George Boole

Indholdsfortegnelse:

George Boole
George Boole

Video: George Boole

Video: George Boole
Video: The Genius of George Boole | RTÉ One 2024, Marts
Anonim

Dette er en fil i arkiverne fra Stanford Encyclopedia of Philosophy.

George Boole

Først offentliggjort ons 21. april 2010

George Boole (1815-1864) var en engelsk matematiker og grundlægger af den algebraiske tradition inden for logik. Han arbejdede som skolemester i England og fra 1849 til sin død som professor i matematik ved Queen's University, Cork, Irland. Han revolutionerede logikken ved at anvende metoder fra det daværende nye felt af symbolsk algebra til logik. Hvor traditionel (aristotelisk) logik var afhængig af at katalogisere de gyldige syllogismer af forskellige enkle former, leverede Booles metode generelle algoritmer på et algebraisk sprog, der gjaldt for en uendelig række argumenter af vilkårlig kompleksitet. Disse metoder blev skitseret i to større værker, The Mathematical Analyse of Logic (1847) og The Laws of Thought (1854).

  • 1. Liv og arbejde
  • 2. Konteksten og baggrunden for Booles arbejde i logik
  • 3. Den matematiske analyse af logik (1847)
  • 4. Tænkeloven (1854)
  • 5. Senere udviklinger

    • 5.1 Indsigelser mod Booles algebra af logik
    • 5.2. Moderne genopbygning af Booles system
  • 6. Boole's metoder

    • 6.1 De tre metoder til argumentanalyse anvendt af Boole i LT
    • 6.2. Booles generelle metode til primære forslag
    • 6.3. Booles generelle metode til sekundære forslag
  • Bibliografi
  • Andre internetressourcer
  • Relaterede poster

1. Liv og arbejde

George Boole blev født 2. november 1815 i Lincoln, Lincolnshire, England, i en familie med beskedne midler, med en far, der åbenbart var mere af en god ledsager end en god forsørger. Hans far var en skomager, hvis egentlige lidenskab var at være en hengiven dilettante inden for videnskab og teknologi, en der nød at deltage i Lincoln Mechanics 'Institution; dette var hovedsageligt en social samfundsklub, der promoverede læsning, diskussioner og foredrag om videnskab. Det blev grundlagt i 1833, og i 1834 blev Booles far kurator for dets bibliotek. Denne kærlighed til at lære var arvelig af Boole. Uden fordelen ved en eliteskolestudie, men med en støttende familie og adgang til fremragende bøger, især fra Sir Edward Bromhead, FRS, der boede kun få miles fra Lincoln,Boole var i stand til i det væsentlige at lære sig fremmedsprog og avanceret matematik.

Fra 16 års alderen var det nødvendigt for Boole at finde en beskæftigelse, da hans far ikke længere var i stand til at forsørge familien. Efter 3 år arbejdet som lærer i private skoler besluttede Boole i en alder af 19 at åbne sin egen lille skole i Lincoln. Han ville være skolemester i de næste 15 år, indtil 1849, da han blev professor ved det nyåbnede dronningens universitet i Cork, Irland. Med et tungt ansvar for sine forældre og søskende er det bemærkelsesværdigt, at han ikke desto mindre fandt tid i årenes løb som skolemester til at fortsætte sin egen uddannelse og starte et forskningsprogram, primært om differentialligninger og beregningen af variationer forbundet med værkerne af Laplace og Lagrange (som han studerede på den oprindelige fransk).

Der er en udbredt tro på, at Boole først og fremmest var en logiker - i virkeligheden blev han en anerkendt matematiker længe før han havde skrevet et enkelt ord om logik, hele tiden mens han kørte sin private skole for at pleje sine forældre og søskende. Boole's evne til at læse fransk, tysk og italiensk gjorde ham i en god position til at starte alvorlige matematiske studier, da han i en alder af 16 læste Lacroix's Calcul Différentiel, en gave fra sin ven pastor GS Dickson fra Lincoln. Syv år senere, i 1838, skrev han sin første matematiske artikel (skønt ikke den første, der blev offentliggjort), "Om visse sætninger i beregningen af variationer," med fokus på at forbedre resultater, han havde læst i Lagranges Méchanique Analytique.

I begyndelsen af 1839 rejste Boole til Cambridge for at mødes med den unge matematiker Duncan F. Gregory (1813-1844), der var redaktør for Cambridge Mathematical Journal (CMJ) -Gregory havde grundlagt denne tidsskrift i 1837 og redigeret den, indtil hans helbred mislykkedes i 1843 (han døde i begyndelsen af 1844, i en alder af 30). Selvom kun 2 år efter sin grad i 1839 blev Gregory en vigtig mentor for Boole. Med Gregorys støtte, som omfattede coaching af Boole om, hvordan man skriver et matematisk papir, gik Boole ind i den offentlige arena for matematisk publikation i 1841.

Booles matematiske publikationer spænder over de 24 år fra 1841 til 1864, det år, han døde af lungebetændelse. Hvis vi opdeler disse 24 år i tre segmenter, de første 6 år (1841–1846), de andet 8 år (1847–1854) og de sidste 10 år (1855–1864), finder vi ud af, at hans arbejde med logik var helt i midten af 8 år.

I sine første 6 karriereår udgav Boole 15 matematiske artikler, alle undtagen to i CMJ og dens efterfølger fra 1846, The Cambridge og Dublin Mathematical Journal. Han skrev om matematiske standardemner, hovedsageligt differentialligninger, integration og beregning af variationer. Boole nød tidligt succes med at bruge den nye symboliske metode i analyse, en metode, der tog en differentialligning, siger:

d 2 y / dx 2 - dy / dx - 2 y = cos (x),

og skrev det i form Operator (y) = cos (x). Dette blev (formelt) opnået ved at lade:

D = d / dx, D 2 = d 2 / dx 2 osv

der fører til et udtryk for differentialligningen som:

(D 2 - D - 2) y = cos (x).

Nu kom symbolsk algebra i spil ved blot at behandle operatøren D 2 - D - 2 som om det var et almindeligt polynom i algebra. Booles papir fra 1841 "Om integration af lineære differentialligninger med konstante koefficienter" gav en pæn forbedring af Gregorys metode til løsning af sådanne differentialligninger, en forbedring baseret på et standardværktøj i algebra, brugen af delvise fraktioner.

I 1841 offentliggjorde Boole også sin første artikel om invarianter, et papir, der stærkt ville have indflydelse på Eisenstein, Cayley og Sylvester til at udvikle emnet. Arthur Cayley (1821-1895), den fremtidige Sadlerian-professor i Cambridge og en af de mest produktive matematikere i historien, skrev sit første brev til Boole i 1844 og komplimenterede ham for hans fremragende arbejde med invarianter. Han blev en nær personlig ven, en, der skulle til Lincoln for at besøge og blive hos Boole i årene, før Boole flyttede til Cork, Irland. I 1842 indledte Boole en korrespondance med Augustus De Morgan (1806-1871), der indledte endnu et levetid for venskab.

I 1843 afsluttede skolemesteren Boole et langt papir om differentialligninger, der kombinerede en eksponentiel substitution og variation af parametre med adskillelsen af symbolernes metode. Papiret var for længe for CMJ-gruppen, og senere opfordrede De Morgan ham til at forelægge det til Royal Society. Den første dommer afviste Booles papir, men den anden anbefalede den til guldmedaljen for det bedste matematiske papir skrevet i årene 1841-1844, og denne anbefaling blev accepteret. I 1844 udgav Royal Society Booles papir og tildelte ham guldmedaljen - den første guldmedalje, der blev tildelt af foreningen til en matematiker. Det næste år læste Boole et papir på det årlige møde i British Association for the Advancement of Science i Cambridge i juni 1845. Dette førte til nye kontakter og venner,især William Thomson (1824-1907), den fremtidige Lord Kelvin.

Ikke længe efter at have startet med at udgive papirer, var Boole ivrig efter at finde en måde at blive tilknyttet en institution for videregående uddannelse. Han overvejede at deltage i Cambridge University for at få en grad, men blev rådet til, at opfyldelse af de forskellige krav sandsynligvis ville forstyrre hans forskningsprogram, for ikke at nævne problemerne med at få finansiering. Endelig, i 1849, opnåede han et professorat i en ny universitetsåbning i Cork, Irland. I årene, hvor han var professor i Cork (1849-1864), ville han lejlighedsvis forhøre sig om muligheden for en position tilbage i England.

Den 8-årige strækning fra 1847 til 1854 starter og slutter med Booles to bøger om matematisk logik. Derudover udgav Boole 24 artikler mere om traditionel matematik i denne periode, mens kun et papir blev skrevet om logik, det vil sige i 1848. Han blev tildelt en æres LL. D. grad ved University of Dublin i 1851, og dette var den titel, han brugte ved siden af sit navn i sin bog om 1854 om logik. Booles bog fra 1847, matematisk analyse af logik, vil blive omtalt som MAL; i 1854-bogen, Laws of Thought, som LT.

I løbet af de sidste 10 år af sin karriere, fra 1855 til 1864, udgav Boole 17 artikler om matematik og to matematikbøger, en om differentialligninger og en om forskels ligninger. Begge bøger blev betragtet som moderne og anvendt til instruktion i Cambridge. Også i løbet af denne periode kom betydelige udmærkelser ind:

1857 Fellowship of the Royal Society
1858 Æresmedlem i Cambridge Philosophical Society
1859 Grad af DCL, honoris causa fra Oxford

Desværre førte hans skarpe pligtfølelse til, at han gik gennem en regnvejr i slutningen af 1864 og forelestede derefter i vådt tøj. Ikke længe bagefter, den 8. december 1864 i Ballintemple, County Cork, Irland, døde han af lungebetændelse, i en alder af 49. En anden artikel om matematik og en revideret bog om differentialligninger, der gav betydelig opmærksomhed på entalløsninger, blev offentliggjort mortem.

Læseren, der er interesseret i en fremragende og grundig redegørelse for Booles personlige liv, henvises til Desmond MacHale's George Boole, His Life and Work, 1985, en kilde, som denne artikel er gæld til.

  • 1815 - Fødsel i Lincoln, England
  • 1830 - Hans oversættelse af et græsk digt trykt i et lokalt papir
  • 1831 - Læser Lacroix's beregningsdifférentiel
  • LÆREREN
  • 1834 - Åbner sin egen skole
  • 1835 - Giver offentlig adresse på Newtons resultater
  • 1838 - Skriver første matematikpapir
  • 1839 - Besøger Cambridge for at møde Duncan Gregory, redaktør af Cambridge Mathematical Journal (CMJ)
  • 1841 - De første fire matematiske publikationer (alle i CMJ)
  • 1842 - Påbegynder korrespondance med Augustus De Morgan - de bliver livslange venner
  • 1844 - Korrespondance med Cayley starter (initieret af Cayley) - de bliver livslange venner
  • 1844 - Guldmedalje fra Royal Society for et papir om differentialligninger
  • 1845 - Foredrag på det årlige møde i den britiske forening til fremme af videnskab og mødes William Thompson (senere Lord Kelvin) - de bliver livslange venner
  • 1847 - Udgiver matematisk analyse af logik
  • 1848 - Udgiver sit eneste papir om logikens algebra
  • Professor i matematik
  • 1849 - Accepterer stilling som professor i matematik ved det nye dronningens universitet i Cork, Irland
  • 1851 - Æresgrad, LL. D., fra Trinity College, Dublin
  • 1854 - Udgiver tanker
  • 1855 - Ægteskab med Mary Everest, niese af George Everest, landmand for Indien efter hvem Mt. Everest er navngivet
  • 1856 - Fødsel af Mary Ellen Boole
  • 1857 - Valgt til Royal Society
  • 1858 - Fødsel af Margaret Boole
  • 1859 - Udgiver differentialligninger; brugt som lærebog på Cambridge
  • 1860 - Fødsel af Alicia Boole, der vil mønt ordet "polytope"
  • 1860 - Udgiver forskelle ligninger; brugt som lærebog på Cambridge
  • 1862 - Fødsel af Lucy Everest Boole
  • 1864 - Fødsel af datter Ethel Lilian Boole, der ville skrive The Gadfly, en ekstraordinær populær bog i Rusland efter revolutionen i 1917
  • 1864 - Død af lungebetændelse, Cork, Irland

2. Konteksten og baggrunden for Booles arbejde i logik

For at forstå, hvordan Boole på så kort tid udviklede sin imponerende algebra af logik, er det nyttigt at forstå de store konturer af arbejdet med grundlaget for algebra, der var blevet foretaget af matematikere tilknyttet Cambridge University i 1800-tallet før begyndelsen på Booles matematiske udgivelseskarriere. En fremragende reference til yderligere læsning forbundet med dette afsnit er den annoterede kildebog Fra Kant til Hilbert af Ewald (1996).

Det 19. århundrede åbnede i England med matematik i doldrums. De engelske matematikere havde fejret med de kontinentale matematikere over spørgsmålene om prioritet i udviklingen af regnestykket, hvilket resulterede i, at engelskerne fulgte Newtons notation, og dem på kontinentet, der fulgte efter Leibniz. En af hindringerne for at overvinde i opdatering af engelsk matematik var det faktum, at den store udvikling af algebra og analyse var bygget på tvivlsomme fundamenter, og der var engelske matematikere, der var ganske stemmelige over disse mangler. I almindelig algebra var det brugen af negative tal og imaginære tal, der skabte bekymring. Det første store forsøg blandt engelskmennene til at afhjælpe algebraens grundlæggende problemer var George Peacocks Treatise on Algebra, 1830 (en anden udgave optrådte som to bind,1842/1845). Han delte emnet i to dele, hvor den første del var aritmetisk algebra, algebraen for de positive tal (hvilket ikke tillader operationer som subtraktion i tilfælde, hvor svaret ikke ville være et positivt tal). Den anden del var symbolsk algebra, som ikke var styret af en bestemt fortolkning, som tilfældet var med aritmetisk algebra, men af love. I symbolsk algebra var der ingen begrænsninger for anvendelse af subtraktion osv. I symbolsk algebra var der ingen begrænsninger for anvendelse af subtraktion osv. I symbolsk algebra var der ingen begrænsninger for anvendelse af subtraktion osv.

Terminologien for algebra var noget anderledes i det 19. århundrede end det, der bruges i dag. De brugte især ikke ordet “variabel”; bogstavet x i et udtryk som 2 x + 5 blev kaldt et symbol, deraf navnet “symbolsk algebra”. I denne artikel tilføjes nogle gange et præfiks, som i talesymbol eller klassesymbol, for at understrege den tilsigtede fortolkning af et symbol.

Påfuglen mente, at for at symbolsk algebra skulle være et nyttigt emne, måtte dens love være tæt knyttet til aritmetisk algebra. Til dette formål introducerede han sit princip om ækvivalensformers permanens, et princip, der forbinder resulterer i aritmetisk algebra med dem i symbolsk algebra. Dette princip har to dele:

(1) Generelle resultater i aritmetisk algebra hører til lovgivningen i symbolsk algebra.

(2) Hver gang en fortolkning af et resultat af symbolisk algebra gav mening i indstillingen af aritmetisk algebra, ville resultatet give et korrekt resultat i aritmetik.

En fascinerende brug af algebra blev introduceret i 1814 af François-Joseph Servois (1776-1847), da han taklede differentialligninger ved at adskille den differentielle operatørdel fra emnefunktionsdelen, som beskrevet i et eksempel givet ovenfor. Denne anvendelse af algebra fangede interessen hos Duncan Gregory, der offentliggjorde et antal papirer om metoden til adskillelse af symboler, det vil sige opdelingen i operatører og objekter, i CMJ. Han skrev også om fundamentet af algebra, og det var Gregorys fundament, at Boole omfavnede, næsten ordret. Gregory havde forladt Peacocks princip om varigheden af ækvivalente former til fordel for to enkle love. Desværre fandt disse love langt under hvad der kræves for at retfærdiggøre selv nogle af de mest elementære resultater i algebra. I”På grundlag af algebra,” 1839,den første af fire artikler om De Thérgan om dette emne, der optrådte i Transactions of the Cambridge Philosophical Society, finder man en hyldest til adskillelsen af symboler i algebra, og påstanden om, at moderne algebraister normalt betragter symbolerne som betegnelse af operatører (f.eks. den afledte operation) i stedet for objekter som tal. Fodnoten:

Professor Påfugl er den første, tror jeg, der tydeligt angav forskellen mellem hvad jeg har kaldt de tekniske og de logiske grene af algebra.

krediterer påfugl med at være den første til at adskille (hvad der nu kaldes) syntaktiske og semantiske aspekter af algebra. I det andet stiftelsespapir (i 1841) foreslog De Morgan, hvad han betragtede som et komplet sæt af otte regler for at arbejde med symbolsk algebra.

3. Den matematiske analyse af logik (1847)

Booles vej til logisk berømmelse startede på en mærkelig måde. I begyndelsen af 1847 blev han stimuleret til at starte sine undersøgelser af logik af en triviel, men meget offentlig tvist mellem De Morgan og den skotske filosof Sir William Hamilton (ikke at forveksle med den irske matematiker Sir William Rowan Hamilton). Denne tvist drejede sig om, hvem fortjente kredit for ideen om at kvantificere predikatet (f.eks. "Alle A er alle B," "Alle A er nogle B," osv.). I løbet af få måneder havde Boole skrevet sin 82 sider lange monografi, Matematisk analyse af logik, hvilket gav en algebraisk tilgang til den aristoteliske logik. (Nogle siger, at denne monografi og De Morgan's bog Formal Logic optrådte samme dag i november 1847.)

Introduktionskapitlet starter med, at Boole gennemgår den symboliske metode. Det andet kapitel, Første principper, lader symbolet 1 repræsentere universet, der "forstår enhver tænkelig klasse af objekter, hvad enten de findes eller ej." Store bogstaver X, Y, Z, … betegnet klasser. Derefter, uden tvivl stærkt påvirket af hans meget succesrige arbejde ved hjælp af algebraiske teknikker på differentielle operatører, og i overensstemmelse med De Morgan's påstand fra 1839 om, at algebraister foretrak tolke symboler som operatører, introducerede Boole valgfaget symbol svarende til klassen X, valgfaget y tilsvarende til Y osv. De valgfrie symboler betegnet valgoperatører - for eksempel valgoperatøren rød, når den anvendes til en klasse, ville vælge (vælge) de røde poster i klassen.(Man kan simpelthen erstatte de valgfrie symboler med deres tilsvarende klassesymboler og have den fortolkning, der blev anvendt i LT i 1854.)

Derefter introducerede Boole den første operation, multiplikationen xy af valgfri symboler. Standardnotationen xy for multiplikation havde også en standardbetydning for operatører (for eksempel differentielle operatorer), nemlig en anvendt y på et objekt, og derefter anvendes x på resultatet. (I moderne terminologi er dette sammensætningen af de to operatører.) Som det blev påpeget af Hailperin (1986), ser det ud til, at denne etablerede notationskonvention overrakte Boole sin definition af multiplikation af valgfrie symboler som sammensætning af operatører. Når man skifter til at bruge klasser i stedet for valgfrie operatører, som i LT, resulterer den tilsvarende multiplikation af to klasser i deres kryds.

Den første lov i MAL var fordelingsloven x (u + v) = xu + xv, hvor Boole sagde, at u + v svarede til at opdele en klasse i to dele. Dette var den første omtale af tilføjelsen. På s. 17 Boole tilføjede kommutativloven xy = yx og den idempotente lov x 2 = x (som Boole kalder indeksloven). Når disse to love af Gregory var sikret, troede Boole, at han havde ret til fuldt ud at anvende sin almindelige algebra, og man ser faktisk Taylor-serier og Lagrange-multiplikatorer i MAL. Loven for idempotente klassesymboler, x 2 = x, var forskellig fra de to grundlæggende love i symbolsk algebra - den gjaldt kun de individuelle valgfri symboler, ikke generelt for sammensatte udtryk, som man kunne bygge ud fra disse symboler. For eksempel har man generelt ikke (x + y)2 = x + y i Booles system, da dette ved almindelig algebra med idempotente klassesymboler ville indebære 2 xy = 0 og derefter xy = 0, hvilket ville tvinge x og y til at repræsentere sammenkoblede klasser. Men det er ikke tilfældet, at hvert par klasser er usammenhængende.

Boole fokuserede på Aristoteliansk logik i MAL med sine 4 typer kategoriske forslag og en åben samling af hypotetiske propositioner. I kapitlet Udtryk og fortolkning sagde Boole, at klassen ikke- X nødvendigvis udtrykkes med 1– x. Dette er det første udseende af subtraktion. Derefter gav han ligninger for at udtrykke de kategoriske forslag (se i afsnit 6.2 nedenfor). Den første, der blev udtrykt, var All X er Y, som han brugte xy = x, som han derefter konverterede til x (1− y) = 0. Dette var det første udseende på 0 i MAL-det blev ikke introduceret som symbolet for den tomme klasse. Den tomme klasse optrådte faktisk ikke i MAL. Tilsyneladende udførte en ligning E = 0 rollen som et predikat i MAL og hævdede, at den klasse, der blev betegnet med E, simpelthen ikke eksisterede. (I LT betegnes den tomme klasse med 0.) Boole gik ud over grundlaget for symbolsk algebra, som Gregory havde brugt i 1844 - han tilføjede De Morgan's enkelt inferensregel fra 1841, at ækvivalente operationer, der blev udført på ækvivalente emner, giver tilsvarende resultater.

I kapitlet om konverteringer, såsom Konvertering efter begrænsning - Alle X er Y, er nogle Y derfor X-Bolig fandt den aristoteliske klassifikation mangelfuld, idet den ikke behandlede komplementer, såsom ikke-X, på samme fod som den navngivne klasser X, Y, Z osv. Med sin udvidede version af den aristoteliske logik i tankerne (med ikke-X liggende fakturering) gav han (s. 30) et sæt af tre transformationsregler, der gjorde det muligt for en at konstruere alle gyldige to linjer kategoriske argumenter (forudsat at du accepterede den uskrevne konvention, at enkle navne som X og ikke- X betegner ikke-tomme klasser).

Hvad angår syllogismer, brydde Boole sig ikke om den aristoteliske klassificering i figurer og humør, da de syntes temmelig vilkårlige og ikke særlig velegnet til den algebraiske ramme. Hans første bemærkning var, at syllogistisk ræsonnement kun var en øvelse i eliminering, nemlig midtvejsperioden blev fjernet for at give konklusionen. Elimination var velkendt i den almindelige algebraiske teori om ligninger, så Boole lånte simpelthen et standardresultat til brug i hans algebra af logik. Hvis lokalerne for en syllogisme involverede klasserne X, Y og Z, og en ønskede at fjerne y, satte Boole ligningerne for de to lokaler i form:

ay + b = 0

a 'y + b' = 0.

Resultatet af eliminering af y i almindelig algebra gav ligningen

ab '- a' b = 0,

og dette er, hvad Boole brugte i sin algebra af logik til at udlede konklusionsligningen. Selvom konklusionen faktisk er korrekt, ville dette eliminationsresultat desværre være for svagt for hans algebra af logik, hvis han kun brugte sine primære oversættelser til ligninger. I de tilfælde, hvor begge lokaler blev oversat til ligninger af formen ay = 0, viste konklusionen om eliminering at være 0 = 0, selvom den aristoteliske logik muligvis krævede en ikke-triviel konklusion. Dette var grunden til, at Boole introducerede de alternative ligestillede oversættelser af kategoriske propositioner for at kunne udlede alle de gyldige aristoteliske syllogismer (se s. 32). Med denne konvention om brug af sekundære oversættelser efter behov viste det sig, at de eneste tilfælde, der førte til 0 = 0, var dem, hvor lokalerne ikke tilhørte en gyldig syllogisme.

Boole understregede, at når en forudsætning om X og Y oversættes til en ligning, der involverer x, y og v, var forståelsen, at v skulle bruges til at udtrykke “nogle”, men kun i den sammenhæng, hvori det optrådte i forudsætningen. For eksempel har "Nogle X er Y" den primære oversættelse v = xy, hvilket indebar den sekundære oversættelse vx = vy. Dette kan også læses som "Nogle X er Y". En anden konsekvens af v = xy er v (1− x) = v (1− y). Det var dog ikke tilladt at læse dette som “Nogle ikke- X er ikke- Y”, da v ikke dukkede op med 1– x i forudsætningen. Booles brug af v i oversættelsen af propositioner til ligninger såvel som dens anvendelse til at løse ligninger har været en langvarig stridsknog.

Boole analyserede de syv former for hypotetiske syllogismer, der var i aristotelisk logik, fra den disjunktive syllogisme til det komplekse destruktive dilemma, og påpegede, at det ville være let at skabe mange flere sådanne former. I Postscript til MAL anerkendte Boole, at propositionslogik anvendte et system med to værdier, men han bød ikke en propositionslogik til at tackle dette.

Fra og med kapitlet Egenskaber ved valgfunktioner udviklede Boole generelle teoremer for at arbejde med ligninger i hans algebra af logik - Expansion Theorem og egenskaberne for bestanddele diskuteres i dette kapitel. Indtil dette var hans eneste fokus at vise, at den aristoteliske logik kunne håndteres ved enkle algebraiske metoder, hovedsageligt ved hjælp af en elimineringsteorem, der var lånt fra almindelig algebra.

Det var naturligt for Boole at ønske at løse ligninger i hans algebra af logik, da dette havde været et hovedmål for almindelig algebra og ført til mange vanskelige spørgsmål (f.eks. Hvordan man løser en 5. grads ligning). Heldigvis for Boole var situationen i hans algebra af logik meget enklere - han kunne altid løse en ligning, og at finde løsningen var vigtig for anvendelser af hans system for at udlede konklusioner i logikken. En ligning blev delvist løst ved hjælp af ekspansion efter udførelse af opdeling. Denne løsningsmetode var resultatet, som han var den mest stolte over, den beskrev, hvordan man løser en valgfri ligning for et af dens symboler med hensyn til de andre, og det er dette, som Boole hævdede (i introduktionskapitlet af MAL) ville tilbyde "midlerne til en perfekt analyse af ethvert tænkeligt sæt af forslag, …". I LT ville Boole fortsat betragte dette værktøj som højdepunktet i sit arbejde.

Booles sidste eksempel (s. 78) i MAL anvendte en velkendt teknik til håndtering af begrænsningsbetingelser i analyse kaldet Lagrange Multipliers - denne metode, ligesom hans brug af Taylor-serien, blev åbenbart betragtet som overdreven, hvis ikke noget tvivlsom, og dukkede ikke op i LT (Taylor-serien optrådte i en fodnote i LT -Boole havde ikke fuldstændigt opgivet dem).

4. Tænkeloven (1854)

Booles anden logikbog, En undersøgelse af tankelovene, som bygger på de matematiske teorier om logik og sandsynligheder, der blev udgivet i 1854, var et forsøg på at rette og fuldføre hans 1847-bog om logik. Den anden halvdel af denne 424 siders bog præsenterede sandsynlighedsteori som et fremragende emne til at illustrere kraften i hans algebra af logik. Boole drøftede den teoretiske mulighed for at bruge sandsynlighedsteori (forbedret af hans algebra af logik) til at afdække grundlæggende love for samfundet ved at analysere store mængder sociale data.

Boole sagde, at han ville bruge enkle bogstaver som x til at repræsentere klasser, selvom han senere også ville bruge store bogstaver som V. Universet var en klasse; og der var en klasse beskrevet som "ingen væsener", som vi kalder den tomme klasse. Multiplikationsoperationen blev defineret som krydsning, og dette førte til hans første lov, xy = yx. Dernæst (nogle sider senere) gav han den idempotente lov x 2 = x. Tilføjelse blev introduceret som aggregering, når klasserne var usammenhængende. Han sagde den kommutative lov for tilføjelse, x + y = y + x, og fordelingsloven z (x + y) = zx + zy. Derefter fulgte x - y = - y + x og z (x - y) = zx - zy.

Man kunne forvente, at Boole byggede mod et aksiomatisk fundament for sin algebra af logik, ligesom i MAL, åbenbart efter at have indset, at de tre love i MAL ikke var nok. Faktisk diskuterede han inferensreglerne, at tilføjelse eller fratrækning af ligeværdier fra ligeværdige giver ligninger, og at multiplicere ligestillinger med ligeværdige giver ligninger. Men så stoppede udviklingen af en aksiomatisk tilgang brat. Der var ingen diskussion om, hvorvidt disse aksiomer og regler var tilstrækkelige til at opbygge hans algebra af logik. I stedet præsenterede han enkelt og kort, med bemærkelsesværdigt lille fanfare, et radikalt nyt fundament for sin algebra af logik.

Han sagde, at da de eneste idempotente tal var 0 og 1, antydede dette, at den korrekte algebra, der skal bruges til logik, ville være den fælles algebra for de almindelige tal, der blev ændret ved at begrænse symbolerne til værdierne 0 og 1. Han sagde, hvad i dette artikel kaldes The Rule of 0 and 1, at en lov eller et argument, der holdes i logik iff efter at være blevet oversat til ligelig form, holdt den i fælles algebra med denne 0,1-begrænsning af de mulige fortolkninger (dvs. værdier) af symbolerne. Boole ville bruge denne regel til at retfærdiggøre hans vigtigste sætninger (udvidelse, reduktion, eliminering) og til intet andet formål. De vigtigste teoremer gav på sin side Booles generelle metode til analyse af konsekvenserne af propositioner.

I kapitel V drøftede han ufortolkelige rolle i sit arbejde; som en (delvis) begrundelse for brugen af ufortolkelige trin i symbolsk algebra pegede han på den velkendte anvendelse af √ − 1. I de efterfølgende kapitler gav han udvidelsesteoremet, det nye eliminationssætning med fuld styrke, en reduktionssætning og brugen af opdeling til at løse en ligning.

Efter mange eksempler og resultater for særlige tilfælde med løsning af ligninger vendte Boole sig til emnet for en logisk funktions fortolkbarhed. Boole havde allerede erklæret, at enhver ligning kan tolkes (ved at konvertere den til en samling af bestanddele ligninger). Imidlertid behøver udtryk ikke at kunne tolkes, f.eks. 1 + 1 kan ikke tolkes.

Booles kapitel om sekundære propositioner var i det væsentlige det samme som i MAL bortset fra at han ændrede sig fra at bruge "de tilfælde, hvor X er sandt" til "de tidspunkter, hvor X er sandt". I kapitel XIII valgte Boole nogle velkendte argumenter fra Clarke og Spinoza om arten af et evigt væsen for at lægge under forstørrelsesglasset i hans algebra af logik, startende med kommentaren:

2. Den største praktiske vanskelighed ved denne undersøgelse vil ikke bestå i anvendelsen af metoden i lokalerne, når den først er fastlagt, men i at undersøge, hvad lokalerne er.

En konklusion var:

19. Det er ikke muligt, at jeg tror, at rejse sig fra gennemlæsningen af argumenterne fra Clarke og Spinoza uden en dyb overbevisning om ubrugeligheden i alle bestræbelser på at etablere, helt a priori, eksistensen af et uendeligt væsen, hans attributter og Hans forhold til universet.

I det sidste kapitel om logik, kapitel XV, præsenterede Boole sin analyse af konverteringer og syllogismer af den aristoteliske logik. Han betragtede denne gamle logik som et svagt, fragmenteret forsøg på et logisk system. Dette meget forsømte kapitel er ganske interessant, fordi det er det eneste kapitel, hvor han analyserede bestemte forslag, idet han væsentlig brug af yderligere bogstaver som "v" for at kode "nogle". Dette er også kapitlet, hvor han detaljerede (desværre ufuldstændigt) reglerne for at arbejde med “nogle”.

Kort sagt, Boole gav læseren et resumé af traditionel aristotelisk kategorisk logik og analyserede nogle enkle eksempler ved hjælp af ad hoc-teknikker med sin algebra af logik. Derefter begyndte han at bevise et omfattende resultat ved at anvende sin generelle metode på paret af ligninger:

vx = v 'y

w z = w' y,

bemærker, at lokalerne for mange kategoriske syllogismer kan sættes i denne form. Hans mål var at eliminere y og finde udtryk for x, 1− x og vx med hensyn til z, v, v ', w, w'. Dette førte til tre ligninger, der involverede store algebraiske udtryk. Boole udeladte næsten alle detaljer i sin afledning, men opsummerede resultaterne med hensyn til de etablerede resultater af den aristoteliske logik. Derefter bemærkede han, at de resterende kategoriske syllogismer er sådan, at deres lokaler kan sættes i form:

vx = v 'y

wz = w '(1 y)

og dette førte til endnu en tredobbelt store ligning.

5. Senere udviklinger

5.1 Indsigelser mod Booles algebra af logik

Mange indsigelser mod Booles system er blevet offentliggjort gennem årene; tre blandt de vigtigste bekymringer:

  • brugen af uinterpretable trin i derivater,
  • behandling af særlige forslag ved ligninger, og
  • metoden til at håndtere opdeling.

Vi ser på en anden indsigelse, nemlig Boole / Jevons-tvisten om at tilføje X + X = X som en lov. I Laws of Thought, s. 66, Boole sagde:

Udtrykket x + y virker faktisk ufortolkeligt, medmindre det antages, at de ting, der er repræsenteret af x, og de ting, der er repræsenteret af y, er helt adskilte; at de ikke omfavner nogen individer til fælles.

[De følgende detaljer er fra”Udviklingen af teorierne om matematisk logik og matematikens principper, William Stanley Jevons,” af Philip Jourdain, 1914.]

I et brev fra 1863 til Boole vedrørende et udkast til en kommentar til Booles system, som Jevons overvejede for sin kommende bog (Pure Logic, 1864), sagde Jevons:

Det er dog helt klart åbenlyst, at x + x kun svarer til x, …

Professor Booles notation [subtraktionsproces] er uforenelig med en selvindlysende lov.

Hvis mit synspunkt er rigtigt, vil hans system blive betragtet som en mest bemærkelsesværdig kombination af sandhed og fejl.

Boole svarede:

Ligningen x + x = 0 er således ækvivalent med ligningen x = 0; men udtrykket x + x svarer ikke til udtrykket x.

Jevons svarede ved at spørge, om Boole kunne benægte sandheden x + x = x.

Boole svarer klart:

For at være eksplicit svarer jeg dog nu, at det ikke stemmer, at i Logic x + x = x, skønt det er sandt, at x + x = 0 svarer til x = 0. Hvis jeg ikke skriver mere, er det ikke fra enhver uvillighed til at diskutere emnet med dig, men simpelthen fordi hvis vi er forskellige på dette grundlæggende punkt, er det umuligt, at vi er enige i andre.

Jevons sidste indsats for at få Boole til at forstå problemet var:

Jeg tvivler ikke på, at det er åbent for dig at holde … [at x + x = x ikke er sandt] i henhold til dit systems love, og med denne forklaring er dit system sandsynligvis perfekt i overensstemmelse med sig selv … Men spørgsmålet bliver derefter en bredere enhed - svarer dit system til logikken i almindelig tanke?

Jevons nye lov, X + X = X, blev resultatet af hans overbevisning om, at “+” skulle betegne det, vi nu kalder union, hvor medlemskab af X + Y gives af en inkluderende “eller”. Boole så simpelthen ikke nogen måde at definere X + Y som en klasse, medmindre X og Y var usammenhængende, som allerede bemærket.

Der er givet forskellige forklaringer på, hvorfor Boole ikke kunne forstå muligheden for Jevons forslag. Boole havde klart det semantiske begreb om union - han udtrykte foreningen X og Y som x + (y - x), en forening af to uensartede klasser, og påpegede, at elementerne i denne klasse er dem, der hører til enten X eller Y eller begge dele. Så hvordan kunne han så fuldstændigt undlade at se muligheden for at tage union for sin grundlæggende operation + i stedet for sin nysgerrige delvise unionoperation?

Svaret er enkelt: loven x + x = x ville have ødelagt hans evne til at bruge almindelig algebra: fra x + x = x har man ved almindelig algebra x = 0. Dette ville tvinge ethvert klassesymbol til at betegne den tomme klasse. Jevons foreslåede lov x + x = x var simpelthen ikke sandt, hvis man var forpligtet til at gøre almindelig algebra funktion som algebra af logik.

5.2. Moderne genopbygning af Booles system

I betragtning af den enorme grad af raffinement, der blev opnået i moderne algebra i det 20. århundrede, er det temmelig overraskende, at en lovbevarende total algebraudvidelse af Booles delvise algebra af klasser først blev vist, før Theodore Hailperins bog fra 1976 - forsinkelsen var sandsynligvis forårsaget af læserne ikke at tro på, at Boole brugte almindelig algebra. Hailperins udvidelse var at se på mærkninger af universet med heltal, det vil sige hvert element i universet er mærket med et heltal. Hver mærkning af universet skaber et multisæt (måske skal man sige flerklasse) bestående af de mærkede elementer, hvor etiketten er ikke-nul, man kan tænke på et elementets etiket som en beskrivelse af, hvor mange kopier af elementet er i multisættet. Boole's klasser svarer til multisættene, hvor alle etiketter er 1 (elementerne, der ikke er i klassen, har etiketten 0). De ufortolkelige elementer i Boole bliver fortolkelige, når de betragtes som multisæt - de er givet ved mærkninger af universet, hvor nogle mærker ikke er 0 eller 1.

For at tilføje to multisæt tilføjer man blot etiketterne på hvert element i universet. Ligeledes til subtraktion og multiplikation. (For læseren, der er fortrolig med moderne abstrakt algebra, kan man tage udvidelsen af Booles delvise algebra til at være Z U, hvor Z er en helhedskringe, og U er diskursuniverset.) Multisættene, der svarer til klasser, er netop idempotente multisæt. Det viser sig, at de love og principper, Boole brugte i sin algebra af logisk hold for dette system. Med dette betyder Booles metoder vist sig at være korrekte for algebraen i logikken i universelle propositioner. Hailperins analyse gjaldt ikke bestemte forslag.

Boole kunne ikke finde en oversættelse, der fungerede så rent for de særlige forslag som for de universelle forslag. I 1847 brugte Boole følgende to oversættelser, den anden var en konsekvens af den første:

Nogle X'er er Y …………. v = xy og vx = vy.

Han brugte oprindeligt symbolet v til at fange essensen af "nogle". Senere brugte han også andre symboler, og også brugte han v med andre betydninger (såsom for koefficienterne i en udvidelse). Et af problemerne med hans oversættelsesskema med v var, at man til tider havde brug for”marginnotater” for at holde styr på, hvilken klasse (r) v var knyttet til, da det blev introduceret. Reglerne for oversættelse fra ligninger med v 's tilbage til bestemte udsagn blev aldrig klart formuleret. For eksempel i kapitel XV ser man en afledning af x = vv 'y, som derefter oversættes som Nogle X er Y. Men han havde ingen regler for, hvornår et produkt af v 's transporterer "nogle". Sådanne problemer forringer Booles system; hans forklaringer er i tvivl om, hvilke procedurer der er legitime i hans system, når han beskæftiger sig med bestemte udsagn.

Der er et punkt, som selv Hailperin ikke var tro mod Booles arbejde, nemlig han brugte moderne semantik, hvor de enkle symboler x, y osv. Kan henvise til den tomme klasse såvel som til en ikke-tom klasse. Med moderne semantik kan man ikke have konvertering ved begrænsning, der afholdes i aristotelisk logik: fra Alle X er Y følger Nogle Y er X. I sin formelle logik fra 1847 påpegede De Morgan, at alle forfattere om logik havde antaget, at de klasser, der henvises til i en kategorisk proposition, var ikke-tomme. Denne begrænsning af klassesymbolerne til ikke-tomme klasser og dobbelt til ikke-universitetsklasser kaldes aristotelisk semantik. Boole havde åbenbart fulgt denne Aristotelian-konvention, fordi han afledte alle Aristotelian-resultater, såsom Conversion by Limitation. En ordentlig fortolkning (tro mod Boole 's arbejde) af Booles system kræver aristotelisk semantik for klassesymbolerne x, y, z,…; desværre ser det ud til, at den offentliggjorte litteratur om Booles system ikke har bemærket dette.

6. Boole's metoder

Under læsning af dette afsnit, på de tekniske detaljer om Booles metoder, kan læseren måske synes det er nyttigt at konsultere

supplement af eksempler fra Booles to bøger.

Disse eksempler er blevet forstærket med kommentarer, der i hvert trin i en afledning af Boole forklarer, hvilket aspekt af hans metoder, der anvendes.

6.1 De tre metoder til argumentanalyse anvendt af Boole i LT

Boole brugte tre metoder til at analysere argumenter i LT:

(1) Den første var de rent ad hoc algebraiske manipulationer, der blev anvendt (sammen med en svag version af eliminationssætningen) på de Aristoteliske argumenter i MAL.

(2) For det andet finder man i afsnit 15 i kapitel II i LT den metode, der i denne artikel kaldes reglen for 0 og 1.

Teoreme om LT kombineres for at give masterresultatet, (3) Booles generelle metode (i denne artikel vil det altid blive henvist til ved hjælp af aktiverede første bogstaver-Boole kaldte det bare "en metode").

Ved anvendelse af ad hoc-metoden brugte han dele af almindelig algebra sammen med den idempotente lov x 2 = x til at manipulere ligninger. Der var ingen på forhånd fastlagt procedure for at følge succes med denne metode afhængig af intuitive færdigheder udviklet gennem erfaring.

Den anden metode, reglen for 0 og 1, er meget kraftig, men det afhænger af, at der gives en samling af forudgående ligninger og en konklusionsligning. Det er en sandhedstabellignende metode (men Boole trak aldrig en tabel, når man anvender metoden) for at afgøre, om argumentet er korrekt. Boole brugte kun denne metode til at etablere teoremer, der berettigede hans generelle metode, selvom det er et fremragende værktøj til enkle argumenter som syllogismer. Reglen for 0 og 1 er en noget skyggefuld figur i LT-den har intet navn og henvises aldrig til ved sektion eller sidetal.

Den tredje metode til analyse af argumenter var højdepunktet i Booles arbejde i logik, hans General Method (diskuteret umiddelbart efter dette). Dette er den, han brugte til alle undtagen de enkleste eksempler i LT; for de enkleste eksempler benyttede han sig af den første metode til ad hoc algebraiske teknikker, fordi en fagmand inden for algebraisk manipulation normalt er langt mere effektiv end at bruge den generelle metode.

Den endelige version (fra LT) af hans generelle metode til analyse af argumenter er kort sagt:

(1) konvertere (eller oversætte) forslagene til ligninger, (2) anvende en foreskrevet sekvens af algebraiske processer på ligningerne, processer, der giver den ønskede konklusionsligning, og derefter

(3) konverter konventionelle konklusioner til propositionskonklusioner, hvilket giver de ønskede konsekvenser af den oprindelige samling af forslag.

Med denne metode havde Boole erstattet kunsten at resonnere fra forudsætninger til konklusioner med en rutinemekanisk, algebraisk procedure.

I LT delte Boole forslag i to slags, primær og sekundær. Disse svarer til, men er ikke nøjagtigt det samme som den Aristoteliske opdeling i kategoriske og hypotetiske forslag. Først diskuterer vi hans generelle metode anvendt på primære forslag.

6.2. Booles generelle metode til primære forslag

Boole anerkendte tre former for primære forslag:

  • Alle X er Y
  • Alle X er alle Y
  • Nogle X er Y

Dette var hans version af de aristoteliske kategoriske propositioner, hvor X er emneudtrykket og Y det predikatiske udtryk. Udtrykkene X og Y kan være komplekse navne, for eksempel kan X være X 1 eller X 2.

TRIN 1: Navne konverteres til algebraiske termer som følger:

Vilkår MAL LT
univers 1 s. 15 1 s. 48
tom klasse 0 s. 47
ikke X 1 - x s. 20 1 - x s. 48
X og Y xy s. 16 xy s. 28
X eller Y (inklusive)
x + y (1 - x)
xy + x (1 - y) + y (1− x)
s. 56
X eller Y (eksklusiv) x (1 - y) + y (1 - x) s. 56

Vi kalder bogstaverne x, y, … klassesymboler (som tidligere nævnt anvendte algebraen fra 1800-tallet ikke ordvariablerne).

TRIN 2: Når du har konverteret navne til udtrykkene til algebraiske termer, konverteres man derefter propositionerne til ligninger ved hjælp af følgende:

Primære forslag MAL (1847) LT (1854)
Alle X er Y x (1− y) = 0 s. 26 x = vy s. 64, 152
Intet X er Y xy = 0 (ikke primær)
Alle X er alle Y (ikke primær) x = y
Nogle X er Y v = xy vx = vy
Nogle X er ikke Y v = x (1− y) (ikke primær)

Boole brugte de fire kategoriske propositioner som sine primære former i 1847, men i 1854 fjernede han de negative propositionsformer og bemærkede, at man kunne ændre “ikke Y” til “ikke-Y”. I 1854 udtrykte han således “No X is Y” af “All X is not- Y” med oversættelsen

x (1 - (1 - y)) = 0,

hvilket forenkler til xy = 0.

TRIN 3: Efter konvertering af lokalerne til algebraisk form har man f.eks. En samling ligninger

p 1 = q 1, p 2 = q 2, …, p n = q n.

Udtrykk disse som ligninger med 0 på højre side, det vil sige som

r 1 = 0, r 2 = 0, …, r n = 0,

med

r 1: = p 1 - q 1, r 2: = p 2 - q 2, …, r n: = p n - q n.

TRIN 4: (REDUKTION) [LT (s. 121)]

Reducer ligningssystemet

r 1 = 0, r 2 = 0, …, r n = 0,

til en enkelt ligning r = 0. Boole havde tre forskellige metoder til at gøre dette - han syntes at have en præference for at summere kvadraterne:

r: = r 1 2 + · · · + r n 2 = 0.

Trin 1 til 4 er obligatoriske i Booles generelle metode. Efter udførelse af disse trin er der forskellige muligheder for at fortsætte, afhængigt af målet.

TRIN 5: (ELIMINATION) [LT (s. 101)]

Antag at man vil have den mest generelle ligelige konklusion afledt af r = 0, der involverer nogle, men ikke alle, klassesymbolerne i r. Så ønsker man at fjerne visse symboler. Antag at r involverer klassesymbolerne

x 1, …, x j og y 1, …, y k.

Så kan man skrive r som r (x 1,…, x j, y 1,…, y k).

Boole's procedure for at eliminere symbolerne x 1, …, x j fra

r (x 1, …, x j, y 1, …, y k) = 0

at opnå

s (y 1, …, y k) = 0

var som følger:

1. form alle mulige udtryk r (a 1, …, a j, y 1, …, y k) hvor a 1, …, a j hver er enten 0 eller 1, derefter

2. gang alle disse udtryk sammen for at få s (y 1, …, y k).

For eksempel at fjerne x 1, x 2 fra

r (x 1, x 2, y) = 0

giver

s (y) = 0

hvor

s (y): = r (0, 0, y) · r (0, 1, y) · r (1, 0, y) · r (1, 1, y).

TRIN 6: (UDVIKLING eller UDVIDELSE) [MAL (s. 60), LT (s. 72, 73)]

Givet et udtryk, siger r (x 1, …, x j, y 1, …, y k), kan man udvide udtrykket med hensyn til en undergruppe af klassesymbolerne. At udvide med hensyn til x 1,…, x j giver

r = summen af betingelserne

r (a 1, …, a j, y 1, …, y k) · C (a 1, x 1) · · · C (a j, x j),

hvor en 1, …, en j- rækkevidde over alle sekvenser på 0s og 1s af længden j, og hvor C (a i, x i) er defineret af:

C (1, x i): = x i, og C (0, x i): = 1− x i.

Boole sagde, at produkterne:

C (a 1, x 1) · · · C (a j, x j)

var bestanddelene af x 1, …, x j. Der er 2 j forskellige bestanddele til j-symboler. Regionerne i et Venn-diagram giver en populær måde at visualisere bestanddele på.

TRIN 7: (DIVISION: LØSNING FOR EN KLASSESYMBOL) [MAL (s. 73), LT (s. 86, 87)]

I betragtning af en ligning r = 0, antag at man ønsker at løse denne ligning for et af klassesymbolerne, siger x, når det gælder de andre klassesymboler, siger de at er y 1,…, y k. At løse:

r (x, y 1, …, y k) = 0

for x, lad først:

N (y 1, …, y k) = - r (0, y 1, …, y k)

D (y 1, …, y k) = r (1, y 1, …, y k) - r (0, y 1, …, y k).

Derefter:

x = s (y 1, …, y k)

hvor s (y 1, …, y k) er:

(1) summen af alle bestanddele

C (a 1, y 1) · · · C (a k, y k),

hvor en 1, …, en k rækkevidde over alle sekvenser på 0s og 1s, for hvilke:

N (a 1,…, a k) = D (a 1,…, a k) ≠ 0,

plus

(2) summen af alle betingelser på formularen

V a 1 … a k · C (a 1, y 1) · · · C (a k, y k)

for hvilket:

N (a 1, …, a k) = D (a 1, …, a k) = 0.

V a 1 … a k er parametre, der angiver vilkårlige klasser (svarende til hvad man ser i studiet af lineære differentialligninger, et emne, hvor Boole var ekspert).

Til denne ligning for x støder op til sidevilkårene (som vi vil kalde grundlæggende ligninger)

C (a 1, y 1) · · · C (a k, y k) = 0

hver gang

D (a 1, …, a k) ≠ N (a 1, …, a k) ≠ 0.

Bemærk, at man skal evaluere udtrykkene:

D (a 1, …, a k) og N (a 1, …, a k)

ved hjælp af almindelig aritmetik. Således løser en ligning r = 0 for et klassesymbol x en ligning

x = s (y 1, …, y k),

måske med sidekonditionskomponente ligninger.

TRIN 8: (Tolkning) [MAL s. 64-65, LT (kap. VI, spec. S. 82–83)]

Antag, at ligningen r (y 1, …, y k) = 0 er opnået ved Booles metode fra en given samling af forudgående ligninger. Derefter er denne ligning ækvivalent med samlingen af bestanddele ligninger

C (a 1, y 1) · · · C (a k, y k) = 0

som r (a 1,…, a k) ikke er 0. En konstituerende ligning hævder blot, at et vist kryds mellem de originale klasser og deres komplement er tomt. For eksempel,

y 1 (1− y 2) (1− y 3) = 0

udtrykker proposition”All Y 1 er Y 2 eller Y 3” eller ækvivalent,”All Y 1 og ikke Y 2 er Y 3.” Det er rutine at konvertere grundlæggende ligninger til forslag.

6.3. Booles generelle metode til sekundære forslag

Sekundære propositioner var Booles version af de propositioner, man møder i studiet af hypotetiske syllogismer i den aristoteliske logik, udsagn som "Hvis X eller Y så Z." Symbolerne X, Y, Z osv. I sekundære forslag henviste ikke til klasser, men snarere henviste de til (primære) forslag. I tråd med den ufuldstændige karakter af den aristoteliske behandling af hypotetiske forslag gav Boole ikke en præcis beskrivelse af mulige former for sine sekundære forslag.

Den centrale (men ikke originale) observation, som Boole brugte, var ganske enkelt at man kan konvertere sekundære forslag til primære forslag. I MAL vedtog han konventionen, der findes i Whately (1826), hvor symbolet x med et propositionssymbol X betegner "de tilfælde, hvor X er sandt", mens x i LT Boole lader x betegne "de tidspunkter, hvor X er sandt”. Med dette bliver det sekundære forslag “Hvis X eller Y så bliver Z” simpelthen “Alle x eller y er z”. Ligningen x = 1 er den ækvivalente oversættelse af “X er sand” (i alle tilfælde eller for alle tidspunkter), og x = 0 siger “X er falsk” (i alle tilfælde eller for alle tidspunkter).

Med dette oversættelsesskema er det klart, at Booles behandling af sekundære forslag kan analyseres ved hjælp af de metoder, han havde udviklet til primære forslag. Dette var Booles forslagslogik.

Boole arbejdede kun med Aristotelianske forslag i MAL ved hjælp af den traditionelle opdeling i kategorier og hypotetik. Man betragter ikke “X og Y,” “X eller Y” osv. I kategoriske forslag, kun i hypotetiske forslag. I LT blev denne opdeling erstattet af den lignende, men mere generelle primære kontra sekundære klassificering, hvor emnet og predikatet fik lov til at blive komplekse navne, og antallet af forslag i et argument blev ubegrænset. Med dette blev parallellerne mellem logikken i primære propositioner og sekundære propositioners tydelige med en bemærkelsesværdig forskel, nemlig det ser ud til, at de sekundære propositioner altid oversættes til universelle primære propositioner.

Sekundære forslag MAL (1847) LT (1854)
X er sandt x = 1 s. 51 x = 1 s. 172
X er falsk x = 0 " x = 1 "
X og Y xy = 1 " xy = 1 "
X eller Y (inklusive) x + y - xy = 1 s. 52
X eller Y (eksklusiv) x −2 xy + y = 1 s. 53 x (1 - y) + y (1 - x) = 1 s. 173
Hvis X, så Y x (1− y) = 0 s. 54 x = vy s. 173

Bibliografi

  • Boole, G., 1841, "Undersøgelser om teorien om analytiske transformationer, med en særlig anvendelse til reduktion af den generelle ligning af den anden orden," The Cambridge Mathematical Journal, 2: 64–73.
  • –––, 1841,”Om visse teorier i beregningen af variationer,” Cambridge Mathematical Journal, 2: 97–102.
  • –––, 1841, "Om integration af lineære differentialligninger med konstante koefficienter," Cambridge Mathematical Journal, 2: 114–119.
  • ––– 1847, Den matematiske analyse af logik, at være et essay mod en beregning af deduktiv begrundelse, oprindeligt udgivet i Cambridge af Macmillan, Barclay og Macmillan. Genoptrykt i Oxford af Basil Blackwell, 1951.
  • –––, 1848,”The Calculus of Logic,” The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 3: 183–198.
  • –––, 1854, En undersøgelse af tankeloven, som er grundlagt på de matematiske teorier om logik og sandsynligheder, oprindeligt udgivet af Macmillan, London. Genoptryk af Dover, 1958.
  • –––, 1859, En afhandling om differentialligninger, Cambridge: Macmillan.
  • –––, 1860, En afhandling om beregningen af endelige forskelle, Cambridge: Macmillan.
  • De Morgan, A., 1839, "På grundlag af algebra," Transactions of Cambridge Philosophical Society, VII, 174–187.
  • –––, 1841, "På grundlag af algebra, nr. II," Transaktioner med Cambridge Philosophical Society VII, 287–300.
  • –––, 1847, Formel logik: eller beregningen af inferens, nødvendig og sandsynlig, oprindeligt udgivet i London af Taylor og Walton. Genoptrykt i London af The Open Court Company, 1926.
  • –––, 1966, On the Syllogism and Other Logical Writings, P. Heath (red.), New Haven: Yale University Press. (En posthum samling af De Morgan's papirer om logik.)
  • Ewald, W. (red.), 1996, Fra Kant til Hilbert. En kildebog i matematikens historie, 2 Vols, Oxford: Oxford University Press.
  • Grattan-Guiness, I., 2001, The Search for Mathematical Roots, Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Gregory, DF 1839, "Demonstrationer i differentieringsberegningen og beregningen af begrænsede forskelle," The Cambridge Mathematical Journal, Vol. I, 212–222.
  • ––– 1839,”I. – Om de grundlæggende principper for anvendelse af algebraiske symboler på geometri,” The Cambridge Mathematical Journal, Vol. II, nr. VII, 1–9.
  • –––, 1840, "Om den reelle natur af symbolsk algebra." Transaktioner fra Royal Society of Edinburgh, 14: 208-216. Også i [Gregory 1865, s. 1–13].
  • –––, 1865, The Mathematical Writings of Duncan Farquharson Gregory, MA, W. Walton (red.), Cambridge, UK: Deighton, Bell.
  • Hailperin, T., 1976, Booles logik og sandsynlighed, (serie: Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 85), Amsterdam, New York, Oxford: Elsevier Nord-Holland. 2. udgave, revideret og forstørret, 1986.
  • –––, 1981, “Booles algebra er ikke boolsk algebra”, Mathematics Magazine, 54: 172–184.
  • Jevons, WS, 1864, Pure Logic eller Logic of Quality bortset fra mængde: med bemærkninger om Boole's System og om Relation of Logic and Mathematics, London: Edward Stanford. Genoptrykt i 1971 i Pure Logic og andre mindre værker, R. Adamson og HA Jevons (red.), New York: Lennox Hill Pub. & Dist. Co.
  • Jourdain, PEB, 1914, “Udviklingen af teorierne om matematisk logik og matematikens principper. William Stanley Jevons”, Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 44: 113–128.
  • Lacroix, SF, 1797/1798, Traité du calcul différentiel et du calcul integral, Paris: Chez Courcier.
  • Lagrange, JL, 1797, Théorie des fonctions analyse, Paris: Imprimerie de la Republique.
  • –––, 1788, Méchanique Analytique, Paris: Desaint.
  • MacHale, D., 1985, George Boole, His Life and Work, Dublin: Boole Press.
  • Peacock, G., 1830, Treatise on Algebra, 2. udgave, 2 bind, Cambridge: J. & J. J. Deighton, 1842/1845.
  • –––, 1833, "Rapport om den nylige fremskridt og den nuværende tilstand af visse analysergrene", i rapport fra det tredje møde i den britiske forening til fremme af videnskab, der blev afholdt i Cambridge i 1833, s. 185-352. London: John Murray.
  • Schröder, E., 1890–1910, Algebra der Logik, Vols. I – III. Leipzig, BG Teubner; genoptryk Chelsea 1966.

Andre internetressourcer

  • George Boole, MacTutor History of Mathematics Archive
  • Augustus De Morgan, Duncan Farquharson Gregory, William Jevons, George Peacock, Ernst Schröder, MacTutor History of Mathematics Archive
  • Algebraic Logic Group, Alfred Reyni Institute for Mathematics, Det Ungarske Videnskabelige Akademi

Anbefalet: