Plural Quantification

Indholdsfortegnelse:

Plural Quantification
Plural Quantification

Video: Plural Quantification

Video: Plural Quantification
Video: GMS 3.4 Analysis Tools: Model-based EELS quantification & ELNES phase mapping 2024, Marts
Anonim

Indtastningsnavigation

  • Indtastningsindhold
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Venner PDF-forhåndsvisning
  • Forfatter og citatinfo
  • Tilbage til toppen

Plural Quantification

Først offentliggjort ons 27 oktober 2004; substantiel revision tirsdag 16. maj 2017

Almindelig engelsk indeholder forskellige former for kvantificering over objekter. Ud over den sædvanlige entall kvantificering som i

(1) Der er et æble på bordet

der er flertal kvantificering, som i

(2) Der er nogle æbler på bordet

Lige siden Frege har formel logik begunstiget de to entall kvantificatorer (forall {x}) og (eksisterer {x}) i forhold til deres flertal-modparter (forall {xx}) og (eksisterer { xx}) (skal læses som for alle ting (xx), og der er nogle ting (xx)). Men i de seneste årtier er det blevet argumenteret for, at vi har god grund til at indrømme blandt vores primitive logiske forestillinger også pluralistiske kvantificatorer (forall {xx}) og (eksisterer {xx}) (Boolos 1984 og 1985a).

Mere kontroversielt er det blevet argumenteret for, at det resulterende formelle system med flertal såvel som entall kvantificering kvalificerer sig som "ren logik"; især at det er universelt anvendeligt, ontologisk uskyldigt og perfekt forstået. Ud over at være interessant i sig selv, vil denne afhandling, hvis den er korrekt, stille pluralkvantificering til rådighed som et uskyldigt, men ekstremt kraftfuldt værktøj inden for metafysik, matematikfilosofi og filosofisk logik. For eksempel har George Boolos anvendt plural kvantificering til at fortolke monadisk andenordens logik [1]og har på dette grundlag argumenteret for, at monadisk andenordens logik kvalificerer sig som”ren logik”. Plural kvantificering er også blevet brugt i forsøg på at forsvare logikistiske ideer, til at redegøre for sætteori og til at eliminere ontologiske forpligtelser over for matematiske objekter og komplekse objekter.

  • 1. Sprog og teorier for kvantificering af flertal

    • 1.1 Regimentering af flertalskvantificering
    • 1.2 Teorierne PFO og PFO +
  • 2. Plural Quantification vs. Second-Order Quantification

    • 2.1 Plural kvantificering og monadisk anden ordens logik
    • 2.2 Forhold
    • 2.3 Modale kontekster
    • 2.4 Højere niveauer af plural kvantificering?
  • 3. Logicality-afhandlingen
  • 4. Anvendelser af pluralisation

    • 4.1 Oprettelse af logikken ved monadisk andenordens logik
    • 4.2 Logik
    • 4.3 Sæt teori
    • 4.4 Matematisk nominalisme
    • 4.5 Fjernelse af komplekse objekter
  • 5. Ontologisk uskyld?

    • 5.1 Det sætteoretiske argument
    • 5.2 Det forkerte predikationsargument
    • 5.3 Det direkte argument
    • 5.4 Semantiske værdier og ontologiske forpligtelser
  • Bibliografi
  • Akademiske værktøjer
  • Andre internetressourcer
  • Relaterede poster

1. Sprog og teorier for kvantificering af flertal

De logiske formaliteter, der har domineret i den analytiske tradition, lige siden Frege, tillader ikke en plural kvantificering. I introduktionslogiske kurser undervises derfor studerende typisk i at parafrasere pluralokeringer væk. For eksempel kan de lære at gengive "Alice og Bob er sultne" som "Alice er sulten og Bob er sulten", og "Der er nogle æbler på bordet", som "(Eksisterer {x} Eksisterer { y} (x) er et æble på bordet & (y) er et æble på bordet & (x / ne y))”. Imidlertid er ikke kun sådanne parafraser ofte unaturlige, men de er muligvis ikke engang tilgængelige. Et af de mest interessante eksempler på pluralokeringer, der modstår ental parafrase, er den såkaldte Geach-Kaplan-sætning:

(3) Nogle kritikere beundrer kun hinanden

Denne sætning har sandsynligvis ingen ental førsteordens parafrase, der kun bruger predikaterne, der forekommer i selve sætningen. [2]

Hvordan skal vi formalisere sådanne sætninger? Den traditionelle opfattelse, som f.eks. Forsvares af Quine, er, at alle parafraser skal gives i klassisk førsteordens logik, om nødvendigt suppleret med sætteori. Navnlig foreslår Quine, at (3) bør formaliseres som

) tag {(3 ')} label {ex3prime} kern-5pt / Exists {S} (Exists {u} mstop u / in S / amp / Forall {u} (u / in S / højre højre Cu) amp / Forall {u} Forall {v} (u / i S / amp / textit {Auv} højre højre v / i S / amp u / ne v)))

(1973: 111 og 1982: 293). [3]

I to vigtige artikler fra 1980'erne udfordrer George Boolos denne traditionelle opfattelse (Boolos 1984 og 1985a). Han hævder, at det simpelthen er en fordomme at insistere på, at flertalsplaceringer af naturligt sprog parafraseres væk. I stedet foreslår han, at ligesom de entallige kvantificatorer (Forall {x}) og (Exists {x}) får deres legitimitet fra det faktum, at de repræsenterer visse kvantificerende enheder på det naturlige sprog, så gør også deres plural modstykker (Forall {xx}) og (Eksisterer {xx}). For der kan ikke være nogen tvivl om, at i naturligt sprog bruger vi og forstår udtrykket "for nogen ting" og "der er nogle ting". [4] Da disse kvantificatorer binder variabler, der får navn (snarere end predikat) position, er de førsteordens kvantificatorer, omend plural.

1.1 Regimentering af flertalskvantificering

Jeg vil nu beskrive et simpelt formelt sprog, der kan bruges til at regimentere plural kvantificering, som det forekommer på engelsk og andre naturlige sprog.

Det formelle sprog (L _ { textrm {PFO}}). Lad det formelle sprog (L _ { textrm {PFO}}) (for flertal første ordre) være som følger.

  1. (L _ { textrm {PFO}}) har følgende udtryk (for hvert naturligt tal (i)):

    • entalvariabler (x_i)
    • flertal variabler (xx_i)
    • ental konstanter (a_i)
    • flertal konstanter (aa_i)
  2. (L _ { textrm {PFO}}) har følgende predikater (alle hvis argumentpladser er ental):

    • to dyadiske logiske predikater = og (prec) (at blive betragtet som identitet og forholdet er et af)
    • ikke-logiske predikater (R ^ {n} _i) (for hver adicity (n) og hvert naturligt tal (i))
  3. (L _ { textrm {PFO}}) har følgende formler:

    • (R ^ {n} _i (t_1, / ldots, t_n)) er en formel, når (R ^ {n} _i) er et (n) - adisk predikat og (t_j) er ental vilkår
    • (t / prec T) er en formel, når (t) er et ental udtryk og (T) et pluralistisk udtryk
    • (neg / phi) og (phi / amp / psi) er formler, når (phi) og (psi) er formler
    • (Eksisterer {v} mstop / phi) og (Eksister {vv} mstop / phi) er formler, når (phi) er en formel og (v) er en enkeltvariabel og (vv) et flertal
    • de andre forbindelser betragtes som forkortelser på den sædvanlige måde.

I (L _ { textrm {PFO}}) kan vi formalisere et antal engelske påstande, der involverer flertalsformer. F.eks. Kan (2) formaliseres som

) tag {(2 ')} label {ex2prime} Eksisterer {xx} Forall {u} (u / prec xx / højre Au / amp Tu))

Og Geach-Kaplan-sætningen (3) kan formaliseres som

) tag {(3 '')} label {ex3pprime} Eksisterer {xx}) Forall {u} (u / prec xx / højre højre Cu) amp / Forall {u} Forall {v} (u / prec xx / amp / textit {Auv} højre højre v / prec xx / amp u / ne v)].)

Imidlertid har sproget (L _ { textrm {PFO}}) en alvorlig begrænsning. Vi ser dette ved at skelne mellem to slags flertalsprædikation. Et predikat (P), der tager flertalsargumenter, siges at være fordelende, i tilfælde af at det er analytisk, at: (P) holder af nogle ting (xx) hvis og kun hvis (P) holder for hver (u) sådan at (u / prec xx). [5] For eksempel er predikatet “er på bordet” distribuerende, da det er analytisk, at nogle ting (xx) er på bordet, i tilfælde af at hver af (xx) er på bordet. Et predikat (P), der ikke er distribuerende, siges at være ikke-distribuerende eller kollektivt. [6]For eksempel er predikatet “form en cirkel” ikke-fordelende, da det ikke er analytisk, at hver gang nogle ting (xx) danner en cirkel, danner hver af (xx) en cirkel. Et andet eksempel på ikke-distribuerende pluralprædikation er det andet argumentplads for det logiske predikat (prec): for det er ikke sandt (hvad så meget analytisk) at når (u) er et af (xx, u) er en af hver af (xx). Det er derfor både naturligt og nyttigt at overveje et lidt rigere sprog:

Det formelle sprog (L _ { textrm {PFO} +}). Sproget (L _ { textrm {PFO} +}) tillader ikke-fordelende flertal predikater bortset fra (prec). Vi gør dette ved at ændre definitionen af (L _ { textrm {PFO}}) for at tillade predikater (R ^ {n} _i), der tager flertalsargumenter. Disse predikater kan være enten logiske eller ikke-logiske. [7]

Bør vi også tillade predikater med argumentpladser, der tager både ental og flertal argumenter? Masser af engelske predikater fungerer på denne måde, for eksempel “… er / er på bordet”. Så hvis vores primære interesse var at analysere naturligt sprog, ville vi sandsynligvis skulle tillade sådanne predikater. Til nuværende formål er det imidlertid enklere at ikke tillade sådanne predikater. Vi vil alligevel snart tillade flere, der kun består af en ting. [8]

Foreløbigt vil de formelle sprog (L _ { textrm {PFO}}) og (L _ { textrm {PFO} +}) kun blive fortolket ved hjælp af en oversættelse af dem til almindeligt engelsk, suppleret med indekser for at lette krydshenvisning (Boolos 1984: 443–5 [1998a: 67–9]; Rayo 2002: 458–9). (Mere alvorlige semantiske spørgsmål vil blive behandlet i Afsnit 4, hvor vores hovedspørgsmål vil være, om vores teorier om plural kvantificering er ontologisk forpligtet til enhver form for "sæt-lignende" enheder.) De to klausuler i denne oversættelse, der omgående vedrører plural termer er

(4) (Tr (x_i / prec xx_j) = / textrm {it} _i) er en af dem (_ j)

(5) (Tr (Eksisterer {xx_j} mstop / phi) =) der er nogle ting (_ j) såsom (Tr (phi))

De andre klausuler er indlysende, for eksempel: (Tr (phi / amp / psi) = (Tr (phi)) og (Tr (psi))). Denne oversættelse giver os mulighed for at fortolke alle sætninger af (L _ { textrm {PFO}}) og (L _ { textrm {PFO} +}) og stole på vores intuitive forståelse af engelsk. Det er nyttigt at overveje nogle eksempler. At anvende (Tr) til (ref {ex2prime}), siger, giver:

(2 ″) Der er nogle ting (_ 1) sådan, at for alt (_ 2) (hvis det (_ 2) er en af dem (_ 1), så er det (_ 2) et æble og det (_ 2) er på bordet)

1.2 Teorierne PFO og PFO +

Vi vil nu beskrive en teori PFO om flertal første ordens kvantificering baseret på sproget (L _ { textrm {PFO}}). Lad os begynde med en aksiomatisering af almindelig førsteordens logik med identitet. Til vores nuværende formål er det praktisk at axiomatisere denne logik som et naturligt fradragssystem, idet alle tautologier tages som aksiomer og de velkendte naturlige deduktionsregler, der regulerer de entallige kvantificatorer og identitetstegnet som inferensregler. Derefter udvider vi på den åbenlyse måde de naturlige fradragsregler for de enestående kvantificatorer til de flertal. Dernæst har vi brug for nogle aksiomer, som til egnede formler (phi (x)) giver os mulighed for at tale om (phi) s. På almindelig engelsk signaliserer brugen af plural placeringer generelt en bekymring med to eller flere objekter. Men eksistensen af to eller flere objekter er muligvis ikke semantisk påkrævet; for eksempel,”De studerende, der tilmelder sig denne klasse, vil lære meget” synes at være sandt, selvom kun en studerende tilmelder sig. Det er derfor både rimeligt og praktisk at kun kræve, at der er mindst et objekt, der tilfredsstiller (phi (x)). (De fleste mennesker, der skriver om emnet, indrømmer denne indrømmelse.) Dette giver anledning til flertalsforståelsesaksiomer, som er forekomsterne af skemaet

) tag {Comp} Eksisterer {u} phi (u) højre højre / Eksisterer {xx} Forall {u} (u / prec xx / leftrightrow / phi (u)))

hvor (phi) er en formel i (L _ { textrm {PFO}}), der indeholder “(u)” og muligvis andre variabler gratis, men som ikke indeholder nogen forekomst af “(xx)”. (Det vil sige, hvis noget er (phi), er der nogle ting sådan, at alt er en af dem, og kun hvis det er (phi).) For fuldt ud at fange ideen om, at alle pluraliteter er ikke-tom, vi vedtager også aksiom

) tag {6} Forall {xx} Eksisterer {u} (u / prec xx).)

(Det vil sige, for alle ting er der noget, der er en af dem.) Lad PFO + være teorien baseret på sproget (L_ {PFO +}), der opstår på en analog måde, men som derudover har følgende aksiomskema for ekstensionalitet:

) tag {7} Forall {xx} Forall {yy}) Forall {u} (u / prec xx / leftrightarrow u / prec yy) højre højre (phi (xx) leftrightarrow / phi (yy))])

(Det vil sige for alle ting (_ 1) og eventuelle ting (_ 2) (hvis noget er en af dem (_ 1) hvis og kun det er en af dem (_ 2), så er de (_1) er (phi) hvis og kun hvis de (_ 2) er (phi)).) Dette aksiomskema sikrer, at alle sammenhængende pluraliteter er uundgåelige.

Bemærk om terminologi. For at lette kommunikationen vil vi bruge ordet”pluralitet” uden at tage stilling til, om der virkelig findes sådanne enheder som pluraliteter. Udsagn, der involverer ordet”pluralitet”, kan altid skrives mere længevind uden brug af dette ord. For eksempel hævder ovenstående, at "alle pluraliteter er ikke-tomme" kan skrives om som "når der er nogle ting (xx), der er noget (u), som er en af tingene (xx)”. Hvor en ontologisk påstand (er) fremsættes, vil dette blive signaleret ved i stedet at anvende lokaliseringen “flertal enhed”.

2. Plural Quantification vs. Second-Order Quantification

Ved "andenordens logik" forstår vi en logik, der udvider almindelig førsteordens logik ved at muliggøre kvantificering til predikatposition. For eksempel, fra "(a) er et æble" kan vi i anden orden logik udlede "(Eksisterer {F} mstop Fa)". Men de ovenfor beskrevne flertalslogikker udvider almindelig førsteordens logik på en anden måde, nemlig ved at tillade kvantificering i plural argument position. Men prædikater og navneordssætninger i flere navne tilhører forskellige syntaktiske og semantiske kategorier. Førstnævnte består for eksempel af udtryk, der er umættede (i Freges forstand) - det vil sige, der indeholder huller eller argumentpladser - hvorimod sidstnævnte består af udtryk, der er mættede (Higginbotham 1998: sekt. 7; Oliver og Smiley 2001; Rayo og Yablo 2001: sekt. X; Simons 1997; Williamson 2003: sekt. IX; Yi 2005). Derfor,anden ordens kvantificering og plural kvantificering betragtes generelt som forskellige former for kvantificering. I dette afsnit diskuterer jeg nogle af forskellene og lighederne.

2.1 Plural kvantificering og monadisk anden ordens logik

(Læsere, der er mindre interesseret i tekniske problemer, ønsker måske at skumme dette afsnit.) Boolos bemærkede, at det er muligt at fortolke monadisk andenordens logik i teorien PFO. [9] Lad MSO være en vis standard axiomatisering af (fuld impredikativ) monadisk andenordens logik på et hvilket som helst passende sprog (L _ { textrm {MSO}}) (Shapiro 1991: kap. 3; Boolos et al. 2002: ch 22). Boolos definerer først en oversættelse (Tr '), der kortlægger enhver formel af (L _ { textrm {MSO}}) til en eller anden formel af (L _ { textrm {PFO}}). Denne definition, der fortsætter med induktion på kompleksiteten af formlerne til (L _ { textrm {MSO}}), har som de eneste ikke-trivielle klausuler følgende to, der vedrører andenordens variabler:

) tag {8} Tr '(X_jx_i) = x_i / prec xx_j)) tag {9} Tr' (Eksisterer {X_j} mstop / phi) = / Eksisterer {xx_j} mstop / Tr '(phi) lor Tr' (phi *))

hvor (phi *) er resultatet af at substituere (x_i / ne x_i) overalt med (X_j x_i). Ideen bag disse to klausuler er at erstatte tale om koncepter (eller uanset hvilke enheder man tager de monadiske andenordens variabler til at række over) med snak om de objekter, der falder ind under disse begreber. I stedet for at sige, at (x_i) falder ind under konceptet (X_j), siger vi, at (x_i) er en af (xx_j). Den eneste vanskelighed er, at nogle begreber ikke har nogen tilfælde, mens alle pluraliteter skal omfatte mindst én ting. Men muligheden for, at et koncept ikke skal afbrydes, imødekommes af den anden disjunkt til højre for (9).

Ved induktion på derivater i MSO beviser man let, at hver teorem af MSO er kortlagt til en eller anden PFO-sætning. Derudover er det let at definere en “omvendt” oversættelse, der kortlægger formler af (L _ { textrm {PFO}}) til formler af (L _ { textrm {MSO}}) og at bevise, at denne oversættelse kortlægger førstnævnte sætninger til sidstnævnte sætninger. Dette viser, at PFO og MSO er retfortolkelige. Et lignende resultat kan bevises om PFO + og en udvidelse MSO + af MSO, der tillader predikater af (førstniveau) -koncepter, forudsat at MSO + indeholder et aksiomskema med den virkning, at sammenhængende koncepter er uundværlige.

Det er vigtigt at være klar over, hvad lige fortolkbarheden af PFO og PFO + med henholdsvis MSO og MSO + gør og ikke viser. Det viser, at disse to par teorier er ækvivalente til de fleste tekniske formål. Men i sig selv viser det ikke noget om, at disse to teorepar er ækvivalente i nogen af de mere krævende sanser, som filosofer ofte bryder sig om (såsom at have den samme epistemiske status, ontologiske forpligtelser eller grad af analyticitet). (F.eks. Er PFO lige fortolket med atomekstensional merologi, som filosofer har en tendens til at finde meget mere problematisk end PFO.) For at vise, at de to teorepar er ækvivalente i en eller anden filosofisk vigtig respekt (F), ville vi nødt til at vise, at ovenstående oversættelser bevarer (F) - ness.

2.2 Forhold

Selvom flertalskvantificering giver en temmelig naturlig fortolkning af kvantificering over (monadiske) begreber, giver den ingen naturlig fortolkning af kvantificering over (polyadiske) relationer.

Denne begrænsning kan overvindes (i det mindste til tekniske formål), hvis der er en parringsfunktion på det relevante domæne, dvs. hvis der er en funktion (pi) sådan at (pi (u, v) = / pi (u ', v')) bare i tilfælde (u = u ') og (v = v'). For da kan kvantificering over dyadiske forhold repræsenteres ved plural kvantificering over ordnede par. Desuden kan vi ved iterated applikationer af den bestilte parfunktion repræsentere (n) - tuples og dermed også kvantificering over (n) - adiske relationer. Spørgsmålet er, hvordan denne parringsfunktion skal forstås. En mulighed er at fortsætte som i matematik og blot postulere eksistensen af en parringsfunktion som et abstrakt matematisk objekt. Men denne mulighed har den åbenlyse ulempe ved at gå uden for det, som de fleste mennesker er villige til at kalde”ren logik”. En smartere mulighed,udforsket i tillægget til Lewis 1991 og i Hazen 1997 og 2000, er at simulere snak om ordnede par, der kun bruger ressourcer, der uden tvivl er rent logiske. Det viser sig, at tale om bestilte par kan simuleres i monadisk tredje ordens logik, givet nogle formodelige ekstra antagelser. Monadisk tredje ordens logik kan igen fortolkes enten i en teori, der kombinerer pluralkvantificering med merologi (Lewis 1991: kap. 3; Burgess og Rosen 1997: II. C.1) eller med hensyn til kvantificering på højere niveau (Afsnit 2.4). Monadisk tredje ordens logik kan igen fortolkes enten i en teori, der kombinerer pluralkvantificering med merologi (Lewis 1991: kap. 3; Burgess og Rosen 1997: II. C.1) eller med hensyn til kvantificering på højere niveau (Afsnit 2.4). Monadisk tredje ordens logik kan igen fortolkes enten i en teori, der kombinerer pluralkvantificering med merologi (Lewis 1991: kap. 3; Burgess og Rosen 1997: II. C.1) eller med hensyn til kvantificering på højere niveau (Afsnit 2.4).

2.3 Modale kontekster

En anden måde, hvorpå flertalskvantificering og andenordens kvantificering adskilles, fremkommer i modale sammenhænge. Det er ofte en betinget sag, om et objekt falder ind under et koncept. Selvom jeg har sko, har jeg måske ikke gjort det. Så der er et koncept (F), under hvilket jeg falder, men måske ikke er faldet. I modsætning hertil ser det ud til, at det at være et af nogle objekter aldrig er betinget. Overvej de mennesker (aa), der alle er og kun de mennesker, der i øjeblikket har sko. Så er ikke kun jeg en af disse mennesker, men det ser ud til at være nødvendigt (hvis man antager eksistensen af de relevante objekter). At fjerne mig fra denne flerhed af mennesker ville bare resultere i en anden flerhed. For at pluraliteten (aa) skal være den flerhed, den er, skal den indeholde præcist de objekter, den faktisk indeholder. Så i enhver verden, hvor objekterne (aa) overhovedet findes,Jeg må være en af dem. Det er sandt, at jeg måske ikke havde sko. Men alligevel ville jeg have været en af (aa), kun da (aa) ville ikke have været alle og kun de mennesker, der havde sko. Flere navne og variabler ser således ud til at være stive på en måde, der er analog med den velkendte stivhed af entalnavne og variabler: i enhver verden, hvor et flertal betegner overhovedet, betegner det de samme objekter. Især ser det ud til, at pluraliteter er underlagt følgende to principper:det betegner de samme objekter. Især ser det ud til, at pluraliteter er underlagt følgende to principper:det betegner de samme objekter. Især ser det ud til, at pluraliteter er underlagt følgende to principper:

) tag {10} u / prec xx / rightarrow / Box (EExists xx / rightarrow u / prec xx))) tag {11} neg (u / prec xx) rightarrow / Box (EExists u / amp / EExists xx / rightarrow / neg (u / prec xx)))

hvor (EExists xx) og (EExists u) er passende formaliseringer af de påstande, der henholdsvis (xx) og (u) findes. [10]

2.4 Højere niveauer af plural kvantificering?

En måde at gå ud over PFO + ville være ved at tillade kvantificering i predikatpositioner, inklusive dem for predikater, der tager flertalsargumenter. Hvis du gør det, ville det resultere i en udvidelse, der står til PFO + som almindelig (ental) andenordens logik, står til almindelig (ental) førsteordens logik. Sådanne udvidelser vil ikke blive taget i betragtning her: for om de er legitime, og i bekræftende fald hvilke aksiomer de måtte støtte, har mindre at gøre med flertalsformer og flertalskvantificering end det gør med forudsigelse og kvantificering over de semantiske værdier af predikater. [11]

Hvad (er) relevant for de nuværende formål er, om der er en form for "super-plural" kvantificering, der står til almindelig plural kvantificering, da almindelig plural kvantificering står for entall kvantificering. I så fald, lad os kalde denne kvantificering på flertal på andet niveau. Mere generelt kan vi forsøge at indføre flertalskvantificering af ethvert endeligt niveau. Dette ville resultere i en teori, der til tekniske formål er ligesom en simpel teori (Hazen 1997: 247; Linnebo 2003: sect. IV; Rayo 2006).

Det er ret ligetil at udvikle formelle sprog og teorier om kvantificering på højere niveau (Rayo 2006). F.eks. Kan vi introducere variabler af formen xxx, der skal betragtes som spænder over pluraliteter på andet niveau og relationen (xx / prec_2) xxx, der skal forstås i analogi med relationen (x / prec xx). (Se Linnebo og Rayo 2012 for udvidelser til transfinite niveauer og sammenligning af de resulterende teorier med dem i almindelig sætteori.) Men kan disse formelle teorier om kvantificering på højere niveau begrundes med hensyn, der ligner dem, der berettiger teorierne PFO og PFO + ?

Boolos og mange andre filosoffer benægter, at kvantificering på højere niveau således kan retfærdiggøres. Der gives to slags argumenter for dette synspunkt. For det første argumenteres det for, at en flerhed altid er en flerhed af ting. Men da plural kvantificering er ontologisk uskyldig, er der ikke sådanne ting som pluraliteter. Der er således intet, der kan samles i et plenum på andet niveau (McKay 2006: 46–53 og 137–139). For det andet er almindelig plural kvantificering berettiget af det faktum, at det indfanger visse kvantificeringsindretninger af engelsk og andre naturlige sprog. Men engelsk og andre naturlige sprog indeholder ingen kvantificering på højere niveau (Lewis 1991: 70–71)

Begge argumenter er kontroversielle. Hvad angår det første, er det ikke klart, hvorfor ontologi skal være relevant for legitimiteten af kvantificering af flertal på højere niveau. Det skal være tilstrækkeligt, at objekter på basisniveau kan organiseres på visse komplekse måder. F.eks. Bør pluraliteten på andet niveau baseret på Cheerios, der er organiseret som oo oo oo, ikke være mere ontologisk problematisk end pluraliteten på første niveau baseret på de samme objekter, der er organiseret som oooooo, selvom den førstnævnte har et yderligere niveau af struktur eller artikulering (Linnebo 2003: 87–8).

Den anden af de to ovenstående argumenter er også problematisk. Til at begynde med er påstanden om, at der ikke findes flere flertalsplaceringer på højere niveau i naturligt sprog, næsten helt sikkert falsk. På islandsk har for eksempel antal ord pluralformer, der tæller, ikke individuelle objekter, men pluraliteter af objekter, der danner naturlige grupper. Her er et eksempel:

einn skór midler en sko
einir skór midler et par sko
tvennir skór midler to par sko

Dette giver os mulighed for at tale om par sko som et plenum på andet niveau snarere end som et flertal af objekter som par på første niveau. For et engelsk eksempel skal du overveje et videospil, hvor ethvert antal (n) hold kan konkurrere i en (n) - måde konkurrence. Derefter ser det ud til, at følgende sætning involverer et overnaturligt udtryk:

(12) Disse mennesker, disse mennesker og disse andre mennesker konkurrerer mod hinanden. (Linnebo og Nicolas 2008)

(Se også Oliver og Smiley 2004: 654–656 og 2005: 1063; Ben-Yami 2013; og Simons 2016)

Desuden er selve ideen om, at legitimiteten af kvantificering på højere niveau bestemmes af eksistensen eller ikke-eksistensen af højere niveau plural placeringer på engelsk og andre naturlige sprog, er problematisk (Hazen 1993: 138 og 1997: 247; Linnebo 2003: 87; Rayo 2006). Det, der virkelig betyder noget, er formodentlig, om vi kan gentage de principper og overvejelser, som vores forståelse af almindelig pluralisk kvantificering på første niveau bygger på: Hvis vi kan, vil kvantificering på højere niveau være berettiget på meget samme måde som almindeligt første niveau plural kvantificering; og hvis ikke, så ikke. Selv hvis der ikke var flere placeringer på højere niveau på naturlige sprog,dette ville give ringe eller ingen bevis for den stærkere - og filosofisk mere interessante - påstand om, at der ikke kan være nogen iteration af trinnet fra ental til flertal på noget sprog, der tales af intelligente agenter. Desuden kunne ethvert bevis af denne art blive besejret ved at pege på uafhængige grunde til, at pluraliseringer på højere niveau er knappe på naturlige sprog. En sådan uafhængig grund kan simpelthen være, at almindelige talere ikke er meget bekymrede over deres ontologiske forpligtelser og dermed finder det mere praktisk at udtrykke fakta, der involverer pluraliteter på andet niveau ved at placere genstande til at repræsentere pluraliteter på første niveau (for eksempel ved at tale om to par sko) snarere end ved at holde styr på ekstra grammatisk udstyr til flertals på andet niveau (som i ovenstående eksempel fra islandsk).

3. Logicality-afhandlingen

Det hævdes ofte, at teorierne PFO og PFO + kvalificerer sig som”ren logik”. Vi vil referere til denne (ganske vist vage) påstand som logisk-tesen. Da de tilsvarende sprog tolkes af oversættelsen (Tr) til almindeligt engelsk, er dette en påstand om logikheden af visse aksiomer og indledningsregler for almindelig engelsk. [12]

Selv før Logicality-afhandlingen er gjort mere præcis, er det muligt at vurdere dens muligheden for i det mindste nogle af aksiomerne og inferensreglerne for PFO og PFO +. Først er der tautologierne og inferensreglerne for identitet og de entallige kvantificatorer. Der er bred enighed om, at disse kvalificerer sig som logiske. Dernæst er der inferensreglerne for flertalskvantificatorerne. Da disse regler er fuldstændig analoge med reglerne for de entallige kvantificatorer, kan det næppe nægtes, at de også kvalificerer sig som logiske. Så er der ekstensivitetsaksiomer og aksiom, at alle pluraliteter er ikke-tomme. Disse aksiomer er uproblematiske, fordi de sandsynligvis kan antages at være analytiske. Det resterende er flertalens forståelsesaksiomer, hvor tingene er langt mindre tydelige. For disse aksiomer har ingen åbenlyse entydige modstykker,og deres syntaktiske form viser, at de fremsætter eksistentielle påstande. Så det er ikke indlysende, at disse aksiomer kan anses for at være rent logiske.

Dette er ikke til at sige, at det ikke har slået folk så indlysende ud, at flertalens forståelsesaksiomer er rent logiske. For eksempel hævder Boolos uden argumenter, at oversættelsen af hver pluralforståelsesaksiom til engelsk "udtrykker en logisk sandhed, hvis nogen sætning af engelsk gør" (Boolos 1985b: 342 [1998a: 167]; hans vægt).

For at vurdere logicalitetstesen på en mere principiel måde, vil der blive sagt mere om, hvad det kan betyde for en teori at være”rent logisk”. Så jeg vil nu undersøge nogle af de funktioner, der ofte anses for at spille en rolle i en sådan definition. Selvom folk frit kan bruge ordet “logik”, som de vil, er det vigtigt at få klarhed over, hvad forskellige anvendelser indebærer; især antages teorier, der kvalificerer sig som rent logiske, ofte at nyde en række ønskelige filosofiske egenskaber såsom epistemisk og ontologisk uskyld. I det næste afsnit, hvor forskellige anvendelser af plural kvantificering vil blive drøftet, vil jeg omhyggeligt bemærke, hvilke stammer af forestillingen om logiskhed, vores teorier PFO og PFO + skal have for at de forskellige anvendelser af dem kan få succes.

Måske er den mindst kontroversielle kandidat til et definerende træk ved logik dens absolutte generalitet. Et logisk princip er gyldigt i enhver form for diskurs, uanset hvilken slags objekter denne diskurs vedrører. For eksempel er modus ponens gyldige ikke kun i fysik og matematik, men i religion og i analysen af fiktion. Frege fanger ideen pænt, når han siger, at et logisk princip er gyldigt i”det bredeste domæne af alle; […] Ikke kun det faktiske, ikke kun det intuitive, men alt tænkeligt”(Frege 1884: 21). Selvom fysikens principper kun er gyldige i den egentlige verden og i verdener, der er nomologisk ligner den, styrer logikens principper alt, hvad der kan tænkes. Hvis et af disse principper nægtes, følger "fuldstændig forvirring" (ibid.).

Et andet træk, der bredt antages at være definerende af logik, er dens formalitet: Sandheden i et logikprincip garanteres af formen af tanke og / eller sprog og er på ingen måde afhængig af dets sag. Hvad denne funktion udgør, afhænger naturligvis af, hvordan sondringen mellem form og stof forstås. Den mest populære forklaring af sondringen mellem form og stof stammer fra den bredt delte opfattelse af, at der ikke findes objekter af begrebsmæssig nødvendighed (Field 1993; Yablo 2000). På dette synspunkt er det naturligt at betragte alt, hvad der har at gøre med eksistensen af genstande og deres særlige karakteristika, som tilhørende tankesagen snarere end til dens form. Dette giver anledning til to træk, der ofte betragtes som definerende af logik. For det første skal logik være ontologisk uskyldig; det er,et logisk princip kan ikke indføre nye ontologiske forpligtelser (Boolos 1997; Field 1984). For det andet må de grundlæggende forestillinger om logik ikke skelne mellem forskellige objekter, men skal behandle dem alle ens. Denne sidstnævnte idé staves ofte som kravet om, at logiske forestillinger skal være ufravigelige under permutationer af objekternes domæne (Tarski 1986).

Et tredje træk, der ofte betragtes som definition af logik, er dets (påståede) kognitive forrang. Primitive logiske forestillinger skal forstås fuldstændigt, og vores forståelse af dem skal være direkte i den forstand, at de ikke afhænger af eller involverer en forståelse af forestillinger, der skal klassificeres som ekstra-logiske. Antag for eksempel, at visse sætteoretiske principper skal betragtes som ekstralogiske. Så kan vores forståelse af de primitive logiske forestillinger ikke afhænge af eller involvere nogen af disse principper.

4. Anvendelser af pluralisation

Jeg vil nu skitsere nogle anvendelser af teorierne PFO og PFO +. I det foregående afsnit blev tre stammer af forestillingen om logikalitet adskilt. Der vil blive lagt særlig vægt på spørgsmålet, hvilken af disse tre stammer PFO og PFO + skal have for at applikationerne skal få succes.

4.1 Oprettelse af logikken ved monadisk andenordens logik

Som vi så i afsnit 2.1, definerede Boolos en fortolkning af teorien MSO for monadisk andenordens logik i teorien PFO om plural kvantificering. Han søgte at bruge denne oversættelse til at fastslå MSOs logik. Dette kræver to trin. Det første skridt er at argumentere for, at PFO er ren logik, det vil sige at etablere den fulde logiske afhandling (hvor nøjagtigt den også fortolkes). Det andet trin er at argumentere for, at fortolkningen af MSO i PFO bevarer logiskheden.

Nogle af udfordringerne for det første trin vil blive undersøgt i afsnit 5. Også det andet trin bør ikke undervurderes. Den største bekymring her er måske, at Boolos 'oversættelse gengiver udtryk fra en kategori (monadisk predikat) i form af udtryk fra en anden kategori (ordbog for substantivfraser). For eksempel gengives "… er et æble" som "æblerne". Men disse kategorier er meget forskellige (Afsnit 2).

Da afhandlingen om, at MSO er ren logik, er meget abstrakt, vil meget af dens kontante værdi dog ligge i dens applikationer. Og i betragtning af den lige fortolkbarhed af MSO og PFO, er det sandsynligt, at mange anvendelser af den førstnævnte logikitet kan tjene lige så godt af den sidstnævnte logikitet. Dette mindsker noget vigtigheden af at udføre det andet trin noget.

4.2 Logik

Både Fregean og post-Fregean logik gør væsentlig brug af anden orden kvantificering. Frege definerede de forskellige objekter i ren matematik som udvidelser af koncepter, og hans berømte grundlov V erklærede, at to begreber (F) og (G) har den samme udvidelse, hvis de er co-omfattende:

) tag {V} û / mstop Fu = û / mstop Gu / leftrightarrow / Forall {u} (Fu / leftrightarrow Gu))

Men som bekendt viser Russells paradoks, at andenordens teori med (V) som et aksiom er inkonsekvent.

Filosofer har forsøgt at redde nogle ideer om Fregean logik ved at bruge aksiomer svagere end (V). Et af de vigtigste sådanne forsøg er Bob Hale og Crispin Wrights nylogikisme, der giver op fra Freges teori om udvidelser, men holder fast ved den centrale idé om hans definition af kardinalnumre, nemlig at antallet af (F) er identisk med antallet af (G) s, i tilfælde af at (F) s og (G) s kan korreleres en-til-én. Dette er blevet kendt som Humes princip og kan formaliseres som

) tag {HP} Nu. Fu = Nu / mstop Gu / leftrightarrow F / ca. G)

hvor (F / ca. G) siger, at der er en relation, som en-til-en korrelerer (F) s og (G) s. Andenordens teori med (HP) som et aksiom er konsistent og giver os mulighed for at udlede al almindelig (anden ordens Peano-Dedekind) aritmetik ved hjælp af nogle meget naturlige definitioner (se posten på Freges logik, sætning og fundamenter til Aritmetik).

Endnu mere beskeden er Boolos 'sub-logik, der afviser ideen (godkendt af både logikere og nylogikere) om, at der er logiske objekter, men insisterer på, at Freges definition af forfædre til en relation kan bruges til at vise, mod Kant, at i det mindste nogle ikke-trivielle matematik er analytiske (Boolos 1985b). Husk, at en relation (R) står til dens forfædre (Rarel), da forholdet er en forælder til står til er en stamfar til. (Mere præcist holder (Rarel) mellem to objekter (x) og (y) bare i tilfælde af at (x) og (y) er forbundet via en endelig sekvens af objekter, der hver især er bærer (R) til dens efterfølger.) Frege giver en andenordens definition af forfædres relation (Rarel) ved at lægge ned, at (x) og (y) er relateret til (Rarel) bare i tilfælde (y) har alle egenskaber, der er haft af (x) 's (R) - efterfølgere og arvet under (R) - forholdet:

) tag {Def (Rarel)} x / Rarel y / leftrightarrow / Forall {F}) Forall {u} (x / Rrel u / rightarrow Fu) amp / Forall {u} (Fu / amp u / Rrel v / højre pil Fv) højre pil Fy])

Ved hjælp af denne definition beviser Frege 1879 nogle ikke-trivielle matematiske sandheder, såsom at forfaderne (Rarel) er transitive og at for enhver funktionel relation (R) - (R) - forfædre til enhver objekter er (Rarel) - sammenlignelige (det vil sige han beviste: Funktionel ((R) amp x / Rarel y / amp x / Rarel z / højre pil y / Rarel z / lor z / Rarel y)).

Det er blevet foreslået, at PFO bruges til at imødekomme post-Fregean-logikernes behov for andenordens kvantificering. Da forfædret af et dyadisk predikat kan defineres ved kun at anvende monadisk andenordens kvantificering, tjener PFO faktisk de logiske behov for Boolos 'sub-logik. [13] Men da den nylogikistiske definition af (F / ca. G) bruger dyadisk andenordens logik, har PFO alene ikke tilstrækkelig udtrykkelig magt til at imødekomme neo-logikismens behov. Neo-logikeren kan forsøge at løse dette problem ved at betragte ækvinenøsitet som en primitiv logisk kvantificer eller ved at simulere dyadisk andenordens kvantificering i en passende passende udvidelse af PFO, som omtalt i afsnit 2.2 [14] (se Boccuni 2010 for en anden mulighed).

Hvilke stammer i Logicality Thesis er nødvendige for at disse applikationer kan få succes? Da disse logikere forsøger at vise, at dele af matematik er analytiske (eller i det mindste kendelige a priori), ville dette kræve, at PFO er analytisk (eller i det mindste kendelig a priori), hvilket igen sandsynligvis kræver, at PFO nyder en form for kognitiv forrang. Desuden skulle PFO være enten ontologisk uskyldig eller kun forpligtet over for enheder, hvis eksistens er begrebsmæssigt nødvendigt (eller i det mindste etablerbar a priori).

4.3 Sæt teori

En anden anvendelse af Logicality Thesis vedrører sætteori. Man kan af forskellige årsager ønsker at tale om og kvantificere over samlinger af sæt (Linnebo 2003: 80–81). Man kan for eksempel ønske at hævde

(13) Der er nogle sæt, som alle er og kun de ikke-selvmedlemmerede sæt

Hvis vi formaliserer dette som

) tag {(13 ')} Eksisterer {R} Forall {x} (Rx / leftrightarrow x / not / in x),)

hvordan skal kvantificatoren (eksisterer {R}) forstås? Det kan helt klart ikke tages for at spænde over alle sæt, da dette ville føre direkte til Russells paradoks: (13 ') ville derefter hævde eksistensen af Russell-sæt. Tre andre svar er fremtrædende i litteraturen.

Det første svar er, at (eksisterer {R}) spænder over klasser, men at nogle klasser er for store (eller på anden måde ikke egnet) til at være sæt. Især (13) hævder eksistensen af Russell-klassen, som ikke er et sæt. Dette svar er fundet problematisk, fordi det postulerer eksistensen af forskellige slags “sæt-lignende” enheder (Boolos 1984: 442 [1998a: 66] og 1998b: 35). Det er også blevet indvendt, at dette svar kun udsætter det problem, der er stillet af (13). For det ville også være sandt

(14) Der er nogle klasser, som alle er og kun de ikke-selvmedlemsklasser

Hvilken type enhed ville denne samling af klasser være? En super-klasse? I så fald vil vi blive tvunget til at postulere højere og højere niveauer af klasser. Lewis (1991: 68) hævder, at Russells paradoks stadig er uundgåelig, fordi vi, når vi overvejer alle sæt-lignende enheder, indser, at følgende er sandt:

(15) Der er nogle sæt-lignende ting, som alle er og kun de ikke-selvmedlemede sæt-lignende ting

Hazen (1993: 141–2) har imidlertid påpeget, at Lewis's indsigelse er i strid med væsentlige typebegrænsninger. Klasser på forskellige niveauer hører til forskellige logiske typer, ligesom begreber på forskellige niveauer gør. Så Lewis's forsøg på at tale om alle sæt-lignende enheder i et fald involverer et forsøg på at kvantificere på tværs af forskellige logiske typer. Men dette overtræder typebegrænsninger på samme måde som et forsøg på at kvantificere samtidig over objekter og begreber på alle forskellige niveauer. Selvom vi kan kvantificere over hvert niveau af klasser, kan vi aldrig kvantificere over alle niveauer samtidigt.

Det andet svar er, at (13) hævder eksistensen af et sæt (R), men at (R) ikke er inden for området for kvantificatoren (forall {x}). Dette forhindrer os i at indstille kvantificatoren (forall {x}) med hensyn til (R), hvilket betyder, at vi ikke kan drage den fatale konklusion om, at (R) er et medlem af sig selv, hvis det ikke er 't. Dette svar medfører imidlertid, at kvantificatoren (forall {x}) ikke kan vælges til at strække sig over absolut alle sæt; for hvis det kunne vælges sådan, ville vi ikke kunne benægte, at (R) er inden for dette kvantificeringsområde. Dette betyder, at universet af sæt har en bestemt uudtømmelighed: hver gang vi har dannet en opfattelse af kvantificering over et vist sæt sæt, kan vi definere et sæt, der ikke er inden for dette område (Dummett 1981: kap. 15 og 1991: ch. 24; Glanzberg 2004; Parsons 1977). Imidlertid,denne reaktion er blevet kritiseret for at være, i bedste fald svær at angive og i værste fald selvudryddende (Boolos 1998b: 30; Lewis 1991: 68; Williamson 2003: sect. V). (Se også Rayo og Uzquiano 2006 for en række essays, der drøfter, om absolut generel kvantificering er mulig.)

På grund af vanskelighederne i de to første svar er et tredje svar blevet populært i de senere år (Boolos 1984 og 1985a; Burgess 2004; Cartwright 2001; Rayo og Uzquiano 1999; Uzquiano 2003). Dette er, at kvantificatoren (eksisterer {R}) er en plural kvantificer (og ville derfor være bedre skrevet som (eksisterer {rr})), og at plural kvantificering er ontologisk uskyldig. Derfor (13) hævder ikke eksistensen af nogen "sætlignende" enhed ud over sættene i området for kvantificatoren (forall {x}). Men som vi vil se i afsnit 5, er påstanden om ontologisk uskyld kontroversiel.

4.4 Matematisk nominalisme

Nogle af de mest populære anvendelser af plural kvantificering drejer sig om ontologisk økonomi. Ideen er at betale den ontologiske pris for en ren førsteordens teori og derefter bruge plural kvantificering for at få gratis (en teori med kraft af) den tilsvarende monadiske anden ordens teori. Det ville naturligvis være et ontologisk tilbud. Anvendelser af denne art falder i to hovedklasser, som vil blive drøftet i dette underafsnit og det næste.

En klasse af anvendelser af plural kvantificering sigter mod at gøre ontologiske tilbud i matematikfilosofien. Især har et antal filosoffer forsøgt at bruge flertalskvantificering som en ingrediens i nominalistiske fortolkninger af matematik. Et dejligt eksempel er Geoffrey Hellmans modale nominalisme, hvorefter matematiske udsagn, der er forpligtet til eksistensen af abstrakte objekter, skal fjernes til fordel for udsagn om mulig eksistens af konkrete objekter. For eksempel, i stedet for at hævde, som platonisten gør, at der findes en uendelig samling af abstrakte genstande, der tilfredsstiller axiomerne i Peano-aritmetik (nemlig de naturlige tal), hævder Hellman, at der kunne eksistere en uendelig samling af konkrete genstande, der er relateret til at tilfredsstille disse aksiomer (Hellman 1989 og 1996). Imidlertid,selv denne modale påstand ser ud til at tale om samlinger af konkrete genstande og forhold til disse objekter. For at forhindre indvendingen, som dette smugler ind gennem bagdøren, abstrakte genstande som sæt, har Hellman brug for en alternativ, nominalistisk acceptabel fortolkning af denne tale om samlinger og relationer. Plural kvantificering kan tilbyde en sådan fortolkning.

Til denne anvendelse af flertalskvantificering til arbejde skal PFO være anvendelig på alle former for konkrete genstande, og det skal være ontologisk uskyldig, eller i det mindste ikke forpligtet til nogen enheder, der deler disse træk ved abstrakte genstande, der er fundet at være nominalistisk kritisk. For at simulere kvantificering over relationer, har vi desuden ikke kun brug for PFO men en teori mere som monadisk tredje ordens logik (afsnit 2.2 og 2.4).

4.5 Fjernelse af komplekse objekter

En anden klasse af applikationer forsøger at eliminere forpligtelser fra videnskab og sund fornuft til (nogle eller alle) komplekse objekter. I stedet for at anvende sædvanlig entall kvantificering over borde og stole foreslås det for eksempel, at vi bruger plural kvantificering over merologiske atomer, der er arrangeret bordvis eller med stolen (Dorr og Rosen 2002; Hossack 2000; van Inwagen 1990). For eksempel, i stedet for at sige, at der er en stol på ens kontor, skal man sige, at der er nogle atomer på ens kontor arrangeret med uret. På denne måde ser man ud til at undgå at forpligte sig til eksistensen af en stol. Bemærk, at sådanne analyser kræver PFO +, ikke kun PFO, da de nye predikater “er arrangeret (F) - klogt” ikke er fordelende.

Lad os afsætte rent metafysiske bekymringer om sådanne analyser, som ikke er relevante for vores aktuelle bekymring. Hvad (vi) gerne vil vide, er, hvilke krav disse analyser stiller til teorien PFO +, især hvilke stammer af Logicality Thesis, der er nødvendige. De mest åbenlyse krav er, at PFO + skal anvendes på alle slags enkle objekter, og at det er ontologisk uskyldig eller i det mindste ikke forpligtet til komplekse objekter af den art, der skal fjernes.

Et mindre indlysende krav har at gøre med behovet for at analysere almindelig flertalskvantificering over for eksempel komplekse objekter

(16) Der er nogle stole arrangeret i en cirkel

Vi har allerede "opbrugt" almindelig plural kvantificering og forudsigelse for at fjerne tilsyneladende engagement i individuelle stole (Uzquiano 2004). Så for at analysere (16), har vi brug for noget som”super-plural” kvantificering - kvantificering, der står til almindelig plural kvantificering, som almindelig plural kvantificering står til ental - og tilsvarende ikke-distribuerende predikation. Legitimiteten af sådanne sproglige ressourcer blev drøftet i afsnit 2.4.

5. Ontologisk uskyld?

Den traditionelle opfattelse i den analytiske filosofi har været, at alle pluraliseringer bør omskiftes om nødvendigt ved at kvantificere over sæt (afsnit 1). George Boolos og andre modsatte sig, at det er både unaturligt og unødvendigt at eliminere plural placeringer. Dette førte til teorierne PFO og PFO +. Tilhængere af flertalskvantificering hævder, at disse teorier tillader, at plural placeringer formaliseres på en måde, der er grundlæggende forskellig fra de gamle sætteoretiske parafraser. Navnlig hævder de, at disse teorier er ontologisk uskyldige i den forstand, at de ikke indfører nye ontologiske forpligtelser over for sæt eller nogen anden form for”sæt-lignende” enheder ud over de individuelle objekter, der sammensætter de aktuelle pluraliteter. Lad os kalde dette sidstnævnte påstand om ontologisk uskyld.

Andre filosofer sætter spørgsmålstegn ved Ontologisk uskyld. For eksempel udtrykker Michael Resnik bekymringer over den påståede ontologiske uskyld ved pluraliseringsformaliseringen (ref {ex3pprime}) i Geach-Kaplan-dommen (3). For når (ref {ex3pprime}) oversættes til engelsk som instrueret, lyder det:

((3 '' ')) Der er nogle kritikere, således at en af dem kun beundrer en anden kritiker, hvis sidstnævnte er en af dem adskilt fra førstnævnte

Men ((3 '' ')), siger Resnik,

forekommer mig at henvise til samlinger ganske eksplicit. Hvordan skal vi ellers forstå udtrykket”en af dem” bortset fra at henvise til en eller anden samling og som at sige, at referenten til”en” hører til den? (Resnik 1988: 77)

Relaterede bekymringer er blevet udtrykt i Hazen 1993, Linnebo 2003, Parsons 1990 og Rouilhan 2002; se også Shapiro 1993.

Jeg vil nu drøfte tre argumenter til fordel for Ontological Innocence.

5.1 Det sætteoretiske argument

Det første argument begynder med at bede os om at overveje kravet

(17) Der er nogle sæt, som alle er og kun de ikke-selvmedlemmerede sæt

og indrømme, at det er sandt. Det fortsætter med at argumentere for, at hvis flertalsudtryk blev begået til samlinger eller andre "sætlignende" genstande, ville sandheden om (17) føre direkte til Russells paradoks. Dette anses undertiden for at være et nedslidt argument til fordel for Ontological Innocence (Boolos 1984: 440–443 [1998a: 64–67]; Lewis 1991: 65–69; McKay 2006: 31–32). Men faktisk er det mindre afgørende end det ser ud til. For som vi så i afsnit 4.3, vil Russells paradoks kun følge, hvis to alternative synspunkter udelukkes. Da disse synspunkter ikke kan afvises for hånden, forbliver meget arbejde, inden dette argument kan siges at være endeligt.

5.2 Det forkerte predikationsargument

Det andet argument er pænt indkapslet af Boolos 'bemærkning om, at "Det er høsttråd at tro, at når du har nogle Cheerios, spiser du et sæt" (1984: 448–9 [1998a: 72]). Det, Boolos antyder her, er, at analyser, der benægter Ontological Innocence, sandsynligvis vil få genstand for pluralistiske forudsigelser.

Det åbenlyse svar er at fortolke flertalsprædikater på en måde, der sikrer, at det, vi spiser, er elementerne i et sæt og ikke selve sætet. Overvej sætningen:

(18) George Boolos spiste nogle Cheerios til morgenmad den 1. januar 1985

Når det direkte objekt for verbet “spiste” er flertal, kan vi for eksempel fortolke verbet ved hjælp af forholdet x at-elementerne-af y.

Det vil blive indvendt, at dette svar gør verbet "spiste" tvetydigt på en upålidelig måde (Oliver og Smiley 2001). For når verbet har et direkte objekt, der er entydigt, fortolkes det antagelig ved hjælp af den almindelige relation x ate y. Men der er ret stærke bevis for, at verbet “spiste” ikke er tvetydigt på denne måde. For eksempel er en virkning af en tvetydighed at afvise visse typer ellipser. Et eksempel er tvetydigheden ved "make" i "make breakfast" og "make a plan", som afviser følgende ellipsis:

(* 19) Boolos lavede morgenmad, men hans gæst, kun en plan

Så hvis "spiste" var tvetydig på den måde, der netop er beskrevet, ville følgende ellipsis også blive afvist, hvilket det ikke er:

(20) Boolos spiste nogle Cheerios, men hans gæst, kun et æble

Det er imidlertid langt fra klart, at ovennævnte svar på Boolos 'argumentation skal være forpligtet til sådanne problematiske tvetydigheder. Vi kan for eksempel lade alle predikater tage flertalsenheder som deres argumenter. Verbet”spiste” vil derefter altid som fortolkning modtage forholdet-elementerne-af x-spise-elementerne-af y, og således fjerne enhver tvetydighed. Hvorvidt dette svar i sidste ende er acceptabelt, viser det, at det pågældende argument forbliver uomstrækkeligt.

5.3 Det direkte argument

Det måske mest populære argument for Ontological Innocence er det, jeg nu henvender mig til. I sin enkleste form er dette argument baseret på vores intuitioner om ontologiske forpligtelser. Når du hævder (18), har du ikke følelsen af, at du forpligter dig ontologisk til en samling eller til nogen anden form for "sæt-lignende" objekt. Du har heller ingen sådan følelse, når du hævder Geach-Kaplan-sætningen eller nogen anden oversættelse af en sætning af PFO eller PFO + til engelsk. Eller sådan går argumentet.

I denne enkle form er argumentet sårbart over for indvendingen om, at folks intuitioner giver et dårligt grundlag for at bilægge teoretiske tvister om ontologiske forpligtelser. Vi har set, at der er dygtige talere på engelsk, som Michael Resnik, der ikke deler disse intuitioner. Eftersom Davidsons populære analyse af handlingssætninger med hensyn til begivenheder gør det klart, kan almindelige folks intuitioner om ontologiske forpligtelser ikke altid tillid (Davidson 1967). For eksempel kan nogen oprigtigt hævde, at John gik langsomt uden at være opmærksom på, at han har forpligtet sig til eksistensen af en begivenhed (nemlig en gåtur, som var af John, og som var langsom).

Selv om denne indsigelse har kraft, kan argumentet skærpes ved at foretage en mere omhyggelig undersøgelse af, hvilke former for eksistentiel generalisering der er berettiget i en sætning, der indeholder flertalsudtryk (Boolos 1984: 447 [1998a: 70]; McKay 2006: kap. 2; Yi 2002: 7–15 og 2005: 469–472). For eksempel kan vi spørge, om følgende kan udledes fra (18):

(21) Der er et sådant objekt, at Boolos spiste alle dens elementer (eller bestanddele) til morgenmad den 1. januar 1985

Denne slutning vil uden tvivl være ret ejendommelig. Dette giver bevis på, at (18) ikke er forpligtet til nogen form for "sæt-lignende" enhed.

Dette bevis er imidlertid ikke ubestrideligt. For der er analoge konklusioner, der synes ganske naturlige. For eksempel fra

(22) Nogle studerende omringede bygningen

de fleste talere på engelsk ville være glade for at udlede det

(23) En gruppe studerende omringede bygningen

Så særegenheden ved inferensen fra (18) til (21) er måske et pragmatisk snarere end et semantisk fænomen. Det har måske at gøre med det faktum, at det er mindre naturligt at betragte nogle Cheerios som et sæt (eller en anden form for pluralitet) end det er at betragte nogle studerende som en gruppe.

Lad os dog antage, at forsvarerne af Direct Argument har ret, som (18) ikke indebærer (21). Hvad ville der følge? Det følger heraf, at (18) ikke pålægges nogen ekstra ontologiske forpligtelser af den slags, der kan pådrages af entall førsteordens kvantificatorer. Men denne konklusion kommer ikke under argumentets ønskede konklusion om, at (18) ikke pålægges nogen yderligere ontologiske forpligtelser af nogen art. For at komme fra den faktiske konklusion til den ønskede, ville vi desuden skulle antage, at alle ontologiske forpligtelser er af den art, der pådrages af entall første ordens kvantificatorer. Men der er en indflydelsesrig filosofisk tradition, der benægter denne antagelse og i stedet hævder, at alle former for kvantificatorer pådrager sig ontologiske forpligtelser, ikke kun entydige førsteordens. [15]Den mest berømte eksponent for denne tradition er Frege, der hævder, at andenordens kvantificatorer er forpligtet til koncepter, ligesom entall første-orden kvantificatorer er forpligtet til objekter. Denne tradition binder forestillingen om ontologisk engagement meget tæt på den af en semantisk værdi. Dette vil være emnet for næste og sidste underafsnit.

5.4 Semantiske værdier og ontologiske forpligtelser

I semantik antages det vidt, at hver komponent i et komplekst udtryk yder et bestemt bidrag til betydningen af det komplekse udtryk. Dette bidrag er kendt som den semantiske værdi af komponentudtrykket. Det antages også, at betydningen af det komplekse udtryk funktionelt bestemmes af de semantiske værdier af komponentudtrykket og deres syntaktiske sammensætningstilstand. Denne antagelse er kendt som sammensætning.

Ifølge Frege er den semantiske værdi af en sætning bare dens sandhedsværdi, og den semantiske værdi af et rigtigt navn er dets referent (dvs. det objekt, den henviser til). Når vi først har fastlagt de semantiske værdier, der er tildelt sætninger og egentlige navne, er det let at bestemme, hvilke slags semantiske værdier der skal tildeles til udtryk fra andre syntaktiske kategorier. For eksempel vil den semantiske værdi af et monadisk predikat være en funktion fra objekter til sandhedsværdier. Frege kalder sådanne funktionsbegreber.

Lad os som et eksempel overveje den enkle emne-predikat sætning

(24) Socrates er dødelig

Den logiske form for (24) er (mathbf {M} (mathbf {s})), hvor (mathbf {M}) er predikatet “er dødelig” og (mathbf {s}) er entalbetegnelsen "Socrates". Lad os skrive) (mathbf {E})] for den semantiske værdi af et udtryk (mathbf {E}). I overensstemmelse med det foregående afsnit er de semantiske værdier, der er relevante for (24), som følger:

(25) () mathbf {s}] = / textrm {Socrates})

(26) () mathbf {M}] =) funktionen (f) fra objekter til sandhedsværdier, således at (f (x)) er den rigtige, hvis (x) er dødelig og (f (x)) er ellers den falske

Sandhedsværdien af (24) bestemmes således som

(27) [(24)] (=) mathbf {M} (mathbf {s})] =) mathbf {M}] () mathbf {s}]) = f (textrm {Socrates}) =) det sande (hvis Socrates er dødelig) eller den falske (ellers)

Frege tog forbindelsen mellem semantiske værdier og ontologiske forpligtelser til at være meget tæt. For på ovenstående analyse (24) understøtter to slags eksistentielle generaliseringer: ikke bare til (Eksisterer {x} mstop / mathbf {M} (x)) (hvilket er sandt, hvis der findes et objekt, som er dødelig), men også til (Eksisterer {F} mstop F (r)) (hvilket er sandt, hvis der findes et begreb, som Socrates falder under). Ifølge Frege viser dette, at sætninger som (24) er ontologisk begået ikke kun til et objekt, men også til et koncept.

Det, der betyder noget for de nuværende formål, er ikke sandheden eller forfalskningen af Freges påstand om begreber, men om et cogent argument af denne art kan udvikles til pluraludtryk. For at undersøge dette, lad os overveje en simpel ikke-fordelende plural forudsigelse som f.eks

(28) Disse æbler danner en cirkel

Den logiske form for (28) ser ud til at være (mathbf {C} (mathbf {aa})), hvor (mathbf {C}) er predikatet “form en cirkel” og (mathbf {aa}) er pluralismen "disse æbler". (Hvis du synes, at komplekst flertalsdemonstrativt har en intern semantisk struktur, skal du i stedet bruge et bestemt flertalsnavn til at henvise direkte til de pågældende æbler.) Den naturlige opfattelse vil derefter være som følger.

(29)) (mathbf {aa}] = a_1) og … og (a_n) (hvor (a_i) er alle og kun æblerne demonstreret)

(30)) (mathbf {C}] =) funktionen (g) fra pluraliteter til sandhedsværdier, således at (g (xx)) er den rigtige, hvis (xx) danner en cirkel og (g (xx)) er ellers falsk

Sandhedsværdien af (28) bestemmes derefter som

(31) [(28)] (=) mathbf {C} (mathbf {aa})] =) mathbf {C}] () mathbf {aa}]) = g (a_1) og … og (a_n)) = den sande (hvis (a_1) og … og (a_n) danner en cirkel) eller den falske (ellers)

hvilket er, hvad man kunne forvente i betragtning af den syntaktiske lighed mellem (24) og (28).

Antag, at denne analyse er korrekt, og at hvert pluraludtryk således har nogle objekter som sin semantiske værdi, ligesom hver enkeltbetegnelse har et objekt som sin semantisk værdi. Hvad vil dette betyde for spørgsmålet om Ontological Innocence? I henhold til den fregæiske tradition, der forbinder forestillingen om ontologisk engagement med den af en semantisk værdi, vil dette betyde, at pluraludtryk forpligter sig til pluraliteter, ligesom predikater pådrager sig engagement i koncepter. For at sige, at en sætning pålægger en forpligtelse over for en pluralitet, er bare at sige, at sandheden i sætningen kræver, at der er nogen semantisk værdi af den slags, der er passende til flertalsudtryk. Denne ræsonnement vil imidlertid blive modstået af andre filosoffer,der mener, at forestillingen om ontologisk forpligtelse (højst) skal knyttes til entallige førsteordensvariabler.

Hvordan kan denne uenighed bedømmes? På den ene side kan det tælle til fordel for den fregæiske tradition at deres synspunkt er meget systematisk. Der kan være noget ad hoc ved tanken om, at nogle slags semantisk værdi giver anledning til ontologiske forpligtelser, mens andre slags ikke gør det. På den anden side kan det tælle til fordel for det alternative synspunkt, at det giver bedre retfærdighed for mange menneskers stærkt følte intuition om, at pluraliseringer er ontologisk uskyldige.

En anden mulighed er, at hele kontroversen i sidste ende kun er en pseudo-uenighed (se især Florio og Linnebo 2016, men også Parsons 1990; Shapiro 1993; Linnebo 2003; Rayo 2007; og Linnebo og Rayo 2012). Hvis begge parter er enige om, at pluraludtryk har semantiske værdier, og hvis begge er enige om, at forpligtelser til genstande kun pådrages af entallige førsteordensbetegnelser og -variabler, betyder det måske ikke noget, om andre slags udtryk og variabler skal betragtes som at introducere deres egne karakteristiske former for ontologisk engagement. Nogle filosoffer taler om en teoris ideologiske forpligtelser og ikke kun om dens ontologiske forpligtelser. Med dette menes de logiske og konceptuelle ressourcer, som teorien anvender. Måske ville filosoffer rådes til at fokusere mere på de metafysiske og epistemologiske spørgsmål rejst af en teoris ideologiske forpligtelser og bekymre sig mindre om, hvorvidt disse ideologiske forpligtelser også skal betragtes som at indføre en karakteristisk form for ontologisk engagement. Når alt kommer til alt er begrebet et ontologisk engagement teoretisk, ikke et, der har noget skarpt indhold uden for filosofien. Så måske skal vi betragte begrebet mere som et middel til afslutningen af at give gode filosofiske forklaringer og mindre som et mål i sig selv.ikke et, der har noget skarpt indhold uden for filosofien. Så måske skal vi betragte begrebet mere som et middel til afslutningen af at give gode filosofiske forklaringer og mindre som et mål i sig selv.ikke et, der har noget skarpt indhold uden for filosofien. Så måske skal vi betragte begrebet mere som et middel til afslutningen af at give gode filosofiske forklaringer og mindre som et mål i sig selv.

Bibliografi

  • Armstrong, David, 1978, Universals and Scientific Realism, Vol. 1, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Ben-Yami, Hanoch, 2004, Logic and Natural Language: On Plural Reference and its Semantic and Logical Significance, Hants: Ashgate.
  • –––, 2009, “Plural Quantification Logic: A Critical Appraisal”, gennemgang af symbolisk logik, 2 (1): 208–232. doi: 10,1017 / S1755020309090108
  • –––, 2013, “Flere planer på højere niveau versus artikuleret reference og en uddybning af Salva-veritate”, Dialectica, 67 (1): 81–102. doi: 10.1111 / 1746 til 8361,12013
  • Black, Max, 1971, “Sætets elektivitet”, gennemgang af metafysik, 24 (4): 614–636.
  • Boccuni, Francesca, 2010, “Plural Grundgesetze”, Studia Logica, 96 (2): 315–330. doi: 10,1007 / s11225-010-9281-3
  • Boolos, George, 1984, “At være skal være en værdi af en variabel (eller være nogle værdier af nogle variabler)”, Journal of Philosophy, 81 (8): 430–50; Repr. i Boolos 1998a. doi: 10,2307 / 2.026.308
  • –––, 1985a, “Nominalist Platonism”, Philosophical Review, 94 (3): 327–344; Repr. i Boolos 1998a. doi: 10,2307 / 2.185.003
  • –––, 1985b, “Reading the Begriffsschrift”, Mind, 94 (375): 331–344; Repr. i Boolos 1998a. doi: 10,1093 / sind / XCIV.375.331
  • –––, 1997, "Er Humes princip analytisk?" i Richard G. Heck, Jr. (red.), Logik, sprog og tanke, Oxford: Oxford University Press; Repr. i Boolos 1998a.
  • –––, 1998a, Logic, Logic and Logic, Richard Jeffrey (red.), Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1998b, “Svar til Charles Parsons '' Sæt og klasser '', i Boolos 1998a: s. 30–36.
  • Boolos, George, John P. Burgess og Richard C. Jeffrey, 2007, Computability and Logic, 5. udgave, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Bricker, Phillip, 1989, “Kvantificeret modal logik og plural De Re”, Midwest Studies in Philosophy, 14: 372–394. doi: 10.1111 / j.1475-4975.1989.tb00198.x
  • Büchi, J. Richard, 1962, "On a Decision Method in Restricted Second Order Arithmetic", i E. Nagel, P. Suppes, og A. Tarski (red.), Logic, Methodology and Philosophy of Science, Stanford, CA: Stanford University Press, s. 1–11. Genoptrykt i De indsamlede værker af J. Richard Büchi, 1990, s. 425–435. doi: 10,1007 / 978-1-4613-8928-6_23
  • Burgess, John P., 2004, “E Pluribus Unum: Plural Logic and Set Theory”, Philosophia Mathematica, 12 (3): 193-221. doi: 10,1093 / philmat / 12.3.193
  • Burgess, John P. og Gideon Rosen, 1997, Et emne uden objekt: Strategier for nominalistisk fortolkning af matematik, Oxford: Clarendon Press. doi: 10,1093 / 0198250126.001.0001
  • Cartwright, Richard, 2001, "Et spørgsmål om sæt" i Alex Byrne, Robert Stalnaker og Ralph Wedgwood (red.), Fakta og værdi: Essays on Ethics and Metaphysics for Judith Jarvis Thomson, Cambridge, MA: MIT Press, pp 29–46.
  • Cocchiarella, Nino B., 2002, “Om logikken for klasser som mange”, Studia Logica, 70 (3): 303–338. doi: 10,1023 / A: 1015190829525
  • Davidson, Donald, 1967, "Den logiske form for handlingssætninger", i Logic of Decision and Action, Nicholas Rescher (red.), S. 81–95, Pittsburg: University of Pittsburg Press. Genoptrykt i sine Essays on Actions and Events, 1980 (efterfølgende udgave, 2001: 105–148), Oxford: Clarendon. doi: 10,1093 / 0199246270.003.0006
  • Dorr, Cian og Gideon Rosen, 2002, "Komposition som fiktion", i Richard M. Gale (red.), Blackwell Guide to Metaphysics, Oxford: Blackwell, s. 151–174. doi: 10,1002 / 9780470998984.ch8
  • Dummett, Michael, 1981, Frege: Philosophy of Language, 2. udgave, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1991, Frege: Philosophy of Mathematics, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Field, Hartry, 1984, "Er matematisk viden blot logisk viden?" Philosophical Review, 93 (4): 509–552. doi: 10,2307 / 2.184.826
  • –––, 1993, “Den konceptuelle beredskab af matematiske objekter”, Mind, 102 (406): 285–299. doi: 10,1093 / sind / 102.406.285
  • Florio, Salvatore, 2014a, “Semantik og flertal opfattelse af virkelighed” Filosofernes aftryk, 14 (22): 1–20. [Florio 2014a tilgængelig online]
  • –––, 2014b, “Untyped Pluralism”, Mind, 123 (490): 317–337. doi: 10,1093 / sind / fzu069
  • Florio, Salvatore og Øystein Linnebo, 2016, “Om uskyld og bestemmelse af pluralisk kvantificering”, Noûs, 50 (3): 565–583. DOI: 10.1111 / nous.12091
  • Florio, Salvatore og Stewart Shapiro, 2014, “Sæt teori, type teori og absolut generalitet”, Mind, 123 (489): 157–174. doi: 10,1093 / sind / fzu039
  • Forbes, Graeme, 1989, The Languages of Possibility, Oxford: Blackwell.
  • Frege, Gottlob, 1879, Begriffsschrift, oversat i Jean van Heijenoort (red.), 1967, Fra Frege til Gödel, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1884, Foundations of Arithmetic, transl. JL Austin, Evanston, IL: Northwestern University Press.
  • –––, 1914,”Logik i matematik”, i hans posthume skrifter, H. Hermes et al. (red.), 1979, Oxford: Blackwell, s. 203-250.
  • Glanzberg, Michael, 2004, “Kvantificering og realisme”, Filosofi og fænomenologisk forskning, 69 (3): 541–572. doi: 10.1111 / j.1933-1592.2004.tb00518.x
  • Hazen, AP, 1993, “Against Pluralism”, Australasian Journal of Philosophy, 71 (2): 132–144. doi: 10,1080 / 00048409312345142
  • –––, 1997, “Relations in Lewis's Framework without Atoms”, Analyse, 57 (4): 243–248. doi: 10.1111 / 1467 til 8284,00082
  • –––, 2000, “Forhold i Lewis's ramme uden atomer: en korrektion”, analyse, 60 (4): 351–353. doi: 10.1111 / 1467 til 8284,00252
  • Hellman, Geoffrey, 1989, Matematik uden tal: Mod en strukturel fortolkning, Oxford: Clarendon Press. doi: 10,1093 / 0198240341.001.0001
  • –––, 1996,”Strukturisme uden strukturer”, Philosophia Mathematica, 4 (2): 100–123. doi: 10,1093 / philmat / 4.2.100
  • Hewitt, Simon Thomas, 2012a, “Modalising Plurals”, Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 853–875. doi: 10,1007 / s10992-011-9194-2
  • –––, 2012b, “The Logic of Finite Order”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 53 (3): 297–318. doi: 10,1215 / 00.294.527-1.716.820
  • Higginbotham, James, 1998, “On Higher Order Logic and Natural Language”, Proceedings of the British Academy, 95: 1–27. [Higginbotham 1998 tilgængelig online]
  • Hossack, Keith, 2000, “Plurals and Complexes”, British Journal for Philosophy of Science, 51 (3): 411–443. doi: 10,1093 / bjps / 51.3.411
  • Klement, Kevin C., 2014, “Early Russell on Types and Plurals”, Tidsskrift for historien om analytisk filosofi, 2 (6): 1–21. doi: 10,15173 / jhap.v2i6.47
  • Landman, Fred, 2000, Begivenheder og pluralitet, Dordrecht: Kluwer.
  • Lewis, David, 1991, Parts of Classes, Oxford: Blackwell.
  • Link, Godehard, 1998, Algebraic Semantics in Language and Philosophy, Stanford, CA: CSLI Publications.
  • Linnebo, Øystein, 2003, “Plural Quantification Exposed”, Noûs, 37 (1): 71–92. doi: 10.1111 / 1468-0.068,00429
  • –––, 2016, “Plurals and Modals”, Canadian Journal of Philosophy, 46 (4–5): 654–676. doi: 10,1080 / 00455091.2015.1132975
  • Linnebo, Øystein og David Nicolas, 2008, “Superplurals in English”, Analyse, 68 (3): 186–197. doi: 10.1111 / j.1467-8284.2008.00737.x
  • Linnebo, Øystein og Agustín Rayo, 2012, “Hierarchies Ontological and Ideological”, Mind, 121 (482): 269–308. doi: 10,1093 / sind / fzs050
  • Lønning, Jan Tore, 1997, “Plurals and Collectivity”, i J. van Bentham og A. ter Meulen (red.), Handbook of Logic and Language, Amsterdam: Elsevier, s. 1009–1054.
  • McKay, Thomas, 2006, Plural Predication, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199278145.001.0001
  • Morton, Adam, 1975, “Komplekse individer og multigrade-relationer”, Noûs, 9 (3): 309–318. doi: 10,2307 / 2.214.634
  • Nicolas, David, 2008, “Massounouns and plural logic”, lingvistik og filosofi, 31 (2): 211–244. doi: 10,1007 / s10988-008-9033-2
  • Oliver, Alex og Timothy Smiley, 2001, "Strategier for en logik af flertal", Philosophical Quarterly, 51 (204): 289-306. doi: 10.1111 / j.0031-8094.2001.00231.x
  • –––, 2004, “Multigrade Predicates”, Mind, 113 (452): 609–681. doi: 10,1093 / sind / 113.452.609
  • –––, 2005, “Pluralbeskrivelser og mange værdsatte funktioner”, Mind, 114 (456): 1039–1068. doi: 10,1093 / sind / fzi1039
  • Parsons, Charles, 1977, "Hvad er den iterative opfattelse af sæt?", I logik, fundamenter for matematik og beregningsteori, Robert E. Butts og Jaakko Hintikka (red.), Dordrecht / Boston: D. Reidel, s. 335 -367. Genoptrykt i Paul Benacerraf og Hilary Putnam (red.), Mathematics Philosophy: Selected Readings, 2. udgave, 1983, Cambridge: Cambridge University Press, s. 503–529. doi: 10.1007 / 978-94-010-1138-9_18 og doi: 10.1017 / CBO9781139171519.027
  • –––, 1990, “Den strukturistiske opfattelse af matematiske objekter”, Synthese, 84 (3): 303–346. doi: 10,1007 / BF00485186
  • Quine, WV, 1973, Roots of Reference, La Salle, IL: Open Court.
  • –––, 1982, Methods of Logic, 4. udgave, Cambridge, MA: Harvard University Press
  • –––, 1986, Philosophy of Logic, 2. udgave, Cambridge, MA: Harvard University Press
  • Rayo, Agustín, 2002, “Ord og objekter”, Noûs, 36 (3): 436–464. doi: 10.1111 / 1468-0.068,00379
  • –––, 2006, “Beyond Plurals”, i Rayo og Uzquiano 2006: 220–254.
  • –––, 2007, “Flertal”, Philosophy Compass, 2 (3): 411–427. doi: 10.1111 / j.1747-9991.2007.00060.x
  • Rayo, Agustín og Gabriel Uzquiano, 1999,”Mod en teori om konsekvenser af anden orden”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40 (3): 315–325. doi: 10,1305 / ndjfl / 1022615612
  • –––, 2006 (red.), Absolute Generality, Oxford: Oxford University Press.
  • Rayo, Agustín og Stephen Yablo, 2001, "Nominalisme gennem de-nominalisering", Noûs, 35 (1): 74–92. doi: 10.1111 / 0029-4624,00288
  • Resnik, Michael, 1988, “Andenordens logik stadig vild”, Journal of Philosophy, 85 (2): 75–87. doi: 10,2307 / 2.026.993
  • Rouilhan, Philippe de, 2002, "Om hvad der er", Proces of the Aristotelian Society, 102 (1): 183-200. doi: 10.1111 / j.0066-7372.2003.00049.x
  • Rumfitt, Ian, 2005, "Plural Terms: Another Another Reference Reference?" i José Luis Bermudez (red.), Tanke, reference og erfaring: Temaer fra filosofien fra Gareth Evans, Oxford: Oxford University Press, s. 84–123. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199248964.003.0004
  • Russell, Bertrand, 1903, Principles of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Schein, Barry, 1993, Plurals and Events, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 2006, “Plurals”, i Ernest Lepore og Barry C. Smith (red.), Oxford Handbook of Philosophy of Language, Oxford: Oxford University Press, s. 716–767. doi: 10,1093 / oxfordhb / 9780199552238.003.0029
  • Shapiro, Stewart, 1991, Foundations without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic, Oxford: Clarendon. doi: 10,1093 / 0198250290.001.0001
  • –––, 1993, “Modalitet og ontologi”, Mind, 102 (407): 455–481. doi: 10,1093 / sind / 102.407.455
  • Simons, Peter, 1982, "Plural Reference and Set Theory", i Barry Smith (red.), Dele og øjeblikke: Studier i logik og formel ontologi, München: Philosophia Verlag, s. 199-260. [Simons 1982 tilgængelig online]
  • –––, 1997, “Kvantificering af højere orden og ontologisk forpligtelse”, Dialectica, 51 (4): 255–271. doi: 10.1111 / j.1746-8361.1997.tb00032.x
  • –––, 2016, “The Ontology and Logic of Higher Order Multitudes”, i Massimiliano Carrara, Alexandra Arapinis og Friederike Moltmann (red.), Enhed og pluralitet: Logik, filosofi og sprogvidenskab, Oxford: Oxford University Press, pp 55–69. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780198716327.003.0004
  • Stenius, Eric, 1974, “Sæt”, Synthese, 27 (1–2): 161–188. doi: 10,1007 / BF00660894
  • Tarski, Alfred (og John Corcoran, trans.), 1986, "Hvad er logiske forestillinger?", Logikens historie og filosofi, 7 (2): 143–154. doi: 10,1080 / 01445348608837096
  • Taylor, Barry og AP Hazen, 1992, “Fleksibelt struktureret forudsigelse”, Logique et Analyse, 35 (139–140): 375–393.
  • Uzquiano, Gabriel, 2003, “Plural Quantification and Classes”, Philosophia Mathematica, 11 (1): 67–81. doi: 10,1093 / philmat / 11.1.67
  • –––, 2004, “Plurals and Simples”, Monist, 87 (3): 429–451. doi: 10,5840 / monist200487324
  • –––, 2011, “Plural Quantification and Modality”, Proceedings of the Aristotelian Society, 111 (2_pt_2): 219–250. doi: 10.1111 / j.1467-9264.2011.00307.x
  • van Inwagen, Peter, 1990, Material Beings, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • Williamson, Timothy, 2003, “Alt”, Filosofiske perspektiver, 17: 415–465. doi: 10.1111 / j.1520-8583.2003.00017.x
  • –––, 2010, “Nødvendighed, kontingentisme og plural kvantificering”, Mind, 119 (475): 657–748. doi: 10,1093 / sind / fzq042
  • –––, 2016, “Svar til Linnebo”, Canadisk tidsskrift for filosofi, 46 (4–5): 677–682. doi: 10,1080 / 00455091.2016.1205856
  • Yablo, Stephen, 2000, "Apriority and Existence", i Paul Boghossian og Christopher Peacocke (red.), New Essays on the A Priori, Oxford: Oxford University Press, s. 197–228. doi: 10,1093 / 0199241279.003.0009
  • Yi, Byeong-Uk, 1999, "Er to en ejendom?" Journal of Philosophy, 96 (4): 163-190. doi: 10,2307 / 2.564.701
  • –––, 2002, Understanding the Many, New York, NY: Routledge.
  • –––, 2005, “Logikken og betydningen af flertal, del I”, Journal of Philosophical Logic, 34 (5): 459–506. doi: 10,1007 / s10992-005-0560-9
  • –––, 2006, “Logikken og betydningen af flertal, del II”, Journal of Philosophical Logic, 35 (3): 239–288. doi: 10,1007 / s10992-005-9015-6

Akademiske værktøjer

sep mand ikon
sep mand ikon
Sådan citeres denne post.
sep mand ikon
sep mand ikon
Forhåndsvis PDF-versionen af denne post hos Friends of the SEP Society.
inpho ikon
inpho ikon
Slå dette emne op på Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papirer ikon
phil papirer ikon
Forbedret bibliografi til denne post på PhilPapers med links til dens database.

Andre internetressourcer

PhilPapers bibliografi om plural kvantificering

[Kontakt forfatteren med forslag.]