sådant sæt ser ud til at være et medlem af sig selv, og kun hvis det ikke er et medlem af sig selv. Derfor paradokset.

Nogle sæt, såsom sættet af alle tekopper, er ikke medlemmer af sig selv. Andre sæt, såsom sættet af alle ikke-tekopper, er medlemmer af sig selv. Kald sættet med alle sæt, der ikke er medlemmer af sig selv "R." Hvis R er et medlem af sig selv, må det pr. Definition ikke være et medlem af sig selv. Tilsvarende, hvis R ikke er et medlem af sig selv, skal det pr. Definition være et medlem af sig selv.

Selvom Ernst Zermelo også blev bemærket, blev modsigelsen ikke antaget at være vigtig, før den blev opdaget uafhængigt af Bertrand Russell i foråret 1901. Siden da har paradokset ansporet et stort arbejde inden for logik, sætteori og filosofi og fundamenter af matematik.

  • 1. Paradokset
  • 2. Historien om paradokset
  • 3. Tidlige svar på paradokset
  • 4. Russells paradoks i nutidig logik
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Andre internetressourcer
  • Relaterede poster

1. Paradokset

Central for enhver teori om sæt er en redegørelse for betingelserne, under hvilke sæt dannes. Ud over blot at opliste medlemmerne af et sæt blev det oprindeligt antaget, at enhver veldefineret betingelse (eller præcist specificeret egenskab) kunne bruges til at bestemme et sæt. For eksempel, hvis T er egenskaben ved at være en tekop, kan sættet, S, af alle tekopper være defineret som S = {x: T (x)}, sættet af alle individer, x, således at x har egenskab ved at være T. Selv en modstridende egenskab kan bruges til at bestemme et sæt. F.eks. Vil egenskaben ved at være både T og ikke-T bestemme det tomme sæt, og sættet har ingen medlemmer.

Mere præcist antager naive sætteori den såkaldte naive eller ubegrænsede forståelsesaksiom, det aksiom, der for enhver formel φ (x), der indeholder x som en fri variabel, der vil findes det sæt {x: φ (x)}, hvis medlemmer er nøjagtigt de objekter, der tilfredsstiller φ (x). Så hvis formlen φ (x) står for “x er prim”, vil {x: φ (x)} være sæt primtall. Hvis φ (x) står for “~ (x = x)”, vil {x: φ (x)} være det tomme sæt.

Men ud fra antagelsen af dette aksiom følger Russells modsigelse. Hvis vi for eksempel lader φ (x) stå for x ∈ x og lader R = {x: ~ φ (x)}, er R det sæt, hvis medlemmer er nøjagtigt de objekter, der ikke er medlemmer af sig selv.

Er R et medlem af sig selv? Hvis det er tilfældet, skal det opfylde betingelsen om ikke at være medlem af sig selv, og det er det heller ikke. Hvis det ikke er tilfældet, må det ikke opfylde betingelsen om ikke at være et medlem af sig selv, og det må derfor være et medlem af sig selv. Da den ene eller den anden sag ved klassisk logik skal indeholde - enten er R et medlem af sig selv, eller er det ikke - følger det, at teorien indebærer en modsigelse.

Som Russell fortæller os, var det, efter at han anvendte den samme form for ræsonnement, der findes i Cantors diagonale argument til en”formodet klasse af alle tænkelige objekter”, at han blev ført til modsigelsen:

Den omfattende klasse, vi overvejer, som er at omfavne alt, skal omfavne sig selv som et af dens medlemmer. Med andre ord, hvis der er noget som”alt”, så er “alt” noget og er medlem af klassen “alt”. Men normalt er en klasse ikke et medlem af sig selv. Mennesket er for eksempel ikke en mand. Dann nu samling af alle klasser, der ikke er medlemmer af sig selv. Dette er en klasse: er det et medlem af sig selv eller ej? Hvis det er det, er det en af disse klasser, der ikke er medlemmer af sig selv, dvs. det er ikke et medlem af sig selv. Hvis det ikke er tilfældet, er det ikke en af disse klasser, der ikke er medlemmer af sig selv, dvs. det er et medlem af sig selv. Således af de to hypoteser - at det er, og at det ikke er, et medlem af sig selv - indebærer hver sin modstridende. Dette er en modsigelse. (1919, 136)

Standard svar på paradokset forsøger på en eller anden måde at begrænse betingelserne, under hvilke sæt dannes. Målet er normalt både at eliminere R (og lignende modstridende sæt) og på samme tid at beholde alle andre sæt, der er nødvendige til matematik. Dette gøres ofte ved at erstatte den ubegrænsede forståelsesaksiom med den mere restriktive separationsaksiom, nemlig det aksiom, der har givet ethvert (konsistent) sæt S og enhver formel φ (x) med x fri, der vil være et sæt {x ∈ S: φ (x)} hvis medlemmer er nøjagtigt de medlemmer af S, der tilfredsstiller φ (x). Hvis vi nu lader φ (x) stå for formlen x ∉ x, viser det sig, at det tilsvarende sæt, {x ∈ S: x ∉ x} ikke vil være modstridende, da det kun består af de medlemmer, der findes inden for S, der ikke er medlemmer af sig selv. Dermed undlader det sæt at inkludere sig selv.

En række relaterede paradokser diskuteres i det andet kapitel i Introduktion til Whitehead og Russell (1910, 2. udg. 60-65), såvel som i indgangen til paradokser og nutidig logik i dette encyklopædi.

2. Historien om paradokset

Russell ser ud til at have opdaget sit paradoks i slutningen af foråret 1901, mens han arbejdede med sine Principles of Mathematics (1903). Præcis når opdagelsen fandt sted er ikke klart. Russell siger oprindeligt, at han stødte på paradokset "i juni 1901" (1944, 13). Senere rapporterer han, at opdagelsen fandt sted "i foråret 1901" (1959, 75). Stadig senere rapporterer han, at han stødte på paradokset, ikke i juni, men i maj samme år (1969, 221). Cesare Burali-Forti, en assistent for Giuseppe Peano, havde opdaget en lignende antinomi i 1897, da han bemærkede, at da ordinalsættet er velordnet, må det også have en ordinal. Imidlertid skal denne ordinal både være et element i sættet af alle ordinaler og alligevel større end hvert sådant element.

I modsætning til Burali-Fortis paradoks, involverer Russells paradoks hverken ordinaler eller kardinaler, men i stedet kun er afhængige af de primitive forestillinger om sæt og sæt inkludering. Zermelo bemærkede en lignende modsigelse en eller anden tid mellem 1897 og 1902, og muligvis forventede Russell i nogle år (Ebbinghaus og Peckhaus 2007, 43–48; Tappenden 2013, 336), selvom Kanamori konkluderede, at opdagelsen let kunne have været så sent som 1902 (Kanamori 2009 411). Under alle omstændigheder blev paradokset antaget at være af mindre betydning, indtil det blev klar over, hvor skadeligt det var for Gottlob Freges grundlæggende for matematik.

Russell skrev til Frege med nyheder om sit paradoks den 16. juni 1902. (For den relevante korrespondance, se Russell (1902) og Frege (1902) i van Heijenoort (1967).) Paradokset var af betydning for Freges logiske arbejde siden, faktisk viste det, at de aksiomer, Frege brugte til at formalisere hans logik, var inkonsekvente. Specifikt kræver Freges Axiom V, at et udtryk som φ (x) betragtes som en funktion af argumentet x og en funktion af argumentet φ. (Mere præcist fastslår Freges lov, at værdiforløbet for et begreb f er identisk med værdiforløbet for et begreb g, hvis og kun hvis f og g er enige om værdien af hvert argument, dvs. hvis og kun hvis for hvert objekt x, f (x) = g (x). Se afsnit 2.4.1 i posten på Gottlob Frege i dette encyklopædi for mere diskussion.)det var denne uklarhed, der gjorde det muligt for Russell at konstruere R på en sådan måde, at det både kunne være og ikke være medlem af sig selv.

Russells brev ankom ligesom det andet bind af Freges Grundgesetze der Arithmetik (The Basic Laws of Arithmetic, 1893, 1903) var i presse. Straks at forstå, hvor vanskeligt paradokset var, føjede Frege til Grundgesetze et hastigt sammensat appendiks, der diskuterede Russells opdagelse. I appendiks bemærker Frege, at konsekvenserne af Russells paradoks ikke umiddelbart er klare. For eksempel:”Er det altid tilladt at tale om udvidelsen af et begreb, en klasse? Og hvis ikke, hvordan anerkender vi de usædvanlige tilfælde? Kan vi altid udlede fra udvidelsen af det ene koncept, der falder sammen med det andet, at ethvert objekt, der falder ind under det første koncept, også falder ind under det andet? Dette er spørgsmålene,”bemærker Frege,“rejst ved hr. Russells meddelelse”(1903, 127). På grund af disse bekymringer,Frege følte sig til sidst tvunget til at opgive mange af sine synspunkter om logik og matematik.

Alligevel, som Russell påpeger, mødte Frege nyheden om paradokset med en bemærkelsesværdig styrke:

Når jeg tænker på handlinger med integritet og nåde, er jeg klar over, at der ikke er noget i min viden at sammenligne med Freges dedikation til sandheden. Hele hans livs arbejde var på randen af færdiggørelse, meget af hans arbejde var blevet ignoreret til fordel for mænd uendeligt mindre dygtige, hans andet bind var ved at blive offentliggjort, og efter at have konstateret, at hans grundlæggende antagelse var i fejl, svarede han med intellektuel glæde klart under vandet følelser af personlig skuffelse. Det var næsten overmenneskeligt og en talende indikation af det, som mænd er i stand til, hvis deres dedikation er til kreativt arbejde og viden i stedet for en mere unødvendig indsats for at dominere og blive kendt. (Citeret i van Heijenoort (1967), 127)

Naturligvis var Russell også bekymret over konsekvenserne af modsigelsen. Da han lærte, at Frege var enig med ham om betydningen af resultatet, begyndte han straks at skrive et appendiks til sine snart snart frigivne matematiske principper. Med navnet "Tillæg B: Læren om typer" repræsenterer tillægget Russells første forsøg på at tilvejebringe en principiel metode til at undgå, hvad der snart skulle blive kendt som "Russells paradoks."

3. Tidlige svar på paradokset

Betydningen af Russells paradoks kan ses, når det først er klar over, at alle sætninger ved hjælp af klassisk logik følger af en modsigelse. For eksempel, hvis man antager både P og ~ P, kan ethvert vilkårligt forslag, Q, bevises som følger: fra P opnår vi P ∨ Q ved tillægsreglen; derefter fra P ∨ Q og ~ P opnår vi Q ved reglen om disjunktiv syllogisme. Fordi sætteori ligger til grund for alle grene af matematik, begyndte mange mennesker at bekymre sig om, at inkonsekvensen af sætteori ville betyde, at intet matematisk bevis kunne være fuldstændigt pålideligt. Kun ved at eliminere Russells paradoks kunne matematik som helhed genvinde sin konsistens.

Russells paradoks stammer i sidste ende fra ideen om, at enhver betingelse eller ejendom kan bruges til at bestemme et sæt. F.eks. Er egenskaben ved at være jævnt delbar af sig selv og nummer et skelner sætet med primtal fra sættet med hele tal. Egenskaben ved at have brystkirtler adskiller sæt af pattedyr fra krybdyr, fugle og andre levende organismer. Egenskaben ved at være både kvadratisk og ikke firkantet (eller enhver anden sammenhæng med modstridende egenskaber) bestemmer det tomme sæt osv.

En tidlig skeptiker vedrørende en ubegrænset forståelse (eller abstraktion) -akiom var ophavsmanden til moderne sætteori, Georg Cantor. Selv før Russells opdagelse havde Cantor afvist ubegrænset forståelse til fordel for, hvad der faktisk var en sondring mellem sæt og klasser, idet han anerkendte, at nogle egenskaber (såsom egenskaben at være en ordinær) producerede samlinger, der simpelthen var for store til at være sæt, og at enhver antagelse om det modsatte ville føre til inkonsekvens. (Detaljer findes i Moore (1982), Hallett (1984) og Menzel (1984).)

Russells eget svar på paradokset fulgte med hans passende navngivne teori om typer. Da vi troede på, at selvanvendelse var kernen i paradokset, var Russells grundlæggende idé, at vi kunne undgå forpligtelse over for R (sættet af alle sæt, der ikke er medlemmer af sig selv) ved at arrangere alle sætninger (eller mere præcist, alle propositionelle funktioner), funktioner, der giver forslag som deres værdier) i et hierarki. Det er derefter muligt at henvise til alle objekter, som en given betingelse (eller predikat) kun indeholder, hvis de alle er på samme niveau eller af den samme "type."

Denne løsning på Russells paradoks er i høj grad motiveret af vedtagelse af det såkaldte onde cirkelprincip. Det gælder princip, at der ikke kan defineres nogen propositionsfunktion, før funktionens anvendelsesomfang specificeres. Med andre ord, før en funktion kan defineres, skal man først specificere nøjagtigt de objekter, som funktionen skal gælde for (funktionens domæne). For eksempel, før man definerer predikatet “er et primtal,” skal man først definere samlingen af objekter, der muligvis kan tilfredsstille dette predikat, nemlig sættet, N, af naturlige tal.

Som Whitehead og Russell forklarer,

En analyse af de paradokser, der skal undgås, viser, at de alle stammer fra en slags ond cirkel. De pågældende onde cirkler stammer fra at antage, at en samling objekter kan indeholde medlemmer, som kun kan defineres ved hjælp af samlingen som helhed. F.eks. Antages samlingen af forslag at indeholde et forslag, der siger, at "alle forslag er enten sande eller falske." Det ser dog ud til, at en sådan erklæring ikke kunne være legitim, medmindre "alle forslag" henviste til en allerede allerede bestemt samling, hvilket det ikke kan gøre, hvis der fremsættes nye forslag med udsagn om "alle forslag". Vi bliver derfor nødt til at sige, at udsagn om”alle forslag” er meningsløse. … Princippet, der gør det muligt for os at undgå uægte totaliteter, kan anføres som følger:”Uanset hvad der involverer al en samling må ikke være en af samlingen”; eller omvendt: "Hvis en bestemt samling havde et samlet antal, ville det kun være medlemmer, der kan defineres i forhold til det samlede beløb, har den nævnte samling intet total." Vi skal kalde dette”ondskabs cirkelprincippet”, fordi det gør det muligt for os at undgå de onde cirkler, der er involveret i antagelsen af uægte totaliteter. (1910, 2. udg. 37)

Hvis Whitehead og Russell har ret, følger det, at ingen funktions anvendelsesområde nogensinde vil være i stand til at inkludere et objekt, der er forudsat af selve funktionen. Som et resultat vil propositionsfunktioner (sammen med deres tilsvarende forslag) ende med at blive arrangeret i et hierarki af den art, som Russell foreslår.

Selvom Russell først introducerede sin teori om typer i sine matematiske principper fra 1903, erkendte han straks, at der var behov for mere arbejde, da hans oprindelige beretning syntes at løse nogle, men ikke alle paradokser. Blandt de alternativer, han overvejede, var en såkaldt substitutionel teori (Galaugher 2013). Dette førte igen til typeteoriens mere modne udtryk fem år senere i Russells artikel i 1908,”Matematisk logik som baseret på teorien om typer,” og i det monumentale arbejde, han var forfatter med Alfred North Whitehead, Principia Mathematica (1910, 1912, 1913). Russells typeteori forekommer således i to versioner: den "enkle teori" fra 1903 og "forstærket teori" fra 1908. Begge versioner er blevet kritiseret for at være for ad hoc til at eliminere paradokset med succes.

Som svar på Russells paradoks udvidede David Hilbert også sit program med at opbygge et konsistent, aksiomatisk fundament for matematik, så det omfattede et aksiomatisk fundament for logik og sætteori (Peckhaus 2004). Baggrunden for denne formalistiske tilgang var tanken om at tillade brug af kun begrænsede, veldefinerede og konstruktive genstande sammen med inferensregler, der anses for at være helt sikre.

Endelig udviklede Luitzen Brouwer intuitionisme, hvis grundide var, at man ikke kan påstå eksistensen af et matematisk objekt, medmindre man kan definere en procedure for konstruktion af det.

Sammen hjalp alle disse svar med at fokusere opmærksomheden på forbindelserne mellem logik, sprog og matematik. De hjalp også logikere med at udvikle en eksplicit bevidsthed om arten af formelle systemer og de slags metalogiske og metamatematiske resultater, der har vist sig at være centrale for forskning i fundamentet for logik og matematik gennem de sidste hundrede år.

4. Russells paradoks i nutidig logik

Russells paradoks ses undertiden som en negativ udvikling - som at nedbringe Freges Grundgesetze og som en af de originale konceptuelle synder, der fører til vores udvisning fra Cantors paradis. WV Quine beskriver paradokset som en "antinomi", der "pakker en overraskelse, der ikke kan imødekommes af intet mindre end en afvisning af vores konceptuelle arv" (1966, 11). Quine henviser til det tidligere nævnte Naïveforståelsesprincip. I symboler siger princippet det

(NC) ∃ A ∀ x (x ∈ A ≡ φ),

hvor A ikke er frit i formlen φ. Dette siger: "Der er et sæt A således, at for ethvert objekt x er x et element i A, og kun hvis betingelsen udtrykt af by holder." Russells paradoks opstår ved at tage φ til at være formlen: x ∉ x.

På trods af Quines kommentar er det muligt at se Russells paradoks i et mere positivt lys. For det første, selvom sagen forbliver kontroversiel, har senere forskning afsløret, at paradokset ikke nødvendigvis kortslutter Freges afledning af aritmetik fra logik alene. Freges version af NC (hans Axiom V) kan simpelthen opgives. (For detaljer, se posten om Freges teorem.) For en anden giver Kirken en elegant formulering af den enkle teori om typer, der har vist sig at være frugtbare, selv i områder fjernet fra matematikens fundament. (For detaljer, se posten om Type teori.) Endelig,udviklingen af aksiomatiske (i modsætning til naive) sætteorier, der udviser forskellige geniale og matematiske og filosofisk betydningsfulde måder at håndtere Russells paradoks banede vejen for fantastiske resultater i metamatematikken i sætteorien. Disse resultater har inkluderet Gödels og Cohens sætninger om uafhængigheden af det valgte aksiom og Cantors kontinuumhypotese. Så lad os se groft, hvordan nogle af disse metoder - specifikt de såkaldte “ikke-typede” metoder - håndterer Russells paradoks.

Zermelo erstatter NC med følgende aksiomskema for Separation (eller Aussonderungsaxiom):

(ZA) ∀ A ∃ B ∀ x (x ∈ B ≡ (x ∈ A ∧ φ)).

For at undgå cirkularitet kan B ikke være fri i φ. Dette kræver, at x for at få adgang til B, skal være medlem af et eksisterende sæt A. Som man kunne forestille sig, kræver dette en række ekstra eksistens-aksiomer, hvoraf ingen ville være påkrævet, hvis NC havde holdt op.

Hvordan undgår ZA Russells paradoks? Man kan først tro, at det ikke gør det. Når alt kommer til alt, hvis vi lader A være V - hele universet af sæt - og φ være x ∉ x, synes der igen en modsætning at opstå. Men i dette tilfælde viser modsigelsen sig, at V ikke er et sæt. Alle modsigelser viser, at “V” er et tomt navn (dvs. at det ikke har nogen henvisning, at V ikke findes), da ontologien i Zermelos system udelukkende består af sæt.

Det samme punkt kan fremsættes på en anden måde, der involverer en relativiseret form af Russells argument. Lad B være ethvert sæt. Af ZA findes sættet R B = {x ∈ B: x ∉ x}, men det kan ikke være et element af B. For hvis det er et element af B, så kan vi spørge, om det ikke er et element af R B; og det er hvis og kun hvis det ikke er tilfældet. Således noget, nemlig R B, er”manglende” fra hvert sæt B. Så igen, V er ikke et sæt, da intet kan mangle fra V. Men vær opmærksom på følgende subtilitet: i modsætning til det foregående argument, der involverer den direkte anvendelse af Aussonderungs på V, antyder det nuværende argument på ideen om, at mens V ikke er en sæt, “V” er ikke et tomt navn. Den næste strategi til at håndtere Russells paradoks udnytter denne antydning.

John von Neumanns (1925) ikke-typede metode til at håndtere paradokser og især Russells paradoks er enkel og genial. Von Neumann introducerer en sondring mellem medlemskab og ikke-medlemskab og skaber på dette grundlag en sondring mellem sæt og klasser. Et objekt er et medlem (forenkler), hvis det er medlem af en eller anden klasse; og det er et ikke-medlem, hvis det ikke er medlem af nogen klasse. (Faktisk udvikler von Neumann en teori om funktioner, der tages som primitive, snarere end klasser, hvor man svarer til forskellen mellem medlem / ikke-medlem, man har en sondring mellem et objekt, der kan være et argument for en funktion og en, der ikke kan. på grund af Bernays og Gödel, er det en enkelt sorteret teori om klasser.)

Sæt defineres derefter som medlemmer, og ikke-medlemmer er mærket "ordentlige klasser." Så for eksempel kan ikke Russell-klassen, R, være medlem af nogen klasse, og derfor skal den være en ordentlig klasse. Hvis R antages at være et element i en klasse A, følger det af en af von Neumanns aksiomer, at R ikke er ækvivalent med V. Men R svarer til V, og derfor ikke et element af A. Således bliver von Neumann metode nært beslægtet med den ovenfor anførte om sættet R resultat B, for vilkårlige B. Von Neumanns metode er, selv om den beundres af ligesom Gödel og Bernays, blevet undervurderet i de senere år.

Quine (1937) og (1967) tilvejebringer på lignende måde en anden ikke-indtastet metode (i brev hvis ikke i ånd) til at blokere Russells paradoks, og en, der er fyldt med interessante afvigelser. Quines grundlæggende idé er at introducere en stratificeret forståelsesaksiom. I virkeligheden blokerer aksiomet for cirkularitet ved at introducere et hierarki (eller stratifikation), der på nogle måder ligner typeteori og er forskelligt i andre. (Detaljer kan findes i posten på Quines nye fundamenter.)

I modsætning til Zermelos, von Neumanns og Quines strategier, der på en måde er rent sætteoretikere, har der også været forsøg på at undgå Russells paradoks ved at ændre den underliggende logik. Der har været mange sådanne forsøg, og vi skal ikke gennemgå dem alle, men en skiller sig ud som i øjeblikket både radikal og lidt populær (skønt ikke med sætteoretikere i sig selv): dette er den parakonsistente tilgang, der begrænser den overordnede virkning af en isoleret modsigelse på en hel teori. Klassisk logik kræver, at enhver modsigelse trivialiserer en teori ved at gøre enhver sætning i teorien beviselig. Dette skyldes, at i klassisk logik er følgende et sætning:

(Ex Falso Quadlibet) A ⊃ (~ A ⊃ B).

Nu, praktisk talt den eneste måde at undgå EFQ på er at opgive disjunktiv syllogisme, det vil sige i betragtning af de sædvanlige definitioner af forbindelserne, modus ponens! Så at ændre den grundlæggende følelseslogik på denne måde er faktisk radikal - men mulig. Desværre er det ikke nok at give afkald på EFQ til at bevare en sans for NC. Man skal også opgive følgende yderligere sætning af grundlæggende sententiallogik:

(Sammentrækning) (A ⊃ (A ⊃ B)) ⊃ (A ⊃ B).

Det kan derefter hævdes, at NC fører direkte, ikke blot til en isoleret modsigelse, men til bagatel. (For argumentet om, at dette er tilfældet, se posten i Currys paradoks, afsnit 2.2. Bemærk også, at det ikke er nok blot at bevare navnet “modus ponens”; det er selve reglen, der ændres inden for ikke-traditionel logik.) Således ser det ud til, at ondskaben fra NC ikke er begrænset til Russells paradoks, men også inkluderer et negationsfrit paradoks på grund af Curry.

Et andet forslag kan være at konkludere, at paradokset afhænger af et eksempel på princippet om udelukket middel, at enten R er et medlem af R, eller det ikke er det. Dette er et princip, der afvises af nogle ikke-klassiske tilgange til logik, herunder intuitionisme. Det er dog muligt at formulere paradokset uden at appellere til den udelukkede middel ved i stedet at stole på loven om ikke-modsigelse. Vi gør det som følger: I betragtning af definitionen af R følger det at R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R). Så R ∈ R ⊃ ~ (R ∈ R). Men vi ved også, at R ∈ R ⊃ R ∈ R. Så R ∈ R ⊃ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Men ved loven om ikke-modsigelse ved vi, at ~ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Så ved modus tollens konkluderer vi, at ~ (R ∈ R). På samme tid ved vi også, at siden R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R), følger det at ~ (R ∈ R) ⊃ R ∈ R, og dermed at R ∈ R. Så vi kan udlede både R ∈ R og dens negation ved kun at anvende intutionistisk acceptable metoder.

Det ser derfor ud til, at fortalere for ikke-klassisk logik ikke kan hævde at have bevaret NC i nogen betydelig forstand, bortset fra at bevare den rent syntaktiske form af princippet, og hverken intuitionisme eller parakonsistens plus afgivelse af sammentrækning vil give en fordel i forhold til ikke-typede opløsninger af Zermelo, von Neumann eller Quine. (Yderligere diskussion findes i Meyer, Routley og Dunn (1979), Irvine (1992), Priest (2006, kap. 18), Weber (2010), Weber (2012)) og i posterne om Currys paradoks (sek. 2.2) og parakonsistent logik (afsnit 2.3).)

Det er også værd at bemærke, at Russells paradoks ikke var det eneste paradoks, der foruroligede Russell og dermed ikke den eneste motivation for de type begrænsninger, man finder i Principia Mathematica. I sit tidligere arbejde, The Principles of Mathematics, afsætter Russell et kapitel til “Modsigelsen” (Russells paradoks), hvor han præsenterer det i flere former og afviser flere ikke-starter-svar. Derefter signaliserer han, at han "inden for kort tid" diskuterer doktrinen om typer. Dette sker ikke i flere hundrede sider, indtil vi kommer helt til slutningen af bogen, i bilag B! Der præsenterer Russell en begyndende, enkel teori om typer, ikke teorien om typer, vi finder i Principia Mathematica. Hvorfor var den senere teori nødvendig? Årsagen er, at Russell i bilag B også præsenterer et andet paradoks, som han mener ikke kan løses ved hjælp af den enkle teori om typer. Dette nye paradoks vedrører propositioner, ikke klasser, og det sammen med de semantiske paradokser førte til, at Russell formulerede sin forgrenede version af teorien om typer.

Den nye, propositive version af paradokset har ikke fundet en fremtrædende rolle i den efterfølgende udvikling af logik og sætteori, men den forundrede Russell virkelig. For det første ser det ud til at være i modstrid med Cantors sætning. Russell skriver:”Vi kan ikke indrømme, at der er flere intervaller [klasser af forslag] end forslag” (1903, 527). Årsagen er, at det ser ud til at være let, én til én korrelationer mellem klasser af forslag og propositioner. F.eks. Kan kl. M af forslag korreleres med antagelsen om, at ethvert forslag i m er sandt. Dette sammen med et finkornet princip om individualisering af propositioner (påstand for en ting at hvis klasserne m og n af forslagene er forskellige, vil ethvert forslag om m adskille sig fra ethvert forslag om n) føre til modsigelse.

Der har været relativt lidt diskussion af dette paradoks, skønt det spillede en nøglerolle i udviklingen af Kirkens logik om sans og denotation. Selvom vi har flere sætteorier at vælge imellem, har vi ikke noget som en veludviklet teori om russiske propositioner, selvom sådanne forslag er centrale i Millians 'synspunkter og teorikere med direkte reference. Man skulle tro, at en sådan teori ville være påkrævet for semantikens fundament, hvis ikke til grundlaget for matematik. Selvom et af Russells paradokser således har ført til den frugtbare udvikling af matematikens fundamenter, har hans "andre" paradoks endnu ikke ført til noget, der er fjernt ens i semantikens fundament. At være sikker,Church (1974a) og Anderson (1989) har forsøgt at udvikle en russisk intensiv logik baseret på den forstærkede teori om typer, men et argument kan fremsættes om, at den forstærkede teori er for restriktiv til at tjene som et fundament for det naturlige sprogs semantik. Der har også været nogle nylige forsøg på at få begyndelsen på en russisk intensiv logik baseret på ikke-typede sætteorier (Cantini 2004; Deutsch 2014). Det er temmelig ironisk, at selv om finkornede russiske propositioner favoriseres i sprogfilosofien, domineres den formelle udvikling af intensiv logik af Montague-grammatik med dens kurskorrigerede teori om propositioner. Der har også været nogle nylige forsøg på at få begyndelsen på en russisk intensiv logik baseret på ikke-typede sætteorier (Cantini 2004; Deutsch 2014). Det er temmelig ironisk, at selv om finkornede russiske propositioner favoriseres i sprogfilosofien, domineres den formelle udvikling af intensiv logik af Montague-grammatik med dens kurskorrigerede teori om propositioner. Der har også været nogle nylige forsøg på at få begyndelsen på en russisk intensiv logik baseret på ikke-typede sætteorier (Cantini 2004; Deutsch 2014). Det er temmelig ironisk, at selv om finkornede russiske propositioner favoriseres i sprogfilosofien, domineres den formelle udvikling af intensiv logik af Montague-grammatik med dens kurskorrigerede teori om propositioner.

Det er også værd at bemærke, at et antal tilsyneladende rent sætteoretiske principper faktisk er (anvendte) forekomster af sætninger af ren logik (dvs. første ordens kvantificeringsteori med identitet)! Der er en (delvis) liste over disse i Kalish, Montague og Mar (2000). Russells paradoks er et eksempel på T269 på denne liste:

(T269) ~ ∃ y ∀ x (Fxy ≡ ~ Fxx).

Når du læser det dyadiske predikat bogstav "F" som "er et medlem af", siger dette, at det ikke er tilfældet, at der er sådan, at x for ethvert x er et medlem af y, og kun hvis x ikke er medlem af x. Betyder det, at Russells paradoks reduceres til T269?

Beviset for T269 destillerer bestemt kernen i Russells argument, dets ræsonnement. Men det mønster underskriver også en uendelig liste med tilsyneladende useriøse “paradokser” som den berømte paradoks af barbereren, der barberer alle og kun dem, der ikke barberer sig eller på lignende måde paradokset af den velvillige, men effektive Gud, der hjælper alle og kun dem, der ikke hjælper sig selv.

Hvordan adskiller disse "pseudoparadokser", som de undertiden kaldes,, hvis overhovedet, fra Russells paradoks? Ræsonnemønsteret er det samme, og konklusionen - at der ikke findes en sådan frisør, ingen så effektiv gud, ingen sådan sæt sæt med ikke-selv medlemskab - er det samme: sådanne ting findes simpelthen ikke. (Som von Neumann viste, er det imidlertid ikke nødvendigt at gå ganske langt). Von Neumanns metode instruerer os ikke om, at ting som R ikke findes, men bare at vi ikke kan sige meget om dem, for så vidt R og lignende ikke kan falder i udvidelsen af ethvert predikat, der kvalificeres som en klasse.)

Standard svaret på dette spørgsmål er, at forskellen ligger i emnet. Quine spørger, "hvorfor tæller det [Russells paradoks] som en antinomi, og frisørparadokset ikke?"; og han svarer,”Årsagen er, at der i vores tankegang har været en overvældende formodning om, at der er en sådan klasse, men ingen formodning om, at der er en sådan frisør” (1966, 14). Alligevel er psykologisk snak om”tankegang” ikke særlig lysende. Mere til det punkt, Russells paradoks giver fornuftigt anledning til spørgsmålet om, hvilke sæt der er; men det er nonsens at undre sig på sådanne grunde som T269, hvilke barberere eller guder der er!

Denne dom er imidlertid ikke helt retfærdig overfor fans af Barbereren eller T269 generelt. De vil insistere på, at spørgsmålet, som T269 rejser, ikke er, hvilke barberere eller guder der er, men snarere hvilke ikke-paradoksale genstande der er. Dette spørgsmål er næsten det samme som rejst af selve Russells paradoks. Fra dette perspektiv er forholdet mellem Barber og Russells paradoks således meget tættere, end mange (efter Quine) har været villige til at tillade (Salmon 2013).

Vi bemærker, at der er en første ordens logisk formel, der har samme forhold til princippet om R B findes at T269 udgør af Russells paradoks. Det er følgende:

(T273) ∀ z ∀ y (∀ x [Fxy ≡ (Fxz ∧ ~ Fxx)] ⊃ ~ Fyz).

(Vi har taget den frihed at udvide nummereringen, der blev brugt i Kalish, Montague og Mar (2000) til T273.) Men ikke alle sætteoretiske paradokser er på lignende måde relateret til første orden logiske teoremer. Burali-Forti-paradokset er et eksempel, da forestillingen om en velordnet ikke er elementær; det er, det er ikke den første ordens definition.

Russells paradoks har aldrig været passé, men for nylig har der været en eksplosion af interesse for det af lærde, der er involveret i forskning i matematisk logik og i filosofiske og historiske studier af moderne logik. Et blik på indholdet i 2004-bindet One Hundred Years of Russells Paradox viser fremtrædende matematiske og filosofiske logikere og historikere af logik, der strømmer over paradokset, og foreslår nye veje tilbage i Cantors paradis eller andre måder at løse problemet på. Deres undersøgelser inkluderer radikalt nye måder ud af det dilemma, der stilles af paradokset, nye undersøgelser af typeteorier (enkle og forstærkede, og udvidelser deraf), nye fortolkninger af Russells paradoks og konstruktive teorier, om Russells paradoks med propositioner og af hans egne forsøg på en ikke-skrevet teori (substitutionsteorien) osv.

Alt dette minder os om, at frugtbart arbejde kan opstå som følge af de mest usandsynlige observationer. Som Dana Scott har udtrykt det,”Det skal forstås fra starten, at Russells paradoks ikke skal betragtes som en katastrofe. Det og de tilhørende paradokser viser, at den naive opfattelse af altomfattende samlinger er uholdbar. Det er et interessant resultat, uden tvivl om det”(1974, 207).

Bibliografi

  • Anderson, C. Anthony, 1989. “Russellian Intensional Logic,” i Joseph Almog, John Perry og Howard Wettstein (red.), Temaer fra Kaplan, Oxford: Oxford University Press, 67–103.
  • Barwise, Jon, 1975. Admissible Sets and Structures, Berlin: Springer-Verlag.
  • ––– og John Etchemendy, 1987. The Liar: An Essay on Truth and Circularity, Oxford: Oxford University Press.
  • ––– og Lawrence Moss, 1996. Vicious Circles, Stanford: CSLI Publications.
  • Bealer, George, 1982. Kvalitet og koncept, New York: Oxford University Press.
  • Beaney, Michael, 2003. "Russell og Frege," i Nicholas Griffin (red.), The Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press, 128-170.
  • Cantini, Andrea, 2004. “På et russisk paradoks om forslag og sandhed” i Godehard Link (red.) (2004) Hundrede års Russells paradox, Berlin og New York: Walter de Gruyter, 259–284.
  • –––, 2009. “Paradoxer, selvreference og sandhed i det 20. århundrede,” i Dov M. Gabbay og John Woods (red.) (2009) Håndbog om logikens historie: bind 5 - Logik fra Russell til kirke, Amsterdam: Elsevier / Nordholland, 875–1013.
  • Church, Alonzo, 1974a.”Russellian Simple Type Theory,” Procesings and Addresses of the American Philosophical Association, 47: 21–33.
  • –––, 1974b.”Sæt teori med et universelt sæt,” Proces of Tarski Symposium, 297–308; Repr. i International Logic Review, 15: 11-23.
  • –––, 1978.”En sammenligning af Russells opløsning af de semantiske antinomier med Tarski,” Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760; Repr. i AD Irvine, Bertrand Russell: Critical Assessments, vol. 2, New York og London: Routledge, 1999, 96-112.
  • Coffa, Alberto, 1979. “De ydmyge oprindelser af Russells paradoks,” Russell, 33–34: 31–7.
  • Copi, Irving, 1971. Theory of Logical Types, London: Routledge og Kegan Paul.
  • Demopoulos, William og Peter Clark, 2005. “The Logicism of Frege, Dedekind and Russell,” i Stewart Shapiro (red.), Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, 129–165.
  • Deutsch, Harry, 2014. “Opløsning af nogle paradokser af forslag,” Analyse, 74: 26-34.
  • Ebbinghaus, Heinz-Dieter og Volker Peckhaus, 2007. Ernst Zermelo: En tilgang til hans liv og arbejde, Berlin: Springer-Verlag.
  • Forster, TE, 1995. Sæt teori med et universelt sæt, 2. udg., Oxford: Clarendon Press.
  • Frege, Gottlob, 1902. "Brev til Russell," i Jean van Heijenoort (red.), Fra Frege til Gödel, Cambridge, messe: Harvard University Press, 1967, 126–128.
  • –––, 1903. “The Russell Paradox,” i Gottlob Frege, The Basic Laws of Arithmetic, Berkeley: University of California Press, 1964, 127–143; forkortet og repr. i AD Irvine, Bertrand Russell: Critical Assessments, vol. 2, New York og London: Routledge, 1999, 1-3.
  • Gabbay, Dov M., og John Woods (red.), 2009. Håndbog om logikens historie: bind 5 - Logik Fra Russell til kirke, Amsterdam: Elsevier / Nordholland.
  • Galaugher, JB, 2013. "Substitutionens uløste 'Insolubilia'," Russell, 33: 5–30.
  • Garciadiego, A., 1992. Bertrand Russell and the Origins of the Set-theoretetic “Paradoxes”, Boston: Birkhäuser.
  • Grattan-Guinness, I., 1978.”Hvordan Bertrand Russell opdagede hans paradoks,” Historia Mathematica, 5: 127–37.
  • –––, 2000. Søgningen efter matematiske rødder: 1870–1940, Princeton og Oxford: Princeton University Press.
  • Griffin, Nicholas (red.), 2003. Cambridge Companion til Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 2004. “Forhistorien om Russells paradox,” i Godehard Link (red.), Hundrede år af Russells paradox, Berlin og New York: Walter de Gruyter, 349–371.
  • ––– Bernard Linsky og Kenneth Blackwell (red.), 2011. Principia Mathematica ved 100, Hamilton, ON: Bertrand Russell Research Center; også udgivet som specialudgave, bind 31, nummer 1 af Russell.
  • Hallett, Michael, 1984. Kantorisk sætteori og begrænsning af størrelse, Oxford: Clarendon.
  • Halmos, Paul R., 1960. Naive Set Theory, Princeton: D. van Nostrand.
  • Irvine, AD, 1992. “Gaps, Gluts and Paradox,” Canadian Journal of Philosophy (Supplerende bind), 18: 273-299.
  • ––– (red.), 2009. Philosophy of Mathematics, Amsterdam: Elsevier / North Holland.
  • Kanamori, Akihiro, 2004. “Zermelo and Set Theory,” Bulletin of Symbolic Logic, 10: 487–553.
  • –––, 2009. “Sæt teori fra Cantor til Cohen,” i AD Irvine (red.), Philosophy of Mathematics, Amsterdam: Elsevier / North Holland, 395–459.
  • Kalish, Donald, Richard Montague og Gary Mar, 2000. Logik: Teknikker til formel ræsonnement, 2. udg., New York: Oxford University Press.
  • Klement, Kevin, 2005.”Origins of the Propositionional Functions Version of Russells Paradox,” Russell, 24: 101–132.
  • –––, 2014, “The Paradoxes and Russells Theory of Incomplete Symbols,” Philosophical Studies, 169: 183–207.
  • Landini, Gregory, 2006.”Inserne og outs af Freges vej ud,” Philosophia Mathematica, 14: 1–25.
  • –––, 2013. "Zermelo 'og' Russells paradox: Er der et universelt sæt?" Philosophia Mathematica, 21: 180–199.
  • Levy, A., 1979. Basic Set Theory, Berlin: Springer-Verlag; New York: Heidelberg.
  • Link, Godehard (red.), 2004. Hundrede års Russells paradox, Berlin og New York: Walter de Gruyter.
  • Linsky, Bernard, 1990. "Var reduktionsmomentets axiom et princip for logik?" Russell, 10: 125-140; Repr. i AD Irvine (red.) (1999) Bertrand Russell: Critical Assessments, 4 bind, London: Routledge, vol. 2, 150–264.
  • –––, 2002. “Opløsningen af Russells paradoks i Principia Mathematica,” Philosophical Perspectives, 16: 395–417.
  • Mares, Edwin, 2007. “The Fact Semantics for Ramified Type Theory and the Axiom of Reducibility,” Notre Dame Journal of Formal Logic, 48: 237–251.
  • Menzel, Christopher, 1984. “Kantor og Burali-Forti-paradokset,” Monist, 67: 92–107.
  • Meyer, Robert K., Richard Routley og Michael Dunn, 1979. “Currys paradox,” Analyse, 39: 124–128.
  • Moore, Gregory H., 1982. Zermelos Axiom of Choice, New York: Springer.
  • –––, 1988.”The Roots of Russells Paradox,” Russell, 8: 46–56.
  • Murawski, Roman, 2011. “On Chwisteks filosofi for matematik,” i Nicholas Griffin, Bernard Linsky og Kenneth Blackwell (red.) (2011) Principia Mathematica på 100, i Russell (Special Issue), 31 (1): 121-130.
  • Peckhaus, Volker, 2004. “Paradoxer i Göttingen,” i Godehard Link (red.), Hundrede år af Russells paradox, Berlin og New York: Walter de Gruyter, 501–515.
  • Priest, Graham, 2006. I modsætning, 2. udg., New York: Oxford University Press.
  • Quine, WVO, 1937. "Nye fundamenter for matematisk logik," Amerikansk matematisk månedlig, 44: 70–80; Repr. i WVO Quine, fra et logisk synspunkt, London: Harper & Row, 1953.
  • –––, 1966. The Ways of Paradox and Other Essays, New York: Random House.
  • –––, 1967. Set teori og dens logik, Harvard: Belknap Press.
  • Russell, Bertrand, 1902. "Brev til Frege" i Jean van Heijenoort (red.), Fra Frege til Gödel, Cambridge, messe: Harvard University Press, 1967, 124–125.
  • –––, 1903.”Tillæg B: Læren om typer”, i Bertrand Russell, Principles of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, 1903, 523–528.
  • –––, 1908.”Matematisk logik baseret på teorien om typer,” American Journal of Mathematics, 30: 222–262; Repr. i Bertrand Russell, Logic and Knowledge, London: Allen og Unwin, 1956, 59–102; og repr. i Jean van Heijenoort (red.), Fra Frege til Gödel, Cambridge, messe: Harvard University Press, 1967, 152–182.
  • –––, 1919. Introduktion til matematisk filosofi, London: George Allen og Unwin Ltd, og New York: The Macmillan Co.
  • –––, 1944. “Min mentale udvikling,” i Paul Arthur Schilpp (red.), The Philosophy of Bertrand Russell, 3. edn, New York: Tudor, 1951, 3–20.
  • –––, 1959. Min filosofiske udvikling, London: George Allen og Unwin, og New York: Simon & Schuster.
  • –––, 1967, 1968, 1969. Den selvbiografi af Bertrand Russell, 3 bind, London: George Allen og Unwin; Boston: Little Brown and Company (bind 1 og 2), New York: Simon og Schuster (bind 3).
  • Salmon, N., 2013. “En note om Kripkes paradoks om tid og tanke”, Journal of Philosophy, 110: 213-220.
  • Scott, Dana, 1974. “Axiomatizing Set Theory,” i TJ Jech (red.), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (bind 13, del 2), American Mathematical Society, 207-214.
  • Shapiro, Stewart (red.), 2005. Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press.
  • Simmons, Keith, 2000. “Sæt, klasser og udvidelser: En singularitetstilgang til Russells paradoks,” Philosophical Studies, 100: 109–149.
  • –––, 2005.”En bær og en russell uden selvhenvisning,” Filosofiske studier, 126: 253–261.
  • Sorensen, Roy A., 2002. “Philosophical Implications of Logical Paradoxes,” i Dale Jacquette (red.), En ledsager til filosofisk logik, New York: Oxford University Press, 131–142.
  • –––, 2003. “Russells sæt” i A Brief History of the Paradox, New York: Oxford University Press, 316–332.
  • Stevens, Graham, 2004. “Fra Russells paradoks til dommensteori: Wittgenstein og Russell om forslagets enhed,” Theoria, 70: 28–61.
  • –––, 2005. The Russellian Origins of Analytical Philosophy, London og New York: Routlege.
  • Tappenden, Jamie, 2013. “Den matematiske og logiske baggrund for analytisk filosofi,” i Michael Beaney (red.) Oxford-håndbogen om analytisk filosofiens historie, Oxford: Oxford University Press, 318–354.
  • Urquhart, Alasdair, 1988.”Russells Zig-Zag-sti til den berammede teori om typer,” Russell, 8: 82–91.
  • –––, 2003.”The Theory of Types” i Nicholas Griffin (red.), The Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press, 286–309.
  • van Heijenoort, Jean (red.), 1967. Fra Frege til Gödel: En kildebog i matematisk logik, 1879-1931, Cambridge og London: Harvard University Press.
  • von Neumann, John, 1925.”En aksiomatisering af sæt teori” i Jean van Heijenoort (red.), Fra Frege til Gödel, Cambridge og London: Harvard University Press, 1967, 393–413.
  • Wahl, Russell, 2011. “The Axiom of Reducibility”, i Nicholas Griffin, Bernard Linsky og Kenneth Blackwell (eds) (2011) Principia Mathematica på 100, i Russell (Special Issue), 31 (1): 45–62.
  • Weber, Z., 2010. “Transfinite Numbers in Paraconsistent Set Theory,” Gennemgang af Symbolic Logic, 3: 71–92.
  • –––, 2012. “Transfinite Cardinals in Paraconsistent Set Theory,” Review of Symbolic Logic, 5: 269–293.
  • Whitehead, Alfred North og Bertrand Russell, 1910, 1912, 1913. Principia Mathematica, 3 vols, Cambridge: Cambridge University Press; anden udgave, 1925 (bind 1), 1927 (udsnit 2, 3); forkortet som Principia Mathematica til * 56, Cambridge: Cambridge University Press, 1962.

Akademiske værktøjer

sep mand ikon
sep mand ikon
Sådan citeres denne post.
sep mand ikon
sep mand ikon
Forhåndsvis PDF-versionen af denne post hos Friends of the SEP Society.
inpho ikon
inpho ikon
Slå dette emne op på Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papirer ikon
phil papirer ikon
Forbedret bibliografi til denne post på PhilPapers med links til dens database.

Andre internetressourcer

  • Bertrand Russell Arkiv
  • Bertrand Russell Research Center
  • Bertrand Russell Society
  • Principia Mathematica: bind 1 (University of Michigan Historical Math Collection)
  • Principia Mathematica: bind 2 (University of Michigan Historical Math Collection)
  • Principia Mathematica: bind 3 (University of Michigan Historical Math Collection)
  • Russell: Journal of Bertrand Russell Studies
  • Russells antinomi (Wolfram MathWorld)

Anbefalet: